上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案
上海中学高二期末数学试卷
2021.01
一. 填空题 1. 若复数
3i
12i
a ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=?（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为
3. 已知方程22
3212x y λλ
+=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是
4. 已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点
在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为
5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =
6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθ
θθ=-??=+?
（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是
7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是
8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为
9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=?， 则12||||PF PF ?=
11. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条
渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近 线方程为
12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积
为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ， 则22||||MP MQ +的最小值为
二. 选择题
1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22
221x y a b
-=有相同的焦点，则椭圆的离
心率为（ ）
A.
B. 1
2
C. D.
2. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于 （ ）
A. 3
B. 4
C. 32
D. 42
3. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于
A 、
B 两点，点A 在M 、B 之间，过M 作直线A
C 的平行线交直线BC 于点P ，当l 变
化时P 的轨迹是（ ）
A. 椭圆的一部分
B. 双曲线的一部分
C. 抛物线的一部分
D. 圆的一部分 4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为
4
a
的圆 在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线， 其方程为2
223
3
3
x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（ ）
（1）星形线的参数方程为：33
cos sin x a t
y a t
?=?=?（t 为参数）； （2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；
（即横、纵坐标均为整数的点）
（3）曲线1
12
2
1x y +=在星形线223
3
1x y +=的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4
S a a π
∈；
A. （1）（3）（4）
B.（1）（2）（3）（4）
C. （2）（3）
D.（1）（2）（3）
三. 解答题
1. 已知复数1i z =+，求实数a 、b ，使得22(2)az bz a z +=+.
2. 已知关于x 的复系数一元二次方程243i 0x zx +++=（z ∈C ）有实数根，求复数||z 的最小值.
3. 已知直线1y kx =+（k ∈R ）与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？
4. 已知关于t 的一元二次方程2(2i)2()i 0t t xy x y ++++-=（,x y ∈R ）. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）求方程的实根的取值范围.
5. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）过点(2,4)T -. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；
（2）已知点(4,0)A ，过点(4,0)B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ，求||
||
PB BQ 的值.
6. 已知椭圆22
:142
x y C +=，点(4,1)P 为椭圆外一点.
（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围； （2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满 足||||||||AP QB AQ PB ?=?，证明：点Q 总在某定直线上.
参考答案
一. 填空题
1. 6-
2. {1}
3. 21λ-<<-
4. 22
1927
x y -=
5. 2
6. 222x y +=
7.
5
4
8. 4
9. 0k =，11b -<< 10. 4 11. y = 12. 10
二. 选择题
1. D
2. C
3. B
4. D
三. 解答题
1. 2a =-，1b =-或4a =-，2b =.
2. min ||z =
3. k =k =
4.（1）点(,)x y 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）[4,0]-.
5.（1）28y x =，4；（2）1.
6.（1）11
[,]1612
-；
（2）证明略，点Q 总在直线220x y +-=上.