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三角形面积公式的行列式形式及应用

三角形面积公式的行列式形式及应用
三角形面积公式的行列式形式及应用

最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式,大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ,则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上,三角形面积公式太多啦,上面得公式是最基本的公式,根据条件不同,三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ,内切圆半径为r ,则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ,外接圆半径为R ,则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中,向量 OA a =uu r r ,OB b =u u u r r ,则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中,三角形ABC 的三顶点坐标分别为,11(,)A x y ,22(,)B x y , 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。

特别地,当(0,0)C ,或经过平移后(0,0)C ,此时,三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦(Heran )公式,已知△ABC 中,1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++,则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式,即秦九韶公式,也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角,则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边,则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ,则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

三角形面积公式教学设计(供参考)

三角形面积教学设计 教学内容:人教版五年级上册84----85页 教材分析:三角形的面积是本单元教学内容的第二课时,是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的,是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础,教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题,接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路,把三角形也转化成学过的图形,通过学生动手操作和探索,推导出三角形面积计算公式,最后用字母表示出面积计算公式,这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析:学生在以前的学习中,初步认识了各种平面图形的特征,掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算,学生学习时并不陌生,在前面的图形教学中,学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识,在学习方法上也有一定的基础,教学时从学生的现实生活与日常经验出发,设置贴近生活现实的情境,通过多姿多彩的图形,把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标:1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式,理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关,与底和高有关,会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略,发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力,并培养学生的创新意识。 教学重点:理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点:理解三角形面积的推导过程。 教法与学法:教法:演示讲解、指导实践。 学法:小组合作、动手操作。 教学准备:三角形卡片、多媒体课件 教学过程: 一、情境引入 师:同学们,我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾,高高兴兴地来到学校学习新的知识,那你知道做一条红领巾需要多少布料呢?(不知道)我们佩戴的红领巾是什么形状的?(三角形),怎样计算三角形的面积呢?这节课我们就一起来研究三角形的计算方法(板书课题) [设计意图]通过情境的创设,给学生提供现实的问题情境,使学生产生解决问题的欲望,积极主动地参与到学习活动之中。 二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法 师:回忆一下,平行四边形面积计算公式是什么?是怎么推导的?

小学数学三角形面积大小公式计算方法

小学数学三角形面积大 小公式计算方法 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

三角形公式 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 1、用20厘米的铁丝围成一个三角形,最长的一条边一定小于()厘米。 2、一个三角形至少有()个锐角。 3、在一个三角形中,如果两个锐角的和小于90度,那么这个三角形一定是()三角形。 4、凸六边形的内角和一定是()度。 5、用一根30厘米的铁丝可以围成一个腰长()厘米,底边()厘米的等腰三角形。 6、等边三角形一定是()三角形。 7、最大的角是87°的三角形一定是()三角形。 8、列式计算: 已知∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角。? 1. ∠1=40°,∠2的度数是∠1的3倍,求∠3 2. ∠1=80°,∠2比∠1小20°,求∠3。 3. ∠1=∠2,∠3比∠1大30°,求∠3 4. ∠1=∠2,∠3的度数是∠1的1倍,求∠3 一、填空。 1.一个三角形有()条高。 2.已知三角形的两个角都是50度,那么另一个角是()度,这是()三角形。? 3.一个三角形中,至少有()个锐角,最多有()个直角。 4.三角形具有()性,平行四边形容易()。 二、判断,对的打"√"、错的打"×"。 1.从一点引出两条线就组成一个角。()? 2.由三条线段组成的图形叫做三角形。() 3.所有的正三角形都是锐角三角形。() 4.面积相等的三角形,形状也一定相等。() 5.如果三角形中最大的一个角是锐角,那么这个三角形一定是锐角三角形。()

三角形面积公式5种推导方法

三角形面积公式的五种推导方法 三角形面积的计算》一节,教材上是这样安排的:一、明确目标;二、用数格的方式不能确定三角形的面积;三、能否转化成以前学过的图形进行计算?四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形,直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半;五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形;六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形,两者的关系是“等底等高,面积一半”;七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中,发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下: 第一步没什么问题,每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么:学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式,就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下,面对三角形,学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验,第一印象,第一个技巧。也是最简单,最直接(当然也是最麻烦)的方法。 关于第三步:教材上只有一句话:能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式,我们常给初中学生提起这些认知策略,但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过,把挖掘其内涵,为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话,只是把它当作一个过渡句,当成进入下面环节的引言。 第四步。转化是一定的。但是,转化成什么?怎么转化?把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种(如图)。教材上的引导方式只有教师的主导性,而忽视了学生的主体位置。 前面提到,学生计算三角形面积的首选方法是数格,那么次选方法是什么?他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中,与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为:一、这个技巧刚刚学过;二、切割是个动作,但这个动作能把不规则变规则,所以印象深刻;三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法,想办法切割三角形的某一角移动填补另一角,变三角形成长方形或平行四边形。按这个说法,学生在寻找计算三角形面积的方法时,他首先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨,对这个三角形进行加工处理。在不得要领,或是找到了办法,问题解决了,但心有余味,继续探索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间,再找一个一样的三角形牵线搭桥,把思路引到问题的外面。

三角形的面积计算

三角形的面积计算 (本教案由北堡小学顾琴老师提供)教学内容:九年义务教育课本五年级第一学期(试用本)第61~62页 教材分析: 三角形的面积是在学生已掌握三角形的底和高的概念以及长方形、正方形和平行四边形面积计算的基础上进行教学的。通过对这部分内容的教学,使学生理解并掌握三角形面积计算公式,会应用公式计算三角形的面积,同时加深三角形与平行四边形之间内在联系的认识,培养学生的实际操作能力。进一步发展学生的空间观念和思维能力,提高学生的数学素养。学情分析: 教学目标: 1、探索三角形面积计算公式的推导过程,渗透转化的数学思想。 3、在动手操作中,使学生理解三角形面积公式的推导过程,并能正确地计算三角形的面积。 4、通过自主探究,交流,培养探索意识、发现能力和主动获取知识的能力。 5、在探索三角形面积计算公式的过程中,让每个学生体验成功的快乐。 6、培养学生爱学数学,乐学数学的情感。 7、培养学生分析、推理的能力和实际操作的能力。

教学重点:推导三角形面积计算公式并会计算三角形的面积。 教学难点:推导三角形面积计算公式。 课前准备:课件、学具(完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个。)教学过程: 一、创设情景,引出新课 师:同学们今天动物们遇到了一个难题,不知同学们愿不愿意帮 助它们解决? 生: 师:请看屏幕:小兔 小熊 小羊 师:先看一看它们各是什么三角形? 生:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 师:小兔、小熊、小羊它们都认为自己做的三角形最大,于是它 们争吵不休。你们能不能帮助它们解决问题呀! 生: 师:比三角形的大小,用数学中的话说就是比什么? 生:比三角形的大小,用数学中的话说就是比三角形的面积。

三角形的面积计算公式的推导

“三角形的面积计算公式的推导”教学活动设计 一、活动主题的提出 数学实践活动是教师结合学生相关数学方面的生活经验和知识背景,引导学生以自主探索或合作交流的方式,展开形式多样、丰富多彩的学习活动。“三角形面积计算公式的推导”教材是通过拼的方法探究计算方法的,从表面上看,学生动手操作了,也探究了公式的形成过程,但实际上学生仅仅机械地拼了一拼,做了一次“操作工”,他们并没有自己的猜想和创造,没有真正参与知识的产生和形成,教材所提供的学习材料缺乏思维含量,缺少挑战性,学生体会不到思考的乐趣,思维得不到充分发展,为了培养学生的探究意识和探究水平,促动学生探究的有效性,特安排主题活动“三角形面积计算公式的推导”。 二、活动目标 1.探索并掌握三角形的面积计算公式,培养学生应用已有知识解决新问题的水平。 2.使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动,进一步体会转化方法的价值,发展学生的空间观点和初步的推理水平。 3.在探索活动中使学生获得积极地情感体验,感受数学的乐趣,体会成功的喜悦,进一步培养学生学习数学的兴趣。 三、课前准备 1.分组:每4人为一小组。 2.每人准备3张正方形纸片。 3.每位同学准备尺子、剪刀、铅笔。 四、时间:一课时(不包括活动前的准备) 五、活动过程 1.检查学生课前的准备情况。 2.揭示课题 师:三角形的面积能够怎样计算呢?这就是我们这节课要研究的问题。 板书课题:三角形面积的计算公式 3.探究操作 师:(先每4人一小组分好小组)每人拿出一张正方形纸片,在上面剪一刀,要求剪下一个三角形。当然你用笔和尺子把想剪的三角形在正方形上画出来,不剪也能够。(学生剪、画) 汇报展示。(选择如下三种图) ①②③ 师:这三种剪法中哪种剪法剪下的三角形面积你能计算?你是怎么知道的? 学生观察、思考、分析、推理、小组讨论、汇报。 第三种(图③)剪法剪下的三角形面积能计算,三角形面积正好是这个正方形面积的一半,只要把剪下的两个三角形重叠在一起,就能够发现他们完全一样(形状

三角形面积公式的推导过程

三角形面积公式的推导过程 教学目标 1.理解三角形面积公式的推导过程,正确运用三角形面积计算公式进行计算. 2.培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力. 3.培养学生勤于思考,积极探索的学习精神. 教学重点 理解三角形面积计算公式,正确计算三角形的面积. 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程. 教学过程 一、复习铺垫. (一)教师提问:我们学过了哪些平面图形的面积?计算这些图形面积的公式是什么? 教师:今天我们一起研究“三角形的面积”(板书课题) (二)共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程. 二、指导探索 (一)数方格面积. 1.用数方格的方法求出第69页三个三角形的面积.(小组内分工合作)2.演示课件:拼摆图形 3.评价一下以上用“数方格”方法求出三角形面积. (二)推导三角形面积计算公式. 1.拿出手里的平行四边形,想办法剪成两个三角形,并比较它们的大小.2.启发提问:你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形,再计 算面积呢? 3.用两个完全一样的直角三角形拼. (1)教师参与学生拼摆,个别加以指导 (2)演示课件:拼摆图形 (3)讨论 ①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形(第三种拼法)能帮助我们推导出 三角形面积公式吗?为什么? ②观察拼成的长方形和平行四边形,每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形

的面积有什么关系? 4.用两个完全一样的锐角三角形拼. (1)组织学生利用手里的学具试拼.(指名演示) (2)演示课件:拼摆图形(突出旋转、平移) 教师提问:每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系? 5.用两个完全一样的钝角三角形来拼. (1)由学生独立完成. (2)演示课件:拼摆图形 6.讨论: (1)两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形? (2)每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系? (3)三角形面积的计算公式是什么? (4)如果用S表示三角形面积,用a和h表示三角形的底和高,那么三角形面积的计算公式可以写成什么? (三)教学例1. 例1.一种零件有一面是三角形,三角形的底是5.6厘米,高是4厘米.这个三角形的面积是多少平方厘米? 1.由学生独立解答. 2.订正答案(教师板书) 5.6×4÷2=11.2(平方厘米) 答:这个三角形的面积是11.2平方厘米. 三、质疑调节 (一)总结这一节课的收获,并提出自己的问题. (二)教师提问: (1)要求三角形面积需要知道哪两个已知条件? (2)求三角形面积为什么要除以2? (3)把三角形转化成已学过的图形,还有别的方法吗? (演示课件:三角形剪拼法) 四、反馈练习 (一)下面平行四边形的面积是12平方厘米,求画斜线的三角形的面积.

由三角形内切圆导出的一个三角形的面积公式应用

由“三角形内切圆”引出的2个中考命题 我们知道:和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,内切圆的圆心叫三角形的内心,它是三角形3条内角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等,这个距离就是三角形的内切圆的半径(如图甲).观察图形3个角平分线将三角形分成3个三角形,而每个三角形的高均为内切圆的半径,底为三角形的三边长.所以 S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA = r AB ?21+r BC ?21+r CA ?2 1 = r BC AC AB ?++)(2 1 (r 为内切圆的半径) 从上述三角形面积的探究过程中隐含了一种重要的数学思维方法,有些图形的面积可以 通过适当的分割,分割为若干个可求图形的面积,利用整体等于各个部分面积之和从而获得上面的结论. 我们知道三角形是多边形中最简单的多边形,而且任意的三角形都存在唯一的内切圆,但四边形不一定存在内切圆,假若四边形存在一个内切圆上述结论成立吗对于任意的n 边形呢请欣赏如下的江苏省淮安市06年的一道中考题: 例1、阅读材料:如图(一),△ABC 的周长为l ,内切圆O 的半径为r,连结OA 、OB 、OC ,△ABC 被划分为三个小三角形,用S △ABC 表示△ABC 的面积 ∵ S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA 又∵S △OAB = r AB ?21,S △OBC =r BC ?21,S △OCA =r CA ?21 ∴S △ABC =r AB ?21+r BC ?21+r CA ?21=r l ?2 1 (可作为三角形内切圆半径公式) (1)理解与应用:利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径; (2)类比与推理:若四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(二))且面积为S ,各边长分别为a 、b 、c 、d ,试推导四边形的内切圆半径公式; (3)拓展与延伸:若一个n 边形(n 为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S ,各边长分别为a 1、a 2、a 3、…、a n ,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由). 分析:本题创设了一个以“阅读材料—三角形的面积与内切圆半径及周长之间关系”的 ┓ O C B A

三角形面积公式

三角形的面积公式 一.教学内容分析 本课选自人教版五年级上册第五单元第84~85页内容,通过学习我们要探索并掌握三角形面积公式,能正确计算三角形的面积,并能应用公式解决简单的实际问题。 三角形的面积计算,是在学生掌握了平行四边形面积计算的基础上教学的。学生已掌握了一定的学习方法,具备了将图形转化的初步推理能力。因此,本节课教学中,充分利用原有的知识,探索、验证,从而获得新知,给每个学生提供思考、表现、创造的机会,使他成为知识的发现者、创造者,培养学生自我探究和实践能力。主要是引导学生经历三角形面积公式的探索过程,理解三角形面积计算公式的推导过程。在教学中我注重学生自己动手操作,从操作中掌握方法,发现问题,解决问题。 培养学生应用已有知识解决新问题的能力,使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动,进一步体会转化方法的价值,发展学生的空间观念和初步的推理能力。让学生在探索活动中获得积极的情感体验,进一步培养学生学习数学的兴趣。 二.教学目标 1、探索并掌握三角形的面积公式,能正确计算三角形的面积,并能应用公式解决简单的实际问题。 2、使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动,进一步体会转化方法的价值,发展学生的空间观念和初步的推理能力。 3、让学生在探索活动中获得积极的情感体验,进一步培养学生学习数学的兴趣。三.教学重难点 1.探索并掌握三角形的面积公式,能正确计算三角形的面积。 2.理解三角形面积公式的推导过程。 四.学习者分析 本节内容是在学生充分认识了三角形的特征以及掌握了长方形、平行四边形面积计算的基础上安排的。其推导方法与平行四边形面积公式的推导方法有相通之处。同时本课也是学习梯形、组合图形面积的基础,在实际生活中这部分的应用也非

三角形面积公式的五种推导方法

三角形面积公式的五种 推导方法 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

三角形面积公式的五种推导方法 摘自:《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节,教材上是这样安排的:一、明确目标;二、用数格的方式不能确定三角形的面积;三、能否转化成以前学过的图形进行计算四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形,直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半;五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形;六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形,两者的关系是“等底等高,面积一半”;七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中,发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下: 第一步没什么问题,每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么:学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式,就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下,面对三角形,学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验,第一印象,第一个技巧。也是最简单,最直接(当然也是最麻烦)的方法。关于第三步:教材上只有一句话:能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式,我们常给初中学生提起这些认知策略,但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过,把挖掘其内涵,为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话,只是把它当作一个过渡句,当成进入下面环节的引言。

初中数学三角形面积变形公式的应用学法指导

初中数学三角形面积变形公式的应用 本文结合实例,介绍一个面积公式的变形S ab C = 1 2 sin (a ,b 为三角形两边长,∠C 为a ,b 边的夹角)。 已知:如图1,在△ABC 中,a ,b 是边长,∠C 是a ,b 边的夹角。 求证:S ABC △= 1 2 ab C sin 。 图1 证明:如图1,作底边BC 上的高AH ,设其长为h 。 在Rt △AHC 中,sinC = =AH AC h b ,可得h=b ·sinC 。 S ABC △(·)===12121 2 ah a b C ab C sin sin 。 说明:这个公式对于任意三角形均适用,但初中阶段尚未学习钝角的三角函数,我们只讨论夹角为锐角的情况。 例 已知△ABC ,分别以AB ,BC ,CA 为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF 。 (1)如图2,当△ABC 是等边三角形时,请你写出满足图中条件的四个成立的结论。 图2 (2)如图3,△ABC 中只有∠ACB=60°时,请你证明S △BCE 与S △ACF 的和等于S △ABC 与S △ABD 的和。 图3 解:(1)在图2中,四个等边三角形组成一个大的等边三角形,图形很特殊,条件也很多。如图2中菱形就有ABEC ,DACB ,ABCF 等。这些特殊图形中,写出四个成立的结论应

该不是难事。 ①图形DAFCEB 构成一个△DEF ;②△DFE 是等边三角形;③△ABC 的面积是△DEF 的面积的 1 4;④AB ∥EF ;⑤BC =12 DF 。 (2)方法1:如图4,过A 作AM ⊥BC 于M ,设BC=a ,AC=b ,AM=h 。 图4 S △BCE + S △ACF =126012 6022a b ··sin sin ?+? = 1 2 6022()a b +?sin S △ACB =1 2 60absin ?。 在Rt △ACM 中,由∠ACB=60°可得CM=12b ,AM=32 b ,则BM BC CM a b =-=-? ? ???12。 在Rt △AMB 中, AB AM BM b a b b a ab b a ab b 222 2 2 2222232122121 4 =+=?? ?? ?+-?? ??? +-?+=-+ = 34。 所以S ABD △···()。 =?=? =-+?12601 2 6012 60222 AB AD AB a ab b sin sin sin S + S =12 =1 2 S + S ABC ABD BCE ACF △△△△()()。 ab a ab b a b sin sin sin 601 2 60602222?+-+? +?= 方法2:如图5,过A 作AM ∥FC 交BC 于M ,连接DM ,EM ,显然∠ACB=∠CAF ,得AF ∥MC ,四边形AMCF 为平行四边形。又因为FA=FC ,所以平行四边形AMCF 为菱形,故AC=CM=AM ,∠MAC=60°。在△BAC 与△EMC 中,CA=CM ,∠ACB=∠MCE ,CB=CE ,所以△BAC ≌△EMC ,得BA=EM 。△ADM ≌△ABC ,得DM=BC 。

三角形面积的计算

三角形面积的计算 教学目标 1.理解三角形面积公式的推导过程,正确运用三角形面积计算公式进行计算. 2.培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力. 3.培养学生勤于思考,积极探索的学习精神. 教学重点 理解三角形面积计算公式,正确计算三角形的面积. 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程. 教学过程 一、复习引入 (一)教师提问:我们学过了哪些平面图形的面积?计算这些图形面积的公式是什么? 教师:今天我们一起研究“三角形的面积”(板书课题) (二)共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程. 二、探究新知 (一)数方格面积. 1.用数方格的方法求出第69页三个三角形的面积.(小组内分工合作) 2.演示课件:拼摆图形 3.评价一下以上用“数方格”方法求出三角形面积. (二)推导三角形面积计算公式. 1.拿出手里的平行四边形,想办法剪成两个三角形,并比较它们的大小. 2.启发提问:你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形,再计算面积呢? 3.用两个完全一样的直角三角形拼. (1)教师参与学生拼摆,个别加以指导 (2)演示课件:拼摆图形 (3)讨论 ①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形(第三种拼法)能帮助我们推导出三角形面积公式吗?为什么? ②观察拼成的长方形和平行四边形,每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系? 4.用两个完全一样的锐角三角形拼. (1)组织学生利用手里的学具试拼.(指名演示) (2)演示课件:拼摆图形(突出旋转、平移) 教师提问:每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系? 5.用两个完全一样的钝角三角形来拼. (1)由学生独立完成. (2)演示课件:拼摆图形

小学数学《三角形的面积计算公式》

小学数学《三角形面积计算公式》教学设计 刘河小学李志强 教学内容:人教版九年义务教育六年制小学数学第九册P84 -P85. 教材分析: 人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时,是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的,是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础,教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题,接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路,把三角形也转化成学过的图形,通过学生动手操作和探索,推导出三角形面积计算公式,最后用字母表示出面积计算公式,这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。 学情分析: 学生在以前的学习中,初步认识了各种平面图形的特征,掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算,学生学习时并不陌生,在前面的图形教学中,学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识,在学习方法上也有一定的基础,教学时从学生的现实生活与日常经验出发,设置贴近生活现实的情境,通过多姿多彩的图形,把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标: 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程,理解三角形面积公式的来源;并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中,培养学生的实践动手能力,合作探索意识和能力,培养创新意识和能力。 3、通过实践操作,自主探究,使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。 教学重点:三角形面积计算公式的推导。 教学难点:运用拼、剪、平移、旋转等方法,发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面 积的相互联系推导出三角形面积计算公式。 教具准备:多媒体课件一套。 学具准备:工具(尺、剪刀),三组学具(①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三

三角形面积计算公式

《三角形面积计算公式》教学设计 四卦小学白保华 教学内容:人教版九年义务教育六年制小学数学第九册三角形面积 教材分析:人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时,是 在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的,是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础,教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题,接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路,把三角形也转化成学过的图形,通过学生动手操作和探索,推导出三角形面积计算公式,最后用字母表示出面积计算公式,这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。 学情分析:学生在以前的学习中,初步认识了各种平面图形的特征,掌握了长方形、正方 形、平行四边形的面积计算,学生学习时并不陌生,在前面的图形教学中,学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识,在学习方法上也有一定的基础,教学时从学生的现实生活与日常经验出发,设置贴近生活现实的情境,通过多姿多彩的图形,把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标: 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程,理解三角形面积公式的来源;并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中,培养学生的实践动手能力,合作探索意识和能力,培养创新意识和能力。 3、通过实践操作,自主探究,使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。 教学重点:三角形面积计算公式的推导。 教学难点:运用拼、剪、平移、旋转等方法,发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面积的相互联系推导出三角形面积计算公式。 教具准备:多媒体课件一套,投影仪。 学具准备:工具(尺、剪刀),三组学具(①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各两个②长方形、正方形、平行四边形各一个③任意三角形若干个) 教学设计: 一、创设问题情境,质疑激励探索 师:同学们,今天老师为大家带来了几位老朋友,你们想和它们见见面吗? 1、课件出示:学生说名称及特征后, 平行四边形 出示关系集合图长方形 正方形

三角形的面积计算公式

三角形的面积计算公式 三角形的面积计算公式1.已知三角形底a,高h,则 S=ah/22.已知三角形三边a,b,c,则(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-(AB*AC)

正余弦定理的应用三角形面积公式定理公开课一等奖

正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学内容解析 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材内容 本节内容是正弦定理与余弦定理知识的延续,借助正弦定理和余弦定理,进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式,然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积,最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学内容的知识类型 在本课教学内容中,包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识,三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识,利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识,发现问题——提出问题——解决问题的研究模式,以及从直观到抽象的研究问题的一般方法,属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维;生活实际问题求解三角形面积,是培养数学建模思想的好契机;引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式,激发学生学习数学的兴趣,探究数学史材料,培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础:从学生知识最近发展区来看,学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式,并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理,这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础:通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习,学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验,能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择

《三角形面积计算公式》案例 1. 运用三角形面积计算公式进

《三角形面积计算公式》案例 1. 运用三角形面积计算公式进行计算. 2.培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力. 3.培养学生勤于思考,积极探索的学习精神. 教学重点 理解三角形面积计算公式,正确计算三角形的面积. 教学目标 1.理解三角形面积公式的推导过程,正确 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程. 教学过程 一、复习铺垫. (一)设置情境计算红领巾 (二)共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程. 二、指导探索 推导三角形面积计算公式. 1.拿出手里的平行四边形,请学生想办法剪成两个三角形,并比较它们的大小. 2.启发提问:你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形,再计算面积呢? 3. 让全部同学用两个完全一样的直角三角形拼. 4.让全部同学用两个完全一样的锐角三角形拼. 5.让全部同学用两个完全一样的钝角三角形来拼. 6.讨论: (1)两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形? (2)每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系? (3)三角形面积的计算公式是什么? (4)如果用S表示三角形面积,用a和h表示三角形的底和高,那么三角形公式可以写成什么? (三)教学例1. 例1 .一种零件有一面是三角形,三角形的底是 5.6厘米,高是4厘米.这个三角形的面积是多少平方厘米? 1.由学生独立解答. 2.订正答案(教师板书) 5.6×4÷2=11.2(平方厘米) 答:这个三角形的面积是11.2平方厘米. 三、质疑调节

(一)总结这一节课的收获,并提出自己的问题. (二)教师提问: (1)要求三角形面积需要知道哪两个已知条件? (2)求三角形面积为什么要除以2? (3)把三角形转化成已学过的图形,还有别的方法吗? (演示:三角形剪拼法) 五、板书设计 教案点评: 本节课的主要特点是: 1、重视知识形成的过程,注意引导学生积极参与教学过程,突出了以学生为主体,老师为主导的教学指导思想。 2、注意渗透转化的思维方法和平移的思想,抓住新旧知识的衔接点和新知的生长点,形成良好的认知结构,同时培养了学生的逻辑思维能力.

五年级数学三角形面积的计算

三角形面积的计算 五年级数学教案 教学目标 1.理解三角形面积公式的推导过程,正确运用三角形面积计算公式进行计算. 2.培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力. 3.培养学生勤于思考,积极探索的 学习 精神. 教学重点 理解三角形面积计算公式,正确计算三角形的面积. 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程. 教学过程 一、复习铺垫. (一)教师提问:我们学过了哪些平面图形的面积?计算这些图形面积的公式是什么? 教师:今天我们一起研究“三角形的面积”(板书课题) (二)共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程.

二、指导探索 (一)数方格面积. 1.用数方格的方法求出第69页三个三角形的面积.(小组内分工合作) 2.演示课件:拼摆图形 3.评价一下以上用“数方格”方法求出三角形面积. (二)推导三角形面积计算公式. 1.拿出手里的平行四边形,想办法剪成两个三角形,并比较它们的大小. 2.启发提问:你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形,再计 算面积呢? 3.用两个完全一样的直角三角形拼. (1)教师参与学生拼摆,个别加以指导 (2)演示课件:拼摆图形 (3)讨论 ①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形(第三种拼法)能帮助我们推导出 三角形面积公式吗?为什么? ②观察拼成的长方形和平行四边形,每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形 的面积有什么关系?

4.用两个完全一样的锐角三角形拼. (1)组织学生利用手里的学具试拼.(指名演示) (2)演示课件:拼摆图形(突出旋转、平移) 教师提问:每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系? 5.用两个完全一样的钝角三角形来拼. (1)由学生独立完成. (2)演示课件:拼摆图形 6.讨论: (1)两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形? (2)每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系? (3)三角形面积的计算公式是什么? (4)如果用S表示三角形面积,用a和h表示三角形的底和高,那么三角形面积的计算公式可以写成什么? (三)教学例1. 例1.一种零件有一面是三角形,三角形的底是5.6厘米,高是4厘米.这个三角形的面积是多少平方厘米? 1.由学生独立解答. 2.订正答案(教师板书) 5.6×4÷2=11.2(平方厘米) 答:这个三角形的面积是11.2平方厘米.

三角形面积公式的实际应用

第3课时三角形面积公式的实际应用教学内容: 冀教版小学数学五年级上册第60、61页三角形面积的应用。 教学提示: 学生已掌握了三角形面积的计算公式,在此基础上引导学生把计算结果同实际的需要联系起来,培养数学应用意识和解决实际问题的能力。 教学目标: 1、知识与技能:结合具体情境,经历综合应用知识解决实际问题的过程。 2、过程与方法:通过解决与三角形面积有关的简单问题,获得综合应用所学知识解决实际问题的经验和方法。 3、情感态度与价值观:愿意对数学问题进行讨论,感受数学运算的合理性与结果运用的现实性,培养数学应用意识。 重点、难点: 教学重难点:会应用三角形的面积计算公式解决一些简单的实际问题。 教学准备: 多媒体课件,图形。 教学过程: 一、复习导入 同学们,我们已经学习了哪几种平面图形的面积?

谁能说一说怎样求他们的面积?(学生自愿回答) 【设计意图:让学生复习长方形、正方形、平行四边形、三角形的面积公式,为下面的学习打下伏笔。】 二、探索新知 1、课件出示例题:有两块白布,用它们做医院包扎使用的三角巾(不可拼接),第一块白布:长135分米,宽9分米。第二块白布:长140分米,宽10分米。 9dm 2、提出问题。 第一块白布可做多少块这样的三角巾呢?第二块白布可做多少块这样的三角巾呢?请同学试着用自己的方法算一算。 3、解决问题。 学生试算,教师巡视。了解学生计算的方法。 师:学生汇报计算的结果。 生:我先算第一块白布和一块三角巾的面积,再计算第一块白布可做多少块三角巾。 135×9=1215(平方分米) 9×9÷2=40.5(平方分米) 1215÷40.5=30(块)

三角形面积计算练习题

1、 计算下面三角形的面积 2、 量出下面图形的数据并计算它们的面积 3、 一个三角形底是10.6米,高是70分米。他的面积是多少? 4.8分米 1.2厘米 1.9厘米

1.填空 (1)270平方厘米=()平方分米 1.4公顷=()平方米 (2)一个三角形的底是4分米,高是30厘米,面积是()平方分米。 (3)一个三角形的高是7分米,底是8分米,和它等底等高的平行四边形的面积是()平方分米。 (4)一个三角形的面积是4.8平方米,与它等底等高的平行四边形的面积是()(5)一个三角形的面积比它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米,平行四边形的面积是()平方分米,三角形的面积是()平方分米。 (6)一个三角形和一个平行四边形的面积相等,底也相等,如果三角形的高是10米,那么平行四边形的高是()米;如果平行四边形的高是10米,那么三角形的高是()米。2.判断题。 (1)两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。() (2)等底等高的两个三角形,面积一定相等。() (3)三角形面积等于平行四边形面积的一半。() (4)三角形的底越长,面积就越大。() (5)三角形的底扩大2倍,高扩大3倍,面积就扩大6倍。() 3 4.应用题。 (1)一块三角形地,底长38米,高是27米,如果每平方米收小麦0.7千克,这块地可以收小麦多少千克? (2)人民医院用一块长60米,宽0.8米的白布做成底和高都是0.4米的包扎三角巾,一共可做多少块? (3)如图,一个三角形的底长5米,如果底延长1米,那么面积就增加1.5平方米。那么原来三角形的面积是多少平方米?

正弦定理的变形及三角形面积公式

第二课时正弦定理的变形及三角形面积公式 【选题明细表】 题号 知识点、方法 易中正弦定理的变形应用1、2、6 4 三角形面积公式的应用3、7 正弦定理的综合应用 5 9、10 正弦定理的实际应用8 基础达标 1.在△ABC中,若sin A>sin B,则有( C ) (A)ab (D)a≤b 解析:∵a=2Rsin A,b=2Rsin B, 又sin A>sin B, ∴a>b.故选C. 2.已知△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c等于( C ) (A)1∶1∶4 (B)1∶1∶ (C)1∶1∶ (D)1∶2∶ 解析:∵A∶B∶C=1∶1∶4,

∴A=30°,B=30°,C=120°, ∴a∶b∶c=(2Rsin A)∶(2Rsin B)∶(2Rsin C) =sin A∶sin B∶sin C =sin 30°∶sin 30°∶sin 120° =1∶1∶.故选C. 3.在△ABC中,若A=75°,B=45°,c=6,则△ABC的面积为( A ) (A)9+3 (B) (C)(D) 解析:∵A=75°,B=45°, ∴C=60°,b===2, ∴S△ABC=bcsin A=×2×6×=9+3. 故选A. 4.(2013即墨实验高中高二月考)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,设B=2A,则的取值范围是( B ) (A)(-2,2) (B)(,) (C)(,2) (D)(0,2) 解析:由锐角三角形知 又B=2A,A+B+C=180°, ∴30°

∴===2cos A∈(,).故选B. 5.(2013连江一中高二期中联考)若三角形的三个内角成等差数列,对应三边成等比数列,则三角形的形状是( C ) (A)等腰三角形(B)直角三角形 (C)等边三角形(D)等腰直角三角形 解析:设三角形的三角为A,B,C,所对的边分别为a,b,c,则 A+C=2B,ac=b2, ∵A+C+B=180°, ∴2B+B=180°,即B=60°. 又由ac=b2及正弦定理,得 sin Asin C=sin2B=sin260°=, 令A=60°-α,则C=60°+α, ∴sin(60°-α)·sin(60°+α)=, (cos α+sin α)=, cos2α-sin2α=. ∵cos2α+sin2α=1, ∴sin α=0, 又-60°<α<60°, ∴α=0°, ∴A=B=C,

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