一维量子谐振子的概率分布
一维量子谐振子的概率分布
摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。
关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布
1.引言：
谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。
通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。 2.经典一维谐振子：
首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子
作简谐振动，再根据牛顿第二定律：
kx dt
x d m -=2， 所以得运动微分方程为：
x x m
k
x 2''ω-=-
=， 在此中m
k
=
2
ω（决定于弹簧的劲度系数和滑块的质量），由此可以得到一个比较普遍的定义。比如质点运动的动力学方程为02
22=+x dt x d ω的形式，也可以将它的解为)
co s(φω+=t A x 。
相
应
的
，
质
点
的
动
量
的
表
达
式
为
i t B i t mA i p i x m p x )sin()sin(φωφωω+-=+-=='=，这里出现的km A B = 。这个
质点的动量的方向为x 方向的分量。
还有一种典型的谐振子，那就是单摆，在研究单摆模型中，要用长度不可变的轻线悬挂一个小球，我们把小球看作为质点，质点所受的的合力为质点的重力和悬挂线拉力的合力，使得质点在竖直的平面内沿圆弧摆动，并且要求摆动相对于悬线竖直位置的夹角很小，把这个夹角记作θ 。现在分析质点在沿运动方向所受的力为弧线的切线方向，记作F 。质点的
质量为m ，切向力F 的大小为θsin mg ，且当
θ=0这个位置时，
-+
-
=!
5!
3sin 5
2
θθθθ··· ，所以当θ角很小时，就可以略去级数展开式中的高次项，即
θθ≈sin ，这样切向力就可写成θmg F -=
，从公式中就可以看出来，切向力和角位
移反号，使得质点总要返回平衡位置，已知F 力是线性回复力，所以会做简谐振动，可以得出单摆的动力学方程，假设线长为l ，所以：
θθmg dt l d m -=22)( ，θθl g dt
d -=2
2 ，令2
ω=l g
即，可得到：
02
2
2=+θωθdt
d 这样得到的结果和弹簧振子得到的结果是一样的，所以单摆得到的也是一个简谐振动。 3.量子谐振子
比如在一维的系统内粒子的势能
m 2
1
2ω2x ，其中ω是常量，这种形式的称为线性谐振子。例如，两原子势能与x 的关系，其中在两原子间距中有一个稳定平衡点，把这一点记作a ，在x=a 处，势能U 具有极小值，即
0=??x U ，这样就可以写成U=2)(2
0a x k
U -+，式中的k 和U0是常数，这就是一维线性谐振子的势能，通常情况下，一个体系平衡位置附近的运动都可以用线性谐振子来表示。谐振子的势能为2221x m ω ，且坐标和时间可表示
为)sin(δω+=t a x ，我们把a 作为振幅，δ是初相。 我们选择适合的坐标系，领粒子势能为
222
1
x m ω ，为了更加方便，我们引入了无量纲的变量ξ来代替x ，所以该体系的 薛定谔方程为：
0)2
(22
222=-+ψωψx m E dx d m
其中的关系为x x m αω
ξ==
，其中
ω
αm =
。 令ω
λ E
2=
，以
ω
2
乘方程
0)2
(22
222=-+ψωψx m E dx d m ， 由 x x m αω
ξ== 和
ω
αm =式， 薛定谔方程变化为：
0)(2
2
2=-+ψξλξ
ψd d 我们当ψ在±∞→ξ时的渐近时，也就是ξ非常大时，可得λ和2
ξ相比可略去， 所以在
±∞→ξ
时，方程可表示为：
0)(2
2
2=-+ψξλξ
ψd d
可以写成为ψξξ
ψ
22
2
=d d ，该解为 2
2
ξψ±
≈e ，因此这就是方程0)(22
2=-+ψξλξ
ψ
d d 的渐近解。
波函数标准的条件是，当±∞→ξ 时，ψ应该为有限的，因此取指数的负号，即
2
2
ξψ-
≈e
。所以就可以把ψ写成以下形式， 从而求得方程0)(22
2=-+ψξλξ
ψ
d d 的解为：)()(2
2
ξξψξH e -
= ，从上式中求得的函数)(ξH 在自变量为有限时应有限的，而且当
±∞→ξ时，这样就的让)(ξH 必须保证)(ξψ为有限。将
)()(2
2
ξξψξH e
-
=
代入方程
0)2
(22
22
2=-+ψωψx m E dx d m 先求出)()(2
2
ξξψξH e
-
=式的二级微商：
2
2
)(ξξ
ξξψ-+-=e d dH H d d
2
2
2
222
2)2(ξξ
ξξξξψ-
++--=e d H d H D dH H d d
将上式代入0)(22
2=-+ψξλξ
ψ
d d 式中，可得到)(ξH 所能满足的方程：02)1(2
2=+--ξ
ξξλd H
d d dH H 把H 展成关于ξ的幂级数，而且级数只含有限的项的条件是λ为奇数：12+=n λ ，且n=0,1,2,3··· 将式代入2公式ωλ E 2=
后，就可得到线性谐振子的能级为)2
1(+=n E ω ，n=0,1,2,3··· 因此，两个相邻能级的间隔均为ω ，线性谐振子的基态能量为
ω 2
1
0=
E （n=0），这个被称之为零点能。这个在量子力学中是特有的，在旧量子论中没有。 4．能量的最小值
根据不确定关系（测不准关系）可以的到动量和坐标的关系， 因为
i p p x x x =- ， =k
于是得到：
4
)()(2
2
2
≥??x p x
这个就是坐标和动量的关系，2
)(x ?和2)(x p ?不能同时为零，其中坐标x 的均方偏差越小，那么它的共轭的动量的均方偏差就越大。对于线性谐振子的零点能，我们可以利用不确定关系：
4
)()(2
2
2
≥??x p x
其中振子的平均能量是：
2222
12x m m p E ω+= ，
得到坐标的期望值是：
?
=+∞
∞
-?
-?xdx
x H e n
n
x N x )(2
2
2
2 ， 该式中积分号下的函数是关于x 的奇函数，
动量的期望值：
?=
+∞
∞-?-
?-??dx
X H e
dx
d x H e
n N x n
x N i
p )]([)(22
222
2
2
分步积分后：
p N i
p dx
X H e
dx
d x H
e n N x n x -=?-
=+∞
∞-?-
?-??)]([)(22
2222
2
均方差公式：
2222222)()(F F F F F F F F F -=+-=-=?
因为0=x ，0=p ，得到22)(x x =? ，22)(p p x =? ，将其代入
2222
12x m m p E ω+=
得线性谐振子的能量期望值：
222)(2
12)(x m m p E ?+?=ω
又由于不确定关系使2
)(x ?和2)(x p ?不能同时为零，所以E 的最小值也就不能为零，
并且必须是有限的正值。为了求得E 的最小值，使得4
)()(2
2
2
≥??x p x 取等号，即可得
到：
2
2
2
)
(4)(x p x ?=? 将该式代入
222)(2
12)(x m m p E ?+?=ω式，
得到
2
22
2)(2
1)(18x m x m E ?+?=ω 将此式对2
)(x ?求导就得到了E 的最小值，又由ω
m x 2)
(2
=
? ，得到了E 的最小
值为
ωm 2
1
。从以上关系可以看出，线性谐振子的基态能量是由不确定关系所求得的最小值。
5．线性谐振子波函数
对于12+=n λ ，且n=0,1,2,3··· 中不同的n 或者不同的λ ，在方程
02)1(2
2=+--ξ
ξξλd H d d dH H 中有着不同的解)(ξn H ，我们把)(ξn H 称之为厄米多项式，也可以用2
2
)1()
(ξξ
ξ
ξ--=e d d e H n
n n n 来表示。其中的)(ξn H 的最高
次幂是n ，并且它的系数是n
2 ，所以就可以利用
2
2
)1()(ξξξ
ξ--=e d d e
H n
n n
n 推出
)(21ξξ
-=n n
nH d dH 0)(2)(2)(11=+--+ξξξξn n n nH H H
]2
[22
2
)2(]2
[!)1(...)2)(1()2()(n
n n n n n z n n z n n H ---++--=ξξ
式中的???????-=2
)
1(2
]2[n n
n ，n 为偶数时为2n ，当n 为奇数时为2)1(-n 。
从而得到了几个厄米多项式：
10=H ξ21=H
2422-=ξH ξξ12833-=H 124816244+-=ξξH
ξξξ12016032355+-=H 120720480642466-+-=ξξξH ξξξξ38478013441283577-+-=H
1680108488280358425624688+-+-=ξξξξH ξ
ξξξξ95043417638064921651235799+-+-=H 3024021427221739214064023040102424681010-+-+-=ξξξξξH
由)()
(2
2
ξξψξH e
-
=得到的关于能量n E 的波函数，即
)()(2
2
ξξψξn n n H e
N -
=
或)()
(2
2
2
x H e
N x n x n n αψα-
=
式中的n N 是归一化因子，所以利用归一化条件:
n n n n dx x x '
'+∞
∞
-=?,*
)()(δψψ
（其中归一化因子2
12
1)
!
2(
n N n n πα
=） 。由以上关系可以得到
)()1()(x x n n n ψψ-=-的关系。
从而得到谐振子的波函数如下
2
/4
1022
)(x e x α
π
αψ-=
2
/4
1122
2)(x xe x α
απ
α
ψ-=
2
/224
1222
)24(22)(x e x x α
απ
α
ψ--=
2
/2
2
4
1322)32(3)(x e
x x ααπ
α
ψ--=2
/22444
1422
)3124(24)(x e x x x α
ααπ
α
ψ-+-=
2
/2
2444
1522)15204(60)(x e
x x x x ααααπ
α
ψ-+-=
2
/2244664
162
2)1590608(512)(x e x x x x α
αααπ
α
ψ--+-=
2
/2
244664
1722)105210848(706)(x e
x x x x ααααπα
ψ--+-=2
/224466884
182
2)10584084022416(7024)(x e x x x x x α
ααααπ
α
ψ-+-+-=
2
/2244884
192
2)9452520151216(3572)(x e x x x x α
αααπ
α
ψ-+-+=
2
/2244668810104
1
102
2)945945012600504072032(7720)(x e x x x x x x α
αααααπ
α
ψ--+-+-=
6.量子谐振子的概率分布：
所以从谐振子的波函数来获得线性谐振子的概率分布
即，概率密度为2
)()(ξψξω= ，n=0,1,2,3··· ，其中x αξ= 所以就可以得到谐振子的概率：
απ
ξ2
1
)0(-=
e W
22
21)1(αξπξ-=e
W
22)12(31
)2(2
-=
-ξαπξe W
222)32(31)3(2
-=-ξαξπ
ξe
W
224)3124(241)4(2
+-=
-ξξαπξe W
2242)15204(601)5(2
+-=
-ξξαξπξe W
2246)1590608(7201
)6(2
-+-=
-ξξξαπξe W
22462)105210848(25201
)7(2
-+-=
-ξξξαξπ
ξe
W
22468)10584084022416(403201
)8(2
+-+-=
-ξξξξαπ
ξe W
224682)9452520151228816(1814401)9(2
--+-=-ξξξξαξπ
ξe
W
2246810)945945012600504072032(36288001
)10(2
-+-+-=
-ξξξξξαπ
ξe W
利用Mathematica 画出谐振子的概率分布，图分别如下： 图一：
基态（n=0）是的概率密度（6——1）
图二：
n=1时波函数的概率密度（6——2）图三：
n=4时波函数的概率密度（6——3）
图四：
n=6时波函数的概率密度（6——4）图五：
n=8时波函数的概率密度（6——5）
图六：
n=10时波函数的概率密度 （6——6）
总结：
从上图可得到，量子谐振子的概率分布随着量子态的增加而呈现规律，当量子态很小的时候，这时的概率密度与经典的谐振子几乎没有什么相似处，但是随着n 的增大，它们之间的相似性会随着增加，当达到n=10的时候，这时的量子谐振子和经典谐振子的情况几乎一样，其中的一点差别就是量子谐振子的2
)(ξψ会迅速的震荡而已。
参考文献：
[]1 曾谨言 .【量子力学导论】第二版 []M . 北京大学出版社，2004
[]2 周世勋 .【量子力学教程】第二版 []M . 高等教育出版社，2009 []3 漆安慎 杜婵英 .【力学普通物理教程】第二版 []M . 高等教育出版社，2005 []4 陈世民 .【理论力学简明教程】第二版 []M . 高等教育出版社，2008
[]5 曾谨言 .【量子力学（卷I ）
】 第四版 []M . 科学出版社，2007 []6 王正行 .【量子力学原理】 []M . 北京大学出版社，2003
[]7 刘明 .【经典谐振子与量子谐振子】 []J 湖北教育学院 物理与电子工程系，
武汉 430205
[]8 徐秀玮，孔祥伟，田丽杰，柳盛典，朱友亮，赵旭光 【量子谐振子与经典谐振子的比较】 []J
[]9Baym.G .Lecteres on Quantum Mechanics Benjam in New York [M] ,1987.
[]10May R M . Nolinear Problems in ecology and resource management [M] . North
Holland Publ Co,1983
[11]宋鹤山. 量子力学. [M] 大连理工大学出版社，2004
[12]姚玉洁. 量子力学. [M] 吉林大学出版社，1988
[13]刘全慧. 等全波包与一维谐振子[J] . 大学物理，2002
[14]王可，陶才德. 一维线性谐振子量子束缚态能级的几种计算方法[J] . 绵阳师范学院学报，2005
[15]文焕邦，刘敬乾. 量子力学[M] . 四川科学技术出版社，1986
One-dimensional quantum harmonic oscillator probability distribution Abstract:Linear Resonance problem as a general model，Therefore, in classical mechanics and quantum mechanics are greatly concerned.And resonator includes many types,We first study the quantum harmonic oscillator problem. Quantum harmonic oscillator is the basis of many complex physical model. When the first few quantum harmonic oscillator quantum state,Classical probability density difference between the more,With the increase of quantum numbers,Along with similarity will increase.By using mathematical software quantum harmonic oscillator probability distributions graphed,To arrive at the one-dimensional quantum harmonic oscillator probability distribution.
致谢
在写论文的过程中，由于自己学习的不够扎实，遇到了很多困难，经过老师不厌其烦的讲解和指导，最终才将其完成。在此过程中深深的感觉到作为一个合格的老师的不容易，也深深的被老师扎实的物理功底所折服。在向解老师学习知识的同时，也应该向他学习对于学术那种严谨和认真的态度，无疑对我以后是一种激励。还有就是曾经教导我的老师们，是老师们一点一点的努力和汗水让我们懂得越来越多，没有他们曾经的努力也就没有现在的我们。
我的论还有很多不足，还需要老师们的指导和纠正，我会虚心学习和认真听取老师的建议，感谢各位老师，您辛苦了！
常用的概率分布类型其特征
常用的概率分布类型及其特征 3．1 二点分布和均匀分布 1、两点分布 许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。它服从的分布称两点分布。 其概率分布为： 其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率： 0≤P≤1。 X的期望 E（X）=P X的方差 D（X）=P（1—P） 2、均匀分布 如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一
个常数，则X服从的分布为均匀分布。 其概率分布为： X的期望 E（X）=（a+b）/2 X的方差 D（X）=（b-a）2/12 3．2 抽样检验中应用的分布 3．2．1 超几何分布 假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。 X的分布概率为： X=0，1，…… X的期望 E（X）=nd/N
X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布 超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。 假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的概率分布为： 0 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。 学等领域]13 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成 ● 韦伯分布 概率密度函数：()1()(),0,,0k v k c k v f v e v k c c c --= ≥> 累计分布函数：()0()1k v c F v v e -≤=- 式中：x 为随机变量，c 为比例参数（scale parameter ），k 为形状参数（shape parameter ） ● Gamma 分布 ()1()exp v v f v ααβαβ -??=- ?Γ?? MATLAB 实现： 彰武的weibull分布拟合结果（逐年数据拟合）①以0.5m/s为组距 Dec 2.6205 1.5180 1.6710 0.9836 1.91449 1.2363 4.7080 0.9648 ?密集城市高层建筑屋顶风资源评估大纲 ①introduction 介绍风资源评估的手段，城市建筑风能利用的潜力，有哪些人做了研究（可列表） ②method 介绍用到的方法与公式，主要集中在风速分布的不同模型密度函数与累计函数，然后是参数的估计方法，然后是拟合的检验方法。 2.1 weibull distribution; gamma distribution; ….Distribution; beta distribution; wakepy distribution 2.2 maximum likelihood method 2.3 Chi-square error 和R2检验的原理、公式，结果的含义 ③results 3.1 逐年，逐月，总计的各种分布函数参数估计的值，及图（2~3个左右的图或表）；参数跟平均风速的关系（经验公式） 3.2 风速分析，逐月的平均风速+平均风向日分布曲线（12张图或者2张图） 3.3 风向分析（玫瑰图） 3.4 湍流强度分析（一到两张图） 3.5 most energy-carrying wind speed analysis（公式和计算结果图表） ●用韦伯分布进行风能密度估计 ● 一维谐振子的本征值问题 姜罗罗 赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一 般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ?dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研 究前沿课题之一。最后从Dirac 算子代数中求解出a ?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a ?与升算符+a ?、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 V 可 表成 2 2 1kx V x = （１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μ ωk = （２） 它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势 222?2 12??x p H μωμ+= (3) 在能量H ?表象中，由于 目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................ 1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2 极端风速和发生时间间隔分布的概率分布研究 摘要：这篇论文是基于香港记录的极端风速数据对极端风速及其发生时间间隔分布可能性的研究调查。I型极值分布、三参数Weibull分布、双参数Weibull分布都被这项研究所采用来匹配风速数据。假设检验发现，尽管这三种分布型都适合用来描述计算风速数据的分布可能性，但是I型极值分布和三参数Weibull分布比二参Weibull分布更加恰当一些。据观察，特定极端风速的发生时间间隔是随着三参数Weibull分布或二参Weibull分布的随机变量，而二参Weibull分布模型相对来说是一个更好的选择。给出一个研究案例来讨论可能性分析的结果。 1．介绍 对结构的风载荷评估需要对结构寿命内的预测对风知识有一个最全面深入的了解。Davenport是最早运用概率统计理论来决心风速设计的研究人员之一。各种分布可能性的模型已经被用于或者建议用于记录的风速的统计分析。在这些模型之间，I型极值分布就是众所周知的Gumbel分布，一个拟合最大值的经典模型。Gumbel促进了I型极值分布在特大洪水预报中的应用。1970年以后，很多研究人员都认为I型极值分布是适合于极端风速数据分布研究的。因此，I型极值分布是在世界各地结构设计规范和标准采用的最常用的方法。广义极值分布是由Jenkinson通过合并三个极值分布类型到一个简单的数学形式中来的，这一概念模型已经被广泛的使用于风工程当中。一个新的极值分布模型，实际上已经覆盖了I型极值分布的模型，被Li等人所建议提出来，这是最近应用到风行动下玻璃包层的时间依赖性可靠性分析。这些研究表明这个新的分布对于描述极值风速的可能性分布是一种有效的和灵活的工具。Gomes 和Vickery通过应用Gumbel极值分布提出了一种在混合天气状态下用于极值风速分析的新方法。与广义极值分布十分相近的广义帕累托分布被很多研究人员应用到适应极值风速。正如Holmes 和Moriarty所评论，她的最大优势在于利用感兴趣的风暴所产生的高阵风上的相关数据，而不仅仅是年最大风速，同时也没有必要为了一个值而每年进行分析。 威布尔分布是另一种广泛使用于适应风速数据的分布模型。Stewart 和Essenwanger通过威布尔分布研究地球近地层风速的频率分布，发现在极值预报中三参数模型比二参数模型要更好。Deaves和Lines展示了一种适应风速数据的提高方法到威布尔分布中，也证明了二参数威布尔分布可以适应于所有风速数据的全部范围，也证明风速计分辨率是足够的，十分钟平均风速也是适用的。Ulgen和Hepbasli通过使用Izmir的风速数据检查了两种风速分布功能的威布尔参数分布，同时也威布尔分布和瑞利分布相比较。威布尔分布被发现是最准确的分布为根的试验方法的均方误差，并适合于表示的风速数据密尔的实际概率分布。Lun和Lam计算出数值估计并用威布尔二参数分布功能去描述过去30年的一组风数据的风速频率分布，并检查了三个地方：一个城区、一个城市中心极其暴露的区域和香港一个开放的海域威布尔密度分布功能的两个参数。 很多先前的关于风速可能性分布分析的研究，包括上面所提及的，都主要关于风速概率分布的测定。据记录，一般在先前的研究当中都只是考虑了风速的大小和方向和发生频率；而强风发生间隔的可能性分布是常常被忽略的。在这项研究中将会呈现一个指定的强风速的发生间隔实际上是具有某种概率分布的随机变量。然而，这种现象是还没有调查以往概率分析的基础上。 为了精确的估计极值风速，同时考虑指定风速发生可能性和它的发生间隔是很合理的。在这篇文章中，风速的发生频率和发生间隔都将被考虑到极值风速可能性分析当中。一项案例研究展示是在基于香港记录的极端风速数据上。据作者所知，这项研究可能是风工程中的 南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学 (一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()a x a x x V x V ><<>，2?L 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 （三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2 p n φ 。 （四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1） i j x i p j x i p e e e 2 1????????-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y 方向的单位矢量。 （2）()[])(????,?'x f p i p x f p p x x x x = ？式中x i p x ??= ? ， （3）系统的哈密顿算符为()r V p H +=μ 2??2 ，设()r n ?是归一化的束缚态波函数，则有： ( )n n n n r V r p ???μ? ??=2 12?2 ？ （五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为B ls H H H ???1+= ，其中S L dr dV r c H ls ???? ??=121 ?22μ ，() Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函 数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()? θπim m l lm e m l m l l Y P cos !! 412+-+= ()x x P =0 1；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2 /121213-= ()()22 213x x P -= 一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院 势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U () U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱 建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+= 利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???， 第二章 一维定态问题 一 内容提要 1 几个重要的一维定态问题 [1] 一维无限深势阱 {0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ,3,2,122 2 22=μπ= n a n E n ∞≥≤<<π? ??=ψx x a x a x n a x n ,000 s i n 2)( [2] 一维线性谐振子 2221)(x x V μω= ,3,2,1)2 1 (=ω +=n n E n )()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ [其中 ! 2n N n n πα= μω = α ] [3] 定轴转动子 I L H 2??2?= I m E n 22 2 = ),3,2,1,0(21 =π = ψ? m e im n 2 一维定态问题的性质 设)()(* x V x V = [1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解，那么)(x * ψ也是定态S.eq 的解。 [2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。 [3] 如果)(x V 是x 的连续函数，那么)(x ψ和)(' x ψ也是连续的； 如果)(x V 为阶梯形方势???><=a x V a x V x V 2 1)(且12V V -有限， 那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的； 如果∞→-12V V 时，那么)(x ψ连续而)(' x ψ不连续； 二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中，{0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ， 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子，)6 1(12)(2/2222 π -=-=n a x x a x 讨论 ∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。 证明：2sin 2)(020 2 a dx a x n x a dx x x x a a n =π=ψ=?? )6 1(124)()(2220 22 2 2 2 2 π-=- ψ=-=-?n a a dx x x x x x x a n 经典情况下，在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为 a dx 则 20a a dx x x a ==? 320 22a a dx x x a ==? 1243)(2222 22a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中，粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ，A 为归一化常数。 [1] 求A ；[2] 粒子处于能量本征态a x n a x n π=ψsin 2)(的几率n P 。 解：[1] 由归一化条件 ?? +∞ ∞ -=-=ψa dx x a Ax dx x 0 2 2 1)]([)( 得530 a A = 所以)(30 )(5x a x a x -=ψ [2] )(x ψ用)(x n ψ展开，)()(x c x n n ψ =ψ∑ )c o s 1(15 4)()(3 3π-π =ψψ=? n n dx x x c n n 2662 ])1(1[240n n n n c P --π= = 999.0])1(1[2402 16 1≈--π =P 这表明)(x ψ与)(1x ψ的几率几乎相同。 3设粒子处于一维无限深势阱中的基态)1(=n ，设0=t 时势阱宽突然变为a 2，粒子的波 函数来不及改变，即a x a x x π= ψ=ψsin 2)()0,(1 问 [1] )0,(x ψ是否还是能量本征态？ [2] 粒子处于能量1E 的几率。 解：[1] 加宽后的一维无限深势阱的能量本征值和本征态分别是： 天津大学837量子力学考研真题（含答案解析） 天津大学837量子力学考研复习都是有依据可循的,考研学子关注事项流程为：考研报录比-大纲-参考书-资料-真题-复习经验-辅导-复试-导师。缺一不可，考研历年真题是考研复习必不可少的重要资料，毫不夸张地说真题是关系考研成败的关键要素。为什么这么说呢?首先考研真题是大家了解考研形式的重要途径，其次考研真题集结了出题老师的精华总结，包含了大量的考试信息和讯号，在做真题的过程中，可以掌握题人的思路以及答题的方式。实际上考研的风险很大程度上来自于专业课。如果你能够把专业课的历年真题研究透的话，就可以大大减少这种不确定性。真题的主要意义在于，它可以让你更直观地接触到考研，让你亲身体验考研的过程，让你在做题过程中慢慢对考研试题形成大致的轮廓，这样一来，考研对你来说就会轻松很多。推荐837量子力学考研真题资料如下： 天津考研网主编的《天津大学717普通物理+837量子力学考研真题复习宝典》其中包含很多高价值资料 一、天津大学717普通物理+837量子力学考研真题 1、天津大学717普通物理00-05年、2015年考研真题2015年为特约考生考场记录完整版； 2、天津大学717普通物理00-05年考研试题参考答案保证极高正确率； 3、天津大学837量子力学97-05、07-09、2012、201 4、2015年考研真题，由历届考生回忆，试题基本齐全，市场最全，全国独家推出； 二、天津大学717普通物理+837量子力学的介绍、参考资料 1.简要介绍天津大学理学院凝聚态物理导师信息及科研偏好。 2.列出初试及复试专业课参考教材，列出常考得知识点、重点、难点及近两三年来命题变化趋势。 三、天津大学717普通物理+837量子力学复习指导 1.制定复习周期内详细的时间安排和复习计划。 2.深入参考教材，疏通脉络。就普通物理学和量子力学两门初试专业课展开针对性地指 分析不同气象地形条件下风速概率分布模型研究 风速依托天气系统产生，而在局部或全球范围内发生天气变化，能够对风速序列波动产生影响，导致风能资源的分布发生变化。本文主要从大气循环系统及时空功率谱方面入手，分析与之分布模型相关的联系因子，寻找我国气象地形环境下风速概率分布模型研究的相应方法。 标签：气象地形条件;风速概率分布模型;模型研究 通过评估风能资源，确定变动规律，一定程度上能够为决定风能转化的相关工作提供积极意义。而建立风速概率分布模型，能够更加直观的对风速进行统计，对风能资源进行量化。 一、前期准备 进行风速概率分布模型研究，我们需要进行充分的前期准备。一方面，需要通过测定不同气象地形环境下的风速数据，从而进一步寻找规律，并为概率分布模型的研究做充分的数据准备[1]。通过逐步完善典型气象地形环境下的风速数据，例如风速，平均值，风向气压等，保证数据的有效性和完整性，然后将数据订正为可适用的风速及风向结果。 二、相关性分析 进行相应的气象地形因素及其风速之间的相关性分析，可以进一步为风速概率分布模型的研究提供必要数据。首先，通过考虑大气系统的温度，荷电等成分进行垂直运动活动层次的相对划分，主要分析对流层天气现象。而气象因素主要有温度，风向，压强，降雨量，湿度等影响，从而表示空气性质。风速则与风向共同构成其空气的主要运动情况。运用威布尔分布（weibull），对数正态分布（ln），威布尔双峰（ww），伽馬威布尔（gw），单结尾正态（nw），瑞利分布（r）等多种分布函数进行拟合对比。通过对比得出风速的年概率分布与气温，气压，湿度之间具有相关性，进一步选取周概率分布数据进行确认[2]。最后，做相关性对比表，通过综合形成风速分布与各气象要素之间的周相关性图。 三、风速概率分布研究 （一）不同区域分布特性 从华北区域拟合情况进行分析，选用不同的评价指标，对选取的最终拟合结果有较大的影响，从而无法得出最优结果。因此，我们需要将个别的指标进行统一化，从而形成综合性评价指标。 指标为：当结果最优时，R2值最大，反之最小，RMSE及SSE作为卡方值，趋向接近于零，综合指标中1为每项最大值，因此，最接近1，则为最优，综合 2016-2017北京大学物理学院凝聚态物理专业课考研经验谈 1、量子力学：我自己选择的是Griffiths的《Introduction to Quantum Mechanics》，并买了本课后习题解答，自己边看边练，算是自学一遍。（系里讲《量子力学》的是人见人爱花见花开的杨主任，可惜的是当时没怎么上他的课，结果应验那句“出来混迟早要还的”，最后还得要靠自个儿花时间自学一遍）。这本教材质量不错，曾被亲切称为“猫书”（因为原版封面上有那只著名的“薛定谔的猫”）。然后真正针对考试习题而练习用的是有口皆碑、闻名九州的《量子力学习题与解答》（陈鄂生著），这本我算是一题题都做了下来，并且跟着最后的许多大学的历年真题又回顾了一遍，其中的题目类型全，解答质量高，对于提升应试技巧很有裨益，属于“大宝啊天天见”的一类辅导书。钱伯初的教材对于基本概念的理解很有帮助，课后习题质量也很高，遗憾的是貌似没有配套的习题解答，只有书后附的简略答案。中间一段时间也在做中科大出版社的《量子力学学习指导》，这本书是配套的曾谨言的教材课后习题而增编的，书前附有知识要点，书后有几套练习题，总的说来质量不错，值得拥有~当时开始做题时碰到啥合流超几何方程贝塞尔函数真是头疼，又记不住这些公式，不过从最后出题风格来看一般不会考这类方程难解的题。今年考试就没遇到，而且竟然试卷最后还友情提供了许多公式，如一维谐振子的波函数（虽然有些没有归一化）和一些积分公式，令人感动它提供了这些公式其实都是有用的，甚至还有一些提示作用，比如倒数第二题是散射问题，第二问就要用到其中一个含有正弦函数的积分公式，不用的话算不出来多可惜。需要注意的是，量子力学复习一定要全面，今年考试第二题就考了玻尔索末非量子化条件，应该是属于中文一些教材的绪论或首章介绍经典物理向量子力学过渡那段历史历程的那部分，当时拿到试卷时扫了一眼不禁暗暗冒了冷汗，毕竟复习时有意无意地将首章忽略了，记忆有些模糊。不过好在最终还是写了出来。 2、固体物理：黄昆的《固体物理学》都快被翻裂了。这本书的质量之优秀和里面的低级印刷错误之多是其两大特色。总的来说，这本书值得拥有，值得一看再看，对照着物理学院网站上的“固体物理学基本要求”将知识点一个个过威力倍增。物理系上这门课的是和蔼可亲的翟奶奶，其实翟奶奶讲课很有条理、循序渐进的，公式模型她都自个儿一个个在黑板上推导，十分难得，感动常在（当时固体物理还有期中考试，不过是开卷的，期末考试闭卷，难度就降低了些）回到这本固体物理教材，这本书课后习题的数量很少，但是质量很好，许多课外习题的解题思路都是从中衍生的。配套的《固体物理学全程导学及习题全解》里有详细的解答，还有知识点概要和补充题，对于理解知识点很有帮助，不过令人头疼的是里面也有许多印刷错误，需要火眼金睛辨别。基泰尔的《固体物理导论》也很不错，有时间可以配合看看，顺便做做课后习题。有一本陈长乐主编的《固体物理学习题解答》非常好（虽然它是配套的另外一套教材），对于巩固自己知识加深对习题理解很有好处。固体物理的题型 一维量子谐振子的概率分布 摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。 关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布 1.引言： 谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。 通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。 2.经典一维谐振子： 首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子 考试练习题常用概率 分布 第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。 A ．n > 50 B ．π=0.5 C ．n π=1 D ．π=1 E ．n π> 5 2．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。 A ．n π和n （1－π）均大于等于5 B ．n π或n （1－π）大于等于5 C ．n π足够大 D ．n > 50 E ．π足够大 3. 的均数等于方差。 A ．正态分布 B ．二项分布 C ．对称分布 D ．Poisson 分布 E ．以上均不对 4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。 A ．－∞到+1.96 B ．－1.96到+1.96 C ．－∞到+2.58 D ．－2.58到+2.58 E ．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。 A ．n （1－π） B ．（n －1）π C ．n π（1－π） D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。 A . B . （1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以 为方差的Poisson 分布。 A . B .λ2λ12+2λ 2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。 A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则 X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布 D．Poisson分布 E．t 分布 12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ 2），X与Y独立，则X－Y服从。 2 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22） B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22） D．N（0，σ12+σ22） E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 风速概率分布估计和风能评估2016 摘要 风能的统计特征以及合适的风力发电机组的选择对于有效评估风力发电潜 力和设计风电场至关重要。本研究以中国中部四个地点为例，对风速概率分布的流行参数和非参数模型以及这些模型参数的估计方法（广泛使用的方法和随机启发式优化算法）进行了比较。仿真结果表明，非参数模型在拟合精度和操作简便性方面优于所有选定的参数模型，随机启发式优化算法优于广泛使用的估计方法。本研究还回顾和讨论了文献提出的六个功率曲线以及风能潜在评估过程中涡轮 机之间相互唤醒效应引起的功率损耗。评估结果表明，功率曲线的选择影响风力涡轮机的选择，考虑相互唤醒效应可能有助于优化风能评估中的风电场设计。 目录 1 介绍 (1) 2 以前的工作概述 (2) 2.1 风速分布函数概述 (2) 2.2估计方法概述 (4) 3 数据收集和简要分析 (5) 4 风速分布突变试验 (5) 4.1 Mann-Whitney U检验 (5) 4.2 双样本Kolmogorov-Smirnov检验（K-S检验） (6) 5 参数模型和非参数模型 (6) 5.1 常规分布 (6) 5.2 用于估计参数的方法 (6) 5.2.1 时刻法（MM） (6) 5.2.3 最小二乘估计（LSE）法 (6) 5.2.4 最大熵原理法（MaxE） (6) 5.3非参数模型 (7) 5.4杜鹃搜索（CS）算法 (7) 6 仿真比较结果 (7) 6.1 评价标准 (7) 6.2 突变试验分析 (8) 6.3 分析估算结果 (8) 6.3.1 分析参数模型 (8) 6.3.2 参数和非参数建模的比较 (9) 7 风能评估 (10) 7.1 风力密度的计算 (10) 7.2 风力发电机效率 (10) 7.3 计算因素 (10) 7.4 风电场风电损耗估算 (10) 7.5 风能计算与分析 (11) 8 结论 (12) 量子力学的产生与启示 摘要：本文对量子力学的产生做了论述，并通过对量子力学产生的整个过程做了分析与归纳，不仅得出了量子力学产生的四点重大意义，而且认识到辩证思想和创新意识是量子力学产生的必要条件,并结合这些结论探讨了如何培养学生的创新意识和作为科学人员应具备哪些科学素养，对人类以后的科学研究具有指导意义。 关键词:能量子假设;科学素质;创新意识;综合能力 The emergence of quantum mechanics and Enlightenment Abstract: In this paper, so the emergence of quantum mechanics is discussed, and by quantum mechanics have done the whole process of analysis and summary, not only have come to the quantum mechanics of the four points of great significance, and recognizing that dialectical thinking and innovation have a sense of quantum mechanics a necessary condition, combined with these conclusions on how to foster innovation and awareness of students and staff as a science which should have the scientific knowledge, scientific research on human future guidance. Key words:energy sub-hypothesis; scientific quality; innovation awareness; comprehensive ability 目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布） Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的 §16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 （一）一维运动自由粒子的薛定谔方程 波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程． 将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程： ψ-=?ψ?)/iE (t 即ψ=?ψ?E t i （16.3.1） ψ=?ψ ?22)/ip (x 2 ψ=ψ ?-2222p ????? ?????<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v 方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程． 请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式?． 这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明． （二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程?? 上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即 〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4） 将此式代入（16.3.3）式得： 22 2dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -= 两边除以ψ=uf 得： 22 2dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -= 此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即 ? 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版. ? 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版. ? 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.一维谐振子的本征值问题
风速分布函数简介
一维谐振子的本征值问题
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
极端风速和发生时间隔分布的概率分布研究 文献翻译
南京大学1998--2005考研《量子力学》真题
大学物理-一维定态薛定谔方程的应用
第二章 一维定态问题
天津大学837量子力学考研真题(含答案解析已圈重点)
分析不同气象地形条件下风速概率分布模型研究
2016-2017北京大学物理学院凝聚态物理专业课考研经验谈pdf
一维量子谐振子的概率分布
考试练习题常用概率分布教学提纲
风速概率分布估计和风能评估2016翻译最终版
量子力学的产生与启示
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例