二次函数与方程不等式的关系
二次函数与方程不等式的关系
一、知识点梳理
1、二次函数表达式的几种常见方法
（1）三点式（或一般式）：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数且，表达式的右边是二次三项式
的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解.
（2）顶点式：k h x a y +-=2)()0,,(≠a k h a 为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶
点坐标为),(k h ，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a 的一次方程来求。当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其
代入k h x a y +-=2)(中求解.
2、二次函数 c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系
抛物线：c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02=++c bx ax 的实根. 因为x 轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，可利用函数表达式c bx ax y ++=2来求，只需令0=y ,得一元二次方程02=++c bx ax ,方程的解即为交点的横坐标.
抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点有三种情况：
（1）当042＞ac b -时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ，拋物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ；
（2）当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根2a -
21b x x ==， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(a
b -; （3）当042＜a
c b -时，方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线与x 轴没有交点.
3、二次函数的图像与一次函数图像的交点
一次函数()0≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程
组???++=+=c
bx ax y ,n kx y 2的解的个数来确定： （1）方程组有两组不同的解-----L 与G 有两个交点；
（2）方程组只有一组解-----L 与G 只有一个交点；
（3）方程组无解-----L 与G 没有交点。
三、典型例题
（一）二次函数与x 轴的交点
例1 若函数()12122++++=m x m mx y 的图像与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、0或2 C 、2或－2 D 、0,2或－2
例2 小兰画了一个函数b ax x y ++=2的图像如图，则关于x 的方程02=++b ax x 的解是（ ）
A 、无解
B 、1=x
C 、4-=x
D 、41=-=x x 或
例 3 如图，一次函数x y =1与二次函数c bx ax y ++=22的图像相交于P 、Q 两点，则函数()c x b ax y +-+=12的图像可能是（ ）
（二）利用二次函数的图像解方程（不等式）
例1 二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，则函数值0＞y 时，x 的取值范围是（ ）
A 、x ＜－1
B 、x ＞3
C 、－1＜x ＜3
D 、x ＜－1或x ＞3
例2 抛物线1221--=x x y 和反比例函数x y 22-=的图像如图所示，利用图像解答： （1）方程x
x x 2122-=--的解是什么？ （2）x 取何值时，21y y ＞？
（三）二次函数解析式的确定
例1 如图，A （－1,0），B （2,－3）两点在一次函数m x y +-=1与二次函数322-+=bx ax y 的图像上。
（1）求m 的值和二次函数的表达式；
（2）设二次函数的图像交y 轴于点C ，求△ABC 的面积。
例2 如图，二次函数c x x y ++-=4
1321的图像与x 轴的一个交点为A （4,0），与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为b kx y +=2。
（1）求二次函数1y 的表达式及点B 的坐标；
（2）由图像写出满足21y y ＜的自变量x 的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
四、课堂练习
1、若二次函数bx x y +=2的图像的对称轴是经过点（2,0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程52=+bx x 的解为（ ）
A 、4021==x x ，
B 、5121==x ,x
C 、5121-==x ,x
D 、5121=-=x ,x
2、二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，下列说法：
①02=+b a ；②当－1≤x ≤3时，0＜y ；③若()11y ,x ，()22y ,x 在函数
图像上，当21x x ＜时，21y y ＜；④039=++c b a 。其中正确的是（ ）
A 、①②④
B 、①④
C 、①②③
D 、③④
3、如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A （1,0）和B （3,2），
不等式m x c bx x +++＞2的解集为______________。
4、用图像探索二次函数2x y =和反比例函数()不为零k x
k y =
的交点个数为（ ） A 、一定是1个 B 、一定有2个
C 、1个或2个 C 、0个
5、如图，已知抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=，我们约定：当x 任取一值
时，x 对应的函数值分别为21y y ，，若21y y ≠，取21y y ，中的较小值记为M ；
若21y y =，记M=21y y =。
下列判断：①当x ＞2时，M=2y ；②当x ＜0时，x 的值越大，M 值越大；
③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则1=x 。
其中正确的有（ ）
A 、①②
B 、①②③
C 、②③
D 、②③④
6、如图所示，直线2--=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为A ，且经过点B.
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 若点)2
9,(-m C 在该抛物线上，求m 的值.
五、课后作业
1、如图，二次函数c bx x y ++=2的图像过点B （0，－2），它与反比例函数x
y 8-
=的图像交于点A （m ，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A 、22--=x x y
B 、22+-=x x y
C 、22-+=x x y
D 、22++=x x y 2、已知二次函数c bx x y ++=2经过点（3,0）和（4,0），则这个二次函数的解析式是_________。
3、二次函数c bx ax y ++=2（c ,b ,a 为常数，且0≠a ）中的x 与y 的部分对应值如下表： x －1
0 1 3 y
－1 3 5 3 下列结论：①ac ＜0；②当1＞x 时，y 的值随x 值的增大而减小；
③3是方程()012=+-+c x b ax 的一个根；④当31＜＜x -时，()012＞c b ax +-+。其中正确的个数为（ ）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
4、如图，抛物线c bx x y +-=2交x 轴于点A （1,0），交y 轴于点B ，对称轴是x =2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
5、如图，已知二次函数c bx ax y ++=2的图像过点A （2,0）、B （0，－1）和C （4,5）三点。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线1
y，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次
+
=x
函数的值。