2012高考最后五天冲刺黄金卷：数学理4

2012高考最后五天冲刺黄金卷：数学理4

第I 卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数6)(2++-=

x x x f 的定义域是A, }1)3

5

(|{<=x x B ，则B A ?= （ ）

（A ）}2|{-≤x x （B ）}03|{<≤-x x （C ）}30|{≤

（A ）正实数 （B ）0 （C ）非负实数 （D

3. 4

1(1)(1)x x

++的展开式中含3

x 的项的系数为（ ）

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 4．按右图所示的程序框图运算,若输入2=x ， 则输出k =（ ）

（A ）28 （B ）29 （C ）30 （D ）31

5.在ABC ?中，设命题B

c

A b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ?:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

6．在[

2,21]上，函数与函数q px x x f ++=2)(21

2)(x

x x g +=在同一点处取得相同的最小值，那么函数)(x f 在[2,2

1

]上的最大值是（ ）

（A ）4

13

（B ）4 （C ）8 （D ）45

7．设函数]2

,2[,π

πβα-

∈，且0sin sin >-ββαα，则下列不等式必定成立的是（ ）

（A ）βα> （B ）βα< （C ）0

>+βα1

2

x x >

（D ）2

2βα>

8．已知函数()f x ={

0|,|ln ,1e x x e

x e x ≤<>++-，若实数a ，b ，c 满足),()()(c f b f a f ==且c b a <<，则abc 的取

值范围是（ ）

（A ）（e ，e+1） （B ）（0，e ） （C ）（1，e ） （D ）（1，e+1） 9．由数字1，2，3，4组成的五位数

54321________

__________a a a a a 中，任

意取出一个，满足条件；“对任意的正整数)51(≤≤j j ，至少存在另一个正整数

),51(j k k k ≠≤≤且，使得k j a a =”的概率为 （ ）

（A ）

2561 （B ）256

31

（C ）6415 （D ）1

10．双曲线122

22=-b

y a x 的左右焦点为21,F F ，P 是双曲线上一点，满足||||211→→=F F PF ，直线PF 1与圆

222a y x =+相切，则双曲线的离心率e 为 （ ）

（A ）3 （B ）

3

3

2 （C ） 35 （D ）45

第II 卷(共100分)

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．若4

sin ,tan 05

θθ=->，则θ2tan = ▲ . 12．设,a b 是两个非零向量，且||||a b ==||a b +=2 ，

则|a b -|= ▲ ．

13. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 ▲ . 14．随机变量ξ的分布列如下：其中c b a 23,

2,成等差数列，若4

1

=ξE ，则D ξ的值是 ▲

15．现用4种颜色给三棱柱的6个顶点涂色，要求同一条棱的两端点的颜色不同，问有 ▲ 种不同的涂色方案。

16．由约束条件

{

2

240

,0+≤-≥≥≥kx y x y y x 确定的可行域D 能被半径为2的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是 ▲ ．

17．如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中,设M 是△1A BD 内任一点（不包括边界）

， 定义()(,,)f M m n p =，

其中m 、n 、p 分别是三棱锥1M ADA -、三棱

锥1M ABA -、三棱锥M ADB -的体积．若

1()(,,)12f M x y =,则2

221118+---x xy xy

x 的最小值为

▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在ABC ?中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知已知

a b B A =cos cos ，且3

2π

=∠C 。 （1）求角B A ,的大小；

（2）设函数)2

2cos()2sin()(C

x A x x f -++=，求函数)(x f 在]4,8[ππ-上的值域。

19．（本题满分14分）

如图，在Rt AOB △中，π

6

O A B ∠=

，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得

到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（II ）D 为AB 上一点，当AD=DB 2

1

时，求异面直线AO 与

CD

1

D

1

1

A

D

所成角的正切值；

（III ）求CD 与平面AOB 所成最大角的正切值． 20．（本题满分14分）

已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(2+∈-=N n a S n n （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）定义

∑=-+=20

1

1

)(i k i i a a k f （这里规定),,,,1939222121a a a a a a ===

20,,3,2,1 =k ，求)(k f 的最小值。

21．（本题满分15分）

设椭圆C 1：22

154

x y +=的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：)

0,0(2>>-=n m n mx y 与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．

（Ⅰ）求抛物线C 2的方程； （Ⅱ）设M （0，4

5

-

），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ?面积的最大值．

22．（本题满分15分）

设函数x

e x x

f 1)(-=的定义域为（0，∞+）。 (第21题)

（1）求函数)(x f 在)0](1,[>+m m m 上的最小值；

（2）设函数)

(1

)(x f x g =，如果21x x ≠，且)()(21x g x g =，证明：221>+x x 。

2012高考最后五天冲刺黄金卷：数学理4

参考答案及评分标准

一、选择题: 本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，共50分． （1）D （2）C （3）B （4）A （5）C （6）B （7）D （8）A （9）B （10）C

二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题4分，共28分．

（11）724-

（12）23 （13）12+3 （14）16

11 （15）264 （16）2

1

≤k （17）8

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. （本题满分14分） 解：（1）因为

a b B A =cos cos ，由正弦定理得A

B

B A sin sin cos cos =，即B A 2sin 2sin =………2分

所以，A=B 或A+B=2π（舍去），32π=∠C ，则6

π==B A ………4分 （2）)2

2cos()2sin()(C

x A x x f -++=

=)32cos()62sin(ππ-++x x =)262cos()62sin(πππ-+++x x =2)6

2sin(π

+x ……8分

因为∈x ]4,8[ππ-，则3

26212π

ππ≤+≤-x ，

而正弦函数x y sin =在]2

,12[π

π-上单调递增，在]32,2[ππ上单调递减。 ……11分 所以，函数)(x f 的最小值为)12

(π

-

f =

,2

6

2-最大值为)2(πf =2。

即函数)(x f 在]4

,8[π

π-

上的值域为]2,2

6

2[- …………14分 19．（本题满分14分） 解法一：

（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，

又二面角B AO C --是直二面角， ………2分 CO BO ∴⊥，又AO BO O =，

CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ?平面COD ．

∴平面COD ⊥平面AOB ． ………4分 （II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角． ………6分

在Rt COE △中，2CO BO ==，1

12

OE BO =

=， 3

10

222=

+=∴OE CO CE ． 又3

3

432=

=

AO DE ． ∴在Rt CDE △中，6

30

tan ==

∠DE CE CDE ． ∴异面直线AO 与CD 所成角的正切值为

6

30

． ………9分 （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，

CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2

tan OC CDO OD OD

=

=． 当OD 最小时，CDO ∠最大， ………11分 O

C A

D

B

E

这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OB OD AB =

=，tan CDO = CD ∴与平面AOB 所成最大角的正切值为

3

3

2．………14分 解法二：

（I ）同解法一．………4分

（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O

，，，

(00A ，，(200)C ，

，，)33

4,32,0(D ，………

6分 (00OA ∴=，，)3

3

4,32,2(-=→

CD ， cos OA CD OACD OA CD

∴<>=

，=

22

32

则><→

→CD OA ,sin =

22

10， ><→

→

CD OA ,tan =

6

30

．

∴异面直线AO 与CD 所成角的正切值为

6

30

． ………9分 （III ）同解法一 ………14分 20．（本题满分14分） （1）因为)(2+∈-=N n a S n n ，所以11=a ，

当2≥n 时，112---=n n a S ，所以1-+-=n n n a a a ，12

1

-=n n a a 。 所以1

)

2

1(-=n n a ………4分

（2）由题设得，1201222021122111)(----+-++++++=k k k k k a a a a a a a a a a k f …6分

17

21391

1

2

12

12

12

12

1+--+-+

++

+

++

=

k k

k

k k

=)222(23)12(422

41

20k k +?- ………10分 由函数x x x g 222)(+=的性质可知，当k=11时，)(k f 取到最小值19

2023)

12(4?-。…14分

21．（本题满分15分）

x

解：（1）由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故n =1． 又F 1（-1，0），F 2（1，0），故m =1．

所以抛物线C 2的方程为： 21y x =- …………5分 （2）设N （2,1t t -），

由于'2y x =知直线PQ 的方程为：

2(1)2()y t t x t --=-．

即221y tx t =--． ……………………………7分 代入椭圆方程整理得：

222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,

222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ?=+-++-=4280(183)t t -++,

21225(1)15t t x x t ++=+ , 22122

5(1)20

4(15)

t x x t +-=+,

故12PQ x =-=

=． ………………………………10分 设点M 到直线PQ 的距离为d ，

则d =

=

…………………12分

所以，MPQ ?的面积

S 12PQ d =

?21

t +

=

=

=

≤=………………14分 当3t =±时取到“=”，经检验此时0?>，满足题意． 综上可知，MPQ ?

的面积的最大值为5

． …………………………15分 22：（本题满分15分）

解：（1）2

'

)(x

e xe x

f x x -=，则1>x 时，0)('>x f ；10<

此时m

e m

f x f m

==)()(min

；

当10<

考察函数x xe x g -=)(，x e x x g --=)1()('

所以g(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。（结论1） 考察函数F(x)= g (x)-g(2-x),即2()(2)x x F x xe x e --=+- 于是22'()(1)(1)x x F x x e e --=--

当x>1时，2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以'

(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)=-1

-1

e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （结论2）

………………………9分

若0)1)(1(21=--x x ，由结论1及)()(21x g x g =，得121==x x ，与21x x ≠矛盾； 若0)1)(1(21>--x x ，由结论1及)()(21x g x g =，得21x x =，与21x x ≠矛盾；

………………………11分

若,0)1)(1(21<--x x 不妨设1,121>g(2-2x )，所以

)()(21x g x g =>g(2-2x )。

因为21x >，所以221x -<，又由结论1可知函数g(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以1x >22x -,即12x x +>2. ………………………15分