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一元一次方程中常见的等量关系

七年级上一元一次方程

常见的等量关系

一、由题意获得

注意数学用语,如:等于,……与……相等,一共有,剩余,是……的几倍,比……多几等等。

例1:一个数的错误!与3的差等于最大的一位数,求这个数。

例2:一个三位数,三个数位上的数字之和是17,百位上的数字比十位上的数大7,个位上的数字是十位上的三倍,求这个三位数。

例3:从正方形的铁皮上,截去一个宽2cm的长方形条,剩余的面积是80cm2,,那么原来铁皮的边长是多少?

二、前后不变

例1:现在要将一个底面半径为3,高为12的圆柱长条重新熔炼成一个底面半径为9的圆柱,求熔炼后的圆柱高。

例2:小华读一本书,每天读20页,需要12天读完,如果每天多读4页,需要多少天读完?如果每天少读两页,需要几天读完?

三、计算公式

例如面积公式,边长公式等等。

四、数量关系

1、行程问题

行程问题的基本公式:速度× 时间= 路程

(1) 相遇问题

一般公式:时间× 速度和= 相遇路程

例:甲、乙两地相距1500千米,两辆汽车同时从两地相向而行,其中吉普车每小时行60千米,是客车速度的1.5倍。

(1)几小时后两车相遇?

(2)若吉普车先开40分钟,那么客车开出长时间两车相遇?

(2)追及问题

一般公式:

出发地不同,同时出发:时间× 速度差= 路程差(追及路程)

出发地相同,先后出发:A时间× A速度= B时间× B速度

例:小明家距离学校1000米。一天小明以80米每分的速度去上学,5分钟后爸爸发现小明没带语文书,开始以180米每分的速度去追小明,并在途中追上了他。

(3)环形跑道问题

分析题意,分析两人路程差或者时间差,将环形跑道问题转换为直线时相遇或者追及问题。

例:甲乙两人在环形跑道上练习跑步。已知跑道一圈长400米,乙每秒跑6米,甲的速度是乙的

3

4。

(1)若甲、乙两人在环形跑道上相距8米处同时相向出发,经过几秒两人相遇?

(2)若甲在乙前8米处同时同向出发,那么经过多长时间两人首次相

遇?

(4)顺流(风)逆流(风))以及上下坡问题

静水速度是指船在静水中的速度,也就是船自身的速度。无风速度是指飞机在没有风的速度,也就是飞机自身的速度。

顺水实际速度= 静水速度+ 水速

逆水实际速度= 静水速度- 水速

顺风实际速度= 无风速度+ 风速

逆风实际速度= 无风速度- 风速

顺水实际速度+ 逆水实际速度= 2静水速度

例1:一辆货轮航行于A、B两码头之间,水流速度为3km/h,顺水需要2.5小时,逆水需3小时。求A、B两码头之间的距离。

例2:一艘轮船本身速度不变,从武汉到重庆需要5昼夜,从重庆到武汉需要7昼夜。试问一块木排从重庆漂流到武汉需要多久?

例3:一条河道按顺序排列着A、B、C三个码头,某船从A码头顺流而下到C码头,然后逆流返回到B码头,共用了9小时。已知船在静水中速度为7.5km/h,水流速度是2.5km/h,A、B两码头相距15千米,求A、C 之间的距离。

(5)火车问题

火车过桥总路程= 桥长+ 火车身长

火车完全在桥上时的路程= 桥长- 火车身长

火车过隧道总路程= 隧道长+ 火车身长

火车完全在隧道里的路程= 隧道长- 火车身长

例:一座桥长1000米,一列火车从桥上通过,从上桥到离开桥公用1分钟,整列火车全在桥上的时间为40秒,求火车的长度。

2、利润问题

利润中的常用概念:进价(成本),标价,售价,利润,利润率,折扣。

商品利润= 商品售价- 商品进价

商品售价= 商品标价×折扣(折扣为换算来的百分数)

商品利润率= (商品利润÷ 商品进价)× 100%

例1:某商品的进价为250元,按标价的九折销售,利润率为15.2%,求商品的标价。

例2:某商品标价2200元,打八折出售,利润率为10%。求商品进价。

例3:某商品的进价是1000元,标价是1500元,商店要求此商品利润率不得低于5%,则此商品最低可以打几折?

3、利息问题

银行存款的常用概念:本金,利息,本息和,期数,利率,利息税。利率用来计算利息,利息和本金是最后取到手的钱数,如果有利息税,则要把利息税扣除,才是到手的最终钱数。

利息= 本金× 利率× 期数

本息和= 本金+ 利息

利息税= 利息× 税率

例:某同学父母存了两笔钱,共10000元作为教育基金。其中一笔钱年利率为2.25%,另一笔年利率为2.5%,且年利率为2.25%的钱数比年利率为2.5的钱数少4000。一年后,两笔钱本息和一共10242.5元,问这两笔钱分别为多少元?

4、工程问题

工程问题中的常用概念

工作量:需要完成的工作总量,例如需要修路1000千米,需要制作200套运动服等等。有时工作总量没有给出具体的数值,可以把工作总量看作单位1,比如需要注满水池,这时就可以把工作量看作1。

工作效率:即工作的速度,单位时间内完成的工作量,一定要注意单位时间的概念,将单位时间“化为1”,找到工作效率。、

工作时间:完成工程的时间。

三者之间的关系为:

工作量= 工作效率× 工作时间

例如一项工程,甲需要15天完成,乙需要12天完成,把工程总量看

作单位1,则甲每天能完成该工程的1

15,即甲的工作效率就是

1

15,同理

乙的工作效率就是1

12,注意此时工作总量为1,本身并没有单位,所以工

作效率也是没有单位的。如果甲、乙共同完成这项工程,由题意得甲、乙

的效率和为

1

15+

1

12,根据公式需要的工作时间为1 ÷ (

1

15+

1

12)。

例1:一项工程,甲单独需要10天完成,乙单独需要8天完成。两人

合作需要几天完成?

例2:一项工程,甲单独需要15天完成,乙单独需要12天完成,两

队合作三天后,甲有其他任务,剩下的由乙单独完成,问乙还需要几天才

能完成这项工程?

例3:一个蓄水池有甲、乙两个进水管,和丙排水管。单独打开甲6

小时可以注满水,单独打开乙8小时可以注满水,若水池是满的,则单独

打开丙9小时可以将水排空。

(1)若水池是空的,先打开甲和乙两小时,然后打开丙,问打开丙之

后再过几小时可以将水池注满?

(2)某天工作人员想把空水池灌满,便同时打开了甲和乙,两小时后

发现丙忘关了,于是赶紧关上丙。问关上丙以后再过几小时可以将水池注

满?

(3)某天水池有一半水,工作人员想把水灌满,于是打开了甲和乙,

两小时后被告知水池忘消毒了,需要排干水池进行消毒,于是又关上了甲

和乙,打开丙进行排水,问打开丙后水池多久被排空?

五、数字问题

小学学过,个位上的数字表示几个一,十位上的数字表示几个十,一

次类推,一个三位数,百位、十位、个位的数字分别为a、b、c,则这个数字应该表示为:100a+10b+c。同时还要注意a、b、c都是1到9之间的整数。

常见的问题

(1)位置对调:例如一个数个位上数字是a,十位上是b,那么这个数字是(10a+b),个位十位对调后变成(10b+a)。

(2)加数字问题,例如数字a后面加两个0,则该数字就变成了100a;又例如一个三位数a,一个两位数b,把b加在a的后面构成一个新的五位数,则这个五位数为(100a+b),如果把a加在b的后面构成一个新的五位数,则这个数为(1000b+a)。

例1:一个两位数,个位上的数字是十位上的2倍,把个位和十位对调后,所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数。

例2:一个两位数和一个三位数,三位数是两位数的15倍。把三位数放在两位数后面得到一个五位数,把两位数放在三位数后面,得到另一个五位数,前一个五位数比后一个五位数小5832,求这个两位数和三位数。

★例3:探索题:两个两位数差为30,把第一个数放在第二个数前面构成一个四位数,把第二个放在第一个前面构成另一个四位数,这两个四位数的差是多少?(提示:求两个四位数的差的绝对值,就不用考虑两个四位数的大小了)如果这两个两位数的差为a呢?