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三角形面积公式的行列式形式及应用

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从小学到中学,我们学习过好多个

三角形面积公式,其中最主要的是

和,但是当已

知条件是三角形三个顶点的坐标时,使

用上述两个公式就不很方便了,那么有

没有更为简单的方法呢?笔者翻阅了许多

参考书,找到了下面这个用行列式表示

的三角形面积公式,但是始终没有找到

这个公式的证明。鉴此,本文将应用向

量的数量积公式和两直线的夹角公式等知

识对该公式进行证明,并给出两个推论

和应用实例。

定理:在平面直角坐标系中,已知

三角形三个顶点的坐标是A(x

1

,y

1

)、B(x

2

,

y

2

)、C(x

3

,y

3

),则三角形ABC的面积公

式是S=的绝对值。

证明:由于三角形必有内角为锐

角,不妨设∠A是锐角。

把已知点的坐标代入斜率公式和向量

的坐标公式可得

三角形面积公式的

行列式形式及应用

周革生  福建石狮鹏山工贸学校

又因为

因此,S=的绝对值。

推论1:在平面直角坐标系中,A(x

1

,

y

1

)、B(x

2

,y

2

)、C(x

3

,y

3

) 三点共线的充要

条件是=0

推论2:在平面直角坐标系中,过两

点A(x

1

,y

1

)、B(x

2

,y

2

)的直线方程是

例1:已知A(-3,-2),B(1,-6),求

△ABO(O是原点)的面积。(摘自语文出

版社的中职《数学》教材第三册P.20)

例2:判断A(2,3)、B(1,-3)、C(3,9)三

点是否在同一直线上。(摘自语文出版社的

中职《数学》教材第三册P.10)

例3:已知三角形三个顶点的坐标是

A(2,1)、B(0,7)、C(-4,-1),求三边所

在的直线的方程。(摘自语文出版社的

中职《数学》教材第三册P.10)

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