2.3.1 等比数列-王后雄学案

张喜林制

2.3.1 等比数列

教材知识检索

考点知识清单

1．一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列就

叫做

2．等比数列的通项公式：

3．等比数列的重要性质： (1) ； (2) ．

4．判断一个数列为等比数列的方法： (1) ；}{n a ?是公比为q 的等比数列， (2) ．}{n a ?是公比为q 的等比数列．

5．等比中项的定义：

6．如果,0=/n a 且221++=n n n a a a 对任意的正整数n 都成立，则数列}{n a 是

7．(1)若}{n a 为等比数列，且),,,,(1+∈+=+N n m l k n m k 则l k a a ?n m a a

(2)若}{n a 为等比数列，公比为q ，则}{2n a 也是 ，公比为

(3)若}{},{n n b a 是等比数列，则}{n n b a 也是

(4)若}{n a 为等比数列，则)0}({=/k ka n 也为

(5)若 ,,,,4321a a a a 排列的一列数n a 为等比数列，则按,1a ,,53a a 排列的一列数也为

8．等差数列与等比数列的比较

(1)相同点：①强调的都是 的关系．

② 或 确定．

(2)不同点：①等差数列强调的是每一项与其前一项的 ，等比数列强调的是每一项与其前一

项的 .

②等差数列的首项和公差可以为零，等比数列的首项和公比

③等差中项唯一，是 ，等比中项有 ，分别为_____________ . 即两个正数（或两个负数）的等比中项有 ，它们互为 ；一个正数和一个负数 等比中项，

要点核心解读

1．等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比都等于同一常数q ，这个数列叫等比数列，常数q 叫做等比数列的公比

定义还可以叙述为：在数列}{n a 中，若),(1++∈=N n q a a

n n 则}{n a 是等比数列．易知.0=/q 关于定义理解的几点注意：

(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此g 也不能是0；

(2)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”；

n

n a a 1)3(+均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒；

(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列；

(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列；

(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列：若常数列是各项都为O 的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列；

(7)证明一个数列为等比数列，其依据是),(1++∈=N n q a a

n n 利用这种形式来判定，就便于操作了； (8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率（降低率）、利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛．

2．等比中项

在任意两个非零实数a 和b 之间，也可以插入n 个数使之成为等比数列，但要注意，在实数范围内，当a >0时，a 、b 之间可以插入任意个数，当ab <0时；在a 和b 之间只能插入偶数个数使之成为等比数列.

当ab >0时，在a 和b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么，G 就叫做a ，b 的等比中项．

.,2ab G ab G G

b a G ±==∴=， 3．通项公式

等差数列的通项公式是用不完全归纳法得到的．类似地，在等比数列}{n a 中，由等比数列的定义，有： ===q a a q a a 2312;;)(211q a q q a =.)(312134 q a q q a q a a ===

归纳可得：1).0(1111==/??==--n q a q

a q a a n n n 时，等式也成立，即对一切+∈N n 成立．于是可得：等比数列的通项公式为?=/??=-)0(111q a q a a n n

除了上面的证明方法，也可以用累乘法来证明，如下：因为}{n a 是等比数列，所以2≥n 时，有

等比数列教学设计(共2课时)

《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比

等差数列与等比数列学案

专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列 等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n － 1. 求和公式 等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1） 2d ； 等比数列：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)． 性质

1．(2018·贵阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11 S 5＝( ) A.11 5 B.522 C.1110 D.225 解析：选D.S 11S 5＝11 2（a 1＋a 11） 52（a 1＋a 5 ）＝11a 65a 3＝22 5 .故选D. 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－3 2a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3) ＝－10.故选B. 3．(2018·郑州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为 ( ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2 ＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，S n ＋2＝a 1（1－q n ＋ 2）1－q ， 代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成 立，则有?????4－q 2 ＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得?????a 1＝1，q ＝2或? ????a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2018·南宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20 a 10 ＝________． 解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3 ＝± 4.由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1.于是a 20 a 10 ＝q 10＝1. 法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，

2.2.1 等差数列-王后雄学案

1 / 14 张喜林制 2.2.1 等差数列 教材知识检索 考点知识清单 1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫做等差数列的 . 2．等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列；等差数列的公差 时，数列 为递减数列； 等差数列的公差 时，数列为常数列．等差数列不会是 ． 3．等差数列的通项公式=n a 4．要证明数列}{n a 为等差数列，只要证明：当2≥n 时， 要点核心解读 1．等差数列的定义 在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒，如果用数学符号来描述，可叙述为： 若d n d a a n n ,2(]≥=-- 为常数） ，则}{n a 是等差数列．还可以写成：若d N n d a a u n ,1++∈<=- 为常数），则}{n a 是等差数列． [注意] 以上定义中的常数是相对于变量n （项数）而言的． 2．等差中项 如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项， 由以上定义知：b 是a 与c 的等差中项甘a 、b 、c 成等差数列2 2c a b b c a += ?=+? 3．等差数列的判定 (1)用定义判定：即判定d a a n n =-+1（常数）)(+∈N n 或1 22++=+n n n a a a （即)112n n n n a a a a -=-+++ 是否成立． (2)用通项公式判定：即用}{n a 为等差数列q pn a n +=?q p 、(为常数）判定．

《等比数列》学案1

等比数列的前n 项和（两课时） 一 知识梳理 新知：等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0， 公式的推导方法一： 公式的推导方法二： 二 问题探究 知识点一、等比数列前n 项和的基本计算：“知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个. 例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。怎样用学过的知识来说明它？ 例2、等比数列{}n a 的公比,12 18== a q ，求前八项的和8s 例3、求和： 9 999999999999个n +++

例4、某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p(p>0),求这个工厂去年产值的总和。 练习： 1、13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和. 2、在等比数列{a n }中，S 3＝72S 6＝63 2 ，求a n . 3、 等比数列中，33139,.22 a S a q == ,求及 4、在等比数列}{n a 中，661=+n a a ，12822=-n a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q 5、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?

知识点二、利用等比数列前n 项和的性质解题 例5 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -， 32n n S S -()1-≠q 也成等比. 练习： 1、 在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S . 2、等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S . 3、等比数列的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝30，S 60＝630，求S 70的值．

1.3 简单的逻辑连结词-王后雄学案

1.3 简单的逻辑联结词 教材知识检索 考点知识清单 1．“p 且q ”就是用联结词“ ① ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题． 2．“p 或q ”就是用联结词“ ② ”把命题p 和命题q 联结起来，得到的新命题． 3．对一个命题p ③ ，得到的新命题，记作ip ，读作“ ④ ”或“ ⑤ ”． 4．已知p 、q 的真假时，常用下列表格判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假． 要点核心解读 一、逻辑联结词“且” 1．定义：用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∧读作”，且q p 其中符号“∧”读作“合取”． 2．判断命题“p 且q”的真假：当p 、q 都是真命题时，“p 且q”为真命题；当p 、q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，“p 且q”就为假命题． [注意]．逻辑联结词“且”与集合中“交集”的概念有关，与A x x B A x ∈=∈|{ 且}B x ∈中的“且”意义相同，即”“A x ∈”“B x ∈这两个条件都要满足， 举一个与“且”有关的实际例子：电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路，就叫与门电路． 二、逻辑联结词“或” 1．定义：用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作,q p ∨读 作“p 或q”，其中符号“∨”读作“析取”． 2．判断命题“p 或q”的真假：当p 、q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时，“p 或q”就为真命题；当p 、q 两个命题都为假命题时，“p 或q”为假命题． [注意] 对“或”的理解，可联想并集的概念，”“B A x ∈是指”“A x ∈或”“B x ∈其中至少有一 个是成立的，即为”“A x ∈且”B x ?还可以为A x ?且”B x ∈也可以为”“A x ∈且”B x ∈逻辑联结词中 的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活

等比数列教案经典

《等比数列》教学设计（共2课时） 第一课时 1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片） 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，,2,2,2432 ……，632 （1） 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8 1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究，找出规律： 学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2 1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2

2020高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列学案5

第1课时 等比数列 学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)． [自 主 预 习·探 新 知] 1．等比数列的概念 (1)文字语言： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)． (2)符号语言： a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N * )． 思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示] 不能． 2．等比中项 (1)前提：三个数a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫做a ，b 的等比中项． (3)满足的关系式：G 2 ＝ab . 思考：当G 2 ＝ab 时，G 一定是a ，b 的等比中项吗？ [提示] 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 3．等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1 .这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首 项，q 为公比． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y ＝a 1q ·q x 的图象上的孤立点． 思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法． 当n >2时， a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2 a 1 ＝q ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2 …… a n －1a n －2·a n a n －1 ＝a 1·q n －1 . [基础自测] 1．思考辨析

3.4不等式的实际应用-王后雄学案

张喜林制 3.4 不等式的实际应用 教材知识检索 考点知识清单 1．在许多实际问题中，需要设 ，列 求解． 2．解有关不等式的应用题时，首先要用 表示题中 ，然后由题中给出的 关系，列出 关于未知数 ，解所列出的关于 ，写出 要点核心解读 1．在不等式的应用中建立不等式的主要途径 (1)利用问题的几何意义；(2)利用判别式；(3)利用函数的有界性；(4)利用函数的单调性；(5)利用均值不等式等，只要建立起数学模型，问题就不难解决了． 2．解答不等式应用题的一般步骤 解答不等式应用题，一般可分为如下四步： (1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，我们要细心领悟商题的实际背景，分析各八量之间的关系，形成思路，想办法把实际问题抽象成数学模型。 (2)建立数学模型：根据题意，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系埘^便确立下一步的努力方向。 (3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论和结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出同题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论。 典例分类剖析 考点1 作差法解决实际问题 命题规律 (1)利用作差法原理，即b a b a >?>-0解决实际中的一些应用问题． (2)往往以“速度问题，提价、降价问题等”来考查运用作差法解决实际问题的能力． [例1] 现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A ，B 的底面积为,2 a 高分别为a 和 b ，C ，D 的底面积均为 ,2b 高分别为a 和b （其中a ≠b ） ．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个．盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有几种？ [解析】 依题可知A ，B ，C ，D 四个容器的容积分别为,3a .,,322b ab b a 按照游戏规则，问题可转化

最新等比数列导学案

编号：gswhsxbx5----008 文华高中高一数学必修5 §2.4《等比数列 (1)》导学案 编制人：戴道亮审核人：高一数学组编制时间：2014年3月15日 学习目标 1.能记住等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质； 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力； 3.体会等比数列与指数函数的关系. 重点难点 重点是等比数列的定义，通项公式。 难点是灵活运用等比数列的通项公式。 学习方法 类比法 情感态度与价值观 通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的精神，严谨的科学态度，体会探究过程中的主体作用及探索问题的方法，经历解决问题的全过程。 学习过程 一、知识点回顾 1.等差数列的定义？ 2．等差数列的通项公式 a ， n 等差数列的性质有： 二、新课导学 观察：

① 1，2，4，8，16，… ② 1，12，14，18，1 16 ，…（一尺之棰，日取其半，万世不竭。） ③ 1，20，220，320，420，… 思考以上三个数列有什么共同特征？ 三．知识要点 1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即： 1 n n a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式： 21a a = ； 3211()a a q a q q a === ； 24311()a a q a q q a === ； … … ∴ 11n n a a q a -==? 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是（推广式）： 四．例题探究 例1 、（1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－1 3 ，求它的第1项； （2）一个等比数列的第3项是12，第4项是18，求它的第1项与第2项.

2.2 超几何分布-王后雄学案

张喜林制 2.2 超几何分布 教材知识检索 考点知识清单 1．-般地，若一个随机变量X 的分布列为,)(N r n M N r M C C C r X P --==其中},,min{,,,3,2,1,0M n l l r == ,,,,,+∈≤≤N N M n N M N n 则称X 服从超几何分布，n N r n M N r M C C C r X P --==)(中的N 代表 ，M 代表 ，n 代表 ，r 代表 2．对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件次品，从中随机取出的n 件产品中，次品数x 的概率分布如下表所示： 则① ，② ，③ ，④ ． 要点核心解读 1．超几何分布的概念 (1)-般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{r X =发生的概 率为==)(r X P n N r n M N r M C C C --,,,2,1,0l r =（其中},,min{n M l =且,,,n N M N n ≤≤),,+∈N N M 称该分布列为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布． (2)超几何分布这一模型在高考、统考中应用广泛，在使用时要注意以下几点： ①可以借助概率分布，观察其中的规律，再把这种规律推广到一般情形，即求出从含有M 件次品的 )(M N N ≥件产品中任取n 件，取到次品数X 的概率分布，而不必生搬硬套公式（容易记错）． ②要注意解释超几何分布的引入背景．如“在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品……”，这里“任取n 件”等价于从所有的产品中依次不放回地任取n 件， ③思考在一般情况下表示次品件数的随机变量x 的取值范围是什么，以得到概率分布列的完整的解析 表达式==)(r X P ,,,2,1,0,l r C C C n N r n M N r M =--其中}.,min{M n l =解题时要标明随机变量的取值范围． 2．超几何分布的应用 (1)超几何分布是一种常见的随机变量的分布，要熟记公式，正确应用公式解题．

等比数列前n项和学案(可编辑修改word版)

64 5.3.2 等比数列的前 n 项和 一、学习目标： 1. 掌握等比数列的前 n 项和公式； 2. 能用等比数列的前 n 项和和公式解决实际问题； 3. 通过公式的探索、发现、体会观察、猜想、归纳、分析、推理的数学思维。 二、新知引入： 在棋盘放麦粒的故事中，国王要是满足大臣的愿望，需要分别在每个棋盘放上的麦粒数按从小到大的顺序排列可以得到如下数列： 1 ， 2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，... 1. 这是一个 数列； 2. 这个数列一共有 项，首项 a1= ，公比 q= . 3. 根据等比数列的通项公式 ，最后一格应放麦粒 粒。 思考： 按照大臣的要求，国王一共要拿出多少麦子呢？聪明的同学们，请你们帮助国王想一想： 1. 这个问题实际上是等比数列 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，... 的求和问题： S 1 21 22 23 24 263 ① 结合等比数列性质，若①式两边同时乘以 2 会得到什么？ S 64 ② 容易发现②式减去①式： 这些麦粒围绕地球可以将地球铺满 3cm 思考：1.刚才我们在计算规程中，为什么要让 S64 乘以 2？ 2.我们刚才的计算过程是怎样的？你能根据刚才的计算过程推导出等比数列的一般求和公式吗？

新课点睛： 等比数列的前 n 项和公式： 1.当q 1 时， 2.当q 1 时， Sn = = Sn = 实时反馈： 1. 在等比数列{a n } 中，若已知a 1 和公比q 和a 30 ，则S 30 的表达式是什么？ 2. 在等比数列{a n } 中，若若已知a 1 和公比q ，则S 100 的表达式是什么？ 例题 1：求等比数列 1,1 2 4 1 , , 的前 8 项的和. 8 例题 2.已知a 1 27 ， a 9 1 243 ， q 0,求这个数列的前 5 项和.

等比数列的前n项和(教学设计)

等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．

2.3.2 等比数列的前n项和-王后雄学案

张喜林制 2.3.2 等比数列的前n 项和 教材知识检索 考点知识清单 1．等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 当公比1=/q 时，=n s = 当q=l 时，=n S 2．若数列}{n a 的前n 项和),1(n n q p s -=且,1,0=/=/q q 则数列}{n a 是 3．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有n n S q n a a ,,,,1五个量，在这五个量中 4．在等比数列中，若项数为偶s N n n ),(2+∈与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则=÷奇偶S S 5．数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则--n n n n s s s s 32,,,,2 n s 仍构成 要点核心解读 1．等比数列前n 项和公式 (1)前n 项和公式的导出， 解法一：设等比数列 ,,,,,321n a a a a 它的前n 项和是 ?+++=n n a a a S 21 由等比数列的通项公式可将n S 写成 112111-++++=n n q a q a q a a s ① ①式两边同乘以q ，得 .131211n n q a q a q a q a qs ++++= ② ①一②，得,)1(11n n q a a S q -=- 由此得1=/q 时，q q a s n n --=1)1(1 ,11-=n n q a a

所以上式可化为q q a a s n n --=11 当q=l 时，?=1na s n 解法二：由等比数列的定义知?====-q a a a a a a n n 1 2312 当1=/q 时，,12132q a a a a a a n n =++++++- 即?=--q a S a s n n n 1 故当1=/q 时，q q a q q a a S n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，?=1na s n 解法三：112111-++++=n n q a q a q a a S )(21111-++++=n q a q a a q a 11-+=n qs a ).(1n n a s q a -+= 当1=/q 时，q q a q q a a s n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，?=1na S n (2)注意问题， ①上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种解法在今后的解题中都经常用到，要用心体会， ②公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论． ③当已知n q a ,,1时，用公式,1)1(1q q a S n n --=当已知,,1q a n a 时，用公式q q a a S n n --=11 ④在解决等比数列问题时，如已知n n s q n a a ,,,,1中的任意三个量，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个量． (3)等比数列前n 项和的一般形式 一般地，如果q a ,1是确定的，那么--=--=q a q q a S n n 11)1(11,11n q q a -设,11q a A -=则上式可写为 ?=/-=)1(q Aq A s n n

3.5.2简单线性规划-王后雄学案

张喜林制 3.5.2 简单线性规划 教材知识检索 考点知识清单 1．线性规划问题： (1)线性约束条件： . (2)线性目标函数： . (3)线性规划问题： . (4)可行解： . (5)可行域： . (6)最优解： . 2．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行： (1) ； (2) ; (3) ; 要点核心解读 1．线性规划问题 (1)线性约束条件：由关于x ，y 的一次不等式形成的约束条件． (2)线性目标函数：由关于两个变量x ，y 的一次式形成的函数． (3)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题． (4)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y). (5)可行域：占所有可行解组成的集合． (6)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 2．目标函数B A C By Ax Z ,{++=不全为零）的理解 0=/B 时，由,C By Ax Z ++=得?-+- =B C Z x B A y 这样，二元一次函数就可视为斜率为,B A -在y 轴上截距为,B C Z -且随Z 变化的一簇平行线，于是，把求Z 的最大值和最小值的问题转化为：直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值问题．当0>B 时，Z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当0

(2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数（直线）求出最优解； (6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解． 4．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行 (1)明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示； (2)明确问题中所有的限制条件（约束条件），并用线性方程或线性不等式表示； (3)明确问题的目标，并用线性函数（目标函数）表示，按问题的不同，求其最大值或最小值． 5．利用线性规划的知识解决 (1)数学中关于求给定区域上的最值问题； (2)求区域的面积等； (3)仿线性规划法、解决其他目标函数的最值问题． 6．可行域可以是一封闭的多边形，也可以是一侧开放的平面区域 而目标函数的最优解一般在边界直线的交点处．其判定方法通常有两种：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的交点便是；二是利用围成可行域的直线斜率来判定． 若围成可行域的直线n l l l ,,,21 的斜率分别为<<< 21k k ,n k 目标函数的直线的斜率为k ，则当 1+<

3.3 立体几何中的向量方法-王后雄学案

3.3 立体几何中的向量方法 要点核心 一、用向量表示空间的点、直线、平面的位置关系 在空间中，任取一定点0为基点，那么空间任一点P 的位置可由向量表示，我们也把叫点P 的位置向量．如图3 -3 -1甲． 空间任一直线L 的位置可以由L 上一个定点以及一个定方向确定，如图3 -3 -1乙，点A 是直线L 上一点，向量a 表示直线L 的方向向量，则对于直线L 上的任一点P ，有,ta =这样点A 和向量a ，不仅可以确定直线L 的位置，还可具体表示出L 上的任意点， 空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线来确定．如图3 -3 -2.设这两条直线相交于点0，它们的方向向量分别为a ，b.P 为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得,yb xa OP +=这样点0与向量a ，b 就确定了平面α的位置， 二、平面的法向量 1．平面的法向量 已知平面α (如图3-3 -3)，直线α⊥L ，取L 的方向向量a ，若α⊥a ，则称a 为平面α的法向量． 已知一平面内有两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量，一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当选取平面的一个法向量． 2．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 (1)若两直线21l l 、的方向向量分别是,21u u 、则有?21//l l ?⊥?⊥212121,//u u l l u u (2)若两平面βα、的法向量分别是,21νν、则有////1νβα??⊥?⊥212,ννβαν (3)若直线L 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有//l .//,ναναu l u ?⊥⊥? 因为直线的方向向量与法向量可以确定直线与平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量来研究空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等问题． 3．平面法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： (1)设出平面的法向量为);,,(z y x n = (2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标=a );,,(),,,(2221c b a b c b a l l =

新人教版高中数学《等比数列》导学案

《等比数列》导学案 【学习目标】 1. 明确等比数列的定义并学会用定义判断一个数列是否为等比数列 2. 掌握等比数列的通项公式及推导方法并能在解题中应用 3. 学会与等差数列类比并掌握等比数列的相关性质 【重难点】 重点：理解等比数列的概念及通项公式的含义 难点：等比数列的有关性质及应用 【学习过程】 一． 预习新知 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 常 数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用 表示 2.等比中项 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使 ，那么G 叫做a 与b 的等比中项 3.等比数列的通项公式 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式n a = 4.等比数列的性质 （1）m n m n q a a -=（n m <） （2）若m+n=p+q(m 、n 、p 、q *N ∈)时， （3）若{}n a 是等比数列，当{}n k )(*N k n ∈是等差数列时，{}n k a 是________数列。 （4）若{}n a 是等比数列且1-≠q 时，则 ,321k a a a a ++++ ,221k k k a a a +++++ ,32212k k k a a a +++++是等比数列 （5）若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}{}{} 2 ,),0(n n n a a m ma ≠，{}n n b a ,? ?????n n b a 也是等比数列 （6）若{}n a 是等比数列，公比q ，当q=1时，{}n a 是常数列；当0>a a q {}n a 是递 数列；当时，且或且01q 0,0111><<<>a a q {}n a 是递 数列。

2.1.1 数列-王后雄学案

张喜林制 2.1.1 数列 教材知识检索 考点知识清单 1．数列、数列的项： 叫做数列， 叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式： ———————————————————.就叫做这个数列的通项公式． 3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，数列的图象是一些 ，它们位于 ． 4.根据数列的项数可以把数列分为 和 ，根据数列中项与项的大小关系可以把数列分，为 、 、 和 ． 5.数列与函数的关系： ． 要点核心解读 1．数列的概念 (1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做数列的项， 数列的一般形式：,,,,,,321 n a a a a 简记为n n a a },{是数列}{n a 的第n 项． （2）数列可以看成以正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数),(n f a n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 2．数列的通项公式 如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 通项公式是数列的一个重要概念． 如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，…，代替公式中的n ，就可以求出这个数列的各项． 要由数列的项写出数列的一个通项公式，只需观察、分析数列中的项的构成规律（即寻找项与项数的函数关系），将项n a 表示为项数n 的函数关系． 3．数列的表示 (1)通项公式；(2)列表；(3)图象（一群孤立的点）．

4．数列的分类 (1)按数列中项数的有限与无限分类： (2)按数列中项与项之间的大小关系分类： (3)按各项绝对值是否小于某一个正数分类： （注：后两种分类课本未介绍，但了解它对以后的学习有利，故在此加以介绍） 5．应注意的问题 (1)由数列的定义可知：①数列中的项是数（包括表示数的式），不能是其他；②数列中的项是要考虑顺序的，不像集合里的元素有无序性；③数列中不同的项可以相等，不像集合里元素必须互异；n n a a 与④}{ 是不同的，}{n a 表示一个数列，而n a 是数列}{n a 的第n 项． (2)对于通项公式应注意：①通项公式实质是数列的项与其项数之间的函数关系式，只不过定义域是正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}），因此可以用函数方法研究数列的有关问题；②并不是所有的数列都有通项公式；③有些数列的通项公式有不同的形式，特别是只给出前面几项的数列更是如此；④数列的通项公式可以用分段函数表示． (3)利用数列的单调性研究数列的有关问题时，一定要注意自变量n （项数）只能取正整数． 典例分类剖析 考点1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 命题规律 (1)根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式． (2)根据数列的递推 关系，归纳、猜 想数列的通项公式． [例1]写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数． ;,2 25,8,29,2,21)1( ;,9,7,5,3,1)2( -- ;,,,,,,)3( b a b a b a ,9999,999,99,9)4( [解析] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：,,2 25,216,29,24,21 所以，它的一个通项公式为?=22 n a n (2)数列各项的绝对值为1，3， 5，7，9，…，是连续的正奇数；考虑1) 1(+-n 具有转换符号的作用，

等比数列教学设计(共2课时)复习过程

等比数列教学设计(共 2课时)

《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点：

第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。三、教法选择与学法指导：

高考数学 专题 等比数列复习教学案

等比数列 教学目标 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式；会利用通项公式解决“知三求一”的问题。 学习重点： 1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用。 一、复习回顾 1. 等差数列的定义； 2. 等差数列的通项公式。 二、新课学习 问题一：观察以下几个数列： ①1，2，4，8，16，… ② ③ 共同特征是。 问题二：等比数列的定义. ①等比数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等 于常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的（常用字母“q”表示）。 ②等比数列的数学符号语言表示：。 思考1.如何判断数列{}为等比数列？ 例1. 已知数列{}的通项公式为，试问这个数列是等比数列吗？ 思考2.如等比数列{}中，公比的取值范围，为什么？ 思考3. 既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，请举例！

问题三：等比数列的通项公式. 推导方法： ①不完全归纳法②叠乘法 等比数列的通项公式 思考4.等比数列的结构特征是什么，反映了哪些量之间的关系。 例2. ①已知等比数列{}中。 ②数列{}满足则-192是此数列中的第项。 问题四：探究等比数列中任意两项的关系. 已知等比数列的公比为，第项为，求. 三、课堂小结 （1）等比数列的定义 （2）等比数列的通项公式的推导及拓展 （3）数学思想方法 四、作业与练习 1. 一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。 2. 已知{}是公差不为零的等差数列，成等比数列，求{}通项公式。 3. 已知等比数列{}中，=20,=5, 求.