高考专题—立体几何

立体几何(高考真题+模拟新题)专题训练

1、[2011·四川卷] l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3

C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面

D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 2、[2011·南京质检] 平面α∥平面β的一个充分条件是( )

A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β

B ．存在一条直线a ，a ?α，a ∥β

C ．存在两条平行直线a 、b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α

D ．存在两条异面直线a 、b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α 3、[2011·北京崇文一模] 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的为 ( ) A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 4、 [2011·宁波二模] 已知a ，β表示两个互相垂直的平面，a ，b 表示一对异面直线，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ∥α，b ⊥β B ．a ∥α，b ∥β C ．a ⊥α，b ∥β D ．a ⊥α，b ⊥β 5、[2011·泸州二诊] 如图K40－4，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面C 1AB 的距离为( )

A.34

B.12

C.3

2 D ．1 6、[2011·大连一模] 已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )

A.32

B.12

C.33

D.36 7、 [2011·深圳调研] 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

8、 [2011·沈阳模拟] 设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AD →·AB →

＝0，则△BCD 的形状是( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．无法确定 9、大纲理数11.G8[2011·全国卷] 已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( )

A ．7π

B ．9π

C ．11π

D ．13π 10、大纲文数12.G8[2011·全国卷] 已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( )

A ．7π

B ．9π

C ．11π

D ．13π 11、课标文数7.G8[2011·湖北卷] 设球的体积为V 1，它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是( ) A ．V 1比V 2大约多一半 B ．V 1比V 2大约多两倍半 C ．V 1比V 2大约多一倍 D ．V 1比V 2大约多一倍半 12、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷] 已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足．点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )

A.23

B.33

C.6

3 D ．1 12、[2011·全国卷] 已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则CD ＝( )

A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 13、课标理数4.G5[2011·浙江卷] 下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ

D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 14、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷] 已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足．点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )

A.23

B.33

C.6

3

D ．1

15、大纲理数9.G11[2011·重庆卷] 高为

2

4的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D

均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()

A.

2

4 B.

2

2C．1 D. 2

16、大纲理数16.G11[2011·全国卷] 已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．

17、课标理数12.G8[2011·辽宁卷] 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC ＝30°，则棱锥S－ABC的体积为()

A．3 3 B．2 3 C. 3 D．1

18、课标理数15.G8[2011·课标全国卷] 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥O－ABCD的体积为________．

18、大纲文数15.G8[2011·四川卷] 如图1－3，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．

4

19、[2011·北京卷]

如图，在四面体P ABC中，PC⊥AB，P A⊥BC，点D，E，F，G别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE∥平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

(3)是否存在点Q，到四面体P ABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．

20、[2011·北京卷] 如图1－6，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面P AC；

(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；

(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．

21大纲理数19.G5，G11[2011·全国卷] 如图1－1，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.

(1)证明：SD⊥平面SAB；

(2)求AB与平面SBC所成的角的大小．

图1－1

．

22课标理数20.G5，G10，G11[2011·福建卷] 如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD.四边形ABCD中

AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°. (1)求证：平面P AB ⊥平面P AD ； (2)设AB ＝AP .

①若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长；

②在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到P 、B 、C 、D 的距离都相等？说明理由．

23课标理数18.G5，G11[2011·湖北卷] 如图1－4，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．

(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；

(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．

图1－4

24课标理数19.G5，G11[2011·湖南卷] 如图1－6，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．

(1)证明：平面POD ⊥平面P AC ； (2)求二面角B －P A －C 的余弦值．

25课标理数16.G5，G9[2011·陕西卷] 如图1－6，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.

图1－6

(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；

(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →

夹角的余弦值．

26课标数学16.G4，G5[2011·江苏卷] 如图1－2，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．

图1－2

求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .

27课标理数17.G4，G7[2011·安徽卷]

如图1－4，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．

(1)证明直线BC ∥EF ；

(2)求棱锥F －OBED 的体积．

图1－4

28课标理数16.G5，G9[2011·陕西卷] 如图1－6，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.

图1－6

(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；

(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →

夹角的余弦值．

29课标理数18.G5，G10[2011·广东卷] 如图1－3，在锥体P －ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB ＝60°，P A ＝PD ＝2，PB ＝2，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．

(1)证明：AD ⊥平面DEF ；

(2)求二面角P －AD －B 的余弦值．

图1－3

30课标理数18.G5，G11[2011·湖北卷] 如图1－4，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．

(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；

(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．

图1－4

31课标数学22.G11[2011·江苏卷] 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上．设二面角A 1－DN －M 的大小为θ.

(1)当θ＝90°时，求AM 的长；

(2)当cos θ＝6

6

时，求CM 的长．

32[2011·四川卷] 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1上的一点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA 1.

(1)求证：CD ＝C 1D ；

(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； (3)求点C 到平面B 1DP 的距离．

33课标理数17.G11[2011·天津卷] 如图1－8所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1

＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.

(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；

(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．

图1－7 图1－5

34课标理数21.G12[2011·江西卷] (1)如图1－7，对于任一给定的四面体A 1A 2A 3A 4，找出依次排列的四个相互平行

的平面α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi(i＝1,2,3,4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：

A i∈αi(i＝1,2,3,4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积．

图1－7

34、课标理数19.G12[2011·山东卷] 在如图1－4所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.

(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；

(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．

35课标理数20.G12[2011·浙江卷] 如图1－5，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；

(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．