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高考压轴题数列50例

高考压轴题瓶颈系列之

——浙江卷数列

【见证高考卷之特仑苏】

1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()*

∈=N n a a a n

b n

1 .

若

{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +==

(Ⅰ)求

n a 与n b ； (Ⅱ)设()

∈-=

N n b a c n

n n 1

1。记数列{}n c 的前n 项和为n S .

（i ）求

n S ；

（ii ）求正整数k ，使得对任意*

∈N n ，均有n k S S ≥．

2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列

{}n a 的首项1a a =

(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41

a 成等比数列

（Ⅰ）求数列

{}n a 的通项公式及n S

（Ⅱ）记

1231111

...n n A S S S S =

++++

，

212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较

n A 与n B 的大

3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列

{}n a ，0≥n a ，01=a ，

22111()n n n a a a n N ?

+++-=∈．n n

a a a S +++= 21)1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

．

求证：当?

∈N n 时，（Ⅰ）1+

（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3

T 。

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k k a a -是关于x 的

方程2

(32)320k

x k x k -++=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=

（Ⅰ）求

1,357

,,a a a a ；

（Ⅱ）求数列

{}n a 的前2n 项的和2n S ；

（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，

(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++ 求证：*15

()

624n T n N ≤≤∈

5. （2015年浙江卷第20题） 2*111,()2

n n n a a a a n N +=

=-∈ （1）求证：1

12n

n a a +≤

≤ （2）设数列2

{}n a 的前n 项和为n S ，证明：

*11

()2(2)2(1)

n S n N n n n ≤≤∈++

6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足

12n n a a +-

≤，n *∈N ．

（I ）证明：

()

1122n n a a -≥-，n *

∈N ；

（II ）若

32n

n a ??

≤ ?

??，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．

【例题讲解之伊利奶粉】

例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列{}n a 满足a 1=3，

2*12,n n n a a a n N +=+∈ ，设2log (1)n n b a =+.

（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求证：111

+++(2)231

n n n b <≥- ；（III ）若2n c

n b =，求证：2≤1()n

n n

c c +<3.

例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列{}n a 满足

1132n n n n a a a a +++=+，1

1a =．（Ⅰ）求2a 的值；

（Ⅱ）证明：对任意的n N *

∈，12n

n a a +≤；

（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *

∈，1

232n n S --

≤<．

例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足

1111,8

n n a a a m +==

+， (1)若数列{}n a 是常数列，求m 的值；（2）当1m >时，求证：1n n a a +<；

（3）求最大的正数m ，使得4n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。

例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列

均为正项数列，其中，且满足：

成等比数列，

成等差数列。

（Ⅰ）（1）证明数列

是等差数列；（2）求通项公式

，

。

（Ⅱ）设，数列的前项和记为，证明：。

例5．（浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估）已知数列{}n a 满足112

a =

，2

2016

n n n a a a +=+，n N *∈ (1) 求证

1n n a a +>

(2) 求证20171a <

(3) 若证1k a >，求证整数k 的最小值。

例6.（浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试）数列{}n a 定义为10a >，11a a =，

2112

n n n a a a +=+

，n N *

∈ （1）若1(0)12a

a a a =

>+，求

1210

111222a a a ++???++++的值；（2）当0a >时，定义数列{}n b ，1(12)k b a k =≥

，11n b +=-

数,()i j i j ≤

，使得2

112

i j b b a a +=+。如果存在，求出一组(,)i j ，如果不存在，说明理由。

例7．（2017年浙江名校协作体高三下学期）函数4

()415

f x x =+，

（Ⅰ）求方程()f x x =的实数解；

（Ⅱ）如果数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=（n N *∈），是否存在实数c ，使得

221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立？证明你的结论．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：121

n n a a a n <+++≤L ．

例8．（2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）数列{}n a 满足112

a =

，2

n n n n a a a a +=

-+n +∈N （）

（1）证明：n n a a <+1；

（2）设}{n a 的前n 项的和为n S ，证明：1n S <.

例9．（2017年4月浙江金华十校联考）数列{}n a 满足11a =，11

n n a a n

+=n +∈N （）

(1) 求证：

n n a a

n n +=+； (2)

求证：342

1111....23(1)）

n n a a n a +≤+++≤+

例10.（2017年4月高二期中考试）数列{}n a 满足11a =，11

n n n

a a a +=+

n +∈N （），其中1n a ??????前n 项和为n S ，其中21n a ??

????

前n 项和为n T (1) 求证：1n n a a +<； (2)求证：2

121n n T a n +=-- (3)

1n S -<<

例11．（2017年4月稽阳联谊高三联考）已知数列{}n a 满足01

3a =

，n a =n +∈N （），2

2n n n b a a =-，其中{}n b 的前n 项和为n S ，

(1) 求证：11n n a a -<<； (2)求证：()1

022

n S n n <<-≥

例12．（2017年4月温州市普通高中模拟考试）已知数列{}n a 的各项都是正数，

1n n n

a a a +=+

-，其中{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 为递增数列求1a 的取值范围

例13：（2016浙江高考样卷20题）已知数列{}n a 满足11a =，*11()21

n n a n N a +=

∈+．

（Ⅰ）证明：数列12n a ??

????

为单调递减数列；

（Ⅱ）记n S 为数列{}

1n n a a +-的前n 项和，证明：*5

()3

n S n N <∈．

例14：（2016杭州市第一次模拟质量检测）已知数列{}n a 满足112

a =

，2*11

()n n n a a a n N +=++∈．

（1）证明：

3n n

a a +≥；（2）证明：数列1n a ??

????

前n 项的和为n s ，那么3n S <

例15：（2016宁波市第一次模拟质量检测）对任意正整数n,设n a 是方程2

x n

=的正根，求证：(1) 1

a a n n

>+ (2) 11111112323123a a na n n

++???+<+++???+-

例16：（2016温州市第一次模拟质量检测）数列满足11

02a <<

，n

n n a a a 611+=+ （Ⅰ）证明：2121

(N )2

n n a a n -+<

<∈； {}n a

（Ⅱ）若113

a =，求证：213214

||||||(N )3

n n a a a a a a n ++-+-++-<∈ ．（本题与例13的题型一样）

例17：（2016年金华市模拟）已知数列{}n a 的首项为11a =,且14

n n n a a a ++=+，()

*n ∈N ．（Ⅰ）求证：21212n n a a -+<<；

（Ⅱ）令212n n b a -=-，12n n S b b b =+++ ．求证:9171896n

n S ????-≤

????

．

例18：（2016名校联盟第一次模拟20）设数列{}n a 满足2

*11,1()n n n a a a a a n N +=-=∈.

（Ⅰ）若35

a =

，求实数a 的值；（Ⅱ）若1a =

，求证：*2,)n a n n N <≥∈.

例19.(2016嘉兴一模)数列{}n a 各项均为正数，112

a =

，且对任意的*

n N ∈，有2

1(0)n n n a a ca c +=+>．

（Ⅰ）求

123

11c c ca ca a ++++的值；

（Ⅱ）若12016

c =

,是否存在*

n N ∈，使得1n a >，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．（本题就是例5，不过要判断出11,1n n a a -<>的界限）

例20.（2016浙江六校联考20）已知数列{}n a 满足：114

()2n n n

a a a +=

+；（Ⅰ）若341

a =

，求1a 的值；

（II ）若14a =，记2n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：8

n S <

例21（2016丽水一模20）已知数列{}n a 满足：2

*12()n n a a n N +=-∈，且

(01)a a a a

=+<<．

（Ⅰ）证明：1n n a a +>；（Ⅱ）若不等式

112123123111112

n a a a a a a a a a a ++++< 对任意*n N ∈都成立，求实数a 的取值范围．

例22.（2016十二校联考20）．已知各项为正的数列{}n a 满足

22*

11112,()233

n n n

a a a a n N +==+∈．

（I ）证明：*101()n n a a n N +<<<∈；

（II ）求证：*129

()4

n a a a n n N +++>-∈ .

例23. （2016宁波十校20）设各项均为正数的数列

的前项和满足.

（Ⅰ）若，求数列的通项公式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设，数列的前项和为,

求证：.

例24. (2016桐乡一模20)设函数2(),f x ax bx a b R =+∈、．若2

31()62x f x x --≤≤+

对任意的x R ∈恒成立．数列{}n a 满足*111

,()()3

n n a a f a n N +=

=∈. （Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：

n a ≤<；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：1

4213n n

S n ≥-+.

例25.（2016大联考 20）.已知数列

满足

，其中常数

(1)若，求

的取值范围；

(2)若，求证：对任意，都有

；

(3)若，设数列

的前项和为.求证：

例26.（2016宁波二模）已知数列

中，

，

（Ⅰ）若t=0,求数列的通项公式。

（Ⅱ）若t=1，求证：。

例27.（嘉兴二模 20）．已知数列2

(,)n n

P x x 与(,0)n n A a 满足1n n x x +>，11

n n n n P P A P ++⊥ ，且11n n n n P P A P ++=

，其中*1,1n N x ∈=．

（Ⅰ）求1n x +与n x 的关系式；

（Ⅱ）求证：22222

231

4n n x x x n +<+++≤ .

例28. （2016温州二模20）设正项数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,,n m N n m +∈>，

均有2222n m n m

a a n m +-?=-成立. （1）求23,a a 的值，并求{}n a 的通项公式；（2）（ⅰ）比较2121n n a a -++与22n a 的大小；（ⅱ）证明：2421321()1

n n n

a a a a a a n ++++>++++ .

例29 （2016五校联考二20）已知正项数列满足：

，

其中

为数列

的前项的和。（Ⅰ）求数列

的通项公式；

（Ⅱ）求证：。

例30.（2016诸暨质检20）已知数列

的各项都大于1，且

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求证：

【课后习之三鹿奶粉】

例1．设数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n +=-+∈N ，n S 为{}n a 的前n 项和.证明：对任意*n ∈N ，（Ⅰ）当101a ≤≤时，01n a ≤≤；（Ⅱ）当11a >时，()1111n n a a a ->-；

（Ⅲ）当11

a =时，n n S n <.

例2．已知数列{}n a 满足2111

()2

n n n a a a ba n *+=

=+∈N 且 (1) ,1-=b 求证:211

≤≤

+n n

a a (2) ,2=

b 数列?

????

?+n a 211的前n S n 项和为，求证:132

1<<-n n S

例3．已知各项均为正数的数列{}n a ，11

=a ，前n 项和为n S ，且12

2-=-n n n S a a .

(1) 求证：4

2++

(2)求证：

21-<+??++<+n n n S S S S S

例4．设()())(,,)(,2211x f x B x f x A 是函数x

x f -+=1log 21)(2

的图象上的任意两点. （1）当121

=+x x 时，求)()(21x f x f +的值；

（2）设??

? ??++??? ??+-++??? ??++???

??+=1111211n n f n n f n f n f S n ，其中*

n ∈N ，求n S ；（3）对于（2）中的n S ，已知2

11?

? ??+=n n S a ，其中*

n ∈N ，设n T 为数列{}n a 的前n 项的和，求证:

94<≤n T .

例5．给定正整数n 和正数M .对于满足条件22

11n a a M ++≤的所有等差数列123,,,a a a …， 1221=n n n S a a a +++++…+，

(1)求证：2

251S M

n ??≤ ?+??

例6．已知数列}{n a 满足31

=a ，n n n a a a 22

1+=+，*,2n n ∈≥N ，设 )1(log 2+=n n a b .

（Ⅰ）求}{n b 的前n 项和n S 及}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：)2(1

31211≥<-+???+++

n n b n ；（III ）若n c b n =2，求证：3)(

21<≤+n

n c c .

例7．已知数列满足，（1）若数列是常数列，求m 的值；（2）当时，求证：；

（3）求最大的正数，使得对一切整数n 恒成立，并证明你的结论.

{}n a 2

1111,8

n n a a a m +==

+{}n a 1m >1n n a a +

2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

高考数列压轴题选讲

高考数列压轴题选讲 1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n n n b b b T a b +++== 21,2 ，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n 对一切*N n ∈均成立的最大实数p . 解：（1）由题意得???=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得? ??-==12b a ， )12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,123 3N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得n n n b 212-=， n n n n n T 2 122322523211321-+-++++=∴- ① 2311113252321222222 n n n n n n n T -+---=+++++ ② ①-②得12311112222212222222n n n n n T -+-=++++ +- 1122111111121()222 222n n n n --+-=+++++-112122123+----=n n n . n n n n n n T 23232122132+-=---=∴-，设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(252232252) ()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,2 32)(N n n n f n ∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m （3）由题意得*21)11()11)(11(1 21N n a a a n p n ∈++++≤对恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++= ，则 1)1(4)1(2)32)(12(22)11()11)(11(121)11)(11()11)(11(321) ()1(221121-++=+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F n n n 1)1(2)1(2=++>n n )(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大

高考压轴题瓶颈系列—浙江卷数列50例

高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()* ∈=N n a a a n b n 2 2 1 . 若 {}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ； (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 1 1。记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求 n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥． 2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列 {} n a 的通项公式及 n S （Ⅱ）记 1231111 ...n n A S S S S = ++++ ， 212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较 n A 与 n B 的大

3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列 {}n a ，0≥n a ，01=a ， 22111() n n n a a a n N ?+++-=∈． n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= ．求证：当? ∈N n 时，（Ⅰ）1 +n S n ；（Ⅲ） 3

高考压轴题数列50例

1 / 16 高考压轴题瓶颈系列之 ——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列 {}n a 和{} n b ()()* ∈= N n a a a n b n 221Λ.若{}n a 为等比数列，且. 6,223 1 b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ； (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 11。记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求 n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意* ∈N n ，均有n k S S ≥． 2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41 a 成等比数列（Ⅰ）求数列 {} n a 的通项公式及 n S （Ⅱ）记1231111 ...n n A S S S S = ++++ ， 212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较 n A 与 n B 的大

3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列 {}n a ，0≥n a ，01=a ， 22111() n n n a a a n N ?+++-=∈． n n a a a S +++=Λ21)1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= ΛΛ．求证：当? ∈N n 时，（Ⅰ）1 +n S n ；（Ⅲ） 3

高考数列与不等式压轴题(难题)

高考数列与不等式压轴题 1. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足211n n n a a na +=-+，*n N ∈。 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 求证： 12321 1111 ...ln 2n n n n a a a a ++++++++<. 3) 当01λ<<时，设1 ()2n n b a λ=-，(1)n n c a λ=-，数列1n n b c ?????? 的前n 项和为n T ，求证： 91 43 n n T n -> +。 2. （2013?蓟县一模）已知数列{}n a 中，11a =，*12311 23()2 n n n a a a na a n N +++++???+= ∈ 1) 求数列{}n a 的通项n a ； 2) 求数列2 {}n n a 的前n 项和n T ； 3) 若存在* n N ∈，使得(1)n a n λ≥+成立，求实数λ的取值范围． 3. （2010?无锡模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列是公比为2的等比数列． 1) 证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =； 2) 设*5(1)()n n n b n a n N =--∈，若1n n b b +<对*n N ∈恒成立，求1a 的取值范围． 4. 已知数列{}n a 中，2 2(a a a =+为常数），n S 是{}n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项． 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 设数列{}n b 是首项为1，公比为2 3 - 的等比数列，n T 是{}n b 的前n 项和，问是否存在常数a ，使1012n a T ?<恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 5. 已知数列{}n a 满足11a =，2*123()1 n n n n a a m a n N a +++=∈+。 1) 若恒有1n n a a +≥，求m 的取值范围． 2) 在31m -≤<时，证明： 121111 11112 n n a a a ++???+≥-+++ 3) 设正项数列{}n a 的通项n a 满足条件：*() 10()n n n a na n N +-=∈，求证：1 02 n a ≤≤ 。