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小学奥数:鸡兔同笼问题(二).专项练习及答案解析

1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.

2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题,需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对

象.

一、鸡兔同笼

这个问题,是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?

你会解答这个问题吗?你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗?

二、解鸡兔同笼的基本步骤

解答思路是这样的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1.因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即473512-=(只).显然,鸡的只数就是351223-=(只)了.

这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.除此之外,“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”.

假设法顺口溜:鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到.

解鸡兔同笼问题的基本关系式是:

如果假设全是兔,那么则有:数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)

兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡,那么就有:兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)

鸡数=鸡兔总数-兔数

当头数一样时,脚的关系:兔子是鸡的2倍

当脚数一样时,头的关系:鸡是兔子的2倍

在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法

两个量的“鸡兔同笼”问题——变例

【例 1】 某次数学竞赛,共有20道题,每道题做对得5分,没做或做错都要扣2分,小聪例题精讲 知识精讲 教学目标

6-1-9.鸡兔同笼问题(二)

得了79分,他做对了多少道题?

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 做错(52079 ) (52)3?-÷+= (道),因此,做对的20317-= (道).

【答案】17道

【巩固】 数学竞赛共有20道题,规定做对一道得5分,做错或不做倒扣3分,赵天在这次

数学竞赛中得了60分,他做对了几道题?

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 假设他将所有题全部做对了,则可得100分,实际上只得了60分,比假设少了40

分,做错一题要少得8分,少得的40分中,有多少个8分,就是他做错的题的数

量,则知他做对了15道.

【答案】15道

【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛,共20道试题.做对一题得5分,没有做一题或

做错一题都要倒扣2分.刘钢得了86分,问他做对了几道题?

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题.假设刘钢20道题全对,可得分520100?=(分),

但他实际上只得86分,少了1008614-=(分),因此他没做或做错了一些题.由

于做对一道题得5分,没做或做错一道题倒扣2分,所以没做或做错一道题比做对

一道题要少527+=(分).14分中含有多少个7,

就是刘钢没做或做错多少道题.所以,刘钢没做或做错题为1472÷=(道),做对题为20218-=(道).

【答案】18道

【巩固】 某次数学竞赛,试题共有10道,每做对一题得6分,每做错一题倒扣2分。小红

最终得44分,做对的题比做错的题多______道。

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】学而思杯,3年级,第8题,假设思想方法

【解析】 ()604482-÷=,做错2道题,做对8道题,对的比错的多6道。

【答案】多6道

【巩固】 次数学竞赛有10道试题,若小宇得70分,根据图5中两人的对话可知小宇答对

_________题。

小学奥数:鸡兔同笼问题(二).专项练习及答案解析

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯,五年级,一试,第12题

【解析】 设答对了x 道题,那么105(10)70-?-=x x ,所以8=x ,也就是小宇答对了8道

题。

【答案】8题

【巩固】 一次口算比赛,规定:答对一题得8分,答错一题扣5分。小华答了18道题,得

92分,小华在此次比赛中答错了________ 道题。

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯,四年级,二试,第12题

【解析】 假设他全答对了,应该的18×8=144分,实际上少了144-92=52分,每答错一道题

少8+5=13分,答错了52÷13=4道题。

【答案】4题

【例 2】 某工人与老板签订了一份30天的劳务合同:工作一天可得报酬48元,休息一天

则要从所得报酬中扣掉12元。该工人合同到期后并没有拿到报酬,则他最多工作

了_________天。

【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯,四年级,二试,第5题

【解析】 方法一:假设他没有休息他会得3048=1440?(元),休息一天会少4812=60+(元),

所以他休息了144060=24÷(天),他工作了3024=6-天

方法二:工作一天休息4天刚好抵消,那么最后没拿到钱,他只工作了30÷(4+1)=6

天。

【答案】6天

【例 3】 春风小学3名云参加数学竞赛,共10道题,答对一道题得10分,答错一道题扣3

分,这3名同学都回答了所有的题,小明得了87分,小红得了74分,小华得了9

分,他们三人一共答对了_____道题.

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】假设思想方法

【解析】 三人共得87749170++=(分),比满分10103300??=(分)少300170130-=(分)

因此三个人共做错:130(103)10÷+=(道)题,共答对了301020-=(道)题

【答案】20

【例 4】 张明、李华两人进行射击比赛,规定每射中一发得20分,脱靶一发扣12分,两

人各射了10发,共得208分,其中张明比李华多64分,则张明射中___________

发。

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯,4年级,1试

【解析】 张明得分(208+64)÷2=136分,根据鸡兔同笼,

张明脱靶(20×10-136)÷(20+12)=2,射中8发。

【答案】8发

【巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛,两人商定,对一题得20分,不答或答错一

题扣12分。两人各解答了10道题,一共得208分,又知道小明比小刚多得64

分。那么小刚做对了 道题。

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】迎春杯,高年级,初试,10题

【解析】 小刚得了()20864272-=÷(分),如果小刚10道题都做对了,应得200分,实际

得72分,所以错了()()2007220124-+=÷(道),做对了1046-=(道)。

【答案】6道

【巩固】 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1

分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共

答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各

得多少分?

【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】法一:如果小明第一次测验24题全对,得524120

?=(分).那么第二次只做对

-=(分).比30246

-=(题)得分是862(156)30

?-?-=(分).两次相差1203090题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一

次答对减少一题,少得516

+=(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8210

+=分.两者两差数就可减少+=(分).(9010)(610)5

61016

-÷+=(题).因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对301911

-=(题).第一次得分

?-?-=.

5191(249)90

?-?-=.第二次得分8112(1511)80

法二:答对30题,也就是两次共答错2415309

+-=(题).第一次答错一题,要从满分中扣去516

+=(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8210

+=(分).答错题互换一下,两次得分要相差61016

?.但两次满分+= (分).如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去69

都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”,要少了6910

?+.

因此,第二次答错题数是(6910)(610)4

-=(题).

?+÷+=(题).第一次答错945

第一次得分5(245)1590

?--?= (分).

?--?=(分).第二次得分8(154)2480

【答案】第一次得分90分.第二次得分80分.

【例 5】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖,儿童票的价格为30元,成人票的价格为40元,如果是团体还可以买平均32元一位的团体票,一个由8个家庭组

成的旅游团(每个家庭由两位大人,或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游,

如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元,问这个旅游团一共有多

少人?

【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】每个三口之家可以少花30404032314

++-?=(元),每个二口之家可以少花

?= 40406416

+-=(元),如果这8个家庭都是三口之家,那么一共少花148112(元),所以这8个家庭中有12011216144

-÷-=(个)家庭是二口之家,所

()()

以这个旅游团一共有4284320

?+-?=(人).

()

【答案】20人

【例 6】一张数学试卷,只有25道选择题.做对一题得4分,做错一题倒扣1分;如不做,不得分也不扣分.若小明得了78分,那么他做对题,做错题,

没做题.

【考点】鸡兔同笼问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】假设思想方法,祖冲之杯

【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题,需要寻找一些特殊的线索.

小明得了78分,而且只有做对了题目才能得分.

?=(分);

78419

÷>,所以可以知道小明至少做对20道题目,否则一定低于41976再假设他做对21题,发现即使另外四题都错,小明仍然有4211480

?-?=(分),超过了78分,所以小明至多做对20道题目;

综上,可以断定小明做对了20道题.

至此本题转化为简单鸡兔同笼问题.

假设剩下5题全部没做,那么小明应得42080

?=(分).

但是只得了78分,说明又倒扣了2分,说明错了2道题,3道题没做.

所以小明做对了20道题,做错了2道题,没做3道题.

【答案】对了20道题,做错了2道题,没做3道题

【例 7】 一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆.已知每辆大卡车比每

辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有多少吨?

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 要算出这批钢材有多少吨,需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨.利用假设法,

假设只用36辆小卡车来装载这批钢材,因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,

所以要剩下436144?= (吨).根据条件,要装完这144吨钢材还需要45369-=(辆)小卡车.这样每辆小卡车能装144916÷=(吨).由此可求出这批钢材有720吨.

【答案】720吨

【例 8】 下面是小波和售货员阿姨的一段对话:小波:“阿姨,您好!” 售货员:“同学,

你好.想买点什么?”小波:“我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本

笔记本.”售货员:“好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请拿好.

再见.”根据这段对话,则钢笔每支是 元,笔记本每本是 元.

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】学而思杯,4年级,第14题

【解析】 一共花了100595-=元。如果是买25本笔记本可以少花10220?=元,即75元。

所以每本笔记本3元,每支钢笔5元

【答案】5元

【例 9】 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40

张,那么两种邮票各买了多少张

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

(680-8×40)÷(8+4)=30(张),

这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.

因此8分邮票有 40+30=70(张).

解二:譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560.

比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).

因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).

【答案】4分有30张,8分有70张.

【例 10】 喜羊羊的存钱罐中只有5角和1元的硬币共100枚,其中5角的硬币比1元

的硬币多20元,喜羊羊的存钱罐中总共有________钱。

【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】学而思杯,4年级,第3题

【解析】 60元。200.540÷=枚,()10040320-÷=枚,()20100200.560+-?=元。

【答案】60元

【例 11】 小同有一个储蓄筒,存放的都是硬币,其中2分币比5分币多22个;按钱数

算,5分币却比2分币多4角;另外,还有36个1分币.小同共存了多少钱?

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 假设去掉22个2分币,那么按钱数算,5分币比2分币多8角4分,一个5分币

比一个2分币多3分,所以5分币有845228

()÷-=(个),2分币有282250+=(个),528250136?+?+?= 14010036276++=(分)

【答案】276分

【例 12】 现有大小油桶50个,每个大桶可装油4千克,每个小桶可装油2千克,大桶

比小桶共多装油20千克,问大小桶各多少个?

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 方法一:假设50个油桶都是大桶,则共装油(450)200?=千克,而这小桶所装油

则为0.这样大桶比小桶多装200千克,比条件所给的差数多了(20080)180-=千克,若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶,则每拿一个大桶换成小桶,大桶装的油就减少4千克,而小桶共装的油就增加2千克,那么大桶比小桶多装的数量就减少(42)6+=千克,所以小桶有:180630÷=(个),大桶有:503020-=(个). 方法二:这道题也可以用另外一种假设;每个大桶比每个小桶多装2千克,如果大小桶同样多,大桶要比小桶共多装20千克,则应该大小桶各20(42)10÷-=个,现在共有50个桶,在剩下的(50102)30-?=个桶中,大小桶应装同样多的油,而每个大桶装的油是每个小桶装的(42)2÷=倍,那么在这30个桶中,应该有[30(12)]10÷+=个大桶,(3010)20-=个小桶;所以可求出50个桶中,有大小桶各多少个.

解:20(42)10÷-=(个)

(50102)(12)10-?÷+=(个) (大桶)

101020+=(个) (大桶共有)

502030-=(个) (小桶共有)

【答案】大桶20个,小桶30个

【例 13】 大、小猴共35只,它们一起去采摘水蜜桃.猴王不在时,一只大猴一个小时

可采摘15千克,一只小猴子一小时可摘11千克;猴王在场监督的时候,每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克.一天,采摘了8小时,其中第一小时和最后一小时猴王在监督,结果共采摘了4400千克水蜜桃.在这个猴群中,共有小猴子多少只?

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔.但是却有猴王来捣乱,所以我

们先让猴王消失.一天中,猴王监视了2小时,假设猴王一直都不在,同猴王在时相比,每只猴子每小时都会少采12千克,那样猴群只能采摘4400352123560-??=(千克);这是一天也就是8小时的工作量,据此可以求出这群猴每小时采35608445÷=(千克);假设都是大猴子,应该每小时采摘1535525?=(千克),比实际多采了52544580-=(千克).而每只小猴子被假设成大猴子,会多采15114-=(千克).因此可以求出小猴子有:80420÷=(只).

【答案】20只

【例 14】 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后

(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年?

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】 4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是

78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998年,兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年.

【答案】2003年

【例 15】一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时?

【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份). 现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字

的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,

就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了. 根据前面的公式"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)

=4.5, "鸡"数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时. 【答案】4.5小时

【例 16】箱子里红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2只,每次从箱子里取出7只白球、15只红球.如果经过若干次以后,箱子里剩下3只白球、53只红球.那

么箱子里原有红球多少只?

【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】假设思想方法

【解析】假设每次一起取7只白球和21只红球,由于每次拿得红球都是白球的3倍,所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的3倍多2.由于每次取的白球和原定的一样

多,所以最后剩下的白球应该不变,仍然是3个.按照我们的假设,剩下的红球应

该是白球的3倍多2,即33211

?+=(只).但是实际上最后剩了53只红球,比假设多剩42只,因为每一次实际取得与假设相比少6只,所以可以知道一共取了

?+=(只).

÷=(次).所以可以知道原来有红球71553158

4267

【答案】158只

【例 17】车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数之比是2∶5。问:摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少?

【考点】鸡兔同笼问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】华杯赛,初赛,第10题

【解析】车库中,平均每2辆车有5个轮子,也就是说,平均每4辆车有10个轮子。简单的试凑可以知道,1辆小卧车和3辆摩托车恰好有10个轮子。所以摩托车的辆数

与小卧车的辆数之比为3∶1

【答案】3:1