2017-2018学年高二上学期期末选拔考试数学(理)试题

高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．设a ，b ∈R ，那么“＞1”是“a＞b ＞0”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=5π，则cos （a 2+a 8）的值为（ ） A ．﹣ B ．﹣ C ． D ．

3．下列命题：

（1）函数y=+x （x ＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]； （2）函数y=x 2

+2+

最小值是2；

（3）若a ，b 同号且a≠b，则+≥2．

其中正确的命题是（ ）

A ．（1）（2）（3）

B ．（1）（2）

C ．（2）（3）

D ．（1）（3）

4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8=8，S 8=36，则数列{}的前100项和为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．给出如下四个命题： ①命题p ：?x 0∈R ，x

+x 0﹣1＜0，则非p ：?x ?R ，x 2

+x ﹣1≥0；

②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x ＜2且y ＜3，则x+y ＜5”； ③四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc ； ④在△ABC 中，“A＞45°”是“sinA＞

”的充分不必要条件

其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

6．在△ABC 中，已知sinAcosA=sinBcosB ，则△ABC 是（ ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形 7．焦点为(0,10),F 渐近线方程为43=0x y ±的双曲线的方程是（ ）

A ．

22=16436x y - B ．22=16436y x - C ．22=1916

x y - D ．22

=1916y x -

8．已知x ，y 满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y （a ＞0）取得最大

值，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，） B ．（，+∞） C ．（0，） D ．（，+∞）

9．已知三角形△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三

角形的周长是（ ）

A ．18

B ．21

C ．24

D ．15 10．若数列，则称数列{a n }为“调和数

列”．已知正项数列为“调和数列”，且b 1+b 2+…+b 9=90，则b 4?b 6的最大值是（） A ． 10 B ． 100

C ． 200

D ． 400

11．已知椭圆C ：

=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，

连接了AF ，BF ，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C 的离心率为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

12．如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=AA 1=2， ∠ACB=90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，当二面 角C 1－AA 1－B 为45°时，直线EF 和BC 1所成的角为（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.

13．已知数列{}n a 的前n 项和公式为23n n S n =-，则a 8=___ ．

14．已知实数，m ，18成等比数列，则圆锥曲线+y 2

=1的离心率为 ．

15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ．

16．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知实数a 满足a ＞0且a≠1．命题P ：函数y=log a （x+1）在（0，

+∞）内单调递减；命题Q ：曲线y=x 2

+（2a ﹣3）x+1与x 轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，求a 的取值范围．

18．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=2csinA ． （Ⅰ）确定角C 的大小； （Ⅱ）若c=

，且△ABC 的面积为

，求a+b 的值．

19．(本小题满分12分)本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -的底面是正方形，ABCD PD 底面⊥，DC PD =，点E 是PC

的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F .

(Ⅰ)求证：PA ∥平面EDB ； (Ⅱ)求二面角D PB C --的大小.

20．(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n=﹣n2+2kn（k∈N+），且S n的最大值为4．

（1）求数列{a n}的通项a n；

（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和．

21．(本小题满分12分)投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）．

（1）该厂从第几年开始盈利？

（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？

22．(本小题满分12分)已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）

和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．B 2． A． 3． D．4．A．5． B 6．D 7．B

8．解：由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z（a＞0）

直线y=﹣ax+z（a＞0）是斜率为﹣a＜0，y轴上的截距为z的直

线，要使（3，0）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值的唯一

的最优解，则满足﹣a＜k AB=﹣，解得a＞．故选：D．

9．解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，∵sinA=，∴A=60°或120°．若A=60°，

因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．cosA=

===﹣．∴c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7．

∴这个三角形的周长=3+5+7=15．故选D．

10．解：由已知数列为调和数列可得b n+1﹣b n=d（d为常数）

∴{b n}为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+…+b9=9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，又b n＞0，∴．故选B

11．解：如图所示，

在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得

|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣

2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，

设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四

边形AFBF′是矩形．

∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，

c=5．∴e==．故选B．

12．C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.

13．125

14解：实数，m ，18成等比数列，可得m 2

=×18=9，解得m=±3， 当m=3时， +y 2

=1，a=

，b=1，c==，即有e==

；当m=﹣3时，y 2

﹣

=1，

a=1，b=

，c==2，即有e==2．故答案为：

或2．

15．解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不符合题意．故答案为：丙． 16．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤

. 17解：先看命题P

∵函数y=log a （x+1）在（0，+∞）内单调递减，a ＞0，a≠1， ∴命题P 为真时?0＜

a ＜1…（2分） 再看命题Q

当命题Q 为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足 △=（2a ﹣3）

2

﹣4＞0?

或…（4分）

由“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，知P 、Q 有且只有一个正确．…（5分） （1）当P 正确且Q 不正确

?

…（8分）

（2）当P 不正确且

Q 正确，?

综上所述，a 取值范围是…（10分）

18．解：（1）由及正弦定理得：，

∵sinA≠0，∴在锐角△ABC 中，

．…………（6分）

（2）∵，，由面积公式得

，即ab=6①

由余弦定理得

，即a 2

+b 2

﹣ab=7②

由②变形得（a+b ）2

=25，故a+b=5．…………（12分_ 19．(Ⅰ)证明：如图建立空间直角坐标系,D xyz -设1=DC 则(1,0,0),A (0,0,1),P 11(0,

,),22E 11

(,,0),22

G (1,0,1)PA ∴=- ,11

(,0,2

2

EG =- ∴2=，即

EG PA //，而EG EDB ?平面且PA EDB ?平面，

故//PA EDB 平面. …………………… 4分

(Ⅱ)解：法一：依题意得，(1,1,0),B (1,1,1)PB =-

,又

11(0,,)22DE = 11

00,22

PB DE ∴=+-=

∴,PB DE ⊥又,PB EF ⊥EF DE E = ∴PB EFD ⊥平面. ………………… 8分 ∴DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角D PB C --的平面角.设)(z y x F ，，，则

(,,z 1)PF x y =-

. k =，∴(,1)(111)x y z k -=-,，

，，,1x k y k z k ===-,. ∴(111),,1111(1)310PB DF k k k k k k k =--=?+?-?-=-= ，

，（）,∴3

1

=k , … 10分

点)323131(，，F .又点)21210(，，E ，∴111(),366FE =-- ，，

112

()333

FD =--- ，，.

故111112()()

1cos 2FE FD EFD FE FD

-----∠=== ，，，，，∴3EFD π∠=， 即二面角D PB C --的大小为

3π

.

……………… 12分 法二：直接求出平面PDB 和平面PBC 的法向量求解更简单。 20．解：（1）由条件知时，S n 有最大值4，所以﹣k 2

+2k?k=4k=2，k=﹣2（舍去） 由条件知

当n=1时，a 1=S 1=3

当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=5﹣2n 经验证n=1时也符合a n =5﹣2n 故数列{a n }的通项公式为a n =5﹣2n （n ∈N +）…………（5分）

（2）由（1）知

设数列{b n }的前项和为T

n

，

，

两式相减得=

所以，…………（12分）

21．解：（1）由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g（n）表示前n年的总支出，

∴g（n）=12n+×4=2n2+10n（n∈N*）…………（2分）

∵f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额

∴f（n）=50n﹣（2n2+10n）﹣72=﹣2n2+40n﹣72．…………（4分）

由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0，解得2＜n＜18．…由n∈N*知，从第三年开始盈利．

…………（6分）（2）方案①：年平均纯利润为=40﹣2（n+）≤16，当且仅当n=6时等号成立．

故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．…………（9分）

方案②：f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．

当n=10时，[f（n）]max=128．故方案②共获利128+10=138（万元）．比较两种方案，选择方案①更合算．…………（12分）

22．解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，

解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．…………（4分）

（2）假设存在这样的值．

，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，

设C（x1，y1），D（x2，y2），则

而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③

将②代入③整理得k=，

经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．……… 12分