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概率论第三讲

第三讲

§4 乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式及其应用 1. 条件概率和事件的独立性

在配对问题中，如何解决第二个问题？如果记事件k A 表示k 个人拿到自己的帽子，k B 表示其余n k -个人没有一个拿到自己的帽子，则所求事件即为k k A B ，问题即要计算Pr()k k A B 。

如果从古典概率角度来理解：#()##()

Pr()###k k k k k k k k

A B A A B A B S S A =

，前一项是事件k A 的概率，而后一项可以认为是把k A 作为样本空间，事件k k A B 的概率，这个概率也称为k A 发生的条件下，事件k B 发生的条件概率，记为Pr(|)k k B A 。这个想法希望能在一般的概率问题中应用，所以引入条件概率这个概念。定义（条件概率）如果Pr()0A >，则称Pr()

Pr()

AB A 为事件B 关于事件A 的条件概率，记为Pr(|)B A 。

从概率空间出发来理解条件概率。给定概率空间(,,)S P F ，对给定的事件A ，可定义样本空间和事件域：(,)A A F ，相应的条件概率空间(,,(|))A A P A ?F 可按如下方式定义：B A ∈F ，则Pr()

Pr(|)Pr()

AB B A A =。容易证明，这是一个概率空间。 1）非负性：0)|(≥A B P ； 2）规范性：1)|(=A S P ；

3）可列可加性：∑∞

=∞

==1

)|()|(k k k k A B P A B P ，这里φ=j i B B ，j i ≠。

下面考虑一个简单的问题，来帮助理解条件概率。

例 1 抛掷硬币两次，已知事件A “正面至少出现一次”发生。求两次得到同一面的事件B 概率。

解从定义容易计算：3()4P A =

，1

()4P AB =，则3

1)|(=A B P 。从另一角度看，所谓已知事件A ，即样本空间已缩小为)}1,0(),1,1(),0,1{(。仍是古

典概型问题，该空间中，事件|{(1,1)}B A =，因此，3

1)|(=A B P 。在原概率空间中，事件B 的概率为2

1)(=

B P 。定义（事件独立性）如果()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 独立。定理（独立的等价条件）下面三个条件是等价的。（1）()()()P AB P A P B =；（2）(|)()P B A P B =；（3）(|)()P A B P A =。

定理如果事件A 与B 独立，则A 所确定的事件与B 所确定的事件之间都独立。

2. 概率计算问题中的三个重要的公式定理（乘法公式）

)()|()|()|()(112211111A P A A P A A A P A A A P A A P n n n n n ---=。

定理（全概率公式）设试验的样本空间为k n

k B S 0== ，这里φ=j i B B ，j i ≠，

且0)(>k B P ，那么∑==n

k k k B P B A P A P 1

)()|()(。

定理3（贝叶斯公式）在定理2条件下，再设0)(>A P ，那么

∑==

k k k

i i i B P B

A P

B P B A P A B P 1

)

()|()

()|()|(。

这个公式的概率含义：我们可以认为对事件k B 的信息掌握得比较充分，即知道其发生的概率，和其它事件在该事件发生时的条件概率。这些信息是先验的，即可由经验获得。那么又经过新的试验，在该试验之下，过去的经验会有什么修正，即在试验事件发生条件下，原来的经验概率会有什么变化？这就是后验概率

)|(A B P i 。

例狼来了寓言的概率分析。（p.47） 3. 应用

本节将利用前面的结果来计算一些概率问题。

例设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，同时放入a 只同样颜色的球。若在袋中连续取球四次，求第一，二次取到红球，且第三第四次取到白球的概率。

例如果已知太阳连续升起了n 天，问(1)n +-th 天太阳仍升起的概率是多大？解记k A 为第k 天太阳升起。要计算的是11

(|)n n P A A A +。因此，

1111

1()

(|)()

n n n n n P A A A P A A A P A A ++=

。

但这些概率的含义并不明确，因为在什么样的样本空间中考虑问题并不清楚。对1n +天太阳升起的情况，可以作互不相容的分解：

1n n S S S S +=，

其中，k S 表示太阳升起的天数，0,1,

,1k n =+。

现在面临选择：对()k P S 的概率作什么样的假设？数学上是无法解决该问题的，如果借助主观概率思想，对没有特别信息区分事件的发生可能性，就做出等可能假，即设这里的每一种可能性是相同的：

011

()()2

n P S P S n +=

+。这时，讨论的问题就明确了。利用全概率公式：

1()(|)()(|)2n n n n k k n k k k P A A P A A S P S P A A S n ++====+∑∑

如何计算1(|)n k P A A S ？在给定k S 时，所有的样本点可以视为k 个太阳升起的

日子在1n +天中的分布情况，共1k

n C +中情况。

如果k n <，显然有1(|)0n k P A A S =；

而k n =时，有11

(|)n n n

n P A A S C +=

；而1k n =+，有1

1(|)1n n P A A S +=。

因此，11111

()(1)21

n n n P A A n C n +=

++。类似，k n ≤时，显然有11(|)0n k P A A S +=；

而1k n =+，有1

11(|)1n n P A A S ++=。即

()(|)()2

n n n k k k P A A P A A S P S n ++===

+∑。所以，111

(|)2

n n n P A A A n ++=

+。思考题（无限Polya 罐模型）考虑更一般的模型。一个罐中有黑白两种颜色的无限多个球，无放回抽取n 个球，观测到抽到n r -个白球，r 个黑球。下一次抽到白球的概率是多少？答案是

n r n -++。提示思考方法类似。如果记r B 为事件：前面n 次中，观测到抽到n r -个白球，

r 个黑球。而1n n B A +表示事件；观测到抽到n r -个白球，r 个黑球，而1n +次仍是白球。

当k n r <-或1k n r >-+时，(|)0n r k P B S -=；

当k n r =-时，1

(|)n r n

r n r n r n C P B S C ---+=；

当1k n r =-+时，111

(|)n r n

r n r n r n C P B S C --+-++=；

所以，

11111!()!(1)!(1)!!1

()()22()!!(1)!1

n r n r

n n r n r n r n n C C n n r r n r r P B n C C n n r r n n ----+++-++-+=+==

++-++。类似，

111!(1)!!1

()22()!!(1)!(2)(1)

n r

n r n n r n C n n r r n r P B A n C n n r r n n n -+-++-+-+===++-+++。所以，11

(|)2

n r n r P A B n +-+=

+。

例（是否改变选择问题）

解首先也要明确我们考虑的问题。

要讨论的是改选后得奖（记为C）概率是多大？

面临的样本空间：奖品被选中B，改选后得奖；奖品未被选中B，改选后得奖。

因此

12 ()(|)()(|)()01

P C P C B P B P C B P B

=+=?+?。

例三家厂同时生产某种产品，产品的不合格率和市场占有率分别为

0.02,0.15;0.01,0.80;0.03,0.05

市场上抽取一件此类产品，

（1）求产品不合格的概率；（2）该产品是第二家厂生产的概率。

（如何划分样本空间）

例对以往数据分析结果表明，设备调整良好时，产品合格率为98%，而当机器调整不好时，合格率为55%。每天早上机器调试好的概率为95%。求已知某天产品合格时，机器是调试好的概率。

（注意什么是先验的概率）

例某种疾病在人群中的发病率为0.005。此类病的确症率为0.95：即该人患此病时，通过检查能查出该病的概率；而误症率也为0.05：即该人不患此病时，检查却认为患该病的概率。求检查认为该人患病时，此人确实患病的概率。

下面是独立性问题。

例串联，并联和串并联混合系统的可靠性（独立性直观理解或假设）。

例甲乙两人比赛乒乓球。甲胜的概率为1/2

p≥，问对甲而言，采用三局两胜有利还是五局三胜有利。

例轮流射击问题的获胜概率计算。（p.52）

习题课

1. 分球入罐问题

把n 个球放入r 个不同箱子。记录每个箱子的球数，问得到的所有不同结果有多少种？等价问题：1r n n n +

+=的非负整数解有多少个？

从装有标号为1~r 的球的罐中，有放回抽取n 个求，记录每个编号被抽到的次数，问有多少中可能结果？

解思考方法。以三个球，有放回抽取5次为例。

上述图例表示：1号球抽到4次，2号求一次，3号球零次。

可见所有结果是5个√与2条|的位置的组合方式，共有：5531C +-或31531C -+-种方法。

注意：

也是可能的结果之一。

一般结论：1n n r C +-或11r n r C -+-。

下面的2~3是类似的问题

2. 做伯努利试验，直到成功r 次，才停止试验。问需要n r +次的所有可能试验结果有多少？如果成功的概率是p ，该事件的概率是多少？

3. 把n 个（无区别的）球放入r 个罐中，要求第i 个罐中，至少有i m 个球，问所有的放入方法有多少中？（假设1r

i i n m =≥∑）

习题4既用了加法，也用了乘法原理的思考方法。

4. 证明组合公式220()n

k n

n k C C ==∑。

解把等式改写为20n

k n k

n n k C C C -==∑，

结论对应着：把2n 个球等分成2组，则取出n 个球的过程可分解成从第一组取出k 个球，0k n ≤≤，即n 种方法，而每种方法又可分位两个步骤：第一组中取出k 个球，然后，第2组中取出n k -个球。利用全概率公式推导递推关系从而解决问题的例子5~6。

5. 配对问题

参加某聚会的n 个人都向房子中央扔出自己的帽子。充分混合后，个人随机地抽取帽子。问

1）没有一个人选到自己帽子的概率是多少？ 2）恰好有k 个人选到自己的帽子的概率是多少？

解 1）方法1. 记事件“第i 个人选择自己的帽子”为i E ，则

()(1)()n

j j i n j i j P E C P E E -===-∑。

而1

()!()!j n j P E E n -=。所以，111

()(1)!n n j i i j P E j -===-∑。即得要求的事件的概率

为：1

(1)1()1!j n

i i j P E j -==--=-∑。

方法2. 记事件n A :“n 个人都没有拿到自己帽子”的概率为Pr()n n p A =。则，

11111111

Pr(|)Pr()Pr(|)Pr()Pr(|)Pr()Pr(|)n n n n n n p A E E A E E A E E A E n

-=+==

。而1211

Pr(|)1

n n n A E p p n --=

+-：此因，该条件事件可分解为“被第一个人拿去帽子的人恰好拿到了第一个人的帽子”和“被第一个人拿去帽子的人恰好拿到了第一个人的帽子”。前者的概率为第一项，而后者可以把被第一个人拿去帽子的人把第一个人的帽子作为自己的配对帽子后，视为“1n -个人没有一个人拿到自己的帽子”这以事件的概率，为1n p -。所以得到递推关系：

2111

n n n n p p p n n

---=

+，3n ≥。即：21122112()(1)()!n n n n n p p p p p p n n -----=--=--。注意到10p =，21

p =即得，

211

(1)

(1)!!

n i i n i i p i i -===-=-∑∑。 2）在1）解决后，较容易。该事件必须两个事件k B =“有k 个人拿到自己的帽子”和k C “其余n k -个人没有拿到自己的帽子”同时发生。因此

2()!111Pr()Pr()Pr(|)(1)(1)!!!!k n k

n k i i n k k k k k i i n k C B C B C B n i k i --==-==?-=-∑∑。

6. 把一枚硬币扔n 次，求不连续出现正面的概率。解 12111222n n n p p p --=+?，11p =，223

p =。

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

概率论与数理统计练习题练习题及参考答案

《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或× 1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2 σμN 的样本，则∑== n i i X n X 1 1 服从)1,0(N 分布； 2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ； 3．（√）设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ； 6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(, 8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ； 9．（√）设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则3216 3 6161?X X X ++=μ 是μ的无偏估计量； 10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。二、填空题 1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则 =EX DX p -1: 3．?????≤≤-=,, , 0,1)(其他b x a a b x f 是均匀分布的密度函数； 4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则=a )()(Y D X D +； 6．设随机变量X 的概率分布为

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

概率论习题第三章答案

第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果在其它场合恰当定义。在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F －则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为，事件“A 、B 、 C 都发生”可表示为， 5、设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三个事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。（ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销 ”，则其对立事件 A 表示。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3），试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否。（0，不成立） 14、设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ）。（0.7） 15、设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3，概率论与数理统计试题库不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ）；三个事件恰有一个发生为 ABC; ABC ABC ABC ）。；三个事件至少有一个发生为事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ）三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作至少有一个元件正常工作。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

概率论及数理统计练习题及答案

练习 1.写出下列随机试验的样本空间 (1)把一枚硬币连续抛掷两次.观察正、反面出现的情况； (2)盒子中有5个白球，2个红球，从中随机取出2个，观察取出两球的颜色； (3)设10件同一种产品中有3件次品，每次从中任意抽取1件，取后不放回，一直到3件次品都被取出为止，记录可能抽取的次数；(4)在一批同型号的灯泡中，任意抽取1只，测试它的使用寿命. 解：(1)U={正正正反反正反反} (2)U={白白白红红白红红} (3)U={1，4，5，6，7，8，9，10} (4)U={t>0} 2.判断下列事件是不是随机事件 (1)一批产品有正品，有次品，从中任意抽出1件是正品； (2)明天降雨； (3)十字路口汽车的流量； (4)在北京地区，将水加热列100℃，变成蒸汽； (5y掷一枚均匀的骰子，出现1点. 解：(1)(2)(3)(5)都是随机事件，(4)不是随机事件。 3.设A,B为2个事件,试用文字表示下列各个事件的含义 (1)A+B； (2)AB； (3)A－B； (4)A－AB；(5)AB； (6)AB AB .

解：(1)A ，B 至少有一个发生；(2) A ，B 都发生；(3) A 发生而B 不发生；(4) A 发生而B 不发生；(5)A ，B 都不发生；(6)A ，B 中恰有一个发生（或只有一个发生）。 4.设A,B,C 为3个事件,试用A,B,C 分别表示下列各事件 (1)A ，B ，C 中至少有1个发生； (2)A ，B ，C 中只有1个发生； (3)A ，B ，C 中至多有1个发生； (4)A ，B ，C 中至少有2个发生； (5)A ，B ，C 中不多于2个发生； (6)A ，B ，C 中只有C 发生. 解： (1)A B C, (2)AB C A B C A B C, (3)AB C ABC A B C A B C, (4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC, (5)ABC A B C, (6)A B C ++?+??+???++??+??+++++++??或或练习 1.下表是某地区10年来新生婴儿性别统计情况：出生年份 1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 974 29 311 女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28

概率论与数理统计习题及答案第三章

习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<

概率论课后习题答案

习题1解答 1、写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与C 不发生（2）A ，B 都发生，而C 不发生（3）A ，B ，C 中至少有一个发生（4）A ，B ，C 都发生（5）A ，B ，C 都不发生（6）A ，B ，C 中不多于一个发生（7）A ，B ，C 中不多于二个发生（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。（2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论套练习题及答案

《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿

省电子技术学校继续教育部二O一O年四月

练习一一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示（A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有（A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（）（A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是（A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2

7．已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(；（2）P （1 )(2)-=ξ。