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2010年第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学组)、答案及详细分析解答

2010年第十五届华罗庚金杯

少年数学邀请赛决赛试题A(小学组)

一、填空题(每小题10分,共80分)

1.在10个盒子中放乒乓球,每个盒子中的球的个数不能少于11,不能是13,也不能是5的倍数,且彼此不同,那么至少需要个乒乓球。

2.有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒,共有种不同价格。

3.汽车A从甲站出发开往乙站,同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站,途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、B、C的速度分别是每小时90km, 80km, 60km,那么甲乙两站的路程是km。

4.将和这6个分数的平均值从小到大排列,则这个平均值排在第位。

5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作,经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”,那么不超过2012的“好数”的个数为,这些“好数”的最大公约数是。

6.右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成,这个立体图形的表面积为。

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7.数字卡片“3”、“4”、“5”各10张,任意选出8张使它们的数字和是33,则最多有张是卡片“3”。

8.若将算式的值化为小数,则小数点后第1个数字是。

二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)

9.右图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗?如果能,请画出一种拼法;如果不能,请简述理由。

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10.长度为L的一条木棍,分别用红、蓝、黑线将它等分为8,12和18段,在各划分线处将木棍锯开,问一共可以得到多少段?其中最短的一段的长是多少?

11.足球队A,B,C,D,E进行单循环赛(每两队赛一场),每场比赛胜队得3分,负队得0分,平局两队各得1分。若A,B,C,D队总分分别是1,

4,7,8,请问:E队至多得几分?至少得几分?

12.华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数,并且分解成19101112=1163×16424,请问这两个数1163和16424中有质数吗?并说明理由。

三、解答下列各题(每小题15分,共30分,要求写出详细过程)

13.右图中,六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米。已知△ABC,△BCD,△CDE,△DEF,△EFA,△FAB的面积都等于335平方厘米,6个阴影三角形面积之和为670平方厘米。求六边形A1B1C1D1E1F1的面积。

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14.已知两位自然数能被它的数字之积整除,求出代表的两位数。

答案

1.173

2.19

3.425

4.5

5.223;3

6.32

7.3

8.4

9.不能

10.[8,12,18]=72

8+12+18-3-2-1+1=32 除去重复的32-4=28段

最长一段长为1,所以1/72

11.7;5

12.有质数,1163;1163不能除以2,3,5……37内质数,1163<37×40 13.335×6=2010

(2010-670)÷2=670

2010-(670×2)=670

14.11,12,15,24,36

第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛(A 卷)解答的

详细解析与答案

一、填空题(每小题10分,共80分) 1、【解答】(枚举方法)至少需要11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173 。 2、

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3、【解答】(相遇、追及综合问题)A 与C 20分钟相遇,共行(90+60)×(20÷60)=50( km) ,这50 km 即是A 与B 相遇过程中,在相同时间内,B 比C 多行的路程,显然A 与B 相遇时间等于50÷(80-60)=2.5(小时)。所以,A 与B 相遇甲乙两站的路程为(90+80)×2.5=425( km)

4、【解答】平均数=【(12

+13

+16

)+14

+15

+17

】÷6≈0.265457,所以这个平均数从小到大排列在第5

位。

5、【解答】(余数问题或周期规律)题意中的好数实际是指小于或等于2012中除以9余6的数有多少个。即数列

6、15、24、33、42、51…….1005、2004共(2004-6)÷9+1=223(个),最大公约数为3 6、【解答】(表面几何问题)。

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(视图方法)。俯视面积5,仰视面积5,前视面积5,后视面积5,左视面积6,右视面积6,表面积共32

7、【解答】(不定方程问题)

设卡片3用X 张,卡片4用Y 张,卡片5用M 张,则: X+Y+M=8 ①

3X+4Y+5M=33 ② ?2X+Y=7 ?X 最大为3

8、【解答】(估算问题)

根据分数数列运算符号的加减周期性,将分数数列分组求近似值,进行估算。

112

? -

134

?≈0.41.

6 ,

1

56

?-

178

?≈0.01548 ,

10

91?-

12

111?≈0.00354 ,

14

131

?-

16

151?≈0.00132

=?-

?20

19118

1710.00063,……推理后面每两个分数之差更接近0,而且是有限个求和,所以小数点

后第一位为4。

二、答下列各题(每题10分,共40分)

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9、【解答】(染色问题)将5块硬纸板黑白间隔染色,可见黑色有11块,

白色9块,或者黑色9块,白色11块。而右边20个格子黑、白各10

块。显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的的4×5的长方形。

10、解答(重叠问题):令L=[8,12,18]=72的K倍,即L=72K。那么:

红线将木棍等分8等份(9个分点),每份长度9K;

蓝线将木棍等分12等份(13个分点),每份长度6K;

黑线将木棍等分18等份(19个分点),每份长度4K;

又知:【9K,6K】=18K,重叠4段。【6K,4K】=12K ,重叠6段。【9K,4K】=36K,重叠2段【9K,6K,4K】=36K,重叠2段。

由容斥原理二得:一共分割的段数为:(8+12+18)-4-6-2+2=28(段)

或总点数为:(9+13+19)-5-7-3+3=29(分点),所以共有28段。

11、【解答】(数值综合推理)

5只足球队单循环比赛共赛4+3+2+1=10场。从计分标准看,有胜负的场次得3分,平局的场次共得2分,题意中的问题是E队最多得分和最少得分,显然和整个比赛中平局的次数有关,平局越少,E 队得分会越高;平局越多,E队得分会越低。假设全是3分,10场共计30分,每平局总分倒减1分。

由A、B、C、D的得分不难分析,

A=1 =1+0+0+0

B=4 =3+1+0+0 = 1+1+1+1

C=7 =3+3+1+0

D=8 =3+3+1+1

从得分看至少3局平局,全部比赛总分30-3=27分,E对得分最多为27-1-4-7-8=7分。

从得分看最多5场平局,全部比赛总分30-5=25分,E队得分最少为25-1-4-7-8=5分。

12、【解答】(质数问题)

16424是合数,原因是16424的约数不止两个,除了有1和本身外还有2、4……

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等等。

1163是质数,判断方法是: 352=1225,342=1156 最接近1163,所以用小于34

的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽,所

以可以判断1163是质数。

三、解答下列各题(每题15分,共30分)

13、【解答】(图形面积问题)(容斥原理求面积)

六边形

A B C D E F的面积=六边形ABCDEF的面积-两个六边形中间夹圈部分的面积。

111111

根据容斥原理:两个六边形中间夹圈部分的面积=(335×6+670)÷2=1340

所以:

六边形

A B C D E F的面积=六边形ABCDEF的面积-两个六边形中间夹圈部分的面积

111111

=2010-1340=670

14、【解答】(不定方程问题)

令虎为X、威为Y, 则:题意为:10X+Y=X×Y×K(K为整数)

讨论:①Y=1 ? (K-10)X=1 ? X=1,K=11, ?XY=11

②Y=2 ? (K-5)X=1 ? X=1,K=6, ?XY=12

③Y=3 ? (3K-10)X=3 ?无解

④Y=4 ? (4XK-10K)=2 ? X=2,K=3 ?XY=24

⑤Y=5 ?(K-2)X=1 ? X=1,K=3 ?XY=15

⑥Y=6 ? (3K-5)X=3 ? X=3,K=2 ?XY=36

⑦Y=7,同上方法讨论无解。

⑧Y=8,同上方法讨论无解。

⑨Y=9,同上方法讨论无解。