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南京金陵中学2010届高三学情分析样题

南京市金陵中学2010届高三学情分析样题

数学试题

注意事项：

1.本试卷共4页，包括填空题（第 1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本

试卷满分为160分，考试时间为120分钟. 2 ?答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内?试题的

答案写在答卷纸.上对应题目的答案空格内?考试结束后，交回答卷纸.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分?请把答案填写在答卷纸相应位置上. 1.设集合 A = {x|x w 1} , B = {x|x >- 2}，贝U A n B = ______________

1 对3

3. ________________________________________________ 函数y =尹n2x — ~^cos2x 的最小正周期是 _______________________________________________ .

4. 为了解某校高中学生的视力情况，对该校学生按年级进行分层抽样调查，已知该校高一、

高二、高三分别有学生 800名、600名、500名，若高三学生共被抽取 25名，则高一年

级应被抽取的学生数为 ____________ .

5. ________________________________________________ 如果lg m + lg n = 0,那么 m + n 的

最小值是 _______________________________________________ .

6. 设a € { — 1, 0, 1, 3} , b € { — 2, 4}，则以（a , b ）为坐标的点落在第四象限的概率为

2.计算:

1+ i C 的离心率为 9.

以椭圆C的短轴为直径的圆经过该椭圆的焦点，则椭圆

S15

10.若等差数列{a n}的前n项和为S n, a8= 2a3，贝U &的值是

17.

11.在△ ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为

a 、

b 、

c ,若a = 5,

b = 7, cosC = 5 则角 A

的大小为 12.已知A （- 3, 0）, B （ 0,西）,O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且/ AOC = 60 ° OC = QA + OB ，则实数入的值是 1 13 ?把数列｛亦｝的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第 k 行有 2k -1

个数, 第 k 行的第 s 个数（从左数起）记为

1 1

4 6

1 丄丄丄 8 10 1

2 14 1 1 1 1 1

16 18 20 22 24 1 （k , s ），贝y 莎0可记为 ________ （第13题

图）

14. 函数f （x ）是定义在［-4, 4］上的偶函数，其在［0, 4］上的图象如图所示，那么不等式 v 0的解集为_ 、解答题：本大题共把答案写在答卷纸 6小题，共计90分?解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤?请相应位置上. 15. （本题满分14分） 5 已知 sinx = 13, x €

n n ，求 cos2x 和 16.

（本题满分14分）如图，四棱锥P — ABCD 中，四边形分别为PC 、BD 的中点. 求证：（1） EO //平面PAD ;

（2）平面PDC 丄平面PAD .

f(x)

cosx

ABCD 为矩形，平面 FAD 丄平面 ABCD ，且 E 、O （本题满分14分）

某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是

P （亿元）和Q （亿元），它们与投

资额t (亿元)的关系有经验公式

P = 1 ；3t , Q = gt .今该公司将5亿元投资这两个项 6勺 8

目，其中对甲项目投资 x (亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为 y (亿元).

求：(1)y 关于x 的函数表达式；

(2)总利润的最大值.

18. (本题满分16分)

已知直线 l i ： 3x + 4y — 5= 0,圆 O : x 2 + y 2= 4.

(1) 求直线l i 被圆O 所截得的弦长；

(2) 如果过点(一1, 2)的直线12与l i 垂直，12与圆心在直线 x — 2y = 0上的圆M 相切, 圆M

被直线11分成两段圆弧，其弧长比为

2 : 1，求圆M 的方程.

19. (本题满分16分)

、， 1 12

已知：在数列｛a n ｝中，a 1=匚，a n+1 = ~an + n +1 .

4 4 4

(1 )令b n = 4n a n ，求证：数列｛b n ｝是等差数列；

(2)若S n 为数列｛a n ｝的前n 项的和，S n + Ana n >9对任意n € N 恒成立，求实数入的最小

值.

20. (本题满分16分)

设函数 f(x)= -x 3— mx 2+ (m 2 — 4)x , x € R .

(1) 当m = 3时，求曲线y = f(x)在点(2, f(2))处的切线方程；

(2) 已知函数f(x)有三个互不相同的零点 0, a, 3,且a< 3.若对任意的x € [ a,耳, 都有f(x)>

f(1)恒成立，求实数 m 的取值范围.

参考答案

说明：

本解答给出的解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 只给整数分数，填空题不给中间分数.

1. 2. 3. 4.

、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1. {x|—2< x< 1}

2. 1 + i

3. n

4. 40

5.2 6

4.2n1 7. 48 8. 39. ~2-10. 6 11. 4 12.31 4

13. （10, 494）

14 . （— 2,

— 1）

U （ 1 ,才

6分

二、解答题（本大题共 6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 119 面° n ，所以 cosx —p 1 —（希2=- 13 .............. ....................... 15 .解：cos2x = 1 — 2si n 2

x = 1 — 2 x 因为 sinx = 13, x € （n sinx 5 贝y tanx = =— . cosx 12 n tanx +1

所以 tan （x+：）= 4 1 — tanx

16 . （1）证法一：连接AC . 因为四边形ABCD 为矩形，又因为点E 为PC 的中点，因为PA 平面PAD , EO

所以所以 /平面 AC 过点O ,且O 为AC 的中点. EO//PA .…

PAD ，所以 EO // 面

PAD . 10分 14分

证法二：取 DC 中点F ，连接EF 、OF . 因为点E 、O 分别为PC 和BD 的中点，所以在矩形 ABCD 中，AD//BC ，所以 OF//AD .

因为 OF /平面PAD , AD 平面PAD ，所以同

理，EF//平面PAD . 因为 OF A EF = F , OF 、EF 平面 EOF , 所以平面EOF//平面PAD .......... .................... 因为EO 平面OEF ，所以EO //平面分别取

PD 、AD 中点M 、N , EF//PD , OF//BC . OF//平面 PAD . 证法三: PAD . 连接

因为点 EM 、ON 、MN . 1 1 E 、O 分别为PC 和BD 的中点，所以 EM J -CD , ON J ?AB . ABCD 中，AB J CD ，所以 EM J ON .

在矩形所以四边形EMNO 是平行四边形?所以 EO//MN ...... .................................................. 因为 MN 平面FAD , EO /平面PAD ，所以 E0//面PAD . ............................ （2）证法一：因为四边形 ABCD 为矩形，所以 CD 丄AD . ............................................. 因为平面 PAD 丄平面 ABCD ，平面PAD 门平面 ABCD = AD , CD 平面ABCD , 所以CD 丄平面PAD ..... .............................................................................................. 又因为CD 平面PDC , 所以平面 PDC 丄平面 PAD . ................................................................................. 证法二：在平面 PAD 内作PF 丄AD ，垂足为 F . 因为平面 PAD 丄平面 ABCD ，所以PF 丄平面 ABCD . 因为CD 平面ABCD ，所以PF 丄CD . .................................. 因为四边形 ABCD 为矩形，所以CD 丄AD ... ............................................................. 因为PF A AD = F ，所以 CD 丄平面 PAD . ............................................................ 又因为CD 平面PDC , 所以平面 PDC 丄平面 PAD . ................................................................................... 12分 14分

9分 11分 12分 14分 1 __ 1

17.解：（1）根据题意，得 y = 6 3x + 6（5 —

x ）,

x €[0, 5]. ............

（注：定义域写成（0, 5）不扣分）

15分

(2)令 t=J37, t €[ 0，仲],则 x = 3,

y =—

￡+e t + 5 =—

24(t

— 2

)2+畀

因为2€ [0, 15],所以当? j3x = 2时，即x = 3时，y 最大值=—

3 2

4 13分

答：总利润的最大值是曇亿元.

18 . (1)解法一：圆心 O 到直线l 1的距离d =

| 3 X 0+

+-0^ = 1,

^32+ 42

圆O 的半径r = 2, ..................................... 所以半弦长为.22 —12=

3. .................

故直线11被圆O 所截得的弦长为2 3.

综上，所求圆M 的方程为：(x — 3)2 + (y —1)2= f 或x 2 + y 2= 4. 1 2

19. 解：(1)由 a n+1 = ：a n + 4*+1,

10分

14分

解法二：解方程组X 2

+ $= 4

直线11与圆o 的交点是（3+； 3

3+ ^3 x

= 厂

4 — 3

4— 3..3、 /3— 4,3 )， 3 — 4 3

=厂， 4

+ 3、. 3 y =.

4+ 3 3)

5). 故直线11被圆0所截得的弦长 2 .3.

3+ 43— 3— 4； 3)2+( 4 — 3*3_4 + 3.3 ”55 5

（2）因为过点（一1, 2）的直线12与11垂直，直线11的方程为3x + 4y — 5 = 0,

所以直线12的方程为：4x — 3y + 10= 0 .

设圆心M 的坐标为（a , b ）,圆M 的半径为因为圆M 与直线12相切，并且圆 M

被直线

I 4a — 3b + 10| | 3a + 4b — 5| 1 所以 5 =R ，

= 2R .

所以 l

4a —

3b +

型=2 x

|3a + 4b — 5

R ,贝U a — 2b = 0.① 11分成两段圆弧，其弧长比为 2 ： 1, 5

可得 4a — 3b + 10= 2X (3a + 4b — 5)或 4a — 3b + 10=— 2X (3a + 4b — 5). 即 2a + 11b — 20= 0,② 或 2a + b = 0 .③ 由①、②联立，可解得所以R= ￥ .故所求圆由①、③联立，可解得所以R = 2 .故所求圆

8^4

a = 一，

b = _.

3 3

M 的方程为(x — p 2

+ (y — 3)2

=晋 . ....

a = 0,

b = 0.

M 的方程为 x 2 + y 2= 4. ................

12分

16分

11 11

所以丁，所以入的最小值为--. .......................................................

9 9

得 4n+1 a n+1 = 4n a n + 2. ...............................................

所以 b n+1 = b n + 2, 即 b n+1 一 b n = 2 .................................

........................ 故数列｛b n ｝是首项为1,公差为2的等差数列. ......... (2)因为数列｛b n ｝是首项为1,公差为2的等差数列，所以 b n = 1 + 2 (n — 1 )= 2n — 1 . 2n — 1 因为 b n = 4n a n , 所以a n 4n 2n — 3 4 n —1 + 2n — 1 4n

44 +…+ 2n — 3 2n —

4n +1 1

2n — 1

)—

74^1

所以因为所以

了(1—

2n —

4n +1

S1= 9

f X 4 n -

1 1

2n — 1 乂丄

厂4^

S n + ?na n >9对任意 n € N *恒成立, 11分

2n — 1 即 “ 8 X n (2n — 1)

因为n > 1,

1 n ( 2n — 1) 3 %盯+入><

>詈对任意n € N *恒成立.

N *恒成立.

12分

所以即n ( 2n — 1)

W 8,当且仅当n = 1时取等号.

n = 1时取等号.

所以 8X n (2n — 1)

1 + 3n

W ￥，当且仅当

n = 1时取等号. 15分 16分

20. 解：(1)当 m = 3 时，f(x)= §x 3— 3x 2 3 + 5x , f '(x) = x 2— 6x + 5. 当 x €( m — 2, m + 2)时，f '(x)v 0, f(x)在(m — 2, m + 2)上是减函数；

当 x €( m + 2,+s )时，f '(x) >0, f(x)在(m + 2,+^)上是增函数. ....................... 9 分

因为函数f(x)有三个互不相同的零点 0, a, 且f(x) = 3x[x 2— 3mx + 3(m 2—

4)],

当 m € ( — 4，— 2)时，m — 2 v m + 2v 0，所以 aV m — 2 v 3< m + 2v 0. 此时f( a)= 0, f(1) >f(0) = 0,与题意不合，故舍去;

当 m € ( — 2, 2)时，m — 2< 0< m + 2,所以 a< m — 2 < 0< m + 2< 3- 因为对任意的x € [ a, 3，都有f(X )》f(1)恒成立，所以a< 1 < 3 所以f(1)为函数f(x)在［a, 3上的最小值.

因为当x = m + 2时，函数f(x)在［a, 3上取最小值，所以

m + 2= 1，即m =— 1;

当 m € (2, 4)时，0< m — 2< m + 2，所以 0< a< m — 2< m + 2< 3 因为对任意的x € ［ a, 3，都有f(X )》f(1)恒成立，所以a< 1 < 3 所以f(1)为函数f(x)在［a, 3上的最小值.

因为当x = m + 2时，函数f(x)在［ a, 3上取最小值，所以m + 2= 1,即m = — 1 (舍去). 15分

综上可知，m 的取值范围是{ — 1} . ........................................................................... 16分解法二：f '(x) = x 2 — 2mx + (m 2— 4),令 f '(x)= 0,得 x = m — 2 或 x = m + 2. ................. 6 .............................................................................................................................................. 分所以，当 x €( — g, m — 2)时，f (x)>0, f(x)在(一g, m — 2)上是增函数；当 x € (m — 2, m + 2)时，f '(x)< 0, f(x)在(m — 2, m + 2)上是减函数；

当 x €( m + 2,+g )时，f '(x) >0, f(x)在(m + 2,+^)上是增函数. ....................... 9 分当 a< 3< 0 时，必有 a< m — 2 < m + 2< 0，则当 x € ［ a, 3 时，f(x)的最小值是 f(a)= 0 . 此时f(1) > f(0)=0=f( a ，与题意不合，故舍去；

当 a< 0< 3时，则有 a< m — 2< 0< m + 2< 3 此时 3(m 2 — 4)< 0，即一2< m < 2. 因为对任意的x € ［ a, 3，都有f(X )》f(1)恒成立，所以a< 1 < 3 所以f(1)为函数f(x)在［a, 3上的最小值.

又函数f(x)在［ a 3上的最小值就是极小值，所以 f ' (1) = 0,得m = 3 (舍去)或 m =—

1 ；

(3m)2— 12(m 2— 4) > 0,

当 0< a< 3时，则有 0< a< m — 2< m + 2< 3 此时 3m >0,

3(m 2 — 4) > 0. 解得 m € (2, 4). 因为对任意的x € ［ a, 3，都有f(X )》f(1)恒成立，所以a< 1 < 3 所以f(1)为函数f(x)在［a, 3上的最小值.

又函数f(x)在［ a 3上的最小值就是极小值，所以 f'(1) = 0,得m = 3或m =— 1 (舍去).

2 2

因为f(2) = 3, f'(2) = — 3，所以切点坐标为(2,-),

3 3

切线的斜率为一3 .............................................................

y — 3= — 3(x —2)，即 9x + 3y — 20= 0. ...................

(2)解法一：f (x)= x 2— 2mx + (m 2 — 4)，令 f '(x)= 0，得 x = m — 2 或 x = m + 2.

当 x €( — g, m — 2)时，f '(x) >0, f(x)在(一^, m — 2)上是增函数；

则所求的切线方程为所以

(3m)2— 12(m 2— 4) >

0, 3(m 2— 4)工 0. 解得m € (— 4, —2) U (— 2, 2)U (2, 4).

又因为当m = 3时，f(1)为极大值，与题意不合，故舍去. ..................... 15分综上可知，m的取值范围是{ —1} . ........................................................................... 16分又因为3n