离散数学期末复习2014-2015-2
离散数学内容总结
（2014-2015-2，计算机科学与技术系）
第一篇 数理逻辑
第1章 命题逻辑
命题的概念、命题的符号化：
1、设p ：我们勤奋，q ：我们好学，r ：我们取得好成绩。命题“只要勤奋好学，我们就能取得好成绩”符号化为 。
2、（ ）命题公式)(P Q P →→是重言式。
3、（ ）如果1+1＝3，则雪是黑的。这句话不是命题。
4、（ ）“美国是面积最大的国家吗？”是命题。
求命题公式的主析取范式及主合取范式
命题逻辑中任何命题公式的析取范式都存在且唯一。（ ）
求Q ∨(Q →R)的主析取范式及主合取范式。
求(?P ∨Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。
求()()p r q p ∨?∧∨的主析取范式及主合取范式。
求()r q p →→的主析取范式。
在命题逻辑中构造推理证明：
例 若明天是星期一或星期三，我就有课。若有课，今天必须备课。我今天没备课。所以，明天不是星期一和星期三。
例 若明天是周一或周二，小华就要考试。若要考试，今天必须复习。小华今天没复习。所以，明天不是周一和周二。
第2章 谓词逻辑 谓词逻辑中命题的符号化：
设B (x )：x 是金子；F (x )：x 会发光；则金子都会发光可符号化为：（ ）。
A. )()(x F x xB →?
B. ))()((x F x B x →?
C. )()(x F x xB ∧?
D. ))()((x F x B x ∧?
设F(x):x 是鱼，G(x)：x 会游泳；“没有不会游泳的鱼”符号化为 。
1. 令R(x):x 是实数，Q(x):x 是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”
的符号化表示为： 。
谓词公式
谓词公式?x(P(x)∨?yQ(y))→R(x)中?x 的辖域是 。 求谓词公式)()(x xQ x xP ?→?的前束范式
求公式?x F (x )∧??x G (x )的前束范式。
在一阶逻辑（即谓词逻辑）中符号化下述命题，并推证之。
例 凡人必有一死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死的。
哲学家都善于思考。柏拉图是哲学家。所以，柏拉图善于思考。
例 东北人都不怕冷，王国端怕冷。所以王国端不是东北人。
非洲人都不怕热，玛丽怕热。所以玛丽不是非洲人。
第二篇 集合论
第3章 集合
基本概念：
1、设A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},C={2,3}, 则(A ?B)- C =（ ）。
A.{1,2}
B.{2,3}
C.{1,4,5}
D.{1,2,3}
2、在1（ ）{Φ}之间写上正确的符号。
A. =
B. ?
C. ∈
D. ?
3、设A ＝{{1}，1},则P(A)= 。
4、{}{}=Φ-ΦΦ, 。
5、P({}{}a ,,ΦΦ)= 。
6、若A={Ф},B=P(A),则有{Ф}∈B 及{Ф}?B 。（ ）
7、设A,B 为无限集，则A-B 是空集。（ ）
集合恒等式的证明
例 设A 、B 、C 是三个集合，证明：A ?B=A ?(B-A)
例 设A 、B 、C 是三个集合，证明：A －(B ?C)＝(A －B)－C
包含排斥原理（即容斥原理）的简单应用
例 假设某班有20名学生，其中有10人英语成绩为优，有8人数学成绩为优，又知有6人英语和数学成绩都为优。问两门课都不为优的学生有几名？
例有100名程序员，其中47名熟悉C++语言，35名熟悉JA V A语言，23名熟悉这两种语言。问有多少人对两种语言都不熟悉？
第4章关系
第5章函数
1、对集合A,B,C,D，有(A?B)?(C?D) = (A?C)?(B?D)。（）
2、集合R上的关系满足对称性与传递性，则一定满足自反性。（）
3、设集合A={a,b,c},A上的关系R={
A.等价性
B.自反性
C.反自反性
D.反对称性
4、集合A={1,2,…,10}上的关系R={
5、偏序关系是指：满足的关系。
6、集合A上的等价关系的三个性质是自反性、对称性和。
例设集合A={1,2,3,4,5}，A上的关系R和S为：
R={ 例设集合A＝{2,4,6,8,10,12}，B={2,4,6}，从A到B的关系R＝{ 例设集合A＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从A到B的关系R＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求(1)R,(2)R-1 例R1={<1,2>,<1,3>,<2,3>,<3,3>}, R2={<2,2>,<2,3>,<3,4>}, (1) 求R1-1 (2) 求R2 R1 例画出S={1，2,…,10}上整除关系的哈斯图。 例画出集合A＝{2,3,4,6,7,8,9}上整除关系的哈斯图。 第三篇图论 n个结点的无向完全图的边数m为。 一个图G有24条边，若每个结点的度均为2，则G有个结点。m个结点的无向完全图的边数为。 简单图G有n个结点，m条边,若m=n-1,则它一定是树。（） 连通性判断，通路数的计算 例有向图G如下图所示： (1)写出此图的邻接矩阵表示。 (2)v1到v3长为3的通路有多少条？v1到自身长为3的回路有多少条？ (3)G中长为3的通路共有多少条？其中回路多少条？ 欧拉图、哈密尔顿图 对哈密顿图，奇度结点的个数均为偶数。（） 2.若连通的简单图中所有结点的度数为，则该图一定是欧拉图。 3.一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路是路。 树 每对顶点间都有通路的图不一定是树。（） 例一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，其余结点度数均为1，问它有几个度数为1的结点？ 例无向树T有8片树叶，2个3度分支点，其余的分支点都是4度顶点，问T有几个4度分支点？ 例求出下图的一棵最小生成树，并计算其权。 最优二元树和哈夫曼算法 例在通信中,设八进制数字出现的频率(%)如下: 0: 25, 1: 20, 2: 15, 3: 10, 4: 10, 5: 10, 6: 5, 7: 5 采用2元前缀码,求传输数字最少的2元前缀码 (称作最佳前缀码),并求传输 100个按上述比例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的(长为3)的码字传输需要多少个二进制数字?（要求画出最优2元树） 例已知某系统在通信联络中只可能出现8种字符, 其概率分别为: 0.05, 0.29, 0.07, 0.08, 0.14, 0.23, 0.03, 0.11,试设计哈夫曼编码. 第四篇代数系统 1、在自然数集N上定义二元运算*如下，满足交换律的是（）。 A. a*b=a-b B. a*b=a+2b C. a*b=min{a,b} D. a*b=a 2、Q是有理数集合，代数系统 A. 0 B. 1 C. –1 D. 不存在 阿贝尔（Abel）群是交换群。（） 代数系统 例设G为群，如果?a∈G，都有 a2= e, 证明：G为Abel群（即G为交换群）。例整数集Z上的二元运算*定义为：?a,b∈Z，a*b=a+b-2。试证： 离散数学必备知识点总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（） 离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1?1，0∨0?0，1→0?0，11?1，00?1详见P5 3、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式：(1)双否定：??A?A。(2)交换律：A∧B?B∧A，A∨B?B∨A，A?B?B?A。3)结合律：(A∧B)∧C?A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C?A∨(B∨C)，(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律：A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律：?(A∧B)??A∨?B，?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律：A∧A?A，A∨A?A。(7) 同一律：A∧T?A，A∨F?A。(8) 零律：A∧F?F，A∨T?T。(9) 吸收律：A∧(A∨B)?A，A∨(A∧B)?A。(10) 互补律：A∧?A?F，(矛盾律)，A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律：A→B??A∨B，A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律：A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法：①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中，前件为真的行，后件也为真或者后件为假的行，前件也为假。④用定义，证A?B，即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤：①使用命题定律，消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词；②使用?(?P)?P和德·摩根律，将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前；③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤：(a)把给定公式化成析取（合取）范式；(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取（析取）式；(c)用等幂律化简简单合取（析取）式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取（析取）式中未出现的所有命题变元，如Q，则P?P∧（?Q∨Q)或P?P∨（?Q∧Q)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现，这样得到了给定公式的主析取（合取）范式。 注意：主析取范式与主合取范式之间的联系。例如：(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2，即剩下的编码就是另一个主范式的编码，因此，求主范式，哪一个简单易求，就先求哪个，然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明：重点方法：演算、演绎法（常用的格式）、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则（主要蕴含式）：(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P，(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q，(P→Q)??P拒取式(10) ?P，(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q)，(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q)，(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步：一命题符号化，二写出前提和结论，三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3．下列为两个命题变元P，Q的小项是（） A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q 4．下列语句中是真命题的是（） A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那雪是黑的 5．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q） D．?（? P∨? Q） 6．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式 7．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（） A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无 8．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（） 第一章，0命题逻辑 素数 = 质数，合数有因子 和或假必真同为真 (p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式 (┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式 【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r 公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值 第二章，命题逻辑等值演算 （1）双重否定律??A?A （2）等幂律 A∧A?A ； A∨A?A （3）交换律 A∧B?B∧A ； A∨B?B∨A （4）结合律（A∧B）∧C?A∧（B∧C）；（A∨B）∨C?A∨（B∨C） （5）分配律（A∧B）∨C?（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C?（A∧C）∨（B∧C） （6）德·摩根律?（A∨B）??A∧?B ；?（A∧B）??A∨?B （7）吸收律 A∨（A∧B）?A；A∧（A∨B）?A （8）零一律 A∨1?1 ； A∧0?0 （9）同一律 A∨0?A ； A∧1?A （10）排中律 A∨?A?1 （11）矛盾律 A∧?A?0 （12）蕴涵等值式 A→B??A∨B （13）假言易位 A→B??B→?A （14）等价等值式 A?B?（A→B）∧（B→A） （15）等价否定等值式 A?B??A??B??B??A （16）归缪式（A→B）∧（A→?B）??A A i(i=1,2,…,s)为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【∧小真，∨大假】 ∧成真小写 【例】(p→q)→(┐q→┐p) = ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→) = (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式) = (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*） = m2∨m0∨m1∨m1∨m3 = m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序) (*)由┐p及q派生的极小项的过程如下： ┐p = ┐p∧(┐q∨q) = (┐p∧┐q)∨(┐p∧q) q = (┐p∨p)∧q = (┐p∧q)∨(p∧q) 熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。 该公式中含n=2个命题变项，它的主析取范式中含了22=4个极小项，故它为重言式， 00，01，10，11全为成真赋值。 【例】(p→q)∧┐p = (┐p∨q)∧┐p (消去→) = ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式 离散数学期末复习 一、选择题 1、下列各选项错误的是 A、??? B、??? C、?∈{?} D、??{?} 2、命题公式(p∧q)→p是 A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、等值式 3、如果是R是A上的偏序关系，R-1是R的逆关系，则R∪R-1是 A、等价关系 B、偏序关系 C、全序关系 D、都不是 4、下列句子中那个是假命题？ A、是无理数. B、2 + 5＝8. C、x+ 5＞3 D、请不要讲话！ 5、下列各选项错误的是？ A、??? B、??{?} C、?∈{?} D、{?}?? 6、命题公式p→（p∨q∨r）是？ A、重言式 B、矛盾式 C、可满足式 D、等值式 7、函数f : N→N, f(x)=x+5,函数f是 A、单射 B、满射 C、双射 D、都不是 8、设D= D、不连通的 9、关系R1和R2具有反自反性，下面运算后，不能保持自反性的是 A、R1?R2 B、R1-1 C、R1?R2 D、R1-R2 10、连通平面图G有4个结点，3个面，则G有（）条边。 A、7 B、6 C、5 D、4 二、填空题 1、将下面命题符号化。设p:天冷，q:小王穿羽绒服。只要天冷，小王就穿羽绒服.符号化为 2、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。因为天冷，所以小王穿羽绒服.符号化为 3、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。若小王不穿羽绒服，则天不冷.符号化为 4、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。只有天冷，小王才穿羽绒服.符号化为 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。 安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学笔记（特级教师精心整理） 第一章命题逻辑 内容： 命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的： 1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。 4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5．熟练掌握形式演绎的方法。 教学重点： 1．命题的概念及判断 2．联结词，命题的翻译 3．主析（合）取范式的求法 4．逻辑推理 教学难点： 1．主析（合）取范式的求法 2．逻辑推理 1.1命题及其表示法 1.1.1 命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。R：我是一名大学生。 1.2命题联结词 （1） P↑P?﹁（P∧P）?﹁P； （2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。 （1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P； （2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q； （3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。 1.3 命题公式、翻译与解释 1.3.1 命题公式 定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。 例如，下面的符号串都是公式： （（（（﹁P）∧Q）→R）∨S） （（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R 以下符号串都不是公式： （（P∨Q）?（∧Q））（∧Q） 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。 命题翻译时应注意下列事项： （1）确定所给句子是否为命题。 （2）句子中联结词是否为命题联结词。 （3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 解：设P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里读书；S：我在家里看报。 本例可表示为：（?P→Q）∧（P→（R∨S））。 1.3.3 命题公式的解释定义 设P1，P2，…，P n是出现在命题公式G中的全部命题变元，指定P1，P2，…，P n的一组真值，称这组真值为G的一个解释或赋值，记作I，公式G在I下的真值记作T I（G）。 例如， 是G的一个解释，在这个解释下G的真值为1，即T I（G）=1。 1.4 真值表与等价公式 1.4.1 真值表 定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表，称为G的真值表。 构造真值表的方法如下： （1）找出公式G中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成P1，P2，…，P n。 离散数学习题参考答案 第一章集合 １.分别用穷举法,描述法写出下列集合 （１）偶数集合 (２)36的正因子集合 (３)自然数中3的倍数 (４)大于１的正奇数 (1)E={?,-6,-4,-2,0,2,4,6,?} ={2 i | i∈I } (2) D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 } (3) N3= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | n∈N } (4) A d= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n∈N } ２.确定下列结论正确与否 (１)φ∈φ× (２)φ∈｛φ｝√ (３)φ?φ√ (４)φ?｛φ｝√ (５)φ∈｛ａ｝× (６)φ?｛ａ｝√ (７)｛ａ,ｂ｝∈｛ａ,ｂ,ｃ,｛ａ,ｂ,ｃ｝｝× (８)｛ａ,ｂ｝?｛ａ,ｂ,ｃ,｛ａ,ｂ,ｃ｝｝√(９)｛ａ,ｂ｝∈｛ａ,ｂ,｛｛ａ,ｂ｝｝｝× (１０)｛ａ,ｂ｝?｛ａ,ｂ,｛｛ａ,ｂ｝｝｝√ ３.写出下列集合的幂集 (１)｛｛ａ｝｝ {φ, {{ a }}} ( 2 ) φ {φ} (３)｛φ,｛φ｝｝ {φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} } (４)｛φ,ａ,｛ａ,ｂ｝｝ {φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }}, {a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} } (５)Ｐ(Ｐ(φ)) {φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} } ４.对任意集合Ａ,Ｂ,Ｃ,确定下列结论的正确与否(１)若Ａ∈Ｂ,且Ｂ?Ｃ,则Ａ∈Ｃ√ (２)若Ａ∈Ｂ,且Ｂ?Ｃ,则Ａ?Ｃ× (３)若Ａ?Ｂ,且Ｂ∈Ｃ,则Ａ∈Ｃ× (４)若Ａ?Ｂ,且Ｂ∈Ｃ,则Ａ?Ｃ × ５.对任意集合Ａ,Ｂ,Ｃ,证明 右 分配差差左=--=--)C A ()B A ()C B (A M .D )C B (A )C B (A ) C A ()B A ()C B (A )1(I Y I Y I I I I I Y 右 差分配差左右差的结论差左=--=-------=-)C A ()B A ()C A ()B A () C B (A M . D )C B (A )2)C A ()B A ()C A ()B A ()1()C B (A )1) C A ()B A ()C B (A )2(Y I Y I Y I I I Y I Y Y I 右 交换结合幂等差左=--=-)C A ()B A (,)C B ()A A () C B (A M . D )C B (A ) C A ()B A ()C B (A )3(I I I I I I I I Y I I Y ))B )B (A ())B B ()B A ((,)B )B A (()B )B A ((B )B A (B A B )B A )(4(I I Y I Y I I Y I I Y --⊕=⊕+结合分配对称差差左 右 零一互补==φ-φ-)B A ()B A () A ()U ) B A ((Y Y I I Y 数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明: 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷（A卷） （时间120分钟） 开课院（系、部）姓名学号. 一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中，哪个是真命题（）A、 4 2= + x； B、我们要努力学习； C、如果ab为奇数，那么a是奇数，或b是偶数； D、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。 2．下列命题公式中，永真式的是（） A、P Q P→ →) (； B、P P Q∧ → ?) (； C、Q P P? ? ∧) (； D、) (Q P P∨ →。3．在谓词逻辑中，令) (x F表示x是火车；) (y G表示y是汽车；) , (y x L表示x比y快。 命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的（） I.)),()()((y x L y G x F y x →∧??? II.)),()()((y x L y G x F y x ?∧∧?? III. )),()()((y x L y G x F y x ?→∧?? A 、仅I ； B 、仅III ； C 、I 和II ； D 、都不对。 4．下列结论正确的是：（ ） A 、若C A B A =，则 C B =； B 、若B A B A ?，则B A =； C 、若C A B A =，则C B =； D 、若B A ?且D C ?，则D B C A ?。 5．设φ=1A ，}{2φ=A ，})({3φρ=A ，)(4φρ=A ，以下命题为假的是（ ） A 、42A A ∈； B 、31A A ?； C 、24A A ?； D 、34A A ∈。 6．设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系， },,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。下列哪些命题为真（ ） I.R R ?是对称的 II. R R ?是自反的 III. R R ?不是传递的 A 、仅I ； B 、仅II ； C 、I 和II ； D 、全真。 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项 (m) 之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为 0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为 1 的项为极小项，值为0 的项为极大项； 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法 (=>) ：真值表法；分析法 (假定前键为真推出后键 为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则， T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取 ^; 3.既有存在又有全称量，先消存在量，再消全称量； 第四章集合 1.N ，表示自然数集， 1,2,3 ??，不包括 0； 2.基：集合 A 中不同元素的个数， |A|； 3.集：定集合 A，以集合 A 的所有子集元素成的集合，P(A) ； 4.若集合 A 有 n 个元素，集 P(A) 有2 n个元素， |P(A)|= 2| A| = 2 n； 5.集合的分划： (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合； ② 几个子集相交空，相并全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比： 分划：每个元素均出且出一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出，没有要求只出一次； 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，笛卡 A×B 的基数mn， A 到 B 上可以定2mn种不同的关系； 2.若集合 A 有 n 个元素， |A ×A|= n2，A 上有2n2个不同的关系； 3.全关系的性：自反性，称性，性； 空关系的性：反自反性，反称性，性； 离散数学期末试卷(A) XXXX大学XX学院2007 ～2008学年第一学期《离散数学》期末试卷年级专业题号得分适用年级专业：2006级软件工程专业试卷说明：闭卷考试，考试时间120分钟一、单项选择题1．下列语句中只有不是命题。C A．今年元旦会下雪。B．1+1=10。C．嫦娥一号太棒了！D．嫦娥奔月的神话已成为现实。2．p?q 的主合取范式是。 B A．(p?q)?(p??q)B．(p??q)?(?p?q) C．(p?q)?(?p??q)D．(p?q)?(?p?q) 3．与p? q等值的命题公式是。D A．?p?q B．p??q C．p??q D．?p?q 4．在一阶逻辑中使用的量词只有个。B A．1B．2 C．3D．4 5．??xA(x)?。C A．??xA(x) B．?x?A(x) C．?x?A(x) D．?xA(x) 6．若|A|=4，则|P(A)|=。 C A．4B．8C．16 D．64 7．设A、B、C为任意集合，集合的对称差运算不具有的性质是。 D A．A?B = B?A B．(A?B)?C = B?(A?C) 班级学号一二三姓名____________ 四总分C．A?A = ?D．A?A = A 8．二元关系是。B A．两个集合的笛卡儿积B．序偶的集合C．映射的集合D．以上都不是9．下面关于函数的叙述中正确的是。D A．函数一定是满射B．函数一定是单射C．函数不是满射就单射D．函数是特殊的关系10．半群中的二元运算一定满足=。B A．交换律B．结合律C．分配律D．幂等律11．环中有个二元运算。 B A．一B．二C．三D．四12．群与独异点的区别是。 C A．满足交换律B．满足结 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={离散数学必备知识点总结
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