小学奥数：乘除法数字谜(一).专项练习及答案解析

数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数

字谜的时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．

1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．

2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关

的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．

3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： ⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字； ⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；

⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； ⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍．

模块一、乘法数字谜

【例 1】 下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？

5

×

【考点】乘法数字谜 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第2题 【解析】 乘积是两位数并且是5的倍数，因而最大是95.95÷5＝19，所以题中的算式实际

上是

例题精讲

知识点拨

教学目标

5-1-2-2.乘除法数字谜（一）

5

9

9

1

5

×

所以，所填四个数字之和便是1＋9＋9＋5＝24

【答案】24

【例 2】下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．?=

美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数。=

美妙数学___________

【考点】乘法数字谜【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，四年级，初赛，第12题，五年级，初赛，第11题

【解析】由?=

美妙数学数数妙知，“美”不为1，且“美”ד妙”<10，如果“美”为2，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，那么“妙”为偶数，即为4，推出“学”

为7，又由“美”+“学”=“数”，可知“数”为9，所以=

美妙数学2497。

【答案】2497

【例 3】北京有一家餐馆，店号“天然居”，里面有一副著名对联：客上天然居，居然天上客。巧的很，这副对联恰好能构成一个乘法算式(见右上式)。相同的汉字代表

相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。“天然居”表示成三位数是_______。

×

客

上

天

然

居

4

居

然

天

上

客

【考点】乘法数字谜【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，4年级，决赛，第6题，10分

【解析】因为竖式中五位数乘4仍是五位数，所以“客”是人于0小于3的偶数，只能是2，并推知“居”=8。因为“上”乘4不向上进位，且是奇数，所以“上”=1，并推

知“然”=7。则所表示的三位数是978。

【答案】978

【例 4】下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是多少？

【考点】乘法数字谜【难度】2星【题型】填空

【解析】如式(2)，由题意a≠2，所以b≥6，从而d≥6．由22□÷c≥60和c＞2知c=3，所以22□是225或228，75

de=或76．因为75×399＜30 000，所以76

de=．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．

【答案】76×396=30096

【例 5】下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是？

【考点】乘法数字谜【难度】2星【题型】填空

【解析】为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示．很明显e= 0．从c ab

?的个位数是1，b可能是3，7，9三数之一，两位数ab应是（100+f）的因数．101，

103，107，109是质数，f=0或5也明显不行．102=17×6，则ab=17，C只能取3，317

c ab

?=?，不是三位数；104=13×8,则13

ab=，c可取7，c ×ab=7×13，仍不是三位数；106=53×2，53

ab=，c=7，753

c ab

?=?是三位数；108=27×4，则ab=27，c是3．327

c ab

?=?，不是三位数．

因此这个乘法算式是53×72=3816，故这个算式的乘积是3816。

【答案】3816

【例 6】右面的算式中，每个汉字代表一个数字（0~9），不同汉字代表不同数字．美+妙+数+学+花+园= ．

42380

5

?

美妙数学

花园

数学真美妙

好好好美妙

【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，3年级，决赛，第5题，10分

【解析】从式中可以看出“花”?“学”的乘积末位为零，故“花”与“学”之中必有一个为数字0或5，当“学”是0时，由下面一列中的“学”、“3”，“好”，知“好”为

“3”或“4”，则“数”取0~9中的任何一个数字也不行，同样地“学”也不是5，

而“花”不能是0，所以“花”为数字5，则可以逆向计算出：美妙数学

4238058476

=÷=．故“美”8

=，“妙”4

=，“数”7

=“学”6

=．再看下面的加法：“数”2

+=“好”且进1位，可知必有进位且“好”0

=，于是“真”2

=，所以再次逆推“园”7628484769

=÷=．符合题意，假设成立，故，美+妙+数+学+花+园84765936

=+++++=．

【答案】36

【例 7】在右边的乘法算式中，字母A、B和C分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字．求A、B和C分别代表什么数字？

9

4

1

A B C

A B C

?

【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空

【解析】第一个部分积中的9是C C

?的个位数字，所以C要么是3，要么是7．如果3

C=，第二个部分积中的4是积3B

?的个位数字，所以8

B=．同理，第三个部分积中的1是积3B

?的个位数字，因此7

A=．检验可知7

A=，8

B=，3

C=满足题意．如果7

C=，类似地可知2

B=，3

A=，但这时第二个部分积3272

?不是四位数，不

合题意．所以A、B和C代表的数字分别是7、8、3.

【答案】7、8、3

【例 8】在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数的差是．

【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，高年级，复试，5题

【解析】A与乘数的乘积比2与乘数的乘积小，所以1

=

A，1

=

C，又B

与2的乘积个位是0，所以0 5

或

=

B，6

?

C不进位，那么6

?

D个位是0，得5

=

D，两个乘法式子分别为515216

?和510216

?，乘积的差为(515510)2161080

-?=．

【答案】1080

【例 9】在图中的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法竖式成立。乘积等于。

2

8

?

【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，5年级，决赛，第6题，10分

【解析】根据乘法算式，被乘数乘以2后得到一个3位数，且此三位数的最高位在最终的运算中进位了，所以被乘数的最高位应该是4，而乘数的十位数乘以被乘数后得到的

结果也是三位数，所以乘数的十位数只能是1或2，如果是1，那么被乘数的十位

数肯定是0，第三位数字必为4，但此时40421

?不可能是6位数，故乘数第二位必为2，被乘数第三位必为4，被乘数第二位为5或0，假设被乘数第二位是0，

则40422

?不可能是六位数，所以被乘数必然是454，经试算，乘式为454229103966

?=。

【答案】103966

【例 10】 如图，请在右图每个方框中填入一个数字，使乘法竖式成立。

7

00×

2

【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第7题

【解析】 7

00

8

888

83

334552

12

×

007

【答案】

7008

888

83

334552

12

×

007

【例 11】 在下面的乘法算式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数

字．则A = ，ABCDE 表示的五位数是 ．

68

A B

A C A D

A A E

D ?

【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】学而思杯，5年级，第13题 【解析】 2A =,23147ABCDE = 【答案】2A =,23147ABCDE =

【例 12】如图，请在右图每个方框中填入一个不是8的数字，使乘法竖式成立。

【考点】乘法数字谜【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，四年级，第11题

【解析】

【答案】

【例 13】在下面的算式中：abc cba acbba

?=，,,

a b c别代表0～9中的三个不同的数字，

那么，数字b是．

【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，中年级，复试，第8题

【解析】这是一道数字谜问题．考察同学们的推理能力．首先列成竖式：

?

c b a

a b c

a c

b b a

从?

cba a，及乘积为acbba看，1

=

c，所以111

?=?=

cba c ba ba．

8

8

8

8

8

×

1111?

b a a b b a

a a

b b a

从竖式的十位上看1?ba b ，的个位数字是0．

（1）当0≠b 时，从十位看1?ba b ，的个位数字必是0，只能是5=a ，b 是偶数或5=b ，a 为偶数．

①若5=a ，b 是偶数．从155□□?=ba 及乘积515bb 看，2

1551

1505515

?b b b b b

②若5=b ，a 为偶数．从算式的千位看，由于155700＞?a ，由于不能进位，所以7加几也不能等于1．所以时是无解的．

1551

1570

155?a a a a a a

（2）当0=b 时，从百位看，1?ba a 的个位数字必是9，十位数字必是0，那么3=a ．此时301=abc ．

100110100?a a a

a

a a

【答案】301

【例 14】 如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表0～9 中的一个数字，相同的汉

字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为________

?学而思杯

学而思杯

【考点】乘法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 首先从式子中可以看出“思”0=，另外第三个部分积的首位只能为9，所以“学”

只能为3．由于3个部分积都是四位数，而且第三个部分积的首位为9，所以它比其它两个部分积要大，从而“学”比“而”和“杯”都大，所以“而”和“杯”只能分别为1和2，这样“学而思杯”就可能为3102或3201．分别进行检验，发现310231029622404?=，与算式不相符，而3201320110246401?=符合，所以“学而思杯”代表的数字分别为3、2、0、1．

【答案】3、2、0、1

模块二、除法数字谜

【例 15】 在方格内填上适当的数字，使得除法竖式成立。

3

1

【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第9题，10分

【解析】 20047-13=20034=2×33×7×53。由商的个位是2知，除数乘以2的个位是4，所

以除数的个位是2或7。因为20034只有一个因子2，所以20034只能分解成一个偶数与一个奇数的乘积，由商是偶数推知除数是奇数，所以除数的个位是7。20034的两位数因数中只有33=27符合要求，所以除数是27，商是20034÷27=742。

【答案】2004727=74213÷L L

【例 16】 如图所示的除法算式中，每个□各代表一个数字，则被除数是 。

6

3

【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题 【解析】 先确定商首位是8，再估量出除数首位是5，确定商的末位1，得到被除数为4620. 【答案】4620

【例 17】 右边的除法算式中，商数是 。

6

7

【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第11题，4分 【解析】 除数的百位是6，积是一个三位数，所以商的十位一定是1,除数的个位是7，被除

数个位是1，所以商的个位是3，所以商是3

【答案】3

【例 18】 右面算式中的每个“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个，每个“偶”字代表0、

2、4、6、8中的一个，为使算式成立，求出它们所代表的值。

0偶奇

偶偶

偶偶偶偶

【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】奇偶分析法 【解析】 为了叙述方便，把算式中每个“奇”与“偶”字都标上角码，如下式所示。

0偶3奇3

偶6偶9

偶9偶6偶8偶7

由于1253789=奇奇偶-奇偶偶偶因此5偶所在位必定向“奇2”所在位借1，因而排除“偶4”=0。又由于34296=?偶偶偶偶偶，所以2=24偶或者

①若2=2偶，则34=22偶偶，24，42，44，而226=132?（积为奇奇偶），22×8=176（积为奇奇偶）因此3422≠偶偶，若24×6=144（积为奇偶偶），24×8=192（积为奇奇偶），于是378=144奇偶偶，96=48偶偶。而125144-奇奇偶的差不可能等于4，因此3424≠偶偶，42×4=168（积为奇偶偶），42×6＝252（积为偶奇偶），42×8=336（积为奇奇偶），于是378=168奇偶偶，因为96=84偶偶，所以有125=1688=176+奇奇偶，便得：

6

8488

41

240

44×4＝176 （积为奇奇偶）；44×6=264 （积为偶偶偶）；44×8＝352 （积为奇奇偶），因此3444≠偶偶

②若2=4偶，则34=22偶偶，而22×6=132（积为奇奇偶），22×8＝176（积为奇奇

偶），“偶2”≠4。

【答案】1764÷42＝42

【例 19】 在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立．则被除数应是

___________．

80

8

888

【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，第11题 【解析】 如下图，我们将空格标上字母，以便分析，

V

W Y

X

I I C G D

D H

G F E D C B A

88

880

8

由1088B +-=，得6B =．因为88XY EF ?=，可以得知1Y =或者6．

⑴如果1Y =，则8Y ?没有进位，8X ?所得个位F 必是偶数，那么，G 必是奇数．因为8W X G ?=， 所以，G 可能是1、3、5、7、9，其中只有18可以表示成两个一位数的乘积，

182936=?=?．所以G 可能是1．如果1G =，得6F =，那么86X E ?=，18W X ?=．只能是2X =，9W =，1E =，8219189G H XY W =?=?=，而8G C 最大为189，这样I 将为0．不符题意．所以1Y =不成立．

⑵如果6Y =，分别将1至9代入X 进行计算，可以发现，当1X =、2、3、7、8时，第一次除法后得到的余数都大于除数XY ，所以可以排除；

①若4X =，得6F =，3A E ==，进而得到1G =，4W =，4H =，因为46V ? 的结果是

一个两位数，所以1V =或者2．当2V =的时候，92ID =，而4C -没有借位，所以结果最大为5，产生矛盾，故1V =，进而推出4I =，8C =，6D =，符合题目要求，被除数为38686； ②若5X =，由第一次除法可以推出3G =，W 只能是6或者7，但是无论6W = 还是7，都无法满足5638W H ?=，所以排除；

③若6X =，由第一次除法可以推出5G =，W 只能是8或者9，但是无论8W = 还是7，都无法满足6658W H ?=，所以排除；

④若9X =，由第一次除法可以推出1G =，那么9618W H ?=，但是不存在能使这个等式成立的整数W ，所以9X =可以排除；

综上所述，只有4X =，6Y =的时候满足题目中的除式，所以被除数为38686． 【答案】38686

【例 20】 在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数

为 ：

9

002

e f

22

d 22d

e

d

c

b

a

9

9

01

9002

【考点】除法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，2题 【解析】 先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个

三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e 是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)．若

为1，则92abc d =，而92abc f d f ?=?为三位数，于是1f =，又这个乘积的十位数字为0，而d 不能为0，矛盾．所以e 不为1；若为3，则923abc d =÷，d 可能为1、4、7， abc 相应的为304、314、324．当abc 为314和324时abc f ?所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc 为304，则f 可能为1或2，经检验f 为1和2时都与竖式不符，所以e 也不能为3；若为7，则927abc d =÷，只有5d =时满足，此时136abc =，那么3f =．经检验满足题意；若为9，则

929abc d =÷，d 只能为7，此时108abc =，f 则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．

【答案】136

【例 21】 右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、3、4、5、6、7、8和9，不

同的汉字代表不同的数字，如果“北”和“京”分别代表1和9，请写出“奥运

会”所代表的所有三位整数，并且说明理由。=

北奥运会

京心想事成

【考点】除法数字谜 【难度】6星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，决赛，第14题，10分

【解析】①1

9

奥运会

梦想成真

∴9×奥运会=梦想成真，∴梦想成真为9的倍数

于是：“梦”＋“想”＋“成”＋“真”为9的倍数

而：“梦”＋“想”＋“成”＋“真”最大为：8＋7＋6＋5=26

最小为：2＋3＋4＋5=14

所以：“梦”＋“想”＋“成”＋“真”在14至26之间，且为9的倍数，推出：“梦”＋“想”＋“成”＋“真”=18

②“奥”、“运”、“会”、“梦”、“想”、“成”、“真”分别代表2—8

所以：“奥”＋“运”＋“会”=2＋3＋…＋8-18=17

可以得出：“奥”、“运”、“会”必是下面三组中的一组： 8、7、2 ; 8、6、3 ; 8、

5、4 ; 7、

6、4

③分别讨论，看哪组满足题意：此事有两种讨论思路：

（1）利用加减数字谜；奥运会×9=梦想成真，

∴奥运会 0

－奥运会

梦想成真

∵“奥”≠“梦”，所以，“运”必定比“奥”小，（这样“运”－“奥”时需借位，这样才能保证“奥”≠“梦”）即奥运会这个三位数的十位比百位小。

Ⅰ若“奥”、“运”、“会”为8、7、2这一组，则三位数“奥运会”可能为872，827，728 。∵奥运会×9=梦想成真

若： 872×9=7848 “奥”、“真”重复所以：不行

827×9=7843 “奥”、“想”重复所以：不行

728×9=6552 “想”、“成”重复所以：不行

Ⅱ、Ⅲ一样的思路试其他三组经试验：三位数“奥运会”可以为：836，647，638 （2）利用乘除数字谜

根据所求，“奥”、“运”、“会”必是下面三组中的一组：

8、7、2 8、6、3 8、5、4 7、6、4

奥运会

× 9

梦想成真

①当“奥”、“运”、“会”为8、7、2一组里的数时，观察尾数，可知会只能为7，

则奥运会可以是287也可以是827，此时梦想成真应从3、4、5、6里选，287×9=2870-287，千位是2，没有满足这样的数；

827×9=8270-827千位是7，也无这样的数；

②当奥”、“运”、“会”为8、3、6一组里的数时，观察尾数，可知会只能为8，也可能为3，

可能为6，分别讨论；

当会为8时，奥运会=638或368，638×9=6380-638=5742，满足；368×9=3680-368=3314不符合；

当会为6时，奥运会=386或836，386×9=3860-386=3474，不符合；836×9=8360-836=7524满足；

当会为3时，奥运会=683或者863，683×9=6830-683，千位为6，不符合；863×9=8630-863=7767不符合；其他同理，发现当奥运会=647也可。所以奥运会有836，647，638共3种取值。

【答案】奥运会有836，647，638共3种取值

【例 22】如下图所示的算式中，除数是( )，商是（）。

【考点】除法数字谜 【难度】星 【题型】填空 【关键词】希望杯，5年级，复赛，第12题 【解析】 106.416 6.65÷=，突破口为如图中的阶梯型。

【答案】除数是16，商6.65