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列方程(组)解应用题大全(精讲)

列方程(组)解应用题大全(精讲)

列方程(组)解应用题是数学中的一个重点,同时也是一个难点,不少同学在学习时常感到困难,究其原因是没有真正掌握解这类问题的要点,本文就此谈点看法,供同学们学习时参考。

一、列方程(组)解应用题的一般步骤

1.分析题意。弄清题中所给的条件,明确哪些是已知数,哪些是未知数,并找出彼此间的数量关系。

2.设未知数。设未知数有两种方法,一种是直接设未知数,即求什么设什么;另一种是间接设法,选择与要求的几个未知量均有密切关系的某个量作为未知数,有利于问题的解决。 3.列方程(组)。根据问题中的条件找出等量关系,列出方程(组),应注意的是,列完方程(组)后,要检查所列方程(组)左右两边各项的单位是否相同,问题所给的条件及所有的未知数是否包含在方程(组)内。

4.解方程(组)求出未知数的值。

5.检验所得的解是否符合题意,并写出原问题的正确答案。

列方程(组)解应用题的关键在于据题意把已知量和未知量联系起来,找出等量关系,应用题涉及的等量关系有两种:

一种是明显的等量关系,是通过题目中一些关键词语表现出来的。如“多”、“少”、“快”、“慢”、“提前”、“迟到”、“以及”、“和”、“差”、“是几倍”、“多几倍”、“增加几倍”、“增加到几倍”、“培加百分比”、“增长率”、“合格率”等等。这些都与列方程(组)有直接关系,须搞清它们的确切意义。

另一种是隐含的等量关系,题目中没有直接给出,要通过仔细审题后才能发现。如:速度×时间=距离;

比重×体积=重量;

溶液×浓度=溶量;

工作效率×工作时间工作量;

顺水航行速度=船速+水速;

逆水航行速度=船速-水速。

又如在追及运动中:

两速度差×时间=原距离。

在相向匀速运动中:

两速度和×时间=原距离,等等。

还有周长、面积、体积公式及有关的公式等,都要灵活地进行运用。

二、列方程解应用题——设未知数的技巧

应用题联系生活实际,反映实际生活中的数量关系,列方程解应用题是从具体问题中抽象归纳出所需要的数量关系,根据数量间的关系,依照题意合理选择未知数、找出隐含的等量关系,列方程进行求解.

恰当地设未知数是列方程解应用题的关键步骤之一,设什么为未知数,需要根据具体问题的条件来确定.

对未知数的选择,有时可将要求的量设为未知数(即问什么设什么),称此为直接设未知数;有时需要将要求的量以外的其他量设为未知数(即所设的不是所求的,则更易找出符合题意的数量关系),称此为间接设未知数;有些应用题中隐含一些未知的常量,这些量对于求解无直接联系,但如果不指明这些量的存在,则难求其解,因此需把这些未知的常量设为参数,以便建立等量关系,称此为辅助设未知数。

【例1】 如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个不同颜色的正方形组成,已知中间最小的一个正方形的边长为1,那么这个长方形色块图的面积为 .

(济南市中考题)

思路点拨 要求长方形的面积需求出务正方形的边长,为便于求出长方形长与宽,故不宜直接设元,由于6个正方形边长有一定的依存关系,所以,可以从间接设某个正方形边长

入手.

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注: 列方程解应用题又一关键是:找寻能够表示应用题全部意义的相等关系,找寻相等关系的基本方法有:

(1)运用基本公式找寻相等关系; (2)从关键词中找寻基本关系;(3)运用不变量找寻相等关系;(4)对一种“量”,从不同的角度进行表述(即计算两次),得到相等关系.

【例2】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时,水流速度增加一倍后,再从甲港到乙港航行需3小时,水流速度增加后,从乙港返回甲港需航行( ).

A .0.5小时

B .1小时

C . 1.,2小时

D .1.5小时

(2001年武汉市选拔赛试题)

思路点拨 要求从乙港返回甲港所需的时间,需求甲、乙两港的距离及顺水速度,考虑增设辅助未知数.

【例3】某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的32

,若提前购票,则给予不同程度的优惠,在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票数的53

;零售票每张16元,共售出零售票数的—半,如果在六月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?

(北京市东城区中考题)

思路点拨 票款与票数、票价有关,既要用字母表示六月份零售价,又要用字母表示总票数.

【例4】 某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率.

(全国初中联赛试题)

思路点拨 因售出价=进货价×(1+利润率),故还需设出进货价,利用售出价不变,辅助建立方程.

【例5】 有一片牧场,草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等),如果放牧24头牛,则6天吃完牧草;如果放牧21头牛,则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的,问:

(1) 如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草?

(2) 要使牧草永远吃不完,至多放牧几头牛?

(全国通讯赛试题)

思路点拨 需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量之间的关系,故需增设一些辅助未知数,便于把这些关系表示出来.

注: 应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一.而列方程解应用题对初一同学来说是一个困难所在,学习列方程解应用题应注重两个方面:(1)促使综合型思维向分析型思维的转轨.从各个侧面分析列方程的来龙去脉,突破小学形成的固有的综合思维模式(从已知出发列综合算式求未知数,形成分析思维模式. (2)善于把应用题中的生活语言转换成数学语言.应留心生活,多看报刊杂志电视,注意生活常识的积累.有些应用题,它所涉及到的量比较多,量与量之间的关系也不明显,需增设一些表知敷辅助建立方程,辅助表知数的引入,在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”,对这种辅助未知量,并不能或不需求出,可以在解题中相消或相约,这就是我们常说的“设而不求”.

学力训练

1.一个6位数abcde 2的3倍等于9abcde ,则这个6位数等于 .

2.有人问一位老师:他教的班有多少学生,老师说:“一半学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在念外语,还剩不足六位学生正在操场踢足球.”则这个“特长班”共有学生 人.

3.一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时,从乙地到甲地逆流行驶需6小时,有一木筏由甲地漂流至乙地,需 小时.

( “希望杯”邀请赛试题)

4.某种产品是由A 种原料x 千克、B 种原料y 千克混合而成,其中A 种原料每千克50元,B 种原料每千克40元,后来调价,A 种原料价格上涨l0%,B 种原料价格减少15%,经核算产品价格可保持不变,则y x :的值是( ).

A .32

B .65

C .56

D .3455

5.从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块,再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起,熔炼后两者含铜的百分比恰好相等,则切下的一块重量是( ).

A .5千克

B .6千克

C .7千克

D .8千克

6.某城市按以下规定收取每月煤气费:用煤气如果不超过60立方米,按每立方米0.8元收费;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收费,已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元,那么,4月份这位用户应交煤气费( ).

A .60元

B .66元

C .75元

D .78元 (全国初中数学联赛试题)

7.某企业生产一种产品,每件成本价是400元,销售价为510元,本季度销售了m 件.为进一步扩大市场,该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本,经过市场调研,预测下季度这种产品每件销售价降低4%,销售量将提高lo %,要使销售利润(销售利润=销售价一成本价)保持不变,该产品每件的成本价应降低多少元?

(陕西省中考题)

8.如图,几块大小不等的正方形纸片A 、B 、……,I ,无重叠地铺满了一块长方形.已知正方形纸片E 的边长为7,求其余务正方形的边长.

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9.某人购买钢笔和圆珠笔各若干支,钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍,付款时,发现所买两种笔的数量颠倒了,因此,比计划支出增加了50%,则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为 .

10.电影胶片绕在盘上,空盘的盘心直径为60毫米.现有厚度为0.15毫米的胶片,它紧绕在盘上共有600圈,那么这盘胶片的总长度约为 米(π≈3.14).

(江苏省竞赛题)

11.为使某项工程提前20天完成任务,需将原定工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要天.

12.完成某项工程,甲、乙合做要2天,乙、丙合做要4天,丙、甲合做要2.4天,则甲单独完成此项工程需要的天数是( ).

A.2.8 B.3 C.6 D.12

13.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 立方米的,按每立方米m元水费收费;用水超过10立方米的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m,则该职工这个月实际用水为( )立方米.

A.13 B.14 C.18 D.26

(广西省中考题)

14.某种商品若按标价的八折出售,可获利20%,若按原标价出售,可获利( ).A.25%B.40%C.50%D.66.7%

15.某水库共有6个相同的泄洪闸,在无上游洪水注入的情况下,打开一个水闸泄洪使水库水位以a米/时匀速下降.某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米/时匀速上升,当水库水位超警戒线^米时开始泄洪.

(1)如果打开n个水闸泄洪x小时,写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式;

(2)经考察测算,如果只打开一个泄洪闸,则需30个小时水位才能降至警戒线;如果同时打开两个泄洪闸,则需10个小时水位才能降至警戒线.问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线?

(连云港市中考题)

16.一批货物准备运往某地,有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变,且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次船运完;若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时,甲车共运了180吨,若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时,乙车共运了270吨.问:

(1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍?

(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时,货主应付车主运费

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各多少元?(按每运1吨运费20元计算)

(天津市中考题)

17.某同学想用5个边长不等的正方形,拼成如图所示的正方形,请问该同学的想法能实现吗?如果能实现,试求这5个正方形的边长;如果不能,请说明理由.

( “希望杯”邀请赛试题)

18.山脚下有一池塘,山泉以固定的流量(即单位时间里流人池中的水量相同)不停地向池塘内流淌,现池塘中有一定深度的水,若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完,若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完,问若用三台A型抽水机同时抽,则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完? (江苏省竞赛题)

参考答案

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三、列方程解应用题

列方程解应用题是用字母来代替未知数,根据等量关系列出含有未知数的等式,也就是列出方程,然后解出未知数的值.列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算.解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数,找出等量关系从而建立方程.而找出等量关系又在于熟练运用数量之间的各种已知条件.掌握了这两点就能正确地列出方程。

列方程解应用题的一般步骤是:

①弄清题意,找出已知条件和所求问题;

②依题意确定等量关系,设未知数x;

③根据等量关系列出方程;

④解方程;

⑤检验,写出答案。

例1 列方程,并求出方程的解。

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解:设这个数为x.则依题意有

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是原方程的解。

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解:设某数为x.依题意,有:

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例2 已知篮球、足球、排球平均每个36元.篮球比排球每个多10元,足球比排球每个多8元,每个足球多少元?

分析①篮球、足球、排球平均每个36元,购买三种球的总价是:36×3=108(元)。

②篮球和足球都与排球比,所以把排球的单价作为标准量,设为x。

③列方程时,等量关系可以确定为分类购球的总价=平均值导出的总价。

解:设每个排球x元,则每个篮球(x+10)元,每个足球(x+8)元.依题意,有:

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答:每个足球38元。

例3 妈妈买回一筐苹果,按计划天数,如果每天吃4个,则多出48个苹果,如果每天吃6个,则又少8个苹果.问:妈妈买回苹果多少个?计划吃多少天?

分析1 根据已知条件分析出,每天吃苹果的个数及吃若干天后剩下苹果的个数是变量,而苹果的总个数是不变量.因此列出方程的等量关系是苹果总个数=苹果总个数.方程左边,第一种方案下每天吃的个数×天数+剩下的个数,等于右边,第二种方案下每天吃的个数×天数-所差的个数。

解:设原计划吃x天。

4x+48=6x-8

2x=56

x=28。

苹果个数:4×28+48=160(个),

或:6×28-8=160(个)。

答:妈妈买回苹果160个,原计划吃28天。

分析2 列方程解等量关系确定为计划吃的天数=计划吃的天数。

解:设妈妈共买回苹果x个。

4x+32=6x-288

2x=320

x=160。

(160-48)÷4=28(天).或

(160+8)÷6=28(天)。

答:妈妈买回160个苹果,原计划吃28天。

例4 甲、乙、丙、丁四人共做零件270个.如果甲多做10个,乙少做10个,丙做的个数乘以2,丁做的个数除以2,那么四人做的零件数恰好相等.问:丙实际做了多少个?(这是设间接未知数的例题)

分析根据“那么四个人做的零件数恰好相等”,把这个零件相等的数设为x,从而得出:

甲+10=乙-10=丙×2=丁÷2=x。

根据这个等式又可以推出:甲+10=x,(甲=x-10);

乙-10=x,(乙=x+10);

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丁÷2=x,(丁=2x)。

又根据甲、乙、丙、丁四人共做零件270个,可以得到一个方程,它的左边表示零件的总个数,右边也表示零件的总个数。

解:设变换后每人做的零件数为x个。

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2x+2x+x+4x=540

9x=540

x=60。

∵丙×2=60,∴丙=30。

答:丙实际做零件30个。

例5 某图书馆原有科技书,文艺书共630本,其中科技书占20%.后来又买进一些科技书,这时科技书占总书数的30%.买进科技书多少本?

分析依题意,文艺书的本数没有变.如果设买进科技书x本,那么,原来的本数+x 本=增加后的总本数.文艺书占增加后总本数的70%,相当于原有书总数的80%,所以,增加后总本数×70%=原来总本数×80%,即原先的文艺书本数=后来的文艺书本数。

解:设买进科技书x本。

(630+x)×(1-30%)=630×(1-20%)

441+70%x=504

70%x=63

x=90。

答:买进科技书90本。

例6 一块长方形的地,长和宽的比是5∶3,长比宽多24米,这块地的面积是多少平方米?

分析要想求这块地的面积,必须先求出长和宽各是多少米.已知条件中给出长和宽的比是5∶3,又知道长比宽多24米.如果把宽设为x米,则长为(x+24)米,这样确定方程左边表示长与宽的比等于右边长与宽的比,再列出方程。

解:设长方形的宽是x米,长是(x+24)米。

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5x=3x+72

2x=72

x=36。

x+24=36+24=60,60×36=2160(平方米)。

答:这块地的面积是2160平方米.

例7 某县农机厂金工车间有77个工人.已知每个工人平均每天可以加工甲种零件5个或乙种零件4个,或丙种零件3个。但加工3个甲种零件,1个乙种零件和9个丙种零件才恰好配成一套.问:应安排生产甲、乙、丙种零件各多少人时,才能使生产的三种零件恰好配套?

分析如果直接设生产甲、乙、丙三种零件的人数分别为x人、y人、z人,根据共有77人的条件可以列出方程x+y+z=77,但解起来比较麻烦。

如果仔细分析题意,会发现除了上面提到的加工甲、乙、丙三种零件的人数这三个未知数外,还有甲、乙、丙三种零件的各自的总件数.而题目中又有关于甲、乙、丙三种零件之间装配时的内在联系,这个内在联系可以用比例关系表示,而乙种零件件数又在中间起媒介作用.所以如用间接未知数,设乙种零件总数为x个,为了配套,甲种、丙种零件件数总数分别为3x个和9x个,再根据生产某种零件人数=生产这种零件的个数÷工人劳动效率,可以分别求出生产甲、乙、丙种零件需安排的人数,从而找出等量关系,即按均衡生产推算的总人数=总人数,列出方程。

解:设加工乙种零件x个,则加工甲种零件3x个,加工丙种零件9x个。

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12x+5x+60x=1540

77x=1540,

x=20。

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答:应安排加工甲、乙、丙三种零件工人人数分别为12人、5人和60人.

四、一元一次方程方程应用题归类分析

列方程解应用题,是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面;下面老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述,希望对同学们有所帮助.

1. 和、差、倍、分问题:

(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现。

(2)多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

例1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据,截止到2000年11月1日0时,全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人,比1990年7月1日减少了3.66%,1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度?

分析:等量关系为:

()1366%9062000111-?=.年月底有的人数年月日人数

解:设1990年6月底每10万人中约有x 人具有小学文化程度

(.1366%)35701-=x

x ≈37057 答:略.

2. 等积变形问题:

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:

①形状面积变了,周长没变;

②原料体积=成品体积。

例2. 用直径为90mm 的圆柱形玻璃杯(已装满水)向一个由底面积为1251252?mm 内高为

81mm 的长方体铁盒倒水时,玻璃杯中的水的高度下降多少mm ?(结果保留整数π≈314.) 分析:等量关系为:圆柱形玻璃杯体积=长方体铁盒的体积

下降的高度就是倒出水的高度

解:设玻璃杯中的水高下降xmm π902125125812?? ???=??·x ππx x ==≈625

625199

答:略.

3. 劳力调配问题:

这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:

(1)既有调入又有调出;

(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;

(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。

例3. 机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?

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解:设分别安排x 名、()85-x 名工人加工大、小齿轮

31621085()[()]x x =-

48170020681700

25x x

x x =-==

∴-=8560x 人

答:略.

4. 比例分配问题:

这类问题的一般思路为:设其中一份为x ,利用已知的比,写出相应的代数式。 常用等量关系:各部分之和=总量。

例4. 三个正整数的比为1:2:4,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是几? 解:设一份为x ,则三个数分别为x ,2x ,4x

分析:等量关系:三个数的和是84

x x x x ++==2484

12 答:略.

5. 数字问题

(1)要搞清楚数的表示方法:一个三位数的百位数字为a ,十位数字是b ,个位数字为c (其中a 、b 、c 均为整数,且1≤a ≤9, 0≤b ≤9, 0≤c ≤9)则这个三位数表示为:100a+10b+c 。

(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2N 表示,连续的偶数用2n+2或2n —2表示;奇数用2n+1或2n —1表示。

例5. 一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数

等量关系:原两位数+36=对调后新两位数

解:设十位上的数字X ,则个位上的数是2x ,

10×2x+x=(10x+2x )+36解得x=4,2x=8.

答:略.

6. 工程问题:

工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率×工作时间

经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。

例6. 一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?

分析设工程总量为单位1,等量关系为:甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。

解:设乙还需x 天完成全部工程,设工作总量为单位1,由题意得,(115+112)×3+x 12

=1, 解这个方程,15+14+x 12

=1 12+15+5x=60 5x=33 ∴ x=335=635

答:略.

7. 行程问题:

(1)行程问题中的三个基本量及其关系: 路程=速度×时间。

(2)基本类型有

① 相遇问题;② 追及问题;常见的还有:相背而行;行船问题;环形跑道问题。

(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析,理解行程问题。

例7. 甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。

(1)慢车先开出1小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇?

(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?

(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?

(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?

(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?

此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。故可结合图形分析。

(1)分析:相遇问题,画图表示为:

甲乙

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等量关系是:慢车走的路程+快车走的路程=480公里。

解:设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480 解这个方程,230x=390

∴ x=116 23

答:略.

分析:相背而行,画图表示为:

600

甲乙

等量关系是:两车所走的路程和+480公里=600公里。解:设x小时后两车相距600公里,

由题意得,(140+90)x+480=600解这个方程,230x=120

∴ x=12 23

答:略.

(3)分析:等量关系为:快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。

解:设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600 50x=120

∴ x=2.4

答:略.

分析:追及问题,画图表示为:

甲乙

等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解:设x小时后快车追上慢车。

由题意得,140x=90x+480

解这个方程,50x=480 ∴ x=9.6

答:略.

分析:追及问题,等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解:设快车开出x小时后追上慢车。由题意得,140x=90(x+1)+480

50x=570 解得, x=11.4

答:略. 8. 利润赢亏问题

(1)销售问题中常出现的量有:进价、售价、标价、利润等

(2)有关关系式:

商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价×折扣率

例8.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?

分析:探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X元

列方程(组)解应用题大全(精讲)

解:设进价为X元,80%X(1+40%)—X=15,X=125

答:略.

9. 储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税

⑵利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率(20%)

例9. 某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税)

分析:等量关系:本息和=本金×(1+利率)

解:设半年期的实际利率为x,

250(1+x)=252.7,

x=0.0108

所以年利率为0.0108×2=0.0216

五、小学数学应用题典型详解

1. “牛吃草”问题

【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量×天数

【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1 一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

解草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话,得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:

(1)求草每天的生长量

因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以

1×10×20=原有草量+20天内生长量

同理1×15×10=原有草量+10天内生长量

由此可知(20-10)天内草的生长量为

1×10×20-1×15×10=50

因此,草每天的生长量为50÷(20-10)=5

(2)求原有草量

原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100

(3)求5 天内草总量

5 天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125

(4)求多少头牛5 天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25(头)

答:需要5头牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:

(1)求每小时进水量

因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量

10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量

所以,(10-3)小时内的进水量为1×5×10-1×12×3=14

因此,每小时的进水量为14÷(10-3)=2

(2)求淘水前原有水量

原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30

(3)求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是

30÷(17-2)=2(小时)

答:17人2小时可以淘完水。

2.按比例分配问题

【含义】所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。

【数量关系】从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。

例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?

解总份数为 47+48+45=140

一班植树560×47/140=188(棵)

二班植树560×48/140=192(棵)

三班植树560×45/140=180(棵)

答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

解 3+4+5=12 60×3/12=15(厘米)

60×4/12=20(厘米)

60×5/12=25(厘米)

答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3 从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。

解如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到

1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

9+6+2=17 17×9/17=9

17×6/17=6 17×2/17=2

答:大儿子分得9只羊,二儿子分得6只羊,三儿子分得2只羊。

例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?

列方程(组)解应用题大全(精讲)

21)=820(人)

答:三个车间一共820人。

3.百分数问题

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【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。

【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系:

百分数=比较量÷标准量

标准量=比较量÷百分数

【解题思路和方法】一般有三种基本类型:

(1)求一个数是另一个数的百分之几;

(2)已知一个数,求它的百分之几是多少;

(3)已知一个数的百分之几是多少,求这个数。

例1 仓库里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几?

解(1)用去的占720÷(720+6480)=10%

(2)剩下的占6480÷(720+6480)=90%

答:用去了10%,剩下90%。

例2 红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百分之几?解本题中女职工人数为标准量,男职工比女职工少的人数是比

较量

所以(525-420)÷525=0.2=20%

或者 1-420÷525=0.2=20%

答:男职工人数比女职工少20%。

例3 红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,女职工比男职工人数多百分之几?解本题中以男职工人数为标准量,女职工比男职工多的人数为比较量,因此

(525-420)÷420=0.25=25%

或者525÷420-1=0.25=25%

答:女职工人数比男职工多25%。

例4 红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?

解(1)男职工占420÷(420+525)=0.444=44.4%

(2)女职工占525÷(420+525)=0.556=55.6%

答:男职工占全厂职工总数的44.4%,女职工占55.6%。

例5 百分数又叫百分率,百分率在工农业生产中应用很广泛,常见的百分率有:增长率=增长数÷原来基数×100%

合格率=合格产品数÷产品总数×100%

出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率=实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率=缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率=面粉重量÷小麦重量×100%

出油率=油的重量÷油料重量×100%

废品率=废品数量÷全部产品数量×100%

命中率=命中次数÷总次数×100%

烘干率=烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率=及格人数÷参加考试人数×100%

4.倍比问题

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【含义】有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】总量÷一个数量=倍数

另一个数量×倍数=另一总量

【解题思路和方法】先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。

例1 100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?

解(1)3700千克是100千克的多少倍?3700÷100=37(倍)

(2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克)

列成综合算式40×(3700÷100)=1480(千克)

答:可以榨油1480千克。

例2 今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵?

解(1)48000名是300名的多少倍?48000÷300=160(倍)

(2)共植树多少棵?400×160=64000(棵)

列成综合算式400×(48000÷300)=64000(棵)