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一元二次方程章节知识点总结

一元二次方程章节知识点总结
一元二次方程章节知识点总结

考点一、一元二次方程

1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式,等式右边是零,其中2

ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如

b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:

)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x

公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ,一次项的系数为b ,常数项的系数为c 。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式 5、韦达定理

利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和等于-

a b ,二根之积等于a

c

,也可以表示为x 1+x 2= ,x 1 x 2= 。利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用。

考点三、一元二次方程根的判别式

根的判别式:

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42

-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“?”来表示,即ac b 42

-=? I 当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根; II 当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根; III 当△<0时,一元二次方程没有实数根。

考点四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,那么a

b x x -

=+21,a c

x x =21。也就是说,对

于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反

数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

一、选择题

1、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0,则m 的值等于( ) A .1 B . 2 C . 1或2 D . 0

2、巴中日报讯:今年我市小春粮油再获丰收,全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨,设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ,则可列方程为( )

A .45250x +=

B .245(1)50x +=

C .2

50(1)45x -=

D .45(12)50x +=

3、已知a b ,是关于x 的一元二次方程2

10x nx +-=的两实数根,则

b a

a b

+的值是( ) A .2

2n +

B .2

2n -+

C .2

2n -

D .2

2n --

4、已知a 、b 、c 分别是三角形的三边,则(a + b)x2 + 2cx + (a + b)=0的根的情况是( )

A .没有实数根

B .可能有且只有一个实数根

C .有两个相等的实数根

D .有两个不相等的实数根

5、已知n m ,是方程0122

=--x x 的两根,且8)763)(147(2

2=--+-n n a m m ,则a 的值等于 ( )

A .-5 B.5 C.-9 D.9

6、已知方程2

0x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠,则下列代数式的值恒为常数的是( )

A .ab

B .

a

b

C .a b +

D .a b - 7、112,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 ( )

A .121-<<-x

B .011<<-x

C .101<

D .211<

8、关于x 的一元二次方程2

210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、,且22127x x +=,则212()x x -的

值是( )

A .1

B .12

C .13

D .25

9、(中江县2011年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学

各送一张表示留念,全班共送了2450张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为( )

A . 2450)1(=-x x

B . 2450)1(=+x x

C . 2450)1(2=+x x

D .

24502

)

1(=-x x 10、设a b ,是方程2

20090x x +-=的两个实数根,则22a a b ++的值为( )

A .2006

B .2007

C .2008

D .2009

11、对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0),下列说法: ①若a+c=0,方程ax 2+bx+c=0必有实数根; ②若b 2

+4ac<0,则方程ax 2+bx+c=0一定有实数根; ③若a-b+c=0,则方程ax 2+bx+c=0一定有两个不等实数根;

④若方程ax 2

+bx+c=0有两个实数根,则方程cx 2

+bx+a=0一定有两个实数根. 其中正确的是( )

A .①②

B .①③

C .②③

D .①③④ 二、填空题

1、若一元二次方程x 2

-(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ,则a+b = . 3、方程(x ﹣1)(x + 2)= 2(x + 2)的根是 .

4、关于x 的一元二次方程ax 2

+bx+1=0(a ≠0)有两个相等实根,求4

-2)-(a ab

2

22

b + 的值为___ __. 5、在等腰△ABC 中,三边分别为a ,b ,

c ,其中a=5,若关于x 的方程x 2

+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,则△ABC 的周长为___ _____.

6、已知关于x 的一元二次方程x 2

-6x-k 2

=0(k 为常数).设x 1,x 2为方程的两个实数根,且x 1 +2x 2=14,则k 的值为____4或-4______.

7、已知m 、n 是方程x 2

-2003x+2004=0的两根,则(n 2-2004n+2005)与(m 2

-2004m+2005)的积是 -3 . 8.计算题

1、关于x 的方程04)2(2=+

++k

x k kx 有两个不相等的实数根.

(1)求k 的取值范围。

(2)是否存在实数k ,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由 一元二次方程的应用 增长率问题:

1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力,开发建设住宅面积由2000年4万平方米,到2002年的7万平方

米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ,则可列方程为________________; 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过

的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?

3、2009年5月17日至21日,甲型H1N1流感在日本迅速蔓延,

每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示.

(1) 在5月17日至5月21日这5天中,日本新增甲型H1N1流

感病例最多的是哪一天?该天增加了多少人?

(2) 在5月17日至5月21日这5天中,日本平均每天新增加

甲型H1N1流感确诊病例多少人?如果接下来的5天中,继

续按这个平均数增加,那么到5月26日,日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人?

(3) 甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,经过两天传染

后共有9人患了甲型H1N1流感,每天传染中平均一个人传染了几个人?如果按照这个传染速度,再经过5天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感?

16

17

18 19

20

21 日本2009年5月16日至5月21日

甲型H1N1流感疫情数据统计图 人数(人)

行程问题:

1、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门;乙沿原来航线

绕道香港后来厦门,共航行了720海里,结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里,求甲客轮的速度(其中两客轮速度都大于16海里/小时)?

2、为了开阔学生视野,某校组织学生从学校出发,步行6千米到科技展览馆参观。返回时比去时每小题少

走1千米,结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度

3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里,经过技术改造,列车实施了提速,提速后比提速前速度增加

20公里/小时,列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时,这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.

经济问题:

1、某商店以2400元购进某种盒装茶叶,第一个月每盒按进价增加20%作为售价,售出50盒,第二个月每盒

以低于进价5元作为售价,售完余下的茶叶.在整个买卖过程中盈利350元,求每盒茶叶的进价.

“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六·一”

2、黄冈百货商店服装柜在销售中发现:

国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装因应降价多少元?

3、某企业2006年盈利1500万元,2008年克服全球金融危机的不利影响,仍实现盈利2160万元.从2006

年到2008年,如果该企业每年盈利的年增长率相同,求:

(1)该企业2007年盈利多少万元?

(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计2009年盈利多少万元?

工程问题:

1、为加强防汛工作,市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固,由于采用新的加固模式,现在

计划每天加固的长度比原计划增加了20米,因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天.为进一步缩短该段加固工程的时间,如果要求每天加固224米,那么在现在计划的基础上,每天加固的长度还要再增加多少米?

2、某公司需在一个月(31天)内完成新建办公楼的装修工程.如果由甲、乙两个工程队合做,12天可完成;

如果由甲、乙两队单独做,甲队比乙队少用10天完成.

(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数.

(2)如果请甲工程队施工,公司每日需付费用2000元;如果请乙队施工,公司每日需付费用1400元.在规定时间内:A.请甲队单独完成此项工程出.B请乙队单独完成此项工程;C.请甲、乙两队合作完成此项工程.以上三种方案哪一种花钱最少?

3、一路段的道路维修工程准备对外招标,现有甲、乙两个工程队竞标,竞标资料显示:若两队合作6天可

完成,共需工程费10200元;若甲单独完成,甲队比乙队少用5天,但甲队的工程费每天比乙队多300元.

(1)甲单独完成需要几天?

(2)工程指挥部决定从两个队中?一个队单独完成此工程,若从节省资金的角度考虑,应选哪个工程队?为

什么?

21一元二次方程专项练习

一元二次方程专项练习 一、选择题 x2-2a=0的一个根,则2a-1的值是 1.已知x=2是关于x的方程3 2 ( ). (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,? 制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,?那么x满足的方程是( ).(A)x2+130x-1400=0 (B)x2+65x-350=0 (C)x2-130x-1400=0 (D)x2-65x-350=0 3.当代数式x2+3x+5的值为7时,代数式3x2+9x-2的值是( ). (A)4 (B)0 (C)-2 (D)-4 4.方程(x+1)(x+2)=6的解是( ). (A)x1=-1,x2=-2 (B)x1=1,x2=-4 (C)x1=-1,x2=4 (D)x1=2,x2=3 5.下列方程属于一元二次方程的是( ). (A)(x2-2)·x=x2(B)ax2+bx+c=0 (C)x+1 =5 (D) x x2=0

6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3,x2=1, ?那么这个一元二次方程是( ). (A)x2+3x+4=0 (B)x2-4x+3=0 (C)x2+4x-3=0 (D)x2+3x-4=0 7.某市计划经过两年时间,绿地面积增加44%,?这两年平均每年绿 地面积的增长率是( ). (A)19% (B)20% (C)21% (D)22% 8.下列方程中,无实数根的是( ). (A)x2+2x+5=0 (B)x2-x-2=0 (C)2x2+x-10=0 (D)2x2-x-1=0 9.方程x(x-1)=5(x-1)的解是( ). (A)1 (B)5 (C)1或5 (D)无解 10.把方程x2-4x-6=0配方,化为(x+m)2=n的形式应为( ). (A)(x-4)2=6 (B)(x-2)2=4 (C)(x-2)2=0 (D)(x-2)2=10 二、填空题 1.已知x2+y2-4x+6y+13=0,x,y为实数,则x y=_________. 2.请写出两根分别为-2,3的一个一元二次方程_________. 3.方程2x2-x-2=0的二次项系数是________,一次项系数是 ________,常数项是________. 4.已知三角形的两边分别是1和2,第三边的数值是方程2x2-5x+3=0 的根,则这个三角形的周长为_______. 5.若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1,则a-b+c=_______.

九年级上册数学圆章节知识点总结

九年级上册数学圆章节知 识点总结 Prepared on 21 November 2021

与圆相关的基本知识和计算 一、知识梳理: (一):圆及圆的有关概念 1.圆:到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆; 2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的叫做劣弧; 3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径,它是圆的最长的弦; 4.等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆;等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧; 5.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角;圆周角:顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角; (二)圆的有关性质: 1.对称性:圆是中心对称图形,其对称中心是圆心;圆是轴对称图形,其对称轴是直径所在的直线; 2.垂径定理及其推论: (1)、垂径定理:垂直弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧; (2)、推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧;3.圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等;(2)推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。 4.圆周角与圆心角的关系 (1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;

(2)推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,0 90的圆周角所对的弦是直径; 5.圆内接四边形对角互补。 (三)点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系. (1)d>r点在圆外;(2)d=r点在圆上;(3)d<r点在圆内. 2、确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆. (四)直线与圆的位置关系 1、(1)直线与圆的位置关系有关概念 ①相交与割线:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线. ②切线与切点:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点. ③相离,当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. (2)用数量关系判断直线与圆的位置关系 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么: (1)直线l和⊙O相交d<r(如图(1)所示); (2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示); (3)直线l和⊙O相离d>r(如图(3)所示). 2、切线 (1)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径. (3)切线长:圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. (4)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. (五)三角形的外接圆和内切圆 1、三角形的外接圆 (1)定义:经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.

最新一元二次方程知识点总结

一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2 ax 叫做二 次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系 数;c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平 方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看 做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项 的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ,一次项的 系数为b ,常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单 易行,是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的 是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元 二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“?” 来表示,即ac b 42 -=? I 当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;

九年级数学专训1一元二次方程的解法归类

2020-2021学年 专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金:解一元二次方程时,主要考虑降次,其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等.在具体的解题过程中,结合方程的特点选择合适的方法,往往会达到事半功倍的效果. 限定方法解一元二次方程 形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1.方程4x2-25=0的解为( ) A.x=B.x= C.x=±D.x=± 2.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为( ) A.x2-5=5 B.-3x2=0 C.x2+4=0 D.(x+1)2=0 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解 3.用配方法解方程x2+3=4x,配方后的方程变为( ) A.(x-2)2=7 B.(x+2)2=1 C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=2 4.解方程:x2+4x-2=0. 5.已知x2-10x+y2-16y+89=0,求的值. 能化成形如(x+a)(x+b)=0的一元二次方程用因式分解法求解

6.(中考·宁夏)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( ) A.-1 B.0 C.1和2 D.-1和2 7.解下列一元二次方程: (1)x2-2x=0; (2)16x2-9=0; (3)4x2=4x-1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式,则用公式法求解8.用公式法解一元二次方程x2-=2x,方程的解应是( ) A.x=B.x= C.x=D.x= 9.用公式法解下列方程. (1)3(x2+1)-7x=0; (2)4x2-3x-5=x-2. 选择合适的方法解一元二次方程 10.方程4x2-49=0的解为( ) A.x=B.x=

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程 专题一:一元二次方程的定义 典例分析: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( ) A .2±=m B .m=2 C .2-≠m D .2±≠m 3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、-l C 、 1 或-1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( ) A 、a ≠1 B 、a ≠-2 C 、a ≠1且a ≠-2 D 、a ≠1或a ≠-2 专题二:一元二次方程的解 典例分析: 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习: 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根. 3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 专题三:一元二次方程的求解方法 典例分析: 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 . 难度训练: 1、如果二次三项式16)122++-x m x ( 是一个完全平方式,那么m 的值是_______________.

圆的知识点总结

5.1 圆 课程标准要求 1.理解圆的有关概念. 2.经历探索点与圆的位置关系的过程,会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系. 3.理解弧、弦、半圆、优弧、劣弧等与圆有关的概念, 1.圆概念(重点) 把线段OP的一个端点O固定,使线段OP绕着点O在平面内旋转1周(如图5 -1-1所示),另一个端点P运动所形成的图形叫做圆,其中,定点O叫做圆心,线段OP叫做半径,以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆0”.2.点与圆的位置(难点) 点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外,设⊙0的半径为r,点P到圆心0的距离为d,用图形表示点与圆的位置关系如图5-1-2所示 3.与圆有关的概念 ①弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图5-1-3中的弦 AB,BC。 ②直径:经过圆心的弦叫做直径,如图5-1-3中的弦AB为⊙0的直径直径等于半径的两倍。 ③弧、优弧、劣弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,弧用符号“⌒”表示;圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆;小于半圆的弧叫做劣弧,如图5 -1-3中以B、C为端点小于半圆的 劣弧“”;大于半圆的弧叫做优弧,优弧要用三个字母表示,如图5~1—3中的优弧“”. ④等圆、同心圆:能够互相重合的两个圆叫做等圆,如图5 -1-4中的⊙和⊙是等圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆,如图5—1—5中的两圆, 5.2 圆的对称性

课程标准要求. 1.理解圆的对称性及有关性质. 2.理解同圆或等圆中,圆心角、弧、弦各组量之间的关系,并会应用. 3.探索垂径定理并会应用其解决有关问题. 1.圆是轴对称图形(重点) 通过折叠与旋转的方法,我们可以得到: 圆是轴对称图形,其对称轴为任意一条过圆心的直线; 圆是中心对称图形,其对称中心是圆心. 2.圆心角,弧,弦之间的关系(重点) 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 (1)在具体运用以上定理解决问题时,可根据需要选择,如“在等圆中,相等的弧所对的圆心角相等”. (2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,如果丢掉这个前提条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等. (3)要结合图形深刻理解圆心角、孤、弦这三个概念和“所对应的”一词的含义,因为一条弦所对的弧有两条,所以由“弦等”得出“弧等”,这里的“弧等”指的是对应的劣弧和劣弧相等,对应的优弧和优弧相等。3.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 (1)1°的弧:将顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的圆心角是1°的角.因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份.我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.(2)圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系:圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 1.垂径定理的应用(难点) (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧, 垂径定理的表现形式:如图5-2-8所示, 5.3 圆周角 课程标准要求 1.经历探索圆周角的有关性质的过程. 2.理解圆周角的概念及其相关性质,并能运用相关性质解决实际问题. 3.体会分类、转化等数学思想方法,学会用数学的思想方法思考问题. 1.识别圆周角 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理的应用 定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。 3.圆周角定理的推论(难点) 直径(或半圆)所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径. 本文档部分内容来源于网络,如有内容侵权请告知删除,感谢您的配合!

一元二次方程知识点集 (整理)

一元二次方程 知识点题集 (须用心按质完成) 1.方程12 x (x -3)=5(x -3)的根是_______. 2.下列方程中,是关于x 的一元二次方程的有________. (1)2y 2+y -1=0;(2)x (2x -1)=2x 2;(3)21x -2x=1;(4)ax 2+bx+c=0;(5)12 x 2=0. 3.把方程(1-2x )(1+2x )=2x 2-1化为一元二次方程的一般形式为________. 4.如果21x -2x -8=0,则1x 的值是________. 5.关于x 的方程(m 2-1)x 2+(m -1)x+2m -1=0是一元二次方程的条件是________. 6.关于x 的一元二次方程x 2-x -3m=0?有两个不相等的实数根,则m?的取值范围是定______________. 7.x 2-5│x │+4=0的所有实数根的和是________. 8.方程x 4-5x 2+6=0,设y=x 2,则原方程变形为___________________,原方程的根为________. 9.以-1为一根的一元二次方程可为_____________________(写一个即可). 10.代数式12 x 2+8x+5的最小值是_________. 11.若方程(a -b )x 2+(b -c )x+(c -a )=0是关于x 的一元二次方程,则必有( ). A .a=b=c B .一根为1 C .一根为-1 D .以上都不对 12.一元二次方程x 2-4=0的解是( ) A .x 1=2,x 2=-2 B .x =-2 C .x =2 D . x 1=2,x 2=0 13.已知(x 2+y 2+1)(x 2+y 2+3)=8,则x 2+y 2的值为( ). A .-5或1 B .1 C .5 D .5或-1 14.已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和-3,则x 2-px+q 可分解为( ). A .(x+2)(x+3) B .(x -2)(x -3) C .(x -2)(x+3) D .(x+2)(x -3) 15.已知α,β是方程x 2+2006x+1=0的两个根,则(1+2008α+α2)(1+2008β+β2)的值为( ). A .1 B .2 C .3 D .4 16.三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x 2-6x+8=0的解,?则这个三角形的周长是( ). A .8 B .8或10 C .10 D .8和10 17.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x + -= 18下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12; C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 19.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )

九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】

解一元二次方程专项练习题(带答案) 1、用配方法解下列方程: (1) 025122=++x x (2) 1042=+x x (3) 1162=-x x (4)0422=--x x 2、用配方法解下列方程: (1) 01762=+-x x (2) x x 91852=- (3) 52342=-x x (4)x x 2452-= 3、用公式法解下列方程: (1) 08922=+-x x (2) 01692=++x x (3) 38162=+x x (4)01422=--x x 4、运用公式法解下列方程: (1) 01252=-+x x (2) 7962=++x x

(3) 2325x x =+ (4) 1)53)(2(=--x x 5、用分解因式法解下列方程: (1)01692=++x x (2) x x x 22)1(3-=- (3))32(4)32(2+=+x x (4)9)3(222-=-x x 6、用适当方法解下列方程: (1) 22(3)5x x -+= (2) 22330x x ++= (3) 2)2)(113(=--x x ; (4) 4 ) 2)(1(13)1(+-= -+x x x x 7、 解下列关于x 的方程: (1) x 2+2x -2=0 (2) 3x 2+4x -7= (3) (x +3)(x -1)=5 (4) (x -2)2+42x =0 8、解下列方程(12分) (1)用开平方法解方程:4)1(2=-x (2)用配方法解方程:x 2 —4x +1=0 (3)用公式法解方程:3x 2+5(2x+1)=0 (4)用因式分解法解方程:

《圆》章节知识点总结

《圆》章节知识点 一、圆的概念 1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中,定点称为圆心,定长称为半径,以点O为圆心的圆记作“O”,读作“圆O”。 2.确定圆的基本条件:(1)、圆心:定位置,具有唯一性,(2)、半径:定大小。 3.半径相等的两个圆叫做等圆,两个等圆能够完全重合。 4.①连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,②圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,弧用符号“?”表示,圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。③在同圆或等圆中,能过重合的两条弧叫做等弧。理解:弧在圆上,弦在圆及圆上:弧为曲线形,弦为直线形。 5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。 6.①三角形的三个顶点确定一个圆,经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆,圆心是三个角的角平分线的交点,他到三条边的距离相等:内心到三顶点的连线平分这三个角。 (补充)圆的集合概念 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫 中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线。

一元二次方程的知识点梳理

一、知识结构: 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义:①只含有一个未知数........,并且②未知数的最高次数是.........2.,这样的③整式方程.... 就是一元二次方程。 (2)一般表达式:)0(02≠=++a c bx ⑶难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0”; ②未知数指数为“2”; ③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 针对练习: 1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程, ⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考点二、方程的解

⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 ⑵应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题: 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根, 则m 的值为 。 针对练习: 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值; ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根,则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法 ⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法 ⑵关键点:降次 类型一、直接开方法:()m x m m x ±=?≥=,02

中考数学复习一元二次方程专项易错题附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们. (1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价;(用不等式解答) (2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程 中,“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5 2 m%,购买数量和原计划一样:“美团”网 上的购买价格比原有价格下降了9 20 m元,购买数量在原计划基础上增加15m%,最终,在 两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%,求出m的值. 【答案】(1)120;(2)20. 【解析】 试题分析:(1)本题介绍两种解法: 解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x?80≤7680,解出即可; 解法二:根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价; (2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评” 网上的购买实际消费总额:120a(1﹣25%)(1+5 2 m%),在“美团”网上的购买实际消费 总额:a[120(1﹣25%)﹣9 20 m](1+15m%);根据“在两个网站的实际消费总额比原计划 的预算总额增加了15 2 m%”列方程解出即可. 试题解析:(1)解:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x?80≤7680,x≤120; 解法二:7680÷80÷0.8=96÷0.8=120(元). 答:每个礼盒在花店的最高标价是120元; (2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得: 120×0.8a(1﹣25%)(1+5 2 m%)+a[120×0.8(1﹣25%)﹣ 9 20 m](1+15m%)=120×0.8a (1﹣25%)×2(1+ 15 2 m%),即72a(1+ 5 2 m%)+a(72﹣ 9 20 m)(1+15m%)=144a (1+ 15 2 m%),整理得:0.0675m2﹣1.35m=0,m2﹣20m=0,解得:m1=0(舍), m2=20. 答:m的值是20.

圆与方程知识点总结

圆与方程知识点总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系: (1). 设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内 d <r ; b.点在圆上 d=r ; c.点在圆外 d >r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? ( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? (3)涉及最值: ① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦( 此弦垂直AC ) 3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心??? ??--2,2E D C ,半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时,方程不表示任何图形.

一元二次方程知识点归纳与复习

一元二次方程专题 知识点1:一元二次方程的概念及一般形式 1、方程(1)3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x + =;(4) 221(1)(2)x x x -=--; (5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 (1)2(5)3x x x --=- (2)(21)(5)6x x x -+= 知识点2:用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程: (1)2169x = (2)2450x -= (3)24(21)360x --= (4)(21)40x +-= 知识点3:用配方法解一元二次方程

4、用配方法解方程2250x x --=时,原方程变形为 ( ) A 、2(1)6x += B 、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -= 5、用配方法解一元二次方程: (1)22410x x -+= (2)2213x x += 知识点4:用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程: (1)2410x x +-= (2)2441018x x x ++=- 知识点5:根的判别式(24b ac -)的应用 7、若关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 ( ) A 、m>-1 B 、m>-1且m ≠0 C 、m<1 D 、m<1且m ≠0 8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边,其中a=1,c=4,且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根,试判断三角形ABC 的形状。 4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. (1)求证:原方程恒有两个实数根; (2)若方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m 的取值范围. 知识点6:用分解因式法解一元二次方程 9、用分解因式法解一元二次方程 (1)230x x += (2)2(3)4(3)0x x x -+-=

一元二次方程及解法归类

寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a ),其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数,b 叫做___________系数,c 叫做_________. 典型例题: 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________,它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________,常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程(1-3x )(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时,关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程;当m______时,关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根,则m m -2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程,则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0,则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知:5±=x , 即x 1=5, x 2=-5; 若(2x-1)2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为:x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程:(1)1) 3(2=+x (2)18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤: ① 化二次项系数为1; ② 移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;

一元二次方程概念专项练习

一元二次方程概念专项练习 知识梳理: 1.一元二次方程的一般形式:a x2+bx+c=0(a≠0) 2.一元二次方程的特点: ①整式方程 ②a不为0 ③只含有一个未知数 ④未知数的最高次数为2 3.重点:一元二次方程的识别与判断 4.难点:题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时,需要分类讨论 一、选择题 1、在下列方程中是一元二次方程的是() A.x2-2xy+y2=0 B.x(x+3)=x2-1 C.x2-2x=3 D.x+ =0 2、下列方程为一元二次方程的是 ( ) A. B. C. D. 3、下列方程中,一元二次方程个数() ①、;②、;③、;④、;⑤、. A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 4、已知关于x的一元二次方程(x+1)2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是() A.m≥﹣ B.m≥0 C.m≥1 D.m≥2 5、以1,-2为根的一元二次方程是 A.x2+x-2=0 B.x2-x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2+x+2=0 6、已知x=0是二次方程(m +1)x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解,那么m的值是() A.0 B.1 C.- 1 D. 7、若c(c≠0)为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根,则c+b的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 8、若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于

A.1 B.2 C.1或2 D.0 9、定义:如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是() A. B. C. D. 10、若为方程的解,则的值为() A.12 B.6 C.9 D.16 二、填空题 11、如果,则一元二次方程必有一个根是. 12、已知是方程的解,则代数式的值为 . 13、已知,则的值是 . 14、某中学摄影兴趣小组的学生,将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张,全组共互赠了182张,若全组有名学生,则根据题意列出的方程是。 15、若实数a满足,则3___________. 三、简答题 16、关于的方程是否一定是一元二次方程?请证明你的结论. 17、若关于的一元二次方程的常数项为0,求的值是多少? 18、已知关于x的方程. (1)m为何值时,此方程是一元一次方程?

一元二次方程知识点总结与易错题及答案

一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式: )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ,一次项的系数为b ,常数项的系数为c 。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和等于- a b ,二根之积等于a c ,也可以表示为x 1+x 2=-a b ,x 1 x 2=a c 。利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用。

一元二次方程的解法归纳总结

一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法(缺常选因)求解. 一、直接开平方法 解形如(≥0)和(≥0)的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: (1)把一元二次方程化为(≥0)或(≥0)的形式; (2)直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; (3)分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: (1)直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; (2)对于一元二次方程,当时,方程无解; (3)对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: (1); (2). 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为(≥0)的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.

解:(1) ∴; (2) ∴. 例2. 解下列方程: (1); (2). 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为(≥0)的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:(1) ∴或 ∴; (2) ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】(A)(B) (C)(D) 习题2. 若,则_________.

数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根. ()1求k 的取值范围; ()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值. 【答案】(1)134k ≤ ;(2)2k =-. 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥,解之可得. ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】 解:()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根, 0∴≥,即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥, 解得134 k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-, () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=, 224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-, 134 k ≤, 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0>,方程有两个不相等的实数根;当0=,方程有两个相等的实数根;当0<,方程没有实数根.以及根与系数的关系. 2.已知:关于的方程 有两个不相等实数根. (1) 用含的式子表示方程的两实数根; (2)设方程的两实数根分别是,(其中),且,求的值.

一元二次方程知识点归纳

一元二次方程知识点 知识点一:一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一元二次方程的相关概念 (1)定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2 的整式方 程. (2)一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2、bx、c分别叫做二次 项、一次项、常数项,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常 数项. 例:方程20 a ax+=是关于x 的一元二次方程,则方程的根为- 1. 2 .一元二 次方程的解法 (1)直接开平方法:形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,可直接开平方 求解. ( 2 )因式分解法:可化为(ax+m)(bx+n)=0的方程,用因式分解 法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为 x= 24 2 b b ac a -±-(b2-4ac≥0). (4)配方法:当一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶 数时,也可以考虑用配方法. 解一元二次方程时,注意 观察,先特殊后一般,即先 考虑能否用直接开平方法和 因式分解法,不能用这两种方 法解时,再用公式法. 例:把方程x2+6x+3=0变 形为(x+h)2=k的形式后, h=-3,k=6. 知识点二:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3 .根的判别式 (1)当Δ=24 b ac -0时,原方程有两个不相等的实数根. (2)当Δ=24 b ac -0时,原方程有两个相等的实数根. (3)当Δ=24 b ac -0时,原方程没有实数根. 例:方程2210 x x +-=的判 别式等于8,故该方程有两个不相 等的实数根;方程2230 x x ++= 的判别式等于-8,故该方程没有实 数根. * 4.根与系数的关系 (1)基本关系:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个根分别为x1、x2,则x1+x2= ;x1x2= 。注意运用根与系数 关系的前提条件是△≥0. (2)解题策略:已知一元二次方程,求关于方程两根的代数式 的值时,先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子,再运用根与 系数的关系求解. 与一元二次方程两根相关代数 式的常见变形: x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, 12 1212 11x x x x x x + += 等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时, 注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0 知识点三:一元二次方程的应用 4(1)解题步骤:①审题;②设未知数;③列一元二次方程; ④解一元二次方程;⑤检验根是否有意义;⑥作答. 运用一元二次方程解决实际问题时,方程一般有两个实

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