把握数学本质 实现有效教学

把握数学本质实现有效教学

摘要：在讲解二项式定理中的一个例题时，从给出的解法中发现，学生还不会运用已学过的知识，或者想不到运用二项式展开式通项公式解决问题，这一现象非常普遍。本文通过分析三个普遍存在的教学设计，结合中职生的现状，认为立足数学基础，把握数学本质，可以达到数学课有效教学的目的。

关键词：职校数学立足基础有效教学

一、问题的提出

1.解题讲解

（中职数学教材拓展模块3.2二项式定理）例3求的二项展开式的常数项。

教材解答过程：

解：由于，

故，解得m=5。

所以二项式展开式中的第5项是常数项，

为

2.讲解例题时学生的情况

在讲解例题时，一部分学生无从下手，一部分学生对看上去十分复杂的题目（10次方，以前从来没见过！）吓得不敢尝试。小部分学生想到按照二项式展开式将其展开，可

是就是没有学生想到用二项式的通项公式这种最“简单的方法”来解题。

3.评析

如此多的学生想不到应用刚刚讲过的二项式通项公式（），原因何在？教师是如何讲授公式的？学生是如何记忆公式的？所采用的方法是否有效？笔者认为有必要弄清楚以上的问题，有利于在以后的教学中采取有针对性的措施和方法，切实提高公式的学习效率。

二、普遍使用的教学设计

1.设计1

教师引导学生阅读教科书，并提出两个问题：一是观察（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展开式系数有什么规律？二是尝试写出（a+b）n的展开式，写出展开式的第m+1项，即通项公式讲解例1、例2、例3。

2.设计2

教师板演分别将（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4展开，利用初中接触过的“杨辉三角”观察展开式系数的规律，给出（a+b）n的展开式和第m+1项。

评析：这两种设计都是定位于公式的学习与应用，教师引导学生努力分析和总结公式的规律，寻找好的记忆技巧，追求灵活运用等解题能力的提高。但记忆技巧的形成要建立在学生对公式本质深刻认识的基础上，不然，随着时间

的推移学生就很容易淡忘，久而久之留在学生头脑中的只是模糊而不准确的公式。另外，如此设计虽然节省了新课的讲授时间，也能落实本节教学的知识目标，但与新课程所倡导的启发、探究、经历、体验理念相去甚远，而且从长远角度讲对学生全面提高数学素质的培养必然产生不利影响。这两种教学设计，除了给学生感觉数学公式真奇妙，教师真聪明以外，没有其他功效可谈。反思问题所在，教师对教材理解不透彻，没有真正体会教材的设计意图。这种设计笔者认为不值得提倡。

3.设计3

一是教师引导学生尝试（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展开，思考去括号的运算的本质是什么？与组合有什么联系？让学生通过非常熟悉的平方、三次方、四次方的展开过程，体会去括号的本质是什么（组合的过程），引导学生把展开的过程与组合的计算建立联系；二是探索是否可以利用组合思想尝试展开（a+b）4，（a+b）5，这一过程是让学生把刚刚的想法进行运用和验证，同时加深二项式展开与组合知识的联系；三是探索是否可以直接写出（a+b）6，展开式的各项的系数？四是总结展开式各项系数规律；五是尝试展开（a+b）n；六是写出第m+1项。

评析：这种设计基本源于教材。设计路线图是尝试―探究―验证―探究―验证―总结。注重公式推导过程，对公

浅谈初中数学教学反思

浅谈初中数学教学反思 教学反思就是对过去的教学设计、教学过程和教学行为进行重新思考。作为教师在教学一节课或经历了一个阶段的教学后，只有不断进行教学反思，才能不断调整教学设计，不断积累经验，从而不断提高自己的思想素质、教学水平和教学效率。 教学反思应有“教”的反思和“学”的反思两个方面，仅就教师的教学反思而言，按教学的进程，教学反思应分为教学前、教学过程、教学后三个阶段。就学生的“学”的反思，主要是作业反思及测后反思。测后反思就是在测验之后，根据学生测验的成绩和答卷情况，审视测验范围内教学的得失。作业反思就是要求学生针对做题中遇到的困难，反思课堂、课中、课后的学习行为。它是有效讲评的前提。深刻反思、重视讲评是全面实现测试功能的关键环节。 下面我就如何做好“教学”反思谈谈几点做法。 一．教学前反思 对于每一节教材内容教学之前进行反思，能使教学成为一种自觉的实践。因此课前在领会《新课程标准》的精神之下，认真钻研教材,理解教材的编排意图,根据以往已获得的经验，学生的具体情况，对自己的教案及设计思路进行反思，这样所写的教案能更符合学生的心理特征，更贴近学生的实际情况，使学生感受到学习数学的乐趣，把“以学生为本”这一新的教学理念渗透于教学的过程中。如在“地砖的铺设”、“图标的收集”、“打折销售”、“平行投影”等的授课中，要求学生在网上或在回家的路上或从行驶的车辆上面去收集一些图案和图标、走入商场去了解一些商品如何通过打折销售进行促销、在太阳光下观察实物投影的形状等等，让学生走出课堂去学习，体会数学与生活的密切联系，培养学生的学习兴趣。 在教学前注意生活题材，创设的问题情境贴近学生的实际，让学生人人参与，如：探究“如何测量旗杆”时，有的学生想到用记标志的方法量升旗拉绳，从而得到旗杆高度，有的想到用立小棍及阴影和旗杆及阴影的比例关系求解，有的想到把升旗绳拉成斜线后构成直角三角形求解等。教学中与学生探索各种方法的优点及局限性，并选用其中的一种方法承接到本节课的教学目标中来。问题从开放到归纳，从易到难，从生活到教材，由教师引领到学生自己探索思考，充分感受到生活中数学的趣味和意义，体现出学生学习的自主性和积极性，问题情景的设置符合学生的生活实际，学生思维不经意中展开，让学生感受到了数学学习的趣味。 上课前，认真地对教学思路、教学方法的设计、教学手段的应用做了充分的反思。经过课前的反思与调整，使教学内容及方法更适合学生，从而使学生真正成为学习的主体。 二．教学过程的反思 在教学中进行反思，即及时、自动地在行动过程中反思，这种反思能使教学高质高效地进行。古人云“智者千虑，必有一失”。尽管课前对教案作了精心的设计，仍会存在有些课前没有考虑到的因素，课堂教学中仍会有突发事件产生。这时如果教师觉得学生未按自己设计的思路走，便强行打断，急于推出自己的思路，会造成学生思维能力得不到发展，又因心中的疑问没有解决，必定影响下面的听课，久而久之学生参与的热情会降低，学生会出现上课能听懂，作业不会做的现象发生，没有主见，更谈不上创新，失去个性，只会被动接受。如：对反比

教育的本质是什么

教育的本质是什么 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

教育的本质是什么 教育的本质是什么教育的本质是促进人类生命个体健康成长，实现生命个体由自然人向社会人的高度转化。教育应该是踏踏实实做事，是对生命的涵养。教育不是挖掘分数的机器，不是升学的工具，不是谋取职位的阶梯，而是丰富自我、提升自我、完善自我的载体。 学校应该给学生什么应该给学生幸福的人生，生活的质量和生命的质量。所以我们坚持对下负责就是最好的对上负责的原则，对学生负责就是最好的对上级负责。这个观点提出后，引起很多人不理解。可我们就是这样定位的。所以我们从校长到老师都应该想大事，做小事。想大事就是不要只盯着我们的课堂，只盯着自己一所学校，应该胸怀天下，把我们的教育和社会的发展联系起来，和国家民族的命运联系起来，这样我们再做起事来才不至于坠入教育应试或者是功利主义的泥潭。 现在的教育不是如何创新的问题，而是如何回归的问题。教育要回归于生活，回归于农业，回归于儿童，回归于游戏。教育回归于生活：这一个观点是陶行知先生的。当前的教育不是如何创新的问题，而是应该回归，要回到教育的本源。 教育回归于农业：每一个学生就像一粒种子，他可能是一棵大树的种子，也可能是一个玉米的种子，或许是一个小麦的种子，学校能给这个生命的只有温度、湿度、养分……要按学生的发展需要去引

导、积淀，循序渐进地涵养，然后根据他所处的环境、经历，不断提高自己的追求，慢慢的寻找适合自己的道路，活出自己的尊严，活出自己的精彩。我们不追求每个学生都成才，但我们希望每个学生都幸福。教育回归于儿童：将课堂还给学生，让孩子生活在他自己的世界里，我们整个课程的设计都力争做到体现这一理念。教育回归于游戏：我们设计了栏目教学，使原来沉闷的课堂活跃了，孩子们非常喜欢。 经典点评：当前，由于缺少对“教育的本质是什么”、“学校应该给学生什么”的追问，导致很多人对教育改革感到非常迷惘，只能跟着上级的指挥棒转，没有了方向感。只有站在较高的理论层面上对教育的终极价值进行哲学思考，才能破解当前的理论困境。现在，知识经济全球化的趋向势不可挡，在这种情况下，培养具有“中国情怀、世界眼光”的一代新人是教育人义不容辞的责任，我们只有胸怀这样的历史担当，把教育与民族命运联系起来，带着这种厚重的历史责任感，才会有投身教育改革的自觉意识。读懂了“四个回归”，我们对学生种种表现也就能够“接纳”了。

小学数学有效教学方法大全

小学数学有效教学方法大全 总结知识点有利于学生做好知识的巩固与梳理工作，练习题的归纳则是让学生对于不同题目的不同解题思路和技巧有一个更明确的认识。而学生在总结的过程中能不断提升自己的概括能力，这也是数学思想方法渗入到学生思维中的一个良好的表现与结果。一起来看看小学数学有效教学方法大全，欢迎查阅! 小学数学有效教学方法大全1 一、解读各种数学思想方法，提高小学数学教师的数学素养 教师是落实数学思想方法的实施者，教师对数学思想方法的理解程度直接影响这一教学目标的有效落实。因此，教师首先要认真研读小学阶段所涉及的各种思想方法的内涵。 教师深刻理解了各种数学思想方法的内涵，在课前预设时把数学思想方法的渗透作为重要的教学目标，是小学生理解、掌握数学思想方法的前提。 二、在教学设计时，有意识地挖掘教材中蕴藏的数学思想方法 教材体系有两条基本线索：一条是数学知识，这是明线，另一条是数学思想方法，这是蕴含在教材中的暗线。《数学课程标准》在教材编写建议上，要求根据学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点，一些重要的数学概念与数学思想方法采取逐步渗透编排的，以便逐步实现学习目标，为此，在小学数学教材中根据不同年级蕴含着不同的数学思想方法。

小学生在解决问题时，往往要渗透“从有限中认识无限，从精确中认识近似，从量变中认识质变”的极限思想。四年级教材中“直线、射线和角”的知识点，就蕴含极限的思想：射线只有一个端点，可以向一端无限延伸;直线由无数点组成，但没有端点，可以两端无限延伸;角的两边可以无限延长，角的大小与角的两边画出的长短无关。 总之，数学思想方法总是隐含在各知识版块中，体现在应用知识的过程中，没有不包括数学思想方法的知识，也没有游离于知识之外的思想方法，教师在教学时要研究教材，遵照《教师教学用书》的教材编写要求中“有步骤地渗透数学思想方法，培养学生思维能力和解决问题的能力”的意见，认真备课，努力挖掘教材中进行数学思想方法渗透的各种因素，按章节及知识板块考虑应渗透哪些，怎样渗透，渗透到什么程度，并列为教学目标，使渗透成为有意识的教学活动。让学生理解并初步掌握数学思想方法，不仅有利于提高他们用数学解决问题的能力，同时也可使他们感受到数学思想方法的作用，受到思维训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识，学生掌握了思想方法将终身受益。 三、小学数学教学应如何加强数学思想方法的渗透 (一)提高渗透的自觉性 数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学

对思想政治教育本质的认识_邓艳葵

光明日报/2010年/7月/14日/第011版 理论综合 对思想政治教育本质的认识 西南大学邓艳葵 思想政治教育作为人类的一种普遍存在的实践活动在世界各国早已存在,但关于什么是思想政治教育本质问题,却至今仍然是学界追问的热点。我们认为,认识和把握思想政治教育本质主要基于如下尺度:一是事物本质的理论的规定。二是思想政治教育是一项特殊的实践活动的规定。首先,思想政治教育是构建在“人”基础之上的一项社会实践活动。其次,思想政治教育本质由其所处的社会关系地位和其内在规定性决定。作为一项特殊的实践活动,思想政治教育主要是为宣传和传播统治阶级的思想,维护统治阶级的根本利益,促进社会的有序和谐发展和稳定服务的,是思想的上层建筑的一个重要内容。从这个意义上说,思想政治教育本质内含了政治性,成为它自己的并区别其他实践活动的本质属性。另外,一定社会发展要求同人们实际的思想政治道德水平这一思想政治教育内在的特殊的矛盾运动也要求我们在认识和把握思想政治教育本质时必须充分加以考虑。 根据上述尺度,我们对思想政治教育本质进行了概括和抽象,认为“思想政治教育本质就是一种改造人的思想政治品德的精神生产实践活动”。具体解读如下: 第一,从人类社会生产关系及其相互关系看,思想政治教育是一种精神生产。首先,在人类社会生产整体系统中思想政治教育是一种精神生产,它为物质生产和人类自身生产提供精神动力和智力、理论支持。马克思主义认为,人类社会生产包括物质生产、精神生产和人类自身生产三种基本形式。这三种生产形式相互作用、相互促进、相互影响。其中,精神生产是人们一定的物质生产方式的反映,它为物质生产和人类自身生产提供精神动力和智力、理论支持,既引导着物质生产的方向,又指导物质生产的组织和管理。思想政治教育作为社会科学中的一个学科,它的主要任务是塑造人的灵魂,提高人的品德,净化人的思想,建设人的精神家园,它在社会科学中起着核心和基础性的作用。同时,作为一种脑力劳动,思想政治教育劳动的对象是人的内心精神世界,劳动的产品是精神产品,即存在于受教育者头脑和心灵的内在的精神状态,所以思想政治教育是一种精神生产。其次,从物质生产力构成要素所起的作用看,思想政治教育是一种精神生产。众所周知物质生产力由劳动者、劳动对象和劳动资料三个要素构成,而其中劳动者是最具能动性的要素,是促进生产力发展的核心要素。思想政治教育通过规范、调整、转化、提升劳动者的思想品德,使劳动者的素质得到发展和提高,从而更有效地利用劳动工具改造劳动对象,在生产力中起着一种“精神动力”作用,或者说,它是生产力中的精神力量因素。因此,“精神生产”是思想政治教育现象中最一般、最普遍、最稳定的属性,是思想政治教育现象的类本质,这符合事物本质理论的第一个尺度。有学者把意识形态性作为思想政治教育现象的类本质,从而进一步认为意识形态性是思想政治教育本质。其实,思想政治教育具有意识形态性和非意识形态性两个方面的性质,若单把意识形态性作为思想政治教育现象的类本质是不够全面的。 第二,从思想政治教育作为一种精神生产所具有的现实性看,思想政治教育不仅是一种精神生产,而且是一种实践活动。首先,思想政治教育作为一种精神生产,不是单纯的头脑风暴,而是意识活动的高级阶段,是创造精神产品的过程,它为世界呈现出精神产品,从而使意识获得物质载体(人们的思想、理论表达在纸张或光磁等物质载体或通过主体物质身体的一些客观行为表现出来),具有了客体的性质,并成为一定群体或者整个人类的共同财富。其次,思想政治教育作为一种精神生产,其现实性不仅体现在形式上,而且体现在内容上。因为思想政治教育作为精神生产,所生产的精神产品在公开和传播的过程中,丰富、影响和改变了主体的精神世界,从而现实地改变了人的言语和行为,成为一种社会力量,正如马克思在《〈黑格尔法哲学批判〉导言》中所说:“批判的武器当然不

浅谈初中数学教学方法改革

浅谈初中数学教学方法改革 摘要：随着社会的发展，社会对教育的要求越来越高，教育改革势在必行，而教学方法的改革又是教学改革的灵魂。本文将从转变教学观念，转变学习方式，现代教育技术应用等方面来谈谈我对教学方法改革的认识。 关键词：教学观念学习方式现代教育方法 一、转变教学观念 观念是行为的向导，是行动的灵魂，要进行教学方法的改革首先就是要转变教学观念。长期以来，陈旧的教学观念禁锢着人们的思想，影响着教师的行为，最终影响着教学质量。转变教学观念，就是要扬弃陈旧的教学观念，确立与新的课程相适应的体现素质教育精神的教学观。现代教育观认为，教学不仅要使学生掌握知识，而且要通过教学促进学生身心的全面发展。教学过程不再是简单的传授过程，而是学生积极主动、富有创造性的参与过程。在这一教学观指导之下，教学既要重结果，更要重视过程与方法；既要关注学科，更要关注人，要以学生为主体。因此教师在教学中要依据学生身心发展的规律开展教学活动，要尊重学生差异，给予学生全面展现个性的时间和空间，使每个学生在原有的基础上得到完全、自由的发展，培养学生不断探索、不断创新的精神。 二、转变学习方式

目前课堂教学基本上还是教师讲，学生听；教师写，学生记；教师问，学生答的讲授法。很多学生也乐于用这种被动接受的方法学习，但这样的方法束缚了他们的思维，阻碍了他们的主观能动性的发挥，造成高分低能而不能适应社会发展的需要。长期以来，数学教学改革偏重于对如何教的研究，但是对于学生是如何学的，学的活动是如何安排的，往往较少问津。现代教学理论认为，教学方法包括教的方法和学的方法，正如前苏联教学论专家巴班斯基指出的那样：“教学方法是由学习方式和教学方式运用的协调一致的效果决定的。”即教学方法是受教与学相互依存的教学规律所制约的。众所周知，给人以鱼，不如授人以渔。要想较好地发挥学生的主体作用，就要转变学生的学习方式，就是要充分调动学生的学习主动性、积极性和创造性，帮助学生形成自主探索的体现新课程理念的学习方式，教学生学会学习。我认为可以从以下几方面入手： 1、培养学生的自学能力。也就是学生在教师的指导下，通过阅读教材或教学参考资料，独立地进行学习以获得知识的能力。 教学中较简单的内容一般都可以让学生去自学，学生自学的过程一般可以采用“提出提纲→阅读教材→解疑析难→课堂小结”的模式。上课开始由教师提出学习提纲，启发5分钟左右，课结束前再由教师小结5分钟左右，这两个过程都是教师面向全体学生进行的。中间的35分钟，让学生各自动手动脑地进行个别化自学，阅读教材、解析疑难，快者快学，慢者慢学，学到课本中有要求要做练习时就做练习并对答案。学生在自学时，

把握数学本质,以不变应万变

把握数学本质，以不变应万变我们要想解决一个数学问题，关键要把握题中的数学本质，在千变万化中找寻到其中不变的量，求出这些不变的量，然后利用这些不变的量解决最终的问题，以不变应万变。下面，本文主要以“牛吃草”问题为例，阐述解决问题时的“以不变应万变”。 一、“牛吃草”问题 牛吃草问题也称牛顿问题，最早是伟大的数学家、物理学家牛顿在《普通算术》中提出来的。形如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供10头牛吃20天，或者15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？解决这类问题时，难点是草的总量在不断变化，其中包括草的增加：每天新长的和草的减少：每天被牛吃掉的，而且牛的数量在变化，每天被吃掉的草的量也有所不同。因此解题的关键是想办法从变化中找到不变的量，以不变应万变。我们不难发现，主要有以下这些不变的量：（1）牧场上原有的草的量；（2）每天新长出的草是不变的（匀速生长）；（3）每头牛每天的吃草量是不变的。求出这些不变的量，以不变应万变，问题就容易解决了。 我们不妨假设每头牛每天吃草的量为1份，从而我们可以求出10头牛吃20天的草量为：10×20=200（份）；15头牛吃10天的草量为15×10=150（份）。200份草=原有的

草+20天新长的草；150份草=原有的草+10天新长的草。两者都包含原有的草，区别在于新长的草量，为什么前者会比后者多出200-150=50（份）的草？我们不难发现，是因为前者比后者多长了20-10=10（天），也就是说多长的10天的草量就是那多出的50份草，从而可以求出每天新长的草量为：（200-150）÷（20-10）=5（份）。最后利用“每天新长的草量为5份”这个不变的量求出最后一个不变的量：原有的草量。可利用10头牛吃20天的草量为200份求出原有的草量为：200-5×20=100（份）；或者也可用15头牛吃10天的草量为150份求出原有的草量为：150-5×10=100（份）。至此，所有不变的量都已经求出，以这些不变的量应对千变万化的问题，就容易多了。最后要求可供25头牛吃几天，主要有两种想法：（1）25头牛吃草每天消耗25份草，同时每天会新增5份草，也就是说每天净减少25-5=20（份），原有的100份草，100÷20=5（天）就被吃完；（2）由于每天新增5份草，我们可以让其中的5头牛专门去吃每天新增的草，自给自足，剩下的25-5=20（头）牛只能吃原有的100份草，100÷20=5（天）吃完。两种想法略有不同，但列式相同，其本质也一样。 至此，整道题就解完了。解决这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量，然后求出这些不变的量，最后利用这些不变的量再求出最终的问题。

数学教学中数学本质的揭示

数学教学中数学本质的揭示 摘要：中学数学课堂教学一般比较重视数学技能的训练，“精讲多练”已成为数学课堂教学的主要形式。对学生而言，这种做法的必然结果是：强化了技能操作却忽视了对数学基本原理和数学思想方法的理解掌握。忽视了对数学本质的理解，对数学的认识只停留在一个较低的水平。中学数学教学应该呈现数学的本质，感悟数学的精神，应该跳出题海，回归本源。 关键词：数学教学；本质；揭示 现在的教学目标，除知识技能目标之外，还要注意知识的发生过程，提出了过程性目标，这是完全正确的。但是，比呈现数学过程更高的要求是体现数学本质：对基本数学概念的理解，对数学思想方法的把握，对数学特有思维方式的感悟以及对数学美的鉴赏等。一些粗浅、拖沓的“过程”往往不能反映出数学的真正价值，反而白白浪费了时间。 新加坡数学教育家李秉彝先生说过，数学教育必须做到八个字：“上通数学，下达课堂”。所谓上通数学，就是必须理解数学知识的内涵，揭示数学的本质。但是在如今的公开课的展示及其评价中，教师多半聚焦在教育理念的体现、教学方式的选择、课堂气氛的营造、学生举手发言的热烈等方面。至于数学内容的表达、数学本质的揭示、数学价值的呈现，则往往有所缺失。其实，内容决定形式，学生是否能够掌握数学内容，是评价课堂教学是否成功的主要标志。因此，教师在备课时，需要思考如何挖掘教材内容的数学本质。 一、透过现象看本质 数学本质往往隐藏在数学形式表达的后面，需要由教师的数学修养加以揭示。例如，在数学中平面直角坐标系的本质是什么？浅层的理解是用一对数确定点的位置，于是初中数学教学中的大量案例，都把坐标系的价值理解为“位置”的确定，许多教案的内容也都要求在教室里开展“第几排第几座”的游戏。事实上，这种低级的生活化活动，根本不能增加对坐标系的理解。用一对数确定位置，是地理课的任务，连语文课也都会处理几排几座这样的问题，所以这样的活动没有鲜明的学科特点，更没有触及数学概念的本质，我认为平面坐标系的本质则在于用“数”所满足的方程来表示点的运动轨迹，即“数形结合”的思想。引入坐标系的第一节课，拿位置确定作为铺垫可以，更重要的是要引导学生观察和思考：两个坐标一样的点是什么图形？两个坐标都是正数的点构成什么区域？横坐标是零的点是什么图形？这样就有数学味道了，也更深层次的触及了数学的本质。 二、数学操作活动要体现本质 新的数学课程标准中将基本数学活动经验纳入了数学教学的目标之中，这使得学生在数学学习中不仅获得了客观性的知识，还形成了属于学生自己的主观性知识，有助于学生对数学的真正理解，在许多教学设计中，也都注意到了数学活

林格《教育是没有用的---回归教育本质》读后感

林格《教育是没有用的---回归教育本质》 读后感 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 林格《教育是没有用的---回归教育本质》读后感 因为参加了我校一次教师研讨读书会，讨论的中心话题同样围绕一本书--教育是没有用的吗？这本《教育是没有用的》书是全国100所知名中小学校长联名推荐老师阅读，在温州书城一度卖到脱销，而讨论会上也引发了我校老师们的激烈讨论。大家一致认为，好的学生不是学校教出来的，在学生成功的道路上，老师只是阶段性的领路人而已；但到目前为止，还没有找到比教育更好的方式，去改变一个孩子的现在和未来。 带着研讨会上的激动和困惑，我回家坐下来重新仔仔细细、认认真真地阅读着这本书，对书中林格先生提到的观点进行了深深地反思。 林格先生在开篇里提到：我走了很多学校，面对过数以万计的家长，有一个强烈的感觉，我们现在的老师和家长太累了。我们的教育承担了不应由它来承担的过多的社会压力：升学、就业、致富、当官司、

成名成家。这些压力通过考试、升学的途径，全部加到了中小学生的和家长、教师的身上。有一位全国着名的女老师对我说：“我们每天至少需要工作12小时以上，周末也基本上没有休息，没有时间与人交往，所以也就没有什么朋友，连家庭都照顾不了，甚至性生活都不合谐。”我听了很震惊。很多人把原因全部归结到应试教育体制上去，我不赞同。我认为解放老师和家长的出路在于转变观念，从教育内涵方面寻找突破口，才是正道。教育者唯一要做的事情是无条件保护甚至扞卫孩子的主动性，而不是控制它。 确实，现在我们对教育的期待，总是把与各种未来的名利之实捆绑起来了。同样作为一名家长，我希望现在自己所有的努力只是为了让孩子以后享有更多的自由。这种自由度体现在：自由的选择去做喜欢的事情;自由地选择自己生活的方式;自由地选择自己游走的空间。而这一切自由的前提，是他要拥有足够的能量。我们只要播下这棵种子，以爱的水与阳光去浇灌，它总会发芽生长，但至于它要朝哪个方向生长，或者在什么时候结果，结什么样的果，却是超出我们的预期与无法控制的。 林格先生提到：教育，应当回归到心灵深处。历史止的圣人先哲，用了不同的词阐述基本的心性。基

浅谈小学数学课堂有效教学方法

浅谈小学数学课堂有效教学方法 龚富 (贵州省威宁县羊街镇兴隆厂小学553100) 小学数学教师要上好一堂数学课是很不容易的。“义务教育阶段的数学课程应体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”因此，数学教育要以学生发展为本，要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为数学的重要资源。要根据学生的年龄特征和认知特点组织教学，注重激发学生的学习积极性。向学生提供从事数学活动的机会，帮助和引导学生在动手操作、自主探究和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验和情感体验，为了更好的完成教学任务，实现教学目的，必须坚持运用多种教学方法。实践证明，在教学过程中，学生知识的获得，能力的培养、智力的发展，不可能只依靠一种教学方法，必须把多种教学方法合理地结合起来。多种教学方法的合理结合，首先是由于教学的内容不同，教学对象、教学环境条件以及教师素质不同所决定的。教学内容不同，教学对象、条件不同，所采用的教学方法势必不同。复杂多变的教学活动，要求教学方法必须多样化。其次是由学生积极参与教学活动的需要所决定的。心理学证明，单一的刺激容易产生疲劳，如果采用多种教学方法，就能调动各种感官参与教学活动，提高学生学习的积极性。再次，是由各种教学方法的性质和作用所决定的。各个教学方法有各自的适应性，又都有各自的局限性。如观察法有利于敏锐的观察能力的培养和形象思维能力的形成，讨论法有利于分析能力和解决问题能力的培养。因此，教师要博采众长，综合地运用教学方法。 一．阅读数学教材 学习数学只需要多做习题，认真听讲和多“加餐”，就会提高学习水平和数学思维能力，至于数学教材则可读可不读。其实大谬不然。众所周知，数学中的定理、法则、公式等的叙述及例题的解答或证明都是学生学习的好材料。况且数学中的符号、图表、算式、例题的解答都以其形式优美、内容丰富、表达准确而简明见长，数学教材在表述上科学而通俗、生动而有趣，因而大有可读之处，大有阅读之必要。 从学习的角度上讲，阅读材料，特别是阅读已解答好的例题，对培养学生的数学思考能力、数学表达能力、规范学生的数学解题格式等都有好处。学习数学，目的是为了掌握数学，这就意味着学生要善于分析问题、解决问题，能独立思考、合情思考。有些学生虽然懂得解题方法，心里明白却又说不清楚。这时，教师应指导学生通过阅读教材，比较课本上的规范形式与自己的解答，从中找出异同，发现纰漏，从而掌握正确的方法、标准的格式，养成严谨而深刻地进行数学思维的习惯。同时，阅读

对数学教学本质的认识

对数学教学本质的基本认识 “数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”这里，强调了数学教学是一种活动，是教师和学生的共同活动。 一、数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程。学生要在数学教师指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极、主动的学习态度，同时使身心获得健康发展。数学活动可以从以下两个方面加以理解。 1、数学活动是学生经历数学化过程的活动。数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动。简单地说，在数学活动中要有数学思考的含量。数学活动不是一般的活动，而是让学生经历数学化过程的活动。当儿童通过模仿学会计数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上就是数学化的过程。 2、数学活动是学生自己建构数学知识的活动。数学学习是学生在学数学，学生应当成为主动探索知识的“建构者”，决不只是模仿者。无论教师的教还是学生的学都要在学生那里体现，不懂得学生能建构自己的数学知识结构，不考虑学生作为主体的教，不会有好的效果。实际上，教师的教总要在学生那里得到体现与落实，是学生在吸收、消化、理解、掌握、运用知识。离开了学生积极主动的学习，数学教师讲得再好也会经常出现“教师讲完了，学生仍不会”的现象，教学对于指导学生建构数学知识应当具有重要的引导和指导作用，教

师教学工作的目的应是引导学生进行有效地建构数学知识的活动。 二、数学教学过程是教师和学生之间互动的过程。教学过程是师生间进行平等对话的过程。在教学中，教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过各种数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物和思考问題，产生学习数学的愿望和兴趣。教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者和好朋友，而非居高临下的管理者。教师的这些作用至少可以在下面的活动中体现出来。 1、教师引导学生投入到学习活动中去。教师要调动学生的学习积极性，激发学生的学习动机；当学生遇到困难时，教师应该成为一个鼓励者和启发者；当学生取得进展时，教师应充分肯定学生的成缋，树立其学习的自信心；当学习进行到一定阶段时，教师要鼓励学生进行回顾与反思。 2、教师要了解学生的想法，有针对性地进行指导，起到“解惑”的作用；教师要鼓励不同的观点，参与学生的讨论；教师要评估学生的学习情况，以便对自己的教学做出适当的调整。 3、教师要为学生的学习创造一个良好的课堂环境，引导学生开展数学活动。教师在数学教学中应经常启发学生思考：“你是怎么知道这个结果的？”而不只是要求学生模仿和记忆。教师应了解学生的真实想法，并以此作为教学的实际出发点，为学生的学习活动提供一个良好的环境，真正发挥引导者的作用。

浅谈初中数学教学中数学思想方法的渗透

浅谈初中数学教学中数学思想方法的渗透 内容提要 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。 关键词：数学思想新课程标准渗透 正文 《数学课程标准》在对第三学段（七—九年级）的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。 一、渗透化归思想，提高学生解决问题的能力 所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。这体现了研究科学的一种基本思路，即把“不熟悉”迁移到“熟悉”的路子上去。我们也常把它称之为“转化思想”。可以说化归思想在本教材的数学教学中是贯穿始终的。 例如：在教材《有理数的减法》、《有理数的除法》这两节内容中，实际上教材是通过“议一议”形式使学生在自主探究和合作交流的过程中，让学生经历把有理数的减法、除法转化为加法、乘法的过程，体验、学会并熟悉“转化一求解”的思想方法。我们可以注意到教材在出示了一组例题后，特别用卡通人语言的形式表明“减法可以转化为加法”、“除法可以转化为乘法”、“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。这在主观上帮助了学生在探索时进行转化的过程，而在学生体会到成功后客观上就渗透了学生化归的思想。值得注意的是这个地方虽然很简单，但我们教师不能因为简单而忽视它，实践告诉我们往往是越简单浅显的例子越能引来人们的认同，所以我们不能错过这一绝佳的提高学生的思维品质的机会。再如教材《走进图形世界》，它实际上是“空间与图形”的最基本部分。教材在编排设计上是围绕认识基本几何体、发展学生空间观念展开的，在过程上是让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程的，在活动中引导学生认识常见的几何体以及点、线、面和一些简单的平面图形；通过对某些几何体的主视图、俯

把握数学本质几点看法和做法

“把握数学本质”的几点看法和做法 石狮石光华侨联合中学陈润生 （4月9日） 一、问题的提出： 曾经问过几个数学比较优秀的学生这样几个简单的问题，题目和学生的回答如下： （1）什么叫做点在第二象限？ 学生甲：一脸茫然，不知所云？ 学生乙：画出第二象限的一个点，指给我看。 （2）什么叫做两圆外切？ 学生甲：画出两圆外切的图形，指给我看。 学生乙：有唯一公共点，且一个圆在另一个圆的外部的两个圆的位置关系。 我也茫然！我不能说他们是错的，但我觉得这样的数学仅能是“意犹未尽的数学”。思其原因：学生了解到的仅是对于数学知识的外在理解，而未能很好地把握数学的本质！ 我惊叹：“哑巴几何（说不出来的几何）”好可怕！ 我思考：我们要怎么引导学生抓住数学的本质，实现数学的教育目标？ 二、问题的思考 新课程明确提出：淡化形式，注重实质。数学的学习仅仅了解数学知识的外在形式是不够的，而更深层次的必需抓住它的

本质所在。正如，我们认识一个人，并不应仅仅认识其穿一件衣服下的“他”，而应认识的实实在在的“他”（包括化完妆后的“他”）。数学的外在形式很多，正如人可以穿好几套衣服一样，但它的实质却永远不会变（你就是你），教会学生“透过现象看本质”、“外显和内含相呼应”、“用内含来解释外显”是我们应该引导学生完成的一件很重要的任务。 三、问题的探索： 如何实现抓住数学的本质呢？下面几方面可以进行探索： 1.要让学生明确数学的表现形式是多样的，有外部的表现形式（往往还是有很多种），也有内在本质的东西，仅仅了解数学的外部表现是远远不够的，数学的学习和研究实质上就是要抓住数学本质、应用数学的本质。 2.要让学生具有“翻译”能力——“等价翻译”的能力，这是数学知识实现有“外在形式”转化为“内在形式（本质）”的手段和途径。也就是要让学生“听懂话中之意”！ 3.要创设情境，让学生体会到“抓住数学本质，才是抓住数学”的道理。要体现出抓住数学本质的重要性。 4.要让数学的“外在形式”与“内在本质”达到统一。让学生透过外表看本质，由本质问题解释外显现象。 如关于《三角形稳定性》的教学，可以按以下环节，层层递进，抓住和应用数学本质，达到数学的本质与各种外显的统一： ①三角形的三边确定，则三角形就能稳定不变；

教育的本质是什么

教育的本质是什么 教育的本质是什么？教育的本质是促进人类生命个体健康成长，实现生命个体由自然人向社会人的高度转化。教育应该是踏踏实实做事，是对生命的涵养。教育不是挖掘分数的机器，不是升学的工具，不是谋取职位的阶梯，而是丰富自我、提升自我、完善自我的载体。 学校应该给学生什么？应该给学生幸福的人生，生活的质量和生命的质量。所以我们坚持对下负责就是最好的对上负责的原则，对学生负责就是最好的对上级负责。这个观点提出后，引起很多人不理解。可我们就是这样定位的。所以我们从校长到老师都应该想大事，做小事。想大事就是不要只盯着我们的课堂，只盯着自己一所学校，应该胸怀天下，把我们的教育和社会的发展联系起来，和国家民族的命运联系起来，这样我们再做起事来才不至于坠入教育应试或者是功利主义的泥潭。 现在的教育不是如何创新的问题，而是如何回归的问题。教育要回归于生活，回归于农业，回归于儿童，回归于游戏。教育回归于生活：这一个观点是陶行知先生的。当前的教育不是如何创新的问题，而是应该回归，要回到教育的本源。 教育回归于农业：每一个学生就像一粒种子，他可能是一棵大树的种子，也可能是一个玉米的种子，或许是一个小麦的种子，学校能给这个生命的只有温度、湿度、养分……要按学生的发展需要去引导、积淀，循序渐进地涵养，然后根据他所处的环境、经历，不断提高自己的追求，慢慢的寻找适合自己的道路，活出自己的尊严，活出自己的

精彩。我们不追求每个学生都成才，但我们希望每个学生都幸福。教育回归于儿童：将课堂还给学生，让孩子生活在他自己的世界里，我们整个课程的设计都力争做到体现这一理念。教育回归于游戏：我们设计了栏目教学，使原来沉闷的课堂活跃了，孩子们非常喜欢。 经典点评：当前，由于缺少对“教育的本质是什么？”、“学校应该给学生什么？”的追问，导致很多人对教育改革感到非常迷惘，只能跟着上级的指挥棒转，没有了方向感。只有站在较高的理论层面上对教育的终极价值进行哲学思考，才能破解当前的理论困境。现在，知识经济全球化的趋向势不可挡，在这种情况下，培养具有“中国情怀、世界眼光”的一代新人是教育人义不容辞的责任，我们只有胸怀这样的历史担当，把教育与民族命运联系起来，带着这种厚重的历史责任感，才会有投身教育改革的自觉意识。读懂了“四个回归”，我们对学生种种表现也就能够“接纳”了。

数学教师如何选择有效的教学方式

如何选择有效的教学方式 新课程要求教学要使每个学生得到充分的发展，但是学生之间存在着差异，要使每个学生都得到充分的发展，除了教学目标定得适当，教学组织形式选得适当外，还要考虑选择恰当的教学方法。因为学生间的差异是多方面的，不仅有生活经验和数学基础的差异，还有智力、以及性格等的差异。对于教师如何选择有效的教学方式,使每一个学生都能得到自身的发展，谈几点体会： 一、动手实践;快快乐乐地教，轻轻松松地学 动手实践是学生学习数学的重要途径和方法之一。新课标要求我们改变学生原有单一的、被动的学习方式，建立和形成旨在充分调动、发挥学生立体性的多样化的学习方式，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地的学习。培养学生学习数学的热情，让学生快快乐乐地学。多年的教学经验告诉我，学生喜欢一个教师，便会喜欢该教师所教的学科。我首先向学生做出承诺：尽量少布置作业；决不拖课、占课；课堂上只要精神饱满，不必坐得端端正正。我这样说，也这样做，一个阶段以后，我发现绝大部份学生很喜欢上我的数学课。 二、培养学生自学能力，让学生学得轻松。

学生乐学数学，实验便有了基础。我不断向学灌输“教是为了不教，学是为了更好地学”的思想，使学生意识到自学能力的重要性。培养学生的自学能力，需要教师的指导。一开始布置预习作业，学生不知道怎样预习，我就在课堂上指导学生预习。经过一段较长时间的培养，学生学会并且养成了预习的习惯。 三、让学生自觉的做作业 我的做法就是改变作业的布置形式。我一般不具体布置多少作业，而是让学生根据自学的程度、教学进度自由支配做作业的时间，能力强的学生可以适当超前。由于作业有很大的灵活性，学生不再视作业为负担。绝大部分的学生都能超前完成作业，并且作业的质量还比较高。当学生乐学数学，学习成为自觉的行为，并且具有一定的自学能力时，学生就学得轻松了。学生学得轻松时，教师也就能够教得轻松，我认为这种教学就是一种有效的教学。 四、让自主探索与合作交流从形式走向实质。 学生的学习过程从某种意义上说，是对人类社会文明发展过程中的一种认识意义上的重演。让学生踏着前人的足迹重新发现他们学习的内容，对于学生的发展具有多方面的意义。教师要有目的地选择这些重演或再现的教学内容，给学生提供自主探索的空间和时间，让学生主动地进行观察、实验、猜测、验证等数学活动。自主探索是在教师引导下的探

教学本质的基本认识

关于教学本质的讨论 教育科学学院 教育学专业 温馨 11033026

关于教学本质的讨论 一、教学本质的基本认识: 人们对于教学本质认识,一直以来就有着颇多的认识和争论.就我们国家而言,就有特殊认识说,实践说,发展说,多层次类型说,交往说等主要观点.以下我主要就其中的特殊发展认识说,交往说和实践说三种说法作简单的介绍: 认为教学过程就是学生的特殊认识过程，这种认识活动以人类已有的知识为主要对象，力求在较短的时期内传授大量的人类文化科学知识，使个人知识达到当代社会的知识水平。其主要特点是：是学生个体的认识活动，不同于人类历史总认识；有教师的指导；教学认识无论是方式还是内容都具有间接性；教学认识具有发展性和教育性。 该说以马克思主义认识论为指导，按照认识的普遍规律来把握教学的一般过程，确定了教学理论与实践的一个方法论前提。但批评者认为：(1)仅仅局限于惟一的特殊认识过程，不利于深入、全面地揭示多层次的教学过程的本质，违背了马列主义唯物辩证法的认识论。(2)认识过程是囊括不了教学过程的本质的，具有很大的片面性，这种片面性导致教学实践中片面强调传授知识，忽视了智力、能力、情意、思想品德、体质等，忽视了学生多种心理的参与。(3)把教学过程的本质归结为认识过程，不能够概括和指导一切教学活动和学科教学，也无法解释教学过程的某些规律，如教学的教育性规律。 (4)该说只描述了教学过程中学生的学习活动，忽视了教师的教授活动。(5)它在教学实践中极易形成师生间的主客体关系，造成教学上的片面和单一，不利于学生个性的整体性和谐发展。 要研究教学本质，首先须明确本质指的是什么，在讨论中人们有时对教学的“质”和“本质”之间的联系和区别并不进行明确分析，由此而带来的经常是以质代替本质，把多方面的质看作是多重的本质。事实上，质和本质既有联系又有区别，本质比质更深刻。质反映的只是事物的某一侧面的属性，而本质才反映了事物的内在的必然的联系，反映了事物存在的根据。本质通过关系而得到揭示。所以揭示事物的本质需要在揭示质的含义的基础上，将自身联系与他物联系统一起来，说明事物存在的原因，这样才能真正揭示事物的本质。 所谓教学本质，就是自在于教学这一事物本身使其既可成为其自身又可与其他事物相区别的内在规定性，它是教学过程的内部要素和特殊矛盾的整体的、集中的体现，是决定该类事物或现象是教学而非其他事物或现象的依据，是教学活动区别于其他社会实践活动的根本特征，是教学的各种特征和属性的抽象与概括。以往对教学本质的认识不少论者实质上是把质当成了本质来界定教学，对教学本质的概括要么把教学的任务、目的当作教学的本质，要么将教学的功能、价值当作教学的本质，都在向教学本质认识逼近，但还未达到教学的本质。对教学本质的认识必须在正确把握“本质”内涵的基础上，对已有关于教学的质的认识进行综合抽象，才能达到目的。 二、关于教学本质研究的着眼点问题： 对教学本质的探讨，有的是从教师教的角度，有的是从学生学的角度，有的是从教学的角度；有的从一个侧面概括，有的从两个侧面概括，有的从整体概括；有的着力于教学过程的归属的分析，有的着力于教学过程的性质的分析，有的着力于教学过程的功能的分析等等。比如，着眼于学生来考察教学过程，形成了“学习说”、“学生实践说”、“发展说”、“认识论”等诸观点；着眼于教师来研究教学过程的本质，就产生了“价值增值说”、“传递说”、“教师实践说”等认识；而“交往说”、“知情统一说”、“审美过程说”、“多本质说”等由于其涉及教与学的两个方面，明显带有教师与学生的共同属性，因此它们是从师生双方的角度来论证教学过程本质的。

把握数学本质 实现有效教学

把握数学本质实现有效教学 摘要：在讲解二项式定理中的一个例题时，从给出的解法中发现，学生还不会运用已学过的知识，或者想不到运用二项式展开式通项公式解决问题，这一现象非常普遍。本文通过分析三个普遍存在的教学设计，结合中职生的现状，认为立足数学基础，把握数学本质，可以达到数学课有效教学的目的。 关键词：职校数学立足基础有效教学 一、问题的提出 1.解题讲解 （中职数学教材拓展模块3.2二项式定理）例3求的二项展开式的常数项。 教材解答过程： 解：由于， 故，解得m=5。 所以二项式展开式中的第5项是常数项， 为 2.讲解例题时学生的情况 在讲解例题时，一部分学生无从下手，一部分学生对看上去十分复杂的题目（10次方，以前从来没见过！）吓得不敢尝试。小部分学生想到按照二项式展开式将其展开，可

是就是没有学生想到用二项式的通项公式这种最“简单的方法”来解题。 3.评析 如此多的学生想不到应用刚刚讲过的二项式通项公式（），原因何在？教师是如何讲授公式的？学生是如何记忆公式的？所采用的方法是否有效？笔者认为有必要弄清楚以上的问题，有利于在以后的教学中采取有针对性的措施和方法，切实提高公式的学习效率。 二、普遍使用的教学设计 1.设计1 教师引导学生阅读教科书，并提出两个问题：一是观察（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展开式系数有什么规律？二是尝试写出（a+b）n的展开式，写出展开式的第m+1项，即通项公式讲解例1、例2、例3。 2.设计2 教师板演分别将（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4展开，利用初中接触过的“杨辉三角”观察展开式系数的规律，给出（a+b）n的展开式和第m+1项。 评析：这两种设计都是定位于公式的学习与应用，教师引导学生努力分析和总结公式的规律，寻找好的记忆技巧，追求灵活运用等解题能力的提高。但记忆技巧的形成要建立在学生对公式本质深刻认识的基础上，不然，随着时间

数学的本质与其对数学教学的意义

随着数学课程改革的不断深入和发展，数学教育中的许多深层次问题也越来越引起广大教育工作者的重视。“数学是什么?”“数学来自于哪里?”这些涉及数学本质的问题就是诸多深层次问题中的重要问题。正确理解数学的本质对于树立正确的数学教育观念、对于数学课程改革的继续发展均有着巨大的现实指导意义。一、数学是什么?作为一个现代人，不知道“数学”的人恐怕不多，但能将数学是什么解释得很清楚的人恐怕也不是很多。其实，即使作为专业的数学工作者，由于各自的认识与经历不同，对数学是什么的回答也有相当大的差异。1．“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”众所周知，关于数学的这个定义是恩格斯提出来的。事实上，恩格斯的这个定义，很多年以来，就是国内和国际数学界与哲学界公认的最权威的定义，最新版(2005年版)的《现代汉语词典》仍然是这样来定义数学的——“研究现实世界的空间形式和数量关系的学科”。20世纪以来，新的数学分支不断产生，纯数学越来越抽象，它与现实世界之间的距离似乎越来越远；同时，应用数学在现实世界中的涉及面空前广泛且越来越广泛，数学的研究对象似乎不仅仅是空间形式与数量关系；而且，有不少研究者从自己的认识出发，提出了关于数学的多种定义。于是乎，近些年有人就认为恩格斯给数学所下的定义过时了或“远远不够了”。这样的认识是片面的，因为事实并非如此。匡继昌先生深刻分析了“数学是什么”，认为“数学的定义应该反映数学研究的对象及其本质属性”，“只有从唯物辩证法的哲学高度，才能认清现实世界的数量关系和空间形式不是固定不变的，而是其内涵不断加深，外延不断拓广的”，所以，“恩格斯关于‘数学是什么’的论断并未过时”。2．数学是系统化了的常识这是国际著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔的观点。他认为数学的根源是普通常识，作为常识的数学，随着语言从说话到阅读和写作的不断进步与发展，也不断地进步与发展着。如数概念的获得，主要是由口头语言中相应的数词来支持的(如从一个人、一支笔、……，得到“1”)，在这个过程中，首先是数学思想的语言表达。普通常识是有等级的，普通常识由经验上升成规律后，这些规律再次成为普通常识，即较高层次的常识。弗赖登塔尔曾经说过：“为了真正的数学及其进步，普通的常识必须要系统化和组织化。如同以前一样，普通常识的经验被结合成为规律(比如加法的交换律)，并且这些规律再次成为普通的常识，即较高层次的常识。作为更高层次数学的基础——一个巨大的等级体系，是由于非凡的相互影响的力量来建立的。”3．数学是人为规定的一套语言、符号系统这是部分数学史家们的看法。持这种观点的人虽然不多，但很有代表性，它给了我们认识“数学是什么”的一个新角度。翻开一部数学史，除了早期的数学与生活有着非常高的关联度，还需借助现实的生活事实去解释外，后来的数学就越来越关注自己的“语言、符号”了。这种现象最早可追溯到欧几里得的《几何原本》，到了现代，数学的这种特性表现得更加充分。当然，数学作为人为规定的一套语言、符号系统，必须要有一定的条件。通俗点讲，就是这套语言、符号系统必须能自圆其说，高雅点讲，这套系统必须是完备的。举例来说，如果你规定1+1=3，在此基础上去构造一套语言、符号系统，并且能自圆其说，也许一个新的数学分支就诞生了。数学史上不乏这样的先例。如伽罗瓦的群论，康托尔的集合论等等，当初他们出现在数学家们的眼前时，并不为大家所认可。但事实证明，这些是数学，而且是非常重要的数学。由于康托尔的集合论在自圆其说方面有一点小小的问题，从而导致了历史上的一次严重的数学危机。随着这一危机的解决，集合论变得更加完备，数学的基础变得更加稳固。集合论的创立是数学史上的一个巨大成就，以至于今天的小学数学教学中，都必须渗透集合论的思想，从而提高学生的数学认知能力。