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2017年考研数学一真题与解析

2017年考研数学一真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．若函数1cos 0(),0x

x f x b x ?->?

=?≤?

在0x =处连续，则（A ）12ab =

（B ）1

ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x

x f x ax ax a +++→→→-===

，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11

b ab a =?=．所以应该选（A ）

2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则

（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2

()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2

()f x 是单调增加函数．也就得到

()

()2

(1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ）

3．函数2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为

（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】

22,,2f f f

xy x z x y z

???===???，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为

()01

4,1,0(1,2,2)23f gradf n n

?=?=?=?u u r r 应该选（D ）

４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（）（A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >

【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线

运动的速度函数时，2

()()T T S t v t dt =

表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别

表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．

5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A ）T E αα-不可逆（B ）T

E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2T

E αα-不可逆

【详解】矩阵T

αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T

E E E E αααααααα-+-+的特征

值分别为0,1,1,1L ；2,1,1,,1L ；1,1,1,,1-L ；3,1,1,,1L ．显然只有T

E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．

6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ??

= ? ???

，则

（A ）,A C 相似，,B C 相似（B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似（D ）,A C 不相似，,B C 不相似

【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．

对于矩阵A ，0002001001E A ??

-=- ? ???

，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特

征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．

对于矩阵B ，010*******E B -?? ?

-= ? ???

，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特

征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．

7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充分必要条件是

（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <

【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：

()()()()

(/)(/)()()()()1()()

P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->?

>=?>-

类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得

()()()()

(/)(/)()()()()1()()

P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->?

>=?>- 所以可知选择（A ）．

8．设12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1

i i X X n ==∑，则下列结论中不

正确的是（）

（A ）

()n

i i X μ=-∑服从2χ分布（B ）()2

12n X X -服从2χ分布

（C ）

()n

i X

X =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布

解：（1）显然22

()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-?-=L 且相互独立，所以

()n

i X

μ=-∑服从

2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；

（2）

(1)()(1)~(1)n

i n S X

X n S n χσ

=--=-=

-∑，所以（C ）结论也是正确的；

（3）注意2

~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X n

μμμχ?-?-，所以（D ）结论也是正确的；

（4）对于选项（B ）

：22111

()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-?

?-，所以（B ）结

论是错误的，应该选择（B ）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数2

1()1f x x

+，则(3)

(0)f = ．解：由函数的马克劳林级数公式：()0

(0)()!

n n

n f f x x n ∞

==∑

，知()(0)!n n f n a =，其中n a 为展开式中n x 的系数．由于[]2422

1()1(1),1,11n n

f x x x x x x

=-+-+-+∈-+L L ，所以(3)(0)0f =． 10．微分方程230y y y '''++=的通解为．

【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2

230r r ++=有一对共共轭的

根

1r =-

，所以通解为12()x y e C C -=+

11．若曲线积分

221L xdx aydy x y -+-?在区域{}22

(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则a = .

【详解】设 2222(,),(,)11

x ay

P x y Q x y x y x y -=

=+-+-，显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内具有连续的偏

导数，由于与路径无关，所以有

1Q P

a x y

??≡?=-?? 12．幂级数

(1)

n n n nx ∞

--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为

【详解】

11(1)

(1)

()(1)1(1)n n n n

n n n n n x nx

x x x x ∞

∞

∞----===''????'-=-=-== ? ?++?

???∑∑∑ 所以2

(),(1,1)(1)

s x x x =

∈-+ 13．设矩阵101112011A ?? ?

= ? ???

，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩

为．

【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ??????

? ? ?

=→→ ? ? ? ? ? ???????

，知矩阵A 的秩为2，由于

123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．

14．设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -??

=Φ+Φ

???

，其中()x Φ为标准正态分布函数，则

EX = ．

【详解】随机变量X 的概率密度为4

()()0.5()0.25(

x f x F x x ??-'==+，所以 4

()()0.5()0.25()2

0.25()0.252(24)()2

2()2

x E X xf x dx x x dx x dx

x x dx t t dt t dt ?????+∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞

-∞

-==+-==?+==??????

三、解答题

15．（本题满分10分）

设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )x

y f e x =，求

0|x dy

=，202|x d y dx =．

【详解】

12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dy

f dx

='=； 2111122

222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y e f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+

20111

22|(1,1)(1,1)(1,1)x d y

f f f dx

=''''=+-．

16．（本题满分10分）求21

lim

ln 1n

n k k k n n →∞=??

+ ???∑ 【详解】由定积分的定义

20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24

n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞

→∞==????+=+=+ ? ?????=+=∑∑??

17．（本题满分10分）

已知函数()y x 是由方程3

3320x y x y +-+-=．【详解】在方程两边同时对x 求导，得

2233330x y y y ''+-+= （1）

在（1）两边同时对x 求导，得

2222()0x y y y y y '''''+++=

也就是22

2(())

1x y y y y

'+''=-+

令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =；当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 18．（本题满分10分）

设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0

()

lim 0x f x x

→<，证明：（1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；

（2）方程2

()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．

证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0

()

lim 0x f x x

→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ?<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈?，使得

()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；

（2）由条件0

()

lim 0x f x x

→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；

设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈?∈?使得

1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实

根．

19．（本题满分10分）设薄片型S 是圆锥

面z =

被柱面22z x =所割下的有限部分，其上任一点的密度

为

μ=C ．

（1）求C 在xOy 布上的投影曲线的方程；（2）求S 的质量.M

【详解】（1）交线C

的方程为22z z x

?=??=??z ，得到222x y x +=．

所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0

x y x

z ?+=?

=? （2）利用第一类曲面积分，得

222222(,,)18

x y x

M x y z dS μ+≤+≤=====??????

20．（本题满分11分）

设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；

（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．

【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．

假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为

31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．

（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所

以基础解系为121x ??

= ? ?-??

；

又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111?? ?

? ???；

方程组Ax β=的通解为112111x k ???? ? ?

=+ ? ? ? ?-????

，其中k 为任意常数．

21．（本题满分11分）

设二次型222

123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为22

1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．

【详解】二次型矩阵21411141A a -??

=- ? ?-??

因为二次型的标准形为22

1122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =

141

(3)(6)4

E A λλλλλλλ---=+=+---

令

0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．

通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-

的特征向量1111ξ???

=-???，属于特征值特征值26λ=

的特征向量2101ξ-???=???，30λ=

的特征向量3121ξ???

=???

，

所以(

)123,,0Q ξξξ? == ?为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）

设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}1

0{2}2

P X P X ====

，Y 的概率密度为2,01

()0,y y f y <

?其他

．（1）求概率P Y EY ≤（）；

（2）求Z X Y =+的概率密度．【详解】（1）1

202

()2.3

Y EY yf y dy y dy +∞

-∞

==?

所以{}2

30242.39P Y EY P Y ydy ?

?≤=≤==???

（2）Z X Y =+的分布函数为

{}{}{}{}

{}{}{}[](),0,20,2,211

{}2221

()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=

≤+≤-=+-

故Z X Y =+的概率密度为

[]1

()()()(2)2

,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==

+-≤≤??

=-≤

其他 23．（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设

n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误

差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；

（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．

【详解】（1）先求i Z 的分布函数为

{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσ

σ?-?=≤=-≤=≤????

当0z <时，显然()0Z F z =；

当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z z

F z P Z z P X z P μμσ

σσ?-???

=≤=-≤=≤=Φ-??

???

??；所以i Z

的概率密度为2

2,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-?≥'==

．

（2

）数学期望22

()z i EZ z f z dz dz σ-

+∞

令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ

的矩估计量1

i i Z σ===

．

（3）设12,,,n Z Z Z L 的观测值为12,,,n z z z L ．当0,1,2,i z i n >=L 时

似然函数为2

121

()(,)n

i i n n

z i i L f z σσσ=-

=∑=

=∏

，

取对数得：2

ln ()ln 2ln(2)ln 22n

i n L n n z

σπσσ==---

∑

令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ

最大似然估计量为σ=

2017年考研数学一真题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（） (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > ()s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（） (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ????=?????? 2100200 01B ????=??????100020002C ????=??????，则（） (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似

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2017年考研数学一真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．若函数在处连续，则（A）（B）（C）（D） 2．设函数是可导函数，且满足，则（A）（B）（C）（D） 3．函数在点处沿向量的方向导数为（A）（B） (C）（D）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为，计时开始后乙追上甲的时刻为，则（）（A）（B）（C）（D） 5．设为单位列向量，为阶单位矩阵，则（A）不可逆（B）不可逆（C）不可逆（D）不可逆 6．已知矩阵，，，则（A）相似，相似（B）相似，不相似（C）不相似，相似（D）不相似，不相似 7．设是两个随机事件，若，，则的充分必要条件是（A）（B）（C）（D） 8．设为来自正态总体的简单随机样本，若，则下列结论中不正确的是（）（A）服从分布（B）服从分布（C）服从分布（D）服从分布

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数，则． 10．微分方程的通解为． 11．若曲线积分在区域内与路径无关，则 . 12．幂级数在区间内的和函数为 13．设矩阵，为线性无关的三维列向量，则向量组的秩为．14．设随机变量的分布函数，其中为标准正态分布函数，则．三、解答题 15．（本题满分10分）设函数具有二阶连续偏导数，，求，．

求 17．（本题满分10分）已知函数是由方程． 18．（本题满分10分）设函数在区间上具有二阶导数，且，，证明：（1）方程在区间至少存在一个实根；（2）方程在区间内至少存在两个不同实根．

2017年考研数学一大纲原文完整版(教育部考试中心)

2017年考研数学一考试大纲 2015年数学一考试大纲考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学约56% 线性代数约22% 概率论与数理统计约22% 四、试卷题型结构单选题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．

6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理． 6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学

2017年考研数学三真题及答案解析

2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?，解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ） (1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4．若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ???????? --=---+=++ ? ? ? ? ????? ???? 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1 n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．

2017年考研数学一真题及答案(全)

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续，则 (A) 12 ab =． (B) 12 ab =- ． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A 【详解】由0 1 lim 2x b a + →==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D 【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

2017数学2考研真题及答案详解

绝密★启用前 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码302）考生注意事项 1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。精选

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >，则（） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>>??，则（A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）（A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >

2017年考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析跨考教育数学教研室一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数 1cos 0(),0x x f x b x ?->? =?≤? 在0x =处连续，则（） ()()1 1()2 2 ()02 A ab B ab C ab D ab = =-== 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11. 22 b ab a ∴=?=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（） ()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1) (1)(1) A f f B f f C f f D f f >-<->-<- 【答案】C 【解析】' ()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴?>?Q 或()0 (2)'()0 f x f x

（3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（） ()12 ()6 ()4 ()2 A B C D 【答案】D 【解析】2(1,2,0) 122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333 f u gradf xy x z gradf gradf u ?=?=? =?=?=? 选D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1 ()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2 ()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0 t （单位：s ），则（） 0510********() s (/) v m s 10 20 0000()10()1520()25()25 A t B t C t D t =<<=> 【答案】B

2017年考研数学二试题及答案

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++→→==在0x =处连续11 .22 b ab a ∴ =?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案分析及详解

2017年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案分析及详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（） ()()1 1()2 2()02A ab B ab C ab D ab = =-== 【答案】A 【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++→→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（） ()()()(1)(1) (1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f f B f f C f f D f f >-<->-<- 【答案】C 【解析】' ()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴?>?Q 或()0(2)'()0f x f x

【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ?=?=?=?=?=? 选D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（） ()s 0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=> 【答案】B 【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为00 1200(t),(t),t t v dt v dt ??则乙要追上甲，则 0210(t)v (t)10t v dt -=? ，当025t =时满足，故选C. （5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（） ()()()()22T T T T A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A 【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T E x 有非零解，故0αα-=T E 。即αα-T E 不可逆。选项B,由()1ααα=T r 得ααT 的特征值为n -1个0，1.故αα+T E 的特征值为n -1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。

2017年考研数学一真题分析及答案解析(考研必看版)

2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（） ()()11()2 2()02 A ab B ab C ab D ab = =-== 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0 x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设函数()f x 可导，且' ()()0f x f x >，则（） ()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1) (1)(1) A f f B f f C f f D f f >-<->-<- 【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴? >?Q 或()0 (2)'()0 f x f x

【答案】D 【解析】 2(1,2,0) 122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2. |u |333 f u gradf xy x z gradf gradf u ?=?=? =?=?=? 选D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（） () s 0000()10 ()1520()25()25A t B t C t D t =<<=> 【答案】B 【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为 120 (t),(t),t t v dt v dt ? ?则乙要追上甲，则 210 (t)v (t)10t v dt -=? ，当025t =时满足，故选C. （5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（） ()()()()22T T T T A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆

2017年考研数学三真题与解析

2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数 1cos 0(),0x x f x b x ->=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】 0001 112lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f - →==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】2 (3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，2 32z x x xy y ?=--?， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x ????=-=-==-?????? 解方程组 22320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证 2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足2 30 AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()() f f > - （D ） 11()()f f < -

2017考研数学一试题及答案解析

2017考研数学一答案及解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1 ）若函数1(),0,0f x x ax b x ?-? =>??≤? 在0x =连续，则（）。 A. 12ab = B. 1 2 ab =- C. 0ab = D. 2ab = 【答案】A 【解析】由连续的定义可得-+ lim ()lim ()(0)x x f x f x f →→==，而 +++2 0001 12lim ()lim lim 2x x x f x ax a →→→===，-0lim ()x f x b →=，因此可得12b a =，故选择A 。（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >，则（）。 A. (1)(1)f f >- B. (1)(1)f f <- C. |(1)||(1)f f >- D. |(1)||(1)f f <- 【答案】C 【解析】令2 ()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即2 2[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。

（3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r 的方向导数为（）。 A.12 B.6 C.4 D.2 【答案】D 【解析】2{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0} gradf =，则有122 {4,1,0}{,,}2||333 f u grad u u ?=?==?。（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）。 A. 010t = B. 01520t << C. 025t = D. 025t > 【答案】C 【解析】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为0 10 ()t v t dt ? 与0 20 ()t v t dt ?，由定积分的几何意义可知， 25 210 (()()201010v t v t dt -=-=? ，因此可知025t =。（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（）。

2017年考研数学1真题

2017年考研数学1真题一、选择题（1）若函数在x=0处连续，则（1）。 A. B. C. D. （2）设函数可导，且，则（2）。 A.与 B.与 C.与 D.与（3）函数在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（3）。 A.12 B. 6 C. 4 D. 2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表示的速度曲线，三块部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（3）。 A. B. C. D. （5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（5）。 A.不可逆 B.不可逆 C.不可逆 D.不可逆（6）设矩阵，，，则（6）。

A.A与C相似，B与C相似 B.A与C相似，B与C不相似 C.A与C不相似，B与C相似 D.A与C不相似，B与C不相似（7）设A、B为随机概率，若，则的充分必要条件是（7）。 A. B. C. D. （8）设X1,X2,…Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（8）。 A.μ服从分布 B.服从分布 C.服从分布 D.μ服从分布二、填空题（9）已知函数，则（9）。（10）微分方程的通解为（10）。（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则（11）。（12）幂级数在区间(-1,1)内的和函数（12）。（13）设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为（13）。（14）设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则（14）。三、解答题（15）设函数具有2阶连续偏导数，，求｜，｜。（16）求。（17）已知函数由方程确定，求的极值。（18）设函数在区间[0,1]上具有2阶导数，且，证明。 1.方程在区间(0,1)至少存在一个实根； 2.方程在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。（19）设薄片型物体S是圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为μ。记圆锥面与柱面的交线为C。 1.求C在xOy平面上的投影曲线方程。

2017年考研数学三真题与解析

考研数学真题及解析 = = - ?z n =2 2017 年考研数学三真题一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． ?1- co 1. 若函数 f (x ) = ? , x > 0 在 x = 0 处连续，则 ? ax ?? b , x ≤ 0 （A ） ab = 1 （B ） ab = - 1 （C ） ab = 0 （D ） ab = 2 【详解】 lim 2 f (x ) = lim 2 1 x = lim 2 = 1 ， lim f (x ) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0 处连续， x →0+ x →0+ ax x →0+ ax 2a x →0- 1 必须满足 2a = b ? ab = 1 ．所以应该选（A ） 2 2. 二元函数 z = xy (3 - x - y ) 的极值点是（）（A ） (0, 0) （B ） (0, 3) （C ） (3, 0) （D ） (1,1) 【详解】 ?z = y (3 - x - y ) - xy = 3y - 2xy - y 2 ， ?z = 3x - x 2 - 2xy ， ?2 z = - ?x 2 ?x 2 y , ?2 z ?y 2 = -2x , ?2 z ?x ?y ?y ?2 z ?y ?x 3 2x ??z = 3y - 2xy - y 2 = 0 ??x 解方程组 ? ? = 3x - x 2 - 2xy = 0 ???y ，得四个驻点．对每个驻点验证 AC - B 2 ，发现只有在点(1,1) 处满足 AC - B 2 = 3 > 0 ，且 A = C = -2 < 0 ，所以(1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3. 设函数 f (x ) 是可导函数，且满足 f (x ) f '(x ) > 0 ，则（A ） f (1) > f (-1) （B ） f (1) < f (-1) （C ） f (1) > f (-1) （D ） f (1) < f (-1) 【详解】设 g (x ) = ( f (x ))2 ，则 g '(x ) = 2 f (x ) f '(x ) > 0 ，也就是 ( f (x ))2 是单调增加函数．也就得到 ( f (1)) 2 > ( f (-1))2 ? f (1) > f (-1) ，所以应该选（C ） ∞ ? 1 1 ? 4. 若级数∑ ?? sin n - k ln(1- n )?? 收敛，则k = （）（A ）1 （B ） 2 （C ） -1 （D ） -2 s x 1- cos x

2017年考研数学二真题与解析

2017年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（）（A ）1 1()0f x dx ->? （B ）1 1 ()0f x dx -? ? （D ）01 1 ()()f x dx f x dx -，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以 1 01 1 1 ()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=? ??．所以选择（B ）．当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2()21f x x =-，此时 11011(),()33 f x dx f x dx -=-=-??，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列{}n x 收敛，则（A ）当lim sin 0n n x →∞ =时，lim 0n n x →∞ = （B ）当lim(0n n x →∞ + =时，lim 0n n x →∞= (C ）当2 lim()0n n n x x →∞ +=时，lim 0n n x →∞ = （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞ +=时，lim 0n n x →∞ = 【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的．其实此题注意，设lim n n x A →∞ =，则 2 2limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞ →∞ →∞ →∞ ==+=++=+ 分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯

2017-2019年(近三年)3套考研数学一真题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1 ）若函数10(),0x f x ax b x ?->? =??≤? 在0x =处连续，则 (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()2 2 ,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > () s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆

（6）已知矩阵200021001A ????=?????? 2100200 1B ????=??????100020002C ?? ??=?????? ，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则() () P A B P A B >的充分必要条件是（） A.() () P B A P B A > B () () P B A P B A < C. () ( ) P P B A B A > D. () ( ) P P B A B A < （8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记1 1n i i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是： (A) 2()i X μ∑-服从2 χ分布 (B) 212()n X X -服从2χ分布 (C) 21 ()n i i X X =-∑服从2χ分布 (D) 2 ()n X μ- 服从2 χ分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。（9）已知函数 21 ()1f x x = + ,则(3) (0)f =__________ （10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________ （11）若曲线积分 22dy 1L xdx ay x y -+-?在区域(){} 2 2D ,1x y x y =+<内与路径无关，则a = （12）幂级数 () 1 11 1n n n nx ∞ --=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x = （13）设矩阵1 011120 1 1A ?? ??=?????? ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组