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人教A版高中数学《平面向量的数量积》导学案

2.4《平面向量的数量积》导学案

【学习目标】

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】复习引入：

1．向量共线定理向量b 与非零向量a

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .

2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算

若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，

),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=

5．a ∥b (b

0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

6．线段的定比分点及λ

P 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，

使 P P 1=λ2PP

，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)

7. 定比分点坐标公式：

若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（

λλλ++++1,12

121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.

8. 点P 的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =

b a b a λ

λλλ+++=++1111.

10．力做的功：W = |F |?|s |cos ，是F 与s 的夹

角.

新授课阶段

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与

ｂ的夹角.

说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝

时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤θ≤180?

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos

叫ａ与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos

，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos

的符号所决定.

（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ?b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ?b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a ?b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a ?b =0，不能

推出b =0.因为其中cos

有可能为0.

（4）已知实数a 、b 、c (b

0)，则ab=bc ? a=c .但是a ?b = b ?c

= c

如右图：a ?b = |a ||b |cos

= |b ||OA|，b ?c = |b ||c |cos = |b ||OA|

? a ?b = b ?c 但a c

显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. 3．“投影”的概念：作图

定义：|b |cos

叫做向量b 在a 方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180

时投影为 |b |.

4．向量的数量积的几何意义：

数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.

5．两个向量的数量积的性质：

设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e ?a = a ?e =|a |cos

2 a

b a ?b = 0

当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = |a ||b |. 特别的a ?a = |a |

或a a a ?=||

4 cos =

|||b a b

a ?

|a ?b | ≤ |a ||b |

例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o

，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o

求(a+2b)·(a -3b).

例3 已知|a |=3， |b |=4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２

＝

ｂ２.

解：

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例5 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.

解：

评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥

ｂ时，有0°或180°两种可能.

课堂小结（略）作业（略）拓展提升

1.已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ?=，则b = （）

A ．（

31,22） B ．（13,22） C ．（133

,44

） D ．（1,0） 2. 设B A ,两点的坐标分别为)0,1(),0,1(-.条件甲：0AC BC ?=；条件乙：点C 的坐标是方程12

=+y x 的解.则甲是乙的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 3.已知||22,||3,p q p ==与q 的夹角为

，则以52,3a p q b p q =+=-为邻边的平行四边形的较短的对角线长为（）

A.15

B.15

C.14

D.16 4.把点(2,2)A 按向量(2,2)-平移到点B ，此时点B 在OC 的延长线上，且||2||OB BC =，则点C 的坐标为 .

5.把函数5422

+-=x x y 的图象按向量a

平移,得到2

2x y =的图象,且

a b ⊥,)1,1(-=c

，

4=?c b ,则 =b

6.不共线向量a ，b 的夹角为小于120的角，且||1,||2a b ==，已知向量2c a b =+，求||c 的取值范围.

7. 已知向量,a b 满足||||1a b ==，且||3||a kb ka b -=

+，其中0k >.

（1）试用k 表示a b ?，并求出a b ?的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值；

（2）当a b ?取得最大值时，求实数λ，使||a b λ+的值最小，并对这一结果作出几何解释.

8. 已知向量33(cos

,sin ),(cos ,sin ),[,]222264

x x x x a b x ππ==-∈. （1）求a b ?及；||a b +；（2）求函数()

()(||

a b f x R a b λλ?=

∈+且0)λ≠的最小值.

参考答案

例1 （略）例2 （略）例3 （略）例4

解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.

则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），

∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例5解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；

③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×

＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥

ｂ时，有0°或180°两种可能.

拓展提升

1 提示：设(,)(0)b x y y =≠33x y +=221(0)x y y +=≠.

2 提示：设点C 的坐标为(,)x y . 0AC BC ?=? 2

(1)(1)0x x y +-+=,

∴0AC BC ?=?12

=+y x ，∴甲是乙的充要条件.

3 提示：经验证，知以a b +为对角线时，其长度较短，6a b p q +=-.

4 (0,2)提示：点B 的坐标为(0,4)，设点C 的坐标为(,)x y ，则2OB BC =-，可求得点C 的坐标为

(0,2).

5 )1,3(- 提示：由函数 5422

+-=x x y 的图象按向量a

平移,得到2

2x y =的图象，可得(1,3)a =--；

设(,)b m n =，由a b ⊥和4=?c b 得：30

m n m n --=??-=?，解之得3,1m n ==-.

6 解：2222

|||2|||44||178cos c a b a a b b θ=+=+?+=+（其中θ为a 与b 的夹角）.

∵0120θ<<, ∴1

cos 12

θ-

<<, 13||5c <<, ∴||c 的取值范围为13,5). 7解：（1）2

1||3||()3()(0)4k a kb ka b a kb ka b a b k k

+-=+?-=+??=->. ∴111

()42

a b k k ?=-

+≤-,此时1cos 2θ=-，23πθ=

. ∴21(0)4k a b k k +?=->，a b ?的最大值为12-，此时a 与b 的夹角θ的值为23

. （2）由题意，12a b ?=-

，故22

213||1()24

a b λλλλ+=-+=-+， ∴当12λ=时，||a b λ+的值最小，此时1||02a b b +?=，这表明当1

()2

a b b +⊥.

8解：（1）333cos cos sin sin cos()cos 2222222

x x x x x x

a b x ?=-=+=； 223333|||(cos

cos ,sin sin )|(cos cos )(sin sin )22222222x x x x x x x x a b +=+-=++-3322(cos

cos sin sin )22cos 22cos 2222

x x x x

x x =+-=+=.

（2）cos 21()(cos )2cos 2cos x

f x x x

x λλ==-

, ∵[,]64x ππ∈, ∴1

cos 2cos x x

是减函数，

①当0λ>时，()f x 的最小值为()04

f π

=；

②当0λ<时，()f x 的最小值为()6

f π

综上，当0λ>时，()f x 的最小值为0；当0λ<时，()f x .