公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点
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公因数和公倍数
【知识点回顾】
1、公因数
（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。
(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数
求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:
两个数的关系最大公因素最小公倍数
特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数
(12和48）
较小数(1２) 较大数(48）
一般关系（12和1８) 用短除法
将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘
（2×3×2×3=3６）
4、求最大公因数和最小公倍数的方法：
一、特殊情况：
(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。）
(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)
二、一般情况:
（1)求最大公因数:
列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数
先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１8
2７的因数有:１、３、9、27
再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、18
27的因数有:1、3、９、27
1、3、９
最后找出最大公因数： 9
②单列举法:如,求1８和27的最大公因数
先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18
再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数
最后找出最大公因数: 9
③短除法:
３ 18 ２7
3 6 9
2 ３
除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:
用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。18
÷
９就是1８和2７的最大公因数 27
(2）求最小公倍数:
列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
①列举法：如,求18和12的最小公倍数
先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 1８的倍数：1８、36、5４、72
12的倍数：12、24、３６、48 再找出两个数的最小公倍数：18的倍数:18、３6、54、７２
12的倍数：１２、24、3６、４8
②单列举法:如，求１８和12的最小公倍数
先找出一个数的倍数： 18的倍数有:1８、３6、54、７2
再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数,找出最小公倍数: 36
③大数翻倍法:如,求18和1２的最小公倍数
把较大的数翻倍(2倍开始）,每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
如，求１8和12的最小公倍数。可以把１8翻倍:１8×2=３6，3６又是12的倍数，所以３6是1８和12的最小公倍数。
④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除）
如，求１８和１2的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3,除到两个商是互质数（公因数只有１）为止。
2 18 1２
3
3 ２
除数商
?【例题精讲】
问题１、(1)既是3０的因数，又是45的因数的数共有几个?其中最大的数是多少?
（２)既是30的倍数,又是45的倍数的数，最小是多少?
想:(1)既是30的因数，又是45的因数的数，就是30和45的公因数,其中最大的就是30和４５的最大公因数;(2）既是３0的倍数，又是45的倍数的数就是３０和４5的公倍数，其中最小的数就是3０和4５的最小公倍数。1 3
除到商是互质数为止，最后把所有的除数和商相乘18和12的最小公倍数是：2×3×3×2=36
9 6
解：（1)3０和45的公因数有：1，3，5,1５共四个，其中最大的是１5;
(2)30和4５的公倍数有：9０,１８0,270等等，其中最小是9０。
随堂练习
1、既是３０的倍数,又是４５的倍数,还是75的倍数的数，最小是多少?
问题2、三个连续自然数的最小公倍数是1６8，那这三个连续自然数的和是多少?
解析：要求三个连续自然数的和,就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最小公倍数是1６8，可先把1６８分解质因数168＝2×２×2×３×7,根据16８的质因数的情况可以肯定其中一个是７,(为什么不可能是１4)因此这三个连续自然数只有６、7、８和7、８、9两种可能,而７、8、９这三个数任两个数公因数都是１，故这三个连续自然数只能是６、7和8。（经检验正确）它们的和是6＋7＋8=21。
答：这三个连续自然数是6、7、8。它们的和是21。
随堂练习
1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几?
问题3、有一种长60厘米,宽４5厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形?
想:用长6０厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60的倍数，也是45的倍数,也就是60和４5的公倍数，因此正方形的边长是180厘米,由此容易求得一共用的地砖块数。
解：[60、４5］=180 (180÷６0)×(180÷4５)=12（块）
答:至少要用12块这样的砖,才能铺成一块正方形。
随堂练习
1、一种长45厘米，宽3０厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板多
少块？
问题4、某班学生排队做操，如果每排３人，少了1人；如果每排5人，就多出2人；如果每排6人,就多出２人。这个班至少有多少人?
想：如果把每排3人,就少了1人，转化成每排３人,也就是多了2人,这样就把这个班分别排成每排3人、5人、6人都统一成多出了2人。如果把这个班的人数减去２人,那么这个班的学生人数正好是3、5和6的倍数,也就是3、５和6的最小公倍数,然后加上多出的2人就是这个班的学生人数。
解:［3、5、6]=30 , 30+２=32(人)答：这个班至少有32人。
随堂练习
1、有一个自然数，除以１0余7，除以６余3,除以４余1。这个自然数最小是多少?
问题5、五(2）班同学共38人。一天上体育课，排成一列横队,都面向老师站，然后按１,2,3,4……36,3７,38报数，老师要求学生按如下的步骤进行操作：（1）先让报数是３的倍数的同学向后转；(２）再让报数是５的倍数的同学向后转。经过这两步操作后,还有多少名同学仍面向老师?
解析：报数是３的倍数的同学有：38÷３≈1２（人)，报数是５的倍数的同学有:38÷5≈7(人）,但要注意的是，报数是3和5的公倍数的同学有38÷(３×5)≈2(人），而这２人转了2次,又面向了老师,所以经过两步操作后，背对老师的同学共有12+７－２×2=15（人）,这时仍有38-15=23(名）同学面对老师。
答:经过这两步操作后，还有23名同学仍面向老师。
随堂练习
1、五(1)班同学有４7人,一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按1、２、３、
4……46、47报数，老师要求学生按如下的步骤操作:(1)先让报数是3的倍数的同学向后转;（2)再让报数是５的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学面向老师?
最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总
一、解题技巧：
最大公因数解题技巧:
通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时,因为小数（即处于除数、商、因数)是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时,所求的数量就处于因数的地位。如果出现相同的(公有的）/最长的所求数量,即求他们的公因数/最大公因数的应用题。
最小公倍数解题技巧：
通常从问题入手,所求的数量处于大数(即处于被除数、被除数、积）的地位时,因为大数(即处于被除数、被除数、积）是小数(即处于除数、商、因数)的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。如果出现相同的(公有的）／最小的所求数量,即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。
补充部分公式
小长方形个数＝（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）
小正方形个数＝（大长方形的长÷小正方形边长)×（大长方形的宽÷小正方形边长）
小长方体个数=(大正方体边长÷小长方体长）×(大正方体边长÷小长方体的宽)×（大正方体边长÷小长方体高）
小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×(大长方体的宽÷小正方体边长）×(大长方体的高÷小正方体边长）
剩余定理
余数相同时,总数（被除数)=最小公倍数＋余数
缺数相同时,总数（被除数)=最小公倍数-缺数
植树问题公式
不封闭型: 2、只有一端都栽
１、两端都栽间隔个数=株数
间隔个数=株数－1
株数=间隔个数＋1 株数＝间隔个数
距离＝一个间隔的长度×间隔个数?距离＝一个间隔的长度×间隔个数
３、两端都不栽
间隔个数=株数＋1
株数=间隔个数－１
距离=一个间隔的长度×间隔个数
封闭型:
间隔个数=株数
株数=间隔个数
距离=一个间隔的长度×间隔个数
封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽:
株数＝（每边株数-１）×４
备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题,这类题通常先求一层／一段需要多少时间,再乘以段数即可
二、经典题目
１、一个大长方形长2４厘米,宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长,边长是多少厘米?最多能裁成多少个小正方形？
2、一个长方形的长6厘米,宽4厘米,至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形?此时,大的正方形的边长是多少厘米?
3、一个大长方体长24厘米,宽18厘米，高12厘米,把它裁成若干个小正方体而没有剩余,如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米?最多能裁成多少个小正方体？
4、一个长方体的长6厘米，宽４厘米,高２厘米。至少要多少个这样的小长方体才能拼成一个大的正方体?此时,大的正方体的棱长是多少厘米?
5、一路车５分钟发一次车，二路车６分钟发一次车,他们现在同时发车,至少要多少时间再次同时发车？
6、崔青青5天去一次图书馆,李幻霞３天去一次图书馆,修畅6天去一次图书馆,她们今天同时在图书馆，至少要多少天她们3人再次相遇？
7、五(3)班做早操,每6人一排或每7人一排,都能排成整排而没有剩余,五（3)班至少有多少人?
8、五（3）班做早操，每6人一排或每７人一排,都都剩余3人,五（3)班至少有多少人?(备注:最小公倍数与剩余定理题综合出题）
９、五(３）班做早操,每6人一排少3人,每7人一排剩余4人，五（3）班至少有多少人？（备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题)
10、五(3）班分水果,桃子84个，苹果42个，平均分给每个同学正好分完而没有剩余。五（３)班最多有多少人？
１1、两根铁丝分别长72米、４8米，把他们裁成相等的段数,正好裁完，而没有剩余,每段最长是多少米？
12、有一段路每８米栽一棵树,头尾都栽共栽了5１棵。如果改成５米一棵，至少几米有一棵不动？共有多少棵不动？（备注:最小公倍数与植树问题综合出题)
附加:
1、起步价问题
某城市根据不同的用水量采用不同的自来水收费标准,收费标准如下表:
月用水量(立方米／户) 收费标准(元／立方米）
10以下（包括10)部分１.８0
11至2０(包括2０）部分２.６0
２0以上部分 3.40
（1）小明家五月份用水９立方米,应付水费多少元？
（2)小明家六月份付水费31．20元，算一算,他家六月份用了多少立方米水?
（3）抄表员七月一日到小明家抄水表时,水表上显示1363立方米，八月一日再次抄表时，水表上显示１384立方米。小明家七月份需要付水费多少元？
2、最佳问题也叫最经济问题
五(３)班４位老师带领38名学生去逛动物园，门票写着大人每张票价20元，儿童每张票价1０元;如果购买团体票每10人为一张团体票，一张团体票80元。请你帮办主任算算怎样买票最合算,最合算多少元?
五(３)班和五(４)班7６位学生去划船,船上的标价是租一条大船30元，租一条小船20元，请问怎样租船最合算，最合算多少元?（大船一条坐１５人,小船一条坐8人)
一架天枰,只有5克和30克两个砝码，要把3０0克的盐平均分成三份，最少称几次?写出称
法。
14个大小完全一样的红球，其中一个重量轻是不合格的产品，你能用天枰称几找出不合格的产品？
妈妈在厨房烙饼，每次锅里只能放两张饼，烙一张饼需２分钟，每面各1分钟。问妈妈在厨房烙3张饼至少需要几分钟?
一把钥匙开一把锁,现有6把钥匙６把锁，但不知怎么相配。那么最多要试几次确保配对全部的钥匙和锁？
有甲乙丙丁四袋奶粉，甲袋最轻,丙袋最重，乙袋在甲丙两者之间。试用无砝码天枰称一次，确定出丁排在第几位,应该怎样称量?
3、容斥问题
注意去掉重复的计数(重复的计数通常指的是既参加这项,又参加另一项，因此在计数时，此数重复数了一次)
五(3）班有36人,语文优秀的人数有26人，数学优秀的人数有30人,请问语数都优秀的有多少人﹖（求重复计数部分的代表题)
五（3）班有３6人,语文优秀的人数有25人,数学优秀的人数有３０人，有2５人语数都是优秀，请问语数都达不优秀的有多少人﹖(求综合性的代表题）
五（3）班语文优秀的人数有25人,数学优秀的人数有30人,语数都优秀的有20人,请问五（3）班达到优秀的学生有多少人﹖(求实际数量的代表题)
五(３)班语文优秀的人数有2５人,数学优秀的人数有3０人，语数都优秀的有2０人,还有5人达不到优秀,请问五(3)班有多少人﹖
?【平时练习】
第一天用短除法求几个数的最大公因数
12和3０ 24和３６３9和７8 72和84 3６和６0
42、10５和56 24、36和45和60 ４5和75 45和6０?
４8
第二天用短除法求几个数的最小公倍数。
25和30 2４和30 39和7８60和84
18和20
126和６045和7５1２和24 12和１4
45和60
76和80３6和60 27和72 42、105和56 ２4、36和4８
第三天
一、填空
１、甲=２×3×5，乙＝2×３×７,甲和乙的最大公因数是（ ).
２、３6和60相同的质因数有（),它们的积是（）,也就是３6和60的( ）.
3、( ）的两个数，叫做互质数．
４、自然数a除以自然数b，商是15，那么ａ和b的最大公因数是( ）.
二、判断(对的打“√”，错的打“×” ）．
1、互质数是没有公约数的两个数．（）
2、成为互质数的两个数，一定是质数．（ )
3、只要两个数是合数,那么这两个数就不能成为互质数．（）
4、两个自然数分别除以它们的最大公因数，商是互质数.( ）
三、选择题
1、成为互质数的两个数（）.
①没有公因数②只有公因数1 ③两个数都是质数④都是质因数
２、下列各数中与18只有公因数1是（ ).
①2１②40③25④18
3、下列各组数中，两个数只有公因数1的是（）．
①17和5１②５2和91 ③24和25 ④ 11和２２
四、直接说出下列各组数的最大公因数.
1、８与９的最大公因数是( ）. ２、48、12和１6的最大公因数是( )．3、6、30和45的最大公因数是( ）． 4、150和2５的最大公因数是（）．第四天
一、填空
1、按要求,使填出的两个数只有公因数1.
①质数（ )和合数（），②质数( ）和质数( )，
③合数( )和合数( )，④奇数( )和奇数( ),
⑤奇数( )和偶数（ )．
２、两个数为互质数,这两个数的最大公因数是( )．
3、所有自然数的公因数为( ).
4、１8和２4的公因数有（）,１8和24的最大公因数是( )．
二、判断(对的打“√”，错的打“×”）．
1、因为15÷３=5,所以1５和3的最大公因数是5．( )
2、3０、15和5的最大公因数是30．（）
3、最小的合数和最小的质数这两个数不是只有公因数1.( )
4、相邻的两个自然数一定只有公因数1.（）
三、选择题
1、甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7,它们的最大公约数的质因数里应该( ).
①有五个7 ②没有7 ③不能确定
2、甲、乙两数的最大公约数是７,甲数的3倍与乙数的5倍的最大公约数（ )
①肯定是7 ②肯定不是7 ③不能肯定
四、应用题
用9６朵红花和７2朵白花做花束,如果每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的白花的朵数也都相等.每个花束里最少有几朵花？
第五天
一、填空
1．a和b 都是自然数,如果ａ除以 b商５没有余数,那么ａ和b的最大公约数是( )，最小公倍数（）．
2.如果 a和b 是互质的自然数，那么a 和b 的最大公约数是( ），最小公倍数是( ). 3．三个质数的最小公倍数是４2，这三个质数是( ）．
4.１0０以内能同时被3和7整除的最大奇数是（),最大偶数是（ )．
5.一个数的最大约数是，它的最小倍数是( ）.
６．所有偶数的最大公约数是（），所有奇数的最大公约数（）.
二、判断
1．几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个．( )
2．两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小．( ）
3.如果三个自然数两两互质,它们的最大公约数是１，最小公倍数就是三个数的乘积．( ）
4.如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数．（）5．一个数的约数必定小于它的倍数.（ )
三、选择题
１．96是16和12的（ )
①公倍数②最小公倍数③公约数
2．几个质数的连乘积是( )
①合数②质数③最大公约数④最小公倍数
3．甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是（）
①15 ②甲③乙④甲×乙
4．12是24和36的( )
①约数②质因数③最大公约数
5.一个数的最大约数( ）它的最小倍数．
①>②＜③＝
６. =2×２×５, =２×3×5，那么、的最小公倍数是( )
①60０②３０0 ③60④１０
四、直接说出下列每组数的最小公倍数
1． 18和36的最小公倍数是( ) ２． 45和135的最小公倍数是（）
3．8、18和72的最小公倍数是（ ) ４. ４8、16和２4的最小公倍数是( )
?【综合测试】
一、填空(共２0分)
１、最小的素数是（ ),最小的合数是（)。
2、1８的因数有( ),2４的因数有（），它们的公因数有（）。
３、在1~２0的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（),既是素数又是偶数的有（）。
4、自然数按因数个数的多少可以分成（)、( )和( ）。
5、1082至少加上( )是３的倍数,至少减去（ )才是5的倍数。
6、一个数的最大因数是１3,这个数的最小倍数是( ）。
7、两个自然数ａ、b的最大公因数是1,它们的最小公倍数是（ )。
8、如果A＝2×2×３,B＝2×3×3,那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是( ）。
９、一个数是３的倍数，又是5的倍数,还有因数7。这个数最小是（ )。1０、一个数既是30的因数、又是４５的因数,最大的是（）。
11、用０、1、２三个数字排成的所有三位数中,同时是2、3、５的倍数的数有( ）。
１２、如果两个数的最大公因数是1，它们最小公倍数是9１,那么这两个数的和最大是( ）。
二、判断题（共5分)
１、两个连续自然数(０除外）它们的最大公因数是１。（ )
2、在2４的因数中，是素数的只有2和3。（）３、5和７没有公因数,但5和７有公倍数。( )
４、所有的偶数都是合数。（)
5、两个数的公倍数一定比这两个数都大。（）
三、选择题（共5分）
１、任何两个奇数的和是（ )。A 奇数 B 合数Ｃ偶数
2、两个素数的积一定是( )。A 素数 B 合数 C奇数
3、任何两个自然数的（ )的个数是无限的。
A 公倍数
B 公因数
C 倍数
４、Ａ是B倍数，那么它们的最小公倍数是（）。
A A
B B A
C B
5、两个数的最大公因数是1５,最小公倍数是９0，这两个数一定不是( ）。
Ａ 15和９0 B 45和90 C 45和30
四、写出每组数的最大公因数（共１2分)
32和1 1２和18 72和48
78和117 23和60 1２和6０
五、写出每组数的最小公倍数（共12分）
4和１5 5和7 ９0和３0
9和15 13和３9 6和13
六、列式计算（共8分)
1、一个自然数被3、5除都余1,这个数最小是多少？
2、五个连续奇数的和是425,最小的一个是多少?
七、解决问题（共38分，第8题3分，其余每题5分）
1、一枝钢笔的价钱是18.６元，比一枝圆珠笔贵10.9元,一枝圆珠笔多少元?
（列方程解答）２、小明的妈妈比小明大2６岁,爸爸今年38岁,比妈妈大４岁,小明今年多大了? （列方程解答)
3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每４天去一次，乙每５天去一次,如果７月１日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？
4、有两根小棒分别长20分米，28分米。要把它们都截成同样长的小棒,不许剩余，每根小棒最长能有多少分米?
５、一个长方形的面积是2４厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？
6、在一张长40厘米,宽32厘米的长方形红纸上裁出同样大小,面积最大的正方形，并且没有剩余。一共可以裁出多少个这样的正方形？
7、五(1)班学生人数不超过５0人,在分小组做游戏时,可以分为每组６人或者每组８人,两种分法都刚好分完。这个班的学生可能有多少人？
8、园林工人在一段公路的一边每隔4米栽一棵树,一共栽了１7棵。现在要改成每隔6米栽一棵树。那么,不用移栽的树有多少棵?