七年级数学上册有理数 绝对值解答题专项练习

七年级数学上册有理数绝对值解答题专项练习

1．已知a为一个有理数，解答下列问题：

（1）如果a的相反数是a，求a的值；

（2）10a一定大于a吗？说明你的理由．

2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，化简|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|．

3．有200个数1，2，3，…，199，200．任意分为两组（每组100个），将一组按由小到大的顺序排列，设为a1＜a2＜…＜a100，另一组按由大到小的顺序排列，设为b1＞b2＞…＞b100，试求代数式|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a99﹣b99|+|a100﹣b100|的值．

4．若a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值．

5．若x＞0，y＜0，求：|y|+|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值．

6．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：

（1）|4﹣（﹣2）|=_________．

（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|=6成立．

（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

7．先阅读下列材料，然后完成下列填空：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1|AB|=|OB|=|b|=|b﹣0|=|a﹣b|；

当A、B两点都不在原点时，

①如图2，A、B两点都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|

②如图3，A、B两点都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|

③如图4，A、B两点分别在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+（﹣b）=|a﹣b|

综上所述，

（1）上述材料用到的数学思想方法是_________（至少写出2个）

（2）数轴上A 、B 两点之间的距离|AB|=|a ﹣b|．回答下列问题：

数轴上表示2和5的两点之间的距离是 _________ ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 _________ ；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 _________ ；

（3）数轴上表示x 和﹣1的两点A 和B 之间的距离是 _________ ；如果|AB|=2，那么x 为 _________ ．

8．已知有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图，0表示原点．

①请在数轴上表示出数﹣a ，﹣b 对应的点的位置；

②请按从小到大的顺序排列a ，﹣a ，﹣b ，b ，﹣1，0的大小．

9．化简：|2x+1|﹣|x ﹣3|+|x ﹣6|

10．若abc≠0，则++的所有可能值是什么？

11．设

，，，，比较a 、b 、c 、d 的大小．

12．试比较﹣

，﹣，﹣，﹣这四个数的大小．

13．设a ，b ，c 是小于12的三个不同的质数，且8a b b c c a -+-+-=，则a+b+c=( )

A ．10

B ．12

C ．14

D ．15

参考答案与试题解析

一．解答题（共12小题）

1．已知a为一个有理数，解答下列问题：

（1）如果a的相反数是a，求a的值；

（2）10a一定大于a吗？说明你的理由．

考点：相反数；有理数大小比较．

分析：（1）根据互为相反数的两数之和为0，可得出a的值；

（2）讨论a为负值时即可得出结论．

解答：解：（1）a+a=0，

解得：a=0；

（2）当a＜0时，10a＜a．

故10a不一定大于a．

点评：本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意负数的绝对值越大其值越小．

2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，化简|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|．

考点：绝对值；数轴．

分析：由数轴可知：b＞c＞0，a＜0，再根据有理数的运算法则，求出绝对值里的代数式的正负性，最后根据绝对值的性质化简．

解答：解：由数轴，得b＞c＞0，a＜0，又|a|=|b|，

∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b=0．

|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|=c﹣a+b﹣c=b﹣a．

点评：做这类题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，

然后根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0”进行化简计算．

3．有200个数1，2，3，…，199，200．任意分为两组（每组100个），将一组按由小到大的顺序排列，设为a1＜a2＜…＜a100，另一组按由大到小的顺序排列，设为b1＞b2＞…＞b100，试求代数式|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a99﹣b99|+|a100﹣b100|的值．

考点：整数问题的综合运用；绝对值．

专题：探究型．

分析：由题意可知绝对值式展开后就会发现，最后的式子是一百个大数的和减一百个小数的和，而这些数都是1到200之间的，故可得出结论．

解答：解：∵将一组按由小到大的顺序排列，设为a1＜a2＜…＜a100，

另一组按由大到小的顺序排列，设为b1＞b2＞…＞b100，

∴设a1=b1+1，a2=b2+2…，

∴原式=（101+102+…+200）﹣（1+2+…+100）=100×100=10000．

故答案为：10000．

点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能根据题意得出原式=（101+102+…+200）﹣（1+2+…+100）是解答此题的关键．

4．若a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值．

考点：绝对值．

专题：探究型．

分析：根据绝对值的定义和已知条件a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1确定出a、b、c的取值及相互关系，进而在分情况讨论的过程中确定|c﹣a|、|a﹣b|、|b﹣c|，从而问题解决．

解答：解：a，b，c均为整数，则a﹣b，c﹣a也应为整数，且|a﹣b|19，|c﹣a|99为两个非负整数，和为1，所以只能是|a﹣b|19=0且|c﹣a|99=1，①

或|a﹣b|19=1且|c﹣a|99=0．②

由①知a﹣b=0且|c﹣a|=1，所以a=b，于是|b﹣c|=|a﹣c|=|c﹣a|=1；

由②知|a﹣b|=1且c﹣a=0，所以c=a，于是|b﹣c|=|b﹣a|=|a﹣b|=1．

无论①或②都有|b﹣c|=1且|a﹣b|+|c﹣a|=1，

所以|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|=2．

点评：根据绝对值的定义和已知条件确定出a、b、c的取值及关系是解决本题的关键，同时注意讨论过程的全面性．

5．若x＞0，y＜0，求：|y|+|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值．

考点：绝对值．

分析：首先根据x、y的取值确定x﹣y+2和y﹣x﹣3的取值，从而去掉绝对值符号化简；

解答：解：∵x＞0，y＜0，

∴x﹣y+2＞0，y﹣x﹣3＜0

∴|y|+|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|=﹣y+（x﹣y+2）+（y﹣x﹣3）=﹣y+x﹣y+2+y﹣x﹣3=﹣y﹣1．

点评：此题考查了有理数的加法运算．注意根据题意确定x﹣y+2和y﹣x﹣3的符号是解此题的关键．

6．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：

（1）|4﹣（﹣2）|=6．

（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|=6成立．

（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

考点：绝对值；数轴．

分析：（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．

（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x﹣4=0或x+2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．

解答：解：（1）原式=|4+2|=6

故答案为：6；

（2）令x﹣4=0或x+2=0时，则x=4或x=﹣2

当x＜﹣2时，

∴﹣（x﹣4）﹣（x+2）=6，

﹣x+4﹣x﹣2=6，

x=﹣2（范围内不成立）

当﹣2＜x＜4时，

∴﹣（x﹣4）+（x+2）=6，

﹣x+4+x+2=6，

6=6，

∴x=﹣1，0，1，2，3

当x＞4时，

∴（x﹣4）+（x+2）=6，

x﹣4+x+2=6，

2x=8，

x=4，

x=4（范围内不成立）

∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4

（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．

点评：本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．

7．先阅读下列材料，然后完成下列填空：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1|AB|=|OB|=|b|=|b﹣0|=|a﹣b|；

当A、B两点都不在原点时，

①如图2，A、B两点都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|

②如图3，A、B两点都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|

③如图4，A、B两点分别在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+（﹣b）=|a﹣b|

综上所述，

（1）上述材料用到的数学思想方法是数形结合、分类讨论（至少写出2个）

（2）数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．回答下列问题：

数轴上表示2和5的两点之间的距离是3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是5；

（3）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|；如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．

考点：数轴；绝对值．

专题：数形结合；分类讨论．

分析：（1）从材料所提供的解题过程来总结所用的数学思想方法；

（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．

解答：解：（1）根据“如图2、如图3、如图4”可知，该材料用到了“数形结合”是数学思想和“分类讨论”的数学思想；

（2）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3．数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|=5．

（3）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．故答案是：（1）数形结合、分类讨论；（2）3、3、5；（3）|x+1|、1或﹣3．

点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

8．已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图，0表示原点．

①请在数轴上表示出数﹣a，﹣b对应的点的位置；

②请按从小到大的顺序排列a，﹣a，﹣b，b，﹣1，0的大小．

考点：有理数大小比较；数轴．

分析：①根据数轴得出a＜﹣1＜0＜1＜b，得出﹣a＞0，﹣b＜0，且|﹣a|=|a|，|﹣b|=b，根据以上内容标出即可；

②根据数轴上表示的数右边的总比左边的数大比较即可．

解答：解：①在数轴上表示出数﹣a，﹣b对应的点的位置如图所示：

；

②a＜﹣b＜﹣1＜0＜b＜﹣a．

点评：本题考查了数轴和有理数的大小比较、相反数等知识点，主要考查学生的画图能力和理解能力，注意：在数轴上表示的数右边的总比左边的数大．

9．化简：|2x+1|﹣|x﹣3|+|x﹣6|

考点：绝对值．

专题：分类讨论．

分析：先分别令2x+1=0、x﹣3=0、x﹣6=0分别求出x的对应值，再根据x的取值范围利用绝对值的性质去掉绝对值符号即可．

解答：解：∵由2x+1=0、x﹣3=0、x﹣6=0分别求得：x=﹣，x=3，x=6，

当时，原式=﹣（2x+1）+（x﹣3）﹣（x﹣6）=﹣2x+2；

当时，原式=（2x+1）+（x﹣3）﹣（x﹣6）=2x+4；

当3≤x＜6时，原式=（2x+1）﹣（x﹣3）﹣（x﹣6）=10；

当x≥6时，原式=（2x+1）﹣（x﹣3）+（x﹣6）=2x﹣2；

∴原式=．

点评：本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解．

10．若abc≠0，则++的所有可能值是什么？

考点：绝对值．

专题：计算题；分类讨论．

分析：由已知可得，a，b，c均不为零，因为题中没有指明a，b，c的正负，故应该分四种情况：（1）当a，b，c 均大于零时；（2）当a，b，c均小于零时；（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时；（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，从而确定答案．

解答：解：∵abc≠0，

∴a≠0，b≠0，c≠0．

∵（1）当a，b，c均大于零时，原式=3；

（2）当a，b，c均小于零时，原式=﹣3；

（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；

（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=﹣1．

∴++的所有可能值是：±3，±1．

点评：此题主要考查了绝对值的性质，采用分类讨论思想是解答此题的关键．

11．设，，，，比较a、b、c、d的大小．

考点：有理数大小比较．

专题：计算题．

分析：将各式转化为整数部分加小数部分（真分数）的形式，然后比较整数部分即可．

解答：解：∵a==10006+；

b==10001+；

c==10000+；

d==9995+．

∴a＞b＞c＞d．

点评：此题考查了有理数大小的比较方法，根据此题的特点，要将各数值化为整数部分加小数部分的形式即可进行比较．

12．试比较﹣，﹣，﹣，﹣这四个数的大小．

考点：有理数大小比较．

分析：观察这四个分数的分子与分母可发现，这四个分数可以化为同分子的分数，然后根据同分子的正分数，分母大的分数比较小来比较它们的大小即可．

解答： 解：∵﹣==﹣1+ ﹣== == =

=﹣1 ∵

（同分子的正分数，分母大的分数比较小） ∴． 点评： 解答本题时是借助不等式的性质（不等式的两边同时加上同一个数，不等式的符号方向不变）来比较有理

数的大小的．

13．D

一、知识点概要

1、 取绝对值的符号法则: (0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-

2、 绝对值的基本性质：

①非负性 ②ab a b =? ③(0)a a b b b

=≠ ④222a a a == ⑤a b a b +≤+ ⑥

a b a b a b -≤-≤+

3、 绝对值的几何意义： 从数轴上看，a 表示数学a 的点到原点的距离；

a - 表示数a 与数

b 两点之间的距离；或者说数a 到数b 的距离；

二、分类经典例题解析 （一） 去绝对值符号化简

例1：已知m m =-，化简12m m ---所得的结果是（）

A 、1-

B 、1

C 、23m -

D 、32m - 例2：已知0a b c <<<，化简式子2a b a b c a b c -++--+- 例3：已知a b c abc x a b c abc

=+++，且a 、b 、c 都不等于0，求x 的所有可能的值。

（变式训练）（1）、如果a 、b 、c 是非零有理数，且0a b c ++=，那么

a b c abc a b c abc +++的所有可能的值为（ ） A 、0 B 、1或—1 C 、2或—2 D 、0或—2

（2）、有理数a 、b 、c 均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b c c a a b =

+++++，试求代数式19992002x x -+的值。

例4：化简：① 21x - ② 13x x -+-

（分析：零点讨论法）

（二） 利用绝对值的几何意义解题

例1、如图，已知数轴上点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为零，且C 是AB 的中点，如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=，试确定原点O 的大致位置。

例2：如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）

A 、—1

B 、0

C 、1

D 、2

例3：非零整数m 、n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组（m ，n ）共有： 组

变式训练：若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 b a c B 11-5F E D C B A

例4：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB|=|a-b|．

①数轴上表示2和5两点之间的距离是_ _.

②数轴上表示-2和-5的两点A 和B 之间的距离是_ _.

③数轴上表示1和-3的两点A 和B 之间的距离是_ _.

④数轴上表示X 和-1的两点A 和B 之间的距离是（x+1），如果|AB|=2,那么 X 为

⑤当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x 的取值范围是_ .最小值为

探究性学习：

（一）、某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站，如图现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？

（二）、如果某公共汽车运营线路上有A 、B 、C 、D 、E 五个汽车站（从左至右依次排列），上述问题中加油站建在何处最好？

（三）、如果某公共汽车运营线路上有A 、B 、C 、D 、E---- ;共n 个汽车站（从左至右依次排列），上述问题中加油站建在何处最好？

D C

B A

（四）、根据以上结论，求12......616617x x x x -+-++-+-的最小值。

作业：1、设a b c d ，求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。

2、abcde 是一个五位数，a

b c d e ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。

3、如果a ＋b －c ＞0，a －b ＋c ＞0，－a ＋b ＋c ＞0，则200220022002)()()(c c b b a a +-的值为 A ．1 B ．－1 C ．0 D ．3

4、当13x <<时，求13x x -+-的值。

5、若， 则12345x x x x x x +-+-+-+-+-= 。 200122002

x =