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线性代数第三章习题答案

习题 3-1

1．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．

解 )11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ．解由324+=αγβ，得αβγ2

32-=，

即 )0,27,

1,25(

)6,29,3,23(

)6,8,2,4()4,3,2,1(2

3)3,4,1,2(2-=-=-

=γ．

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；

（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α；（3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；

（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，

)

0,1,1(3

=α

（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ．解（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-，

从而 ???-=-=+14222121x x x x ，解得 ??

???=

=211

21x x ，

所以β能由21,αα线性表示，表示式为

212

1ααβ+

=．

（2）设 332211αααβx x x ++=，

即 ),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-，从而 ???-=+=+112131x x x x ，有无穷解 ?????-=--==c

x c x c

x 113

21，

所以β能由321,,ααα线性表示，表示式为

321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）．

（3）设332211αααβx x x ++=，

即 )2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=，从而??

??=+-=+=+1211

213132x x x x x x ，因为0102

1101

10≠=-，所以有唯一解???

??===011

321x x x ，

所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为

3210αααβ?++=

（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(122121x x x x x x -+=-+=- 从而???

??-==-=+1

2281

221x x x x ，由后两式解得211-=x ，412-=x ，代入第一式，即

11)4

(221≠-=-?+-，所以该方程组无解，即β不能由21,αα线性表示．

（5）设44332211e e e e x x x x +++=β，即),,,(),,,(43214321x x x x k k k k =，从而 44332211,,,k x k x k x k x ====，所以β能由4321,,e e e ,e 线性表示，表示式为

44332211e e e e k k k k +++=β．

4．已知向量组3212,,:βββT 由向量组3211,,:αααT 的线性表示式为

3213321232114,3,52αααβαααβαααβ-+-=++=-+=，

向量组213,:γγT 由向量组2T 的线性表示式为

3212

321142,3βββγ

βββγ++=+-=，

求向量组3T 由向量组1T 的线性表示式．

解 32113βββγ+-=

321321321431536ααααααααα-+-----+= 3211744ααα-+=

321242βββγ++=

321321321416426252ααααααααα-+-+++-+=

3217230ααα-+=

所以3T 由1T 的线性表示式为32111744αααγ-+=，32127230αααγ-+=．

习题 3-2

1．举例说明下列命题是错误的．

（1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，m βββ,,,21 亦线性相关，则向量组m m βαβαβα+++,,,2211 线性相关；

（2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则1α一定可由m ααα,,,32 线性表示；（3）因为当系数m k k k ,,,21 都为0时，一定有

0=+++m m k k k ααα 2211

所以m ααα,,,21 线性无关；

（4）若m ααα,,,21 线性相关，m βββ,,,21 亦线性相关，则有不全为0的数m k k k ,,,21 ，使

0=+++m m k k k ααα 2211和0=+++m m k k k βββ 2211

同时成立．

解（1）如取????

??=????

??=22,1121αα，???

??=????

??-=00,2121ββ，1α与2α线性相关，1β与2β亦线

性相关，而2211,βαβα++线性无关；

如再取????

??==1111βα，???

??==2222βα，同样1α与2α线性相关，1β与2β亦线性相关，而

2211,βαβα++线性相关．

（2）如取???

??=???? ??=???? ??=2211,21321ααα，，则321,,ααα线性相关，而1α不能由32,αα线性表

示．

（3）如取???

??=????

??=22,1121αα，1α与2α线性相关，而对021==k k 有02211=+ααk k ．

（4）如???? ??=001α与???? ??=012α线性相关，???

? ??=101β与????

??=002β亦线性相关，若有21,k k 使02211=+ααk k 和02211=+ββk k 同时成立，则只有021==k k ．即不存在使02211=+ααk k 和02211=+ββk k 同时成立的不全为0的常数21,k k ．

2．判别下列向量组的线性相关性：

（1）)2,0,1(),1,1,1(21-==αα；（2）)0,1(),1,5(),4,3(321===ααα；（3）)3,3,3(),0,5,0(),1,0,1(321===ααα；（4）)4,1,2(),1,1,1(),2,0,1(321===ααα；

（5）)4,3,2,1(),4,2,0,2(),2,1,0,1(321===ααα；（6）)4,3,2,1(),1,0,0,1(),2,1,0,1(321===ααα．

解（1）因为向量中的对应分量不成比例，所以向量组线性无关．

（2）因为向量的个数大于向量的维数，所以向量组线性相关．

（3）因为03

350

=，所以321,,ααα线性相关．（4）因为014

110

11≠=，所以321,,ααα线性无关．（5）因为122αα=，所以21,αα线性相关，从而321,,ααα线性相关．

（6）取)3,2,1(),0,0,1(),1,0,1(321===βββ，则023

200

≠=，即321,,βββ线性无关，所以321,,ααα线性无关．

3．已知向量组)1,1,1(),0,,2(),1,2,(321-===αααa a ，问当a 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？线性无关？

解因为)2)(3(632110

131211

+-=--=-=--=-a a a a a

a a a a a

所以当3=a 或2-=a 时，行列式01

2=-a a

，从而321,,ααα线性相关．当3≠a 且2-≠a 时，行列式01

2≠-a a

，从而321,,ααα线性无关． 4．若向量组321,,ααα线性无关，试问

（1）321,,k k k 都不为0时，332211,,αααk k k 是否线性无关？

（2）3232212,,αααααα-++是否线性无关？

解（1）设有常数321,,c c c ，使得0)()()(333222111=++αααk c k c k c ，即

0333222111=++αααk c k c k c

因向量组321,,ααα线性无关，所以0,0,0332211===k c k c k c ，而321,,k k k 都不为0，所以

321,,c c c 只有零解，所以332211,,αααk k k 线性无关．

（2）令0)2()()(323322211=-++++ααααααk k k ，即 0)2()(332232111=-++++αααk k k k k k ，

因为321,,ααα线性无关，所以???

??=-=++=0200

3211k k k k k k ．又系数行列式032

0111

001≠-=-，所以

321,,k k k 只有零解，故3232212,,αααααα-++线性无关．

5．设321,,ααα线性无关，且

,,23223211ααβαααβ-=+-=321332αααβ+-=，

证明向量组321,,βββ线性相关．

解令0332211=++βββk k k ，

即 0)32()()2(32133223211=+-+-++-ααααααααk k k ，亦即 0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k ，因为321,,ααα线性无关，所以???

??=+-=-+-=+032002321

32131k k k k k k k k ，而系数行列式03

2111

01=---，所以321,,k k k 有非零解，从而向量组321,,βββ线性相关．

6．设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，证明向量组4321,,,ββββ线性相关．

证明令044332211=+++ββββk k k k ，

即 0)()()()(144433322211=+++++++ααααααααk k k k ，

亦即 0)()()()(443332221141=+++++++ααααk k k k k k k k ，取???????=+=+=+=+0

00043

322141

k k k k k k k k ，因系数行列式0

0110

0011

1001=，

所以4321,,,k k k k 有非零解，从而向量组

4321,,ββββ，线性相关．

7．设向量组r ααα,,,21 线性无关，且

r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,，

试证向量组r βββ,,,21 线性无关．

证明令02211=+++r r k k k βββ ，

即 0)()(22121=++++++++r r r r k k k k k k ααα ，

因向量组r ααα,,,21 线性无关，所以???

??==++=+++000221r r r k k k k k k ，

而系数行列式

011

11011≠=

，

故方程组只有零解021====r k k k ，所以r βββ,,,21 线性无关．

习题 3-3

1．判断下列各命题是否正确：

（1）若两个n 维向量组的秩相同，则这两个向量组等价；（2）若n m ?矩阵A 和B 的秩相等，则A 与B 等价；（3）向量组的秩是指向量组的不同的极大无关组的个数；（4）所有向量组都有极大无关组，且极大无关组不唯一．

解（1）错误，如向量组???? ??=???? ??=02,0121αα和???

??=???? ??=20,.1021ββ的秩都是1，但这两个向

量组不等价．

（2）正确，不妨设r B R A R ==)()(，则???? ?

?00

0~r

E A ，???

??000~r E B ，由等价的传递性知B A ~．

（3）错误，向量组的秩是向量组极大无关组中向量的个数．

（4）错误，若向量组中的向量全是零向量，则就没有极大无关组． 2．求下列向量组的秩，并求一个极大线性无关组：（1）)1,0,0(),0,1,0(),0,1,1(321===ααα；

（2）)2,5,3(),1,3,2(),0,1,1(),2,4,2(4321====αααα；（3）123(1,4,0,2),(5,1,3,0),(3,2,4,1),=-==--ααα 45(1,7,1,3),(2,9,5,4)=-=--αα；

（4）123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),=-==ααα 45(1,1,2,0),(2,1,5,6)=-=αα；（5）45(1,1,1,1),(1,1,0,0)==-αα．

解（1）因为01

011

≠，所以321,,ααα线性无关，从而3),,(321=αααR ，且321,,ααα本身就是它的极大无关组．

（2）(

)

????? ?

?=21

253143212,,,T

T 3T 2T 1αααα B =???

?----?????

??--------00

01110

321211

1110

3212

2231312r r r r r r ，由B 知，向量组的秩2),,,(4321=ααααR ，且21,αα为其一个极大线性无关组．

（3）???

?? ??----+-???????

?------0551005143011010213

512243102514309721421

351

1442r r r r

??????? ??--------1055008440011010213511032423r r r r B =???

??-----000008440011010213

513454r r ，由B 知，向量组的秩3),,,,(54321=αααααR ，且321,,ααα为其一个极大线性无关组．（4）???????

??----+??????? ??--440001

0110303302130122601424527121103121301133412r r r r r r B =????

??--??-000004

400010110213013434232r r r r r r 由B 知，向量组的秩3),,,,(54321=αααααR ，且421,,ααα为其一个极大线性无关组．（5）????

?----+-???????

?-21

021000

1111011121201220010111111011

124213r r r r r B =????

? ??-+000002

1000111101112134r r 由B 知，向量组的秩3),,,,(54321=

αααααR ，且421,,ααα为其一个极大线性无关组．

3．若向量组)2,3,1,3(),0,10,1,1(),2,2,1,1(321k k --=-=-=ααα的秩是2，求k ．

解因为21,αα线性无关，而2),,(321=αααR ，所以3α一定可由21,αα线性表示，设表示式为22113

αααx x +=，即???

??-=--=+=+=-k

x k x x x x x x 2231021

3121

2121，由前两式解得21=x ，从而2=k ．

4．设向量组)1,3,2(),1,2,1(),3,,2(),1,3,(4321====ααααb a 的秩是2，求b a ,．解 ????

? ?

?-------????

? ?

?111

052002

1332

221

13312a

b a a r r r r r b a ，因为向量组的秩为2，所以??

?=-=-0

502b a ，即??

?==5

2b a ．

5．设n ααα,,,21 是一组n 维向量，已知n 维基本单位向量n e e e ,,,21 能由它们线性表示，

证明n ααα,,,21 线性无关．

证明因为向量组n ααα,,,21 可由向量组n e e e ,,,21 线性表示，由题设n e e e ,,,21 又能由

n ααα,,,21 线性表示，所以n ααα,,,21 与n e e e ,,,21 等价．从而两向量组有相同的秩．又

n e e e R n =),,,(21 ，所以n R n =),,,(21ααα ，即n ααα,,,21 线性无关．

6．设n ααα,,,21 是一组n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示．

证明必要性：对任意n 维向量β，向量组βααα,,,,21n 线性相关（因向量个数大于向量的维数），而n ααα,,,21 线性无关，所以β可由n ααα,,,21 线性表示（且表示式唯一）．

充分性：任一n 维向量都可由n ααα,,,21 线性表示，当然单位向量组n e e e ,,,21 可由n ααα,,,21 线性表示，由上题知n ααα,,,21 线性无关．

7．设3),,,(),,(4321321==αααααααR R ，4),,,(5321=ααααR ，证明：向量组45321,,,ααααα-的秩为4．

证明因为3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关；又由于43),,,(4321<=ααααR ，所以4321,,,αααα线性相关，从而4α可由321,,ααα线性表示，设表示式为

3322114ααααk k k ++= （1）

又因为4),,,(5321=ααααR ，所以5321,,,αααα线性无关．取

0)(λλλλ454332211=-+++ααααα （2）

（1）代入（2）得 0λ)λλ()λλ()λ(λ54334322421141=+-+-+-ααααk k k ，

由于向量组5321,,,αααα线性无关，所以有0λλλλλλλ4343242141==-=-=-k k k ，即

0λλλλ4321====，从而向量组45321,,,ααααα-线性无关，即它们的秩为4．

8．已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足x A Ax x A 233-=，且向量组x A Ax x 2,,线性无关．（1）记),,(2

x A Ax x P =，求3阶矩阵B ，使PB AP =；

（2）求||A ．

解（1）因为向量组x A Ax x 2

,,线性无关，所以P 可逆，从而PB AP =，即AP P B 1-=，

)3,,(),,(),,(2

x A Ax x A Ax x A x A Ax Ax Ax x A AP -===

????? ?

?-=110301

000),,,(2

x A Ax x ，所以 ????

? ?

?-==-11

0301

0001

AP P B ．（2）由（1）知AP P B 1-=，所以1

-=PBP A ，所以01===-B P B P A ．

习题 3-4

1．判别下列集合是否构成向量空间，若构成向量空间，求它的维数及一个基：

（1）{}0|),,,(2121=+++==n n x x x x x x αV ；

（2）{}1|),,,(2121=+++==n n x x x x x x αV ；

（3）}{；N x x x x n ∈==121|),,,( αV （4）{}213215|),,(x x x x x ===αV ．

解（1）任取向量),,,(21n x x x =α，),,,(21n y y y =βV ∈，因

V ∈+++=+),,,(2211n n y x y x y x βα)0)()()((2211=++++++n n y x y x y x ，

V ∈=)λ,,λ,λ(λn 21x x x α，)0λλλ(n 21=+++x x x ，

所以V 是向量空间．

又)0,,0,1,1(1 -=α，)0,,1,0,1(2 -=α，…，)1,0,0,1(1-=- n αV ∈且线性无关．同时对任意向量V y y y n ∈=),,,(21 β，设有表达式112211--+++=n n k k k αααβ ，即

???????=-=-=+++--n

n n y k y k y k k k 1211121 ，从而??????

?-=-=-=-n

n y k y k y k 13

221 ，即β可由121,,,-n ααα 线性表示，所以121,,,-n ααα 是V 的一个基，该向量空间的维数为

1)dim(-=n V ．

（2）由于),,,(21n x x x =αV ∈，即121=+++n x x x ，此时2)(221=+++n x x x ，所以V ?α2，故V 不是向量空间．

（3）由于)2,,2,2(221n x x x ---=- α，当N x ∈1时，N x ?-12，所以V ∈-α2，从而V 不是向量空间．

（4）任取向量),,(321x x x =α，),,(321y y y =βV ∈，则215x x =，215y y =， ),,(332211y x y x y x +++=+βα，因为)(52211y x y x +=+，所以βα+V ∈；

),,(321kx kx kx k =α，因为215kx kx =，所以αk V ∈，所以V 是向量空间．

由215x x =知，)0,1,5(1=α，)1,1,5(2=αV ∈，且21,αα线性无关．而),,5(322x x x =?α，总有23132)(αααx x x +-=，所以21,αα是V 的一个基，且该向量空间的维数2dim =V ．

2．证明向量组)2,3,0(),2,0,0(),0,1,1(321===ααα是3R 上的一个基．

证明因为062

301

≠-=，所以321,,ααα线性无关，从而321,,ααα是3R 上的一个基． 3．证明向量组

)1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321--====αααα 构成4R 上的一个基，并把向量)1,4,2,2(=β用这个基线性表示．

证明因为

021

103011110121

≠-=--，所以4321,,,αααα线性无关，从而4321,,,αααα是4

R 上

的一个基．

令44332211ααααβx x x x +++= ，即T

β=x A ，其中 ??

???

?--=10

0301111

0121A ，=x ?

???

??4321x x x x ，

因02≠-=A ，所以A 可逆．经计算????

?------=-02

3231123021212110111

，所以

??????

? ??-=

??????? ????????? ??------==-232114220212323112302121211011

1βA x ，因此 4321232ααααβ+-+=．

4．由)1,1,0,1(),0,0,1,1(21==αα所生成的向量空间记作1

V ，由

)1,1,1,0()3,3,1,2(21--=-=ββ，生成的向量空间记作2V ，试证21V V =．

证明方法一设{}R k k k k ∈+==1122111,ααx V ，{}R λλλλ∈+==1122112,ββx V ，任取1V 中一向量，可写成2211ααk k +，要证22211V ∈+ααk k ，从而得21V V ?．

由 22112211ββααλλk k +=+，得 ???=+-+=???????

?-=-=-==+1212112

121

1212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ，

上式中，把21,k k 看成已知数，把21,λλ看成未知数，因系数行列式021

021≠=-=D 21,λλ?有

唯一解，所以21V V ?；

同理可证12V V ? (因00

112≠=

D )，故21V V =．

方法二只需证明向量组21,αα与向量组21,ββ等价即可．

由 ()

????

?---=13

0131011010211

,,,T

1ββαα ????

?---?++??????? ?

?-----00

0000013101101)1(00

01310

13100211

223213412r r r r r r r r r 知， 212211,3ααβααβ-=+-=，即21,ββ可由21,αα线性表示．

又由 ()

???????

??---=10

3101301111102

,,,T

2T 1T 2T 1ααββ??????

? ?

?--?-+00

01013132001112213421r r r r r r

????

?÷-??????

??-----+00

00000212310212101

2)1(00

01310

1310

0211

5.032121213r r r r r r r 知， 2122112

1,2

1ββαββα+

，即21,αα可由21,ββ线性表示，所以21,αα与21,ββ等价．

5．在3R 中求一个向量γ，使它在下面两个基下有相同的坐标：（1） )1,1,0(),0,0,1(),1,0,1(321=-==ααα；（2）)1,0,1(),0,1,1(),1,1,0(321=-=-=βββ．解设向量γ在两组基下的坐标都是321,,x x x ，即

332211332211βββαααγx x x x x x ++=++=，

从而 0)()()(333222111=-+-+-x x x βαβαβα 所以 ???=++=--00

2321321x x x x x x ，解得????

? ??--=????? ??3213

c x

x x （c 为任意常数），此时 )2,3,1(32321c c c c =+--=αααγ（c 为任意常数）．

6．设3R 中的两个基分别为

)2,0,1(),1,1,0(),0,1,1(321=-==ααα

)4,0,1(),1,1,0(),0,1,3(321===βββ

（1）求从基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵；（2）求坐标变化公式；

（3）设)2,1,2(=α，求α在这两组基下的坐标．解（1）取????? ?

?-==21

0011

101),,(T

3T 2T 1αααA ，????

?==41

0011

103),,(T

3T 2T 1βββB 则从321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵B A P 1-=．由 ????

?-+-?????

?-=41

0322100

10310141

0011011

103101

)(312r r r ,B A ????

??-----?--32

234010

225001

232232

1r r r r r r

知 ????

?-----==-32

2234

2251

B A P ．（2）记3R 中的向量α在321,,ααα和321,,βββ中的坐标分别为321,,x x x 和321,,y y y ，则由321,,ααα到321,,βββ的坐标变换公式为????? ??=????? ??-32

321x x x y y y P ，而由 ????

? ?

?--+-??

???

?-----=10

2210410011011

210032

2010234

001225

)(3221r r r r ,E P ?????

?-----+762

130

021*******

011

42213r r r

???

------76

01321311138010

132132135001

???

?-----÷13713

613

01321311138010

132132135001

)13(3r ，得 ???

?----=-13713

613213213111381321321351

P ，所以所求的坐标变换公式为

=????? ??321y y y ????

???????

?----3

13713

6132132131113813213213

5x x x ．（3）由332211ααααx x x ++=，即?????=+=-=+221232

2131x x x x x x ，解得???

??===1

01321x x x ，

所以α在基321,,ααα下的坐标为1,0,1，

由332211βββαy y y ++=，即?????=+=+=+2412332

2131y y y y y y ，解得???

??===13

513613

7321y y y ，

所以α在基321,,βββ下的坐标为13

136

137

．

习题 3-5

1．判别下列线性方程组是否有解？若有，是唯一解还是无穷多解？（1）?????=+-=+-=++4323120

2321321321x x x x x x x x x ；（2）1231231233323210422

x x x x x x x x x +-=-??

-+=??+-=?；

（3）?????-=+-=-+=++-=+-694132834

325423213

213

21x x x x x x x x x x x x ；（4）?????=+-=+-=+-=-+0340

45200

2321321321321x x x x x x x x x x x x ．解（1）由?????

??-----?????

??--=40

011500121

3243

31112

01211312r r r r

A ???

? ?

--1280

011500121

知， 3)()(==A A R R ，所以该线性方程组有解，并且是唯一解．

（2）由???

?-------??

??----=60

016111002331

321

410213

23311

3213r r r r r A 知， 3)(2)(=<=A A R R ，所以该线性方程组无解．

（3）由?????

? ?

?--------???????

?-----=147

02814140147705421

43269

4132834132

5421141312r r r r r r A ??????

? ?

?-----00

0000014770542122

423r r r r 知，32)()(<==A A R R ，所以该线性方程组有解，并且有无穷多解．（4）由??????

??-------??????? ??----=2305601113302341452111112

242113r r r r r r A ????

? ?

?---?-++00

010*******

131413r r r r r r r 知， 3)(=A R ，所以该线性方程组有唯一解，即零解．

2．确定b a ,的值，使下列齐次线性方程组有非零解：

（1）?????=++=++=++000321321321ax x x x ax x x x ax ；（2）???

??=+-=+-=+-0

20743032321

321321ax x x x x x x x x ；

（3）???

??=++=++=++0

200321

321321x bx x x bx x x x ax ．

解（1）系数行列式2

)1)(2(1

1-+==a a a

a a

A ，当0=A ，即2-=a 或1=a 时，方程组有非零解．

（2）系数行列式)3(521743

12a a -=---=A ，当0=A ，即3=a 时，方程组有非零解．（3）系数行列式)1(1

1a b b

b a

-==A ，当0=A ，即1=a 或0=b 时，方程组有非零解．

3．确定b a ,的值，使下列非齐次线性方程组有解：

（1）???

??-=-++=+-=++b

x b bx ax x x b x x b ax 23)1(0)1(12321

32321；（2）?????

??=++-=+-+=--=+-+b

x x x x a x x x x x x x x x x x 4321432143243215312

222；

（3）?????

?=-

---=+++-=+-+=+

-+b

x x x x x ax x x x x x x x x x x 4321

432143214321617231462032．

解（1）由B A =???

?? ??-----?????

?---=b b

b b a r r b b

a b b a 2210

00110

22310110

1213知，当1,0±≠≠b a 时，3)()(==A A R R ，此时，方程组有唯一解；

当1,0=≠b a 时，

????

? ?

?+-??

??-=→00

001001012202

00100

1212321a r r r r a B A ，

32)()(<==A A R R ，此时，方程组有无穷多解；

当1,0-=≠b a 时，???

?--=→40

000120

121a

B A ，3)(2)(=<=A A R R ，此时，方程组有无解；

当0=a 时，?????

??-----?????

?----=→b b

b r r b b b b 221000110

110

221000110

2021B A ????

?-----?????

??-------b b

b r r b b

b b

r b r 2210

01300

110

2210012001

110

)1(3212 ???

? ?

?---+

+3)1)(5(0

013001

110

13b b b r r b ，此时，当5=b 或1=b 时，

32)()(<==A A R R ，方程组有无穷多解，否则，方程组无解．

综上有，当0≠a 且1±≠b 时，方程组有唯一解；当0≠a 且1=b ，或0=a 且5=b ，或0

=a 且1=b 时，方程组有无穷多解．

（2）由???

??? ?

?+----+-+-?????

??-----=10

0100001111022221

1311111110

22221214213b a r r r r r r b a A 知，当1=a 且1-=b 时，)()(A A R R =，此时，方程组有解．

（3）由????

?---+---------???????

?-------=b a r r r r r r r b a 4

200080

01221

00321

121611172314612

111412213A ???

??? ??++------

20000008001221003211224b a r r 知，当2-=b ，a 为任意实数时，)()(A A R R =，此时方程组有解．

4．λ取何值时，下列非齐次线性方程组有解？

???

??=-+=+--=++-2321321321222

2λ

λx x x x x x x x x 解

由???

? ?

?+----+++??

??----=)2)(1(0

0121)

1(23302211121

21122

12132λλλλr r r r r λλA

???

?+----?)2)(1(0

0)1(2330121

1λλλλ

r r 知，当1=λ或2-=λ时，)()(A A R R =，此时方程组有解．

5．λ取何值时，线性方程组

??--=-+--=--+=-+-1

)5(422

4)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x （1）有唯一解? （2）无解? （3）有无穷多解? 解由????

??------------++?????

?---------=154

21110

32154

22452

2223231λλ

λλλλλλr r r r λλ

λλ

A ??

?------------?-2)1(2

)

6)(1()

1(20

11101542

23131λλλλλλ

λλλ

r r r r

???

?------------+2)4)(1(2

)10)(1(0

011101

542

223λλλλλλλλλr r 知，当0≠A ，即0)10()1(2≠--λλ，亦即1≠λ且10≠λ时，方程组有唯一解；

当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，3)(2)(=<=A A R R ，方程组无解；

当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，增广矩阵为?????

?-00

00000

1221

，31)()(<==A A R R ，方程组有无穷多解．此时，原方程组的解为????

? ??+

???

? ??+????? ??-=????? ??00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)

6．设A 为n m ?矩阵，证明：

（1）方程m E AX =有解的充分必要条件是m R =)(A ；（2）方程n E YA =有解的充分必要条件是n R =)(A ．证明（1）方程m E AX =有解)()(m E A A ,R R =?

m R =?)(A (必要性有不等式m R ,R m ≤=≤)()(A E A m 得

到；充分性由不等式m ,R R m ≤≤=)()(m E A A 得到)．

（2）方程n E YA =有解?方程n T

E Y

A =T

有解n R =?)(T

A （由（1））

?n R =)(A （矩阵秩的性质）

注：当n m =，即A 为n 阶方阵，E AX =及E YA =有解?n R =)(A ，并有1-==A Y X ；

当n m ≠时，按题设条件的解X 和Y 均不唯一． 7．设A 为n m ?矩阵，证明：若AY AX =，且n R =)(A ，则Y X =．

证明因为n R =)(A ，所以n m ≥，且A 中一定存在非零的n 阶子式。取一非零的n 阶子式中的元素构成矩阵B ，则0≠B ，且BY BX =，所以BY B BX B 11--=，即Y X =．

习题 3-6

１．求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解：

（1）123412341234523022320380x x x x x x x x x x x x -++=??--+=??+-+=?；（2）???

??=+--=-+-=+--0

32030432143214321x x x x x x x x x x x x ；

（3）1234123412342020250x x x x x x x x x x x x -++=??-+-=??-++=?；（4）???

??=+++=-++=-++0

222020

2432143214321x x x x x x x x x x x x ；

（5）?????=-++=+-+=+-+002230322432143214321x x x x x x x x x x x x ；（6）??

?=-+=-+=++-+022030

254354354321x x x x x x x x x x x ；

（7）???????=-+++=-+++=--+-=-+++076530553202303454321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ；（8）???

???

?=-+

+=+++--=++++=-+

2630

8320522420225421543215432

15421x x x

x x x x x x x x x x x x x x x ．

解（1）对系数矩阵A 实施初等行变换：

????

? ?

?--------??

???

?----=47

047803251

2181

32322

32511

2213r r r r r A ????

??---÷-+

0217102181901

822328

51r r r r r 所以同解的线性方程组为???

????

+=-=43243121872

1819x

x x x x x ，取???

?????? ??=???? ??200843,x x ，得基础解系 ??????? ??=087191ξ，????

? ??-=20112ξ．

因此方程组的通解为2211ξξc c +=x （21,c c 为任意常数）。

（2）对系数矩阵A 实施初等行变换： ????? ??------?????

?------=21

4200

111132

13111

1111

1312r r r r A ????

??---?+-00

2100

1011232323

1r r r r r r 所以同解的线性方程组为???=+=4

34212x x x x x ，取????

?????? ??=?

??? ??100142,x x ，得基础解系 ?

????

??=00

111ξ，??????? ??=12012ξ，

因此方程组的通解为2211ξξc c +=x （21,c c 为任意常数）。

（3）对系数矩阵A 实施初等行变换： ?????

??----?????

?----=400

02000

1121512

11121

1121

1312r r r r A ????

?--?????

??--÷-00

01000

012100

1000

1121

)2(221223r r r r r ，

所以同解的线性方程组为???=-=024321x x x x ，取???

?????? ??=?

??? ??100132,x x ，得基础解系 ??????? ??=00121ξ，??????

? ??-=01012ξ，

因此方程组的通解为2211ξξc c +=x （21,c c 为任意常数）。

（4）对系数矩阵A 实施初等行变换：

????? ??------????? ??--=43001310

12112221

221112

1211

1312r r r r A )3()1(43

30100101322

3113221-÷-?-??

??-----+r r r r r r r r ????

?--41

030104001

，

所以同解的线性方程组为???

???

=-==4

24134334x x x x x x ，取33

=x 得基础解系

????

??-=3494ξ，因此方程组的通解为ξc =x （c 为任意常数）。

（5）对系数矩阵A 实施初等行变换：

????? ?

?---?---??

?---=54

000001111

211

12123

3212

1313

12r r r r r r r A ???

??--?-?+00

5410

43011)(3233

1r r r r r ，所以同解的线性方程组为???+-=-=4324315443x x x x x x ，取???

??????

??=?

??? ??100143,x x ，得基础解系 ??????? ??-=01431ξ，??????

? ??-=10

542ξ，因此方程组的通解为2211ξξc c +=x （21,c c 为任意常数）。

（6）对系数矩阵A 实施初等行变换：

????

? ?

?---+??

??---=05

01310005011

221

013100

121112

321r r r r A

????

??--÷++01

10100

00011

)5(335

323

1r r r r r ，所以同解的线性方程组为???

??==-=0

532

1x x x x x ，取???

? ?????? ??=???? ??100152,x x ，得基础解系 ???????? ??-=000111ξ，???????

? ??=101002ξ，

因此方程组的通解为2211ξξc c +=x （21,c c 为任意常数）。

（7）对系数矩阵A 实施初等行变换：

????

?---------??

???

??------=00

0131102622034111

227651

3553121231134

111

3122

14r r r r r r r A ??

?----÷-+0000

000000

1311021201

2)(222133

1r r r r r ，所以同解的线性方程组为???+-=+--=54325

431322x x x x x x x x ，取???

???

? ??????? ??=????? ??100010001543,,x x x ，得基础解系 ???????? ??-=001121ξ，???????? ??--=010312ξ，??

? ??=100123ξ，

因此方程组的通解为332211ξξξc c c ++=x （321c ,c ,c 为任意常数）。

（8）对系数矩阵A 实施初等行变换：

??????

?---+-???????

?----=42

0641009020021021

3221

3831215224221021

141312r r r r r r A

????

?--÷???????

??--+--10

02100014010021021

19)

(21000140100190000

210212422433

3432r r r r r r r r r r ??????

?--+-10

001000

0010000021

21424342431r r r r r r r ，所以同解的线性方程组为??????

?===-=0

0025

x x x x x ，取12=x ，得基础解系

???????

? ??-=00012ξ，

因此方程组的通解为ξc =x （c 为任意常数）。

2．求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：

??????? ??=43211ξ，??????

? ??=12342ξ．

解设所求的齐次方程组为0=Ax ，则A 为42?矩阵且2)(=A R 即可．

21ξξ,是0=Ax 的基础解系

?0)(21=ξξ,A 且2)(=A R 记)(21ξξ,=B

?0=Ax 且2)(=A R ?0T

T =A B 且2)(T =A R

?T A 的两个列向量是0T

=x B 的一个基础解系（因为2)(=B R ）

而???? ?

?----???? ?

?=1510

04321412

4432112T

r r B

???

??---÷+32

2101)5(2252

1r r r ，基础解系可取为???

???? ??-=01211η，????

??-=10322η，所以可取???

?--=???? ??=10

20121T

1ηηA ，对应的方程组为???=+-=+-03202421321x x x x x x 。

3．求下列非齐次线性方程组的通解：

（1）?????=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x ；（2）?????-=--=-+-=+--1

34403032143214321x x x x x x x x x x x ；

（3）???

??=+-+--=++-+=++-+4

326362422

32543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ；

（4）?????

??-=+-=-+=++-=+-6

9413283432542321321

321321x x x x x x x x x x x x ；

（5）??

???

?=-+++=+++-=-+++=++++12

34382362223237354321

3254

32154

321x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x ．

解（1）对增广矩阵施行初等行变换：

????

??--------????? ?

?------=17

17640

11311308

144313

113111312r r r r A ?????

??------÷+0000041472310

1311

)4(223r r r ????

?-----000

0414723104543230121r r ，对应的齐次线性方程组为???

???

+=-=4324

314

723432

3x x x x x x ，取???

? ????

?? ??=???? ??40,0243

x x ，得基础解系 ??????? ??=02331ξ，??????

? ??-=40732ξ。

同解的线性方程组为???

????

++-=-+=4324314723414

32345x x x x x x ，取043==x x ，得特解

??????

??-=004145η，