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微积分试卷及答案6套

微积分试题 (A 卷)

一. 填空题 (每空2分,共20分)

1. 已知,)(lim 1A x f x =+

→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当

时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知22

lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b

= 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β

α0

lim

x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a

x 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→h

x f h x f h )

()3(lim

000

______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。 8. ='⎰

))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2

224Q Q R -=，52

+=Q C ，则当利润最大时产

量Q 是。二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)

1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a

)(-=x arctg

x f 则1=x 为函数)(x f 的（）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点

(D) 连续点 3. =+

-∞

→1

3)11(lim x x x

（）

。 (A) 1 (B) ∞ (C)

2e (D) 3e

4. 对需求函数5

p e

Q -=，需求价格弹性5

E d -

=。当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10

5. 假设)(),(0)(lim ,

0)(lim 0

x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)

存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。 (A) 若a x g x f x x =→)

()(lim

或∞，则a x g x f x x =''→)()

(lim 0或∞

(B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→)

()

(lim 0或∞

()(lim

x g x f x x ''→不存在，则)()

(lim 0x g x f x x →不存在

(D) 以上都不对

6. 曲线2

)(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（）。

(A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2

)

2(1

4--=

x x y （）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线，

又有垂直渐近线

8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有

(A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值

9. 若ƒ(x )的导函数是2

-x ，则ƒ(x )有一个原函数为 ( ) 。

(A) x ln ； (B) x ln -； (C) 1--x ； (D) 3

--x 三．计算题(共36分)

1．求极限x

x x --+→11lim

（6分）

2．求极限x

x x 1)(ln lim +∞

→ （6分）

3．设0

1sin 2sin )(>=<⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+=x x x b x x a

x x x f ，求b a ,的值，使)(x f 在(-∞，+∞)上连续。(6分) 4．设1+=+xy e

x ，求y '及0='x y （6分）

5．求不定积分dx xe x ⎰

-2（6分）

6．求不定积分

.42dx x ⎰

-（6分）

四．利用导数知识列表分析函数2

x y -=

的几何性质，求渐近线，并作图。(14分) 五．设)(x f 在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且1)2

1(,0)1()0(===f f f ，试证： (1) 至少存在一点)1,1(∈ξ，使ξξ=)(f ； (2) 至少存在一点),0(ξη∈，使1)(='ηf ；

(3) 对任意实数λ ，必存在),0(0ξ∈x ，使得1])([)(000=--'x x f x f λ。(12分)

微积分试题(B 卷)

一. 填空题 (每空3分,共18分) 10.

()=+'⎰dx b x f b a

. 11.

=⎰

∞+-0

2dx e x .

12. 关于级数有如下结论：

① 若级数

()01≠∑∞

=n n n u u 收敛，则∑

∞

=11

n n

u 发散. ② 若级数

()01≠∑∞

=n n n u u 发散，则∑

∞

=11

n n

u 收敛. ③ 若级数

∑∞

=1n n

和

∑∞

n n

都发散，则

∑∞

=+1

)(n n n

v u

必发散.

④ 若级数

∑∞

n n

收敛，

∑∞

n n

发散，则

∑∞

=±1

)(n n n

v u

必发散.

⑤ 级数

∑∞

n n

（k 为任意常数）与级数

∑∞

n n

的敛散性相同.

写出正确．．结论的序号 . 13. 设二元函数()y x xe z y x +++=+1ln )1(，则

=)0,1(dz .

14. 若D 是由x 轴、y 轴及2x + y –2 = 0围成的区域，则

=⎰⎰dy dx D

15. 微分方程0=+'y y x 满足初始条件3)1(=y 的特解是 . 二. 单项选择题 (每小题3分,共24分) 10. 设函数⎰+-=

dt t t x f 0

)2)(1()(，则)(x f 在区间[-3，2]上的最大值为（）.

(A) 3

- (B) 310 (C) 1 (D) 4

11. 设σσd y x I d y x I D

⎰⎰⎰⎰+=+=

)cos(,cos 2

22221,σd y x I D

⎰⎰+=2223)cos(，其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则有（）.

(A)321I I I >> (B) 123I I I >> (C) 312I I I >> (D) 213I I I >>

12. 设 3,2,1,0=>n u n ，若

∑∞

=1n n

发散，

∑∞

=--1

)

1(n n n u 收敛，

则下列结论正确的是( ). (A)

∑∞

=-11

2n n u

收敛，

∑∞

2n n

发散 (B)

∑∞

=12n n

收敛，

∑∞

=-1

2n n u

发散

(C)

∑∞

=-+1

2)(n n n u u

收敛 (D) ∑∞

=--1

212)(n n n u u 收敛

13. 函数),(y x f 在点),(y x P 的某一邻域内有连续的偏导数，是),(y x f 在该点可微的( )条件.

(A) 充分非必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）既非充分又非必要 14. 下列微分方程中，不属于．．．

一阶线性微分方程的为（）. (A) x

x y y x ln ln cos =

-' (B) )1(ln 3ln +=+'x x y x y x ，

=+-'-xy y x 15. 设级数

∑∞=1n n

a 绝对收敛，则级数∑∞

=+1

)11(n n n

a n （）. (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 不能判定敛散性散 16. 设⎰+=

2sin sin )(x x

t tdt e x F ，则F (x )（）.

(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数

17. 设),,(z t z y y x f u ---=，则

=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂t

u z u y u x u （）. (A) 12f ' (B) 22f ' (C) 32f ' (D) 0

四. 计算下列各题(共52分)

dx x x ⎰-

-2

3cos cos π

π（5分）

2. 求曲线3,1,0,22

===-=x x y x x y 所围成的平面图形的面积. （6分）

3. 已知二重积分

σd x D

⎰⎰

，其中D 由1,112=--=x x y 以及0=y 围成. (Ⅰ) 请画出D 的图形，并在极坐标系下将二重积分化为累次积分；（3分） (Ⅱ) 请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分；（4分） (Ⅲ) 选择一种积分次序计算出二重积分的值.（4分）

4. 设函数()z y x f u ,,=有连续偏导数，且()y x z ,ϕ=是由方程 z y z

ze ye xe =-所确定

的二元函数，求

x u ∂∂∂∂,

及du .（8分） 5. 求幂级数∑∞

=-1

22)1(n n

n n x 的收敛域及和函数S(x ).（8分）

6. 求二元函数y

e y x y x

f 22

)(),(+=的极值.（8分）

7. 求微分方程x e y y 22-='+''的通解，及满足初始条件0)0(,1)0(='=f f 的特解.(6

分)

五. 假设函数)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导，且0)(≤'x f ，记

dt t f a

x x F x a ⎰-=

)(1

)(，证明在(a , b )内0)(≤'x F .（6分）

微积分试卷 (C)

一. 填空题 (每空2分,共20分)

1. 数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的条件。

若

sin x y =，则

=dy 。

3. 函数0,t a n

==x x x

y 是第类间断点，且为间断点。 4. 若31

lim

1=-+→x b

ax x ，则a = ，b = 。

5. 在积分曲线族

⎰xdx

2中，过点（0，1）的曲线方程

是。 6. 函数

x x f =)(在区间]1,1[-上罗尔定理不成立的原因

是。 7. 已知⎰

x t dt e x F 0

)(，则=')(x F 。

8. 某商品的需求函数为2

12P

Q -

=，则当p = 6时的需求价格弹性为=EP

。二. 单项选择题 (每小题2分,共12分) 1. 若3lim

=→βαx x ，则=-→α

βα0

lim x x （）。

(A) –2 (B) 0 (C)

31 (D) 3

2. 在1=x 处连续但不可导的函数是（）。

(A) 11-=x y (B) 1-=x y (C))1ln(2

-=x y

(D)2

)1(-=x y

3. 在区间（-1，1）内，关于函数2

1)(x x f -=不正确．．．的叙述为（）。 (A)

连

续

(B) 有界

4. 当0x →时，x 2sin 是关于x 的（）。

(A) 同阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 等价无穷小

5. 曲线3

x x y +=在区间（）内是凹弧。

(A) )0,(-∞ (B) ),0(∞+ (C) ),(∞+-∞ (D) 以上都不对

6. 函数x

e 与ex 满足关系式（）。

(A) ex e x

≤ (B) ex e x

≥ (C) ex e x

> (D) ex e x

三．计算题(每小题7分,共42分)

1．求极限x

e x x x cos 1)1(lim 0--→。

2．求极限n

n x

2sin

2lim ⋅∞

→（x 为不等于0的常数）。

3．求极限x

x x x 21lim ⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞→ 。

4．已知y

xe y +=1，求0

x y 及0

'x y 。

5．求不定积分

dx x

x ⎰sin 。

6．求不定积分dx x x ⎰

+)1ln(。

四．已知函数21

x y +=，填表并描绘函数图形。 (14分)

图形：

五．证明题(每小题6分,共12分)

1. 设偶函数)(x f 具有连续的二阶导函数，且0)(≠''x f 。证明：0=x 为)(x f 的极值点。

2. 就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-sin 2

在开区间（0,

π）内根的个数，并证明你的结论。

《微积分》试卷（D 卷）

一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）：

1.函数),(y x f 在()()00,,y x y x =处的偏导数存在是在该处可微的（）条件。 A. 充分； B. 必要； C. 充分必要； D. 无关的．

2.函数(

3ln y

x z +=在（1，1）处的全微分=dz （）。

A ．dy dx +；

B ．()dy dx +2；

C ．()dy dx +3；

D ．()dy dx +2

．

3. 设D 为：2

R y x ≤+，二重积分的值

⎰⎰

dxdy y x 22=（）

。 A ．2

R π； B ．2

2R π； C ．3

R π； D ．4

1R π． 4.微分方程x

y y y e x 45sin -'''--=+的特解形式为( )。

A x

b x sin -+； B x ae b x

c x cos sin -++； C x

axe

b x sin -+； D x axe b x

c x cos sin -++．

5.下列级数中收敛的是（）。

A ． 1(1)n n n ∞

=-∑； B ． 1121n n ∞=+∑； C ． 212n

n n ∞

=∑； D ． 1

1sin n n ∞=∑ ．

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）：

-=⎰

21 。

2. dt t t x f x

⎰-+=0)2)(1()(，则在区间[-2，3]上)(x f 在=x （ -1 ）处取得最大值。 3. 已知函数()y

z x x =>0，则

∂∂= ，z y ∂∂= 。

4.微分方程 3

'4y x y =在初始条件04x y ==下的特解是: y = 。

5.幂级数 101

110

n n n n x ∞

-=∑ 的收敛半径是：R = 。

三、计算下列各题（本题共5小题，每小题8分，共40分）：

1.已知(,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求y

x z ∂∂∂2。

2. 已知

y z z x ln =，求x z ∂∂，y

z ∂∂。 3. 改换二次积分⎰⎰

220

sin x

dy y dx 的积分次序并且计算该积分。

4.求微分方程430y y y '''-+=在初始条件06x y ==，0'10x y ==下的特解。

5. 曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是其一拐点，直线12,l l 分别是曲线C 在点(0,0)与

(3,2)处的切线，其交点为(2,4)，设函数()f x 具有三阶导数，计算

x x f x dx 3

()()'''+⎰

。

四、求幂级数n

n x n 21

(1)2∞

=-∑的和函数()s x 及其极值（10分）。

五、解下列应用题（本题共2小题，每小题10分，共20分）：

1. 某企业生产某产品的产量()4

143100,y x y x Q =，其中x 为劳动力人数，y 为设备台数，该企业投入5000万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要15万元，购买一台设备需要25万元，问该企业应招聘几个劳动力和购买几台设备时，使得产量达到最高？

2.已知某商品的需求量Q 对价格P 的弹性2

2P η=，而市场对该商品的最大需求量为10000件，即Q (0)=10000, 求需求函数Q ( P )。

《微积分》试卷（E 卷）

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

1. 设函数()2; 1

;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩

在1x =处可导，则（）

A. 0,1a b ==

B. 2,1a b ==-

C. 3,2a b ==-

D.1,2a b =-= 2. 已知()f x 在0x =的某邻域内连续，且()()0

00,lim

21cos x f x f x

→==-，则在0x =处

()f x 满足（）

A. 不可导

B. 可导

C. 取极大值

D. 取极小值 3. 若广义积分

()

ln k

dx x x +∞

⎰

收敛，则（）

A. 1k >

B. 1k ≥

C. 1k <

D. 1k ≤ 4. )(lim 1

=+-→x x e

A ． 0 B.∞ C.不存在 D.以上都不对 5. 当0→x 时，x cos 1-是关于2

x 的（）.

A ．同阶无穷小.

B ．低阶无穷小.

C ．高阶无穷小.

D ．等价无穷小. 6.函数)(x f 具有下列特征：0)0(,1)0(='=f f ，当0≠x 时，⎩⎨

⎧>><<''>'0

,00

,0)(,0)(x x x f x f

则)(x f 的图形为（）。

(A)

(B) (C) (D)

二、填空（每小题3分，共18分）

sin lim x x

x →∞

= 。

2. 1

-=⎰

。

3. 已知0()f x '存在，则

000

()()

lim

h f x h f x h h →+--= 。

4．设ln(1)y x =+，那么()

()n y

x = 。

5．2

0t x d e dt dx =⎰ 。

6．某商品的需求函数2

75Q P =-，则在P ＝4时，需求价格弹性为4

P η

== ，收

入对价格的弹性是

P ER EP

== 。

三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分） 1

．

arctan x

x tdt →∞

2． x

x x x 21lim ⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

→

3．1

ln e

x xdx ⎰

4．6(1)dx x x +⎰

5．求由 0

cos 0y

e dt tdt +=⎰

⎰所决定的隐函数()x y y =的导数

.dx

dy 6．已知sin x

是()f x 的原函数，求()xf x dx '⎰。

7．求由曲线3

y x =与1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积。

8．求曲线2

y x =与直线1y kx =+所围平面图形的面积，问k 为何时，该面积最小？

四、(A 类12分) 列表分析函数x

x y +=12

函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出

函数图形。

解：(1) 函数的定义域D :),1()1,(+∞---∞ ，无对称性；

(2) 0,2,0)1(2212

2=-==++='x x x x

x y 得 ()3

22)

1(2

1)(2(2)1)(22(x x x x x x x y +=

+++-++=

'' (3) 列表：

(4) 垂直渐近线：1-=x ；斜渐近线：

=y (5) 绘图，描几个点(),21,1(),0,0(),4,2(--

(B 类12分)列表分析函数)1ln(2

x y +=函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。

解： ⑴ 函数定义域D :(-∞，+∞)，偶函数关于Y 轴对称； ⑵ 0,0122

==+='x x x

y 得

()

1,1,0)1()

1)(1(2122)1(2212

22=-==+-+=

+⋅-+=

''x x x x x x x

x x y 得

⑶ 列表：(

极小值f ⑷ 该函数无渐近线；

⑸ 绘图，描几个点：（0，0），（-1，ln2），（1，ln2）

五、（B 类8分）设()f x 连续，证明：

()()() 0 0 0x

u x f t dt du x u f u du ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰

证明：令

dt t f x F x u

⎰

⎰=00

)()( du u f u x x G x

)()()(0

⎰-= 只需证明)()(x G x F '='（3分）

dt t f x F x

⎰

)()(

du u uf du u f x

x G x

x ⎰⎰-=0

)()()(

du u f x xf x xf du u f x G x x

⎰⎰=-+='0

)()()()()(

所以)()(x G x F '=' （8分）（A 类8分）设)(x f 在[a, b ]上连续在(a ,b )内可导且0)(<'x f

)

,(,)(1)(b a x dt t f a x x F x a ∈-=⎰

试证（1）)(x F 在(a ,b )内单调递减

(2) )()()()(0b f a f x f x F -<-< 证（1）

x f(ξf(x)a)(x a)

(x f(ξa)f(x)(x a,x a x dt

t f x f a x x F 2

a --=

----∈---=

'⎰)))

()()()()(2

）（积分中值定理ξ 由0)(<'x f 知)(x f 单调减,即在(a ,b )内当x <ξ时有))(ξf(x f <又0)>-a (x 可得

0)(<'x F .即)(x F 在(a ,b )内单调减. 0

f(x)f(ξx f dt t f a x x f x F x

a >---=

-⎰）积分中值定理因)()(1)()()2(

又由)(x f 单调减知,f(b)f(x)f f(a)>>>)(ξ于是有

f(b)f(a)f(x)F(x)0-<-<

《微积分》试卷（F 卷）

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

1. 设函数()2; 1

;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩

在1x =处可导，则（）

A. 0,1a b ==

B. 2,1a b ==-

C. 3,2a b ==-

D.1,2a b =-=

2. 当0→x 时，x cos 1-是关于2

x 的（）.

A ．同阶无穷小.

B ．低阶无穷小.

C ．高阶无穷小.

D ．等价无穷小. 3. 若广义积分

()

ln k

dx x x +∞

⎰

收敛，则（）

A. 1k >

B. 1k ≥

C. 1k <

D. 1k ≤ 4. )(lim 1

=+-→x x e

A ． 0 B.∞ C.不存在 D.以上都不对

5.函数)(x f 具有下列特征：0)0(,1)0(='=f f ，当0≠x 时，⎩⎨⎧>><<''>'0

,00

,0)(,0)(x x x f x f

则)(x f 的图形为（）。

(A)

(B) (C) (D)

6. 6.设)(x f 在

)

,(∞-∞内二阶可导，若)()(x f x f --=，且在),0(∞内有

,0)(,0)(>''>'x f x f 则)(x f 在)0,(-∞内有（）

,0)(,0)(<''<'x f x f B.,0)(,0)(>''<'x f x f

C.,0)(,0)(<''>'x f x f

D..0)(,0)(>''>'x f x f

二、填空（每小题3分，共18分）

sin lim x x

x →∞

= 。 2． x

x x x 21lim ⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

→= 。

3. 已知0()f x '存在，则

000

()()

lim

h f x h f x h h →+--= 。

4．设ln(1)y x =+，那么()

()n y

x = 。

5．2

0t x d e dt dx =⎰ 。

6．某商品的需求函数2

75Q P =-，则在P ＝4时，需求价格弹性为4

P η

== ，收

入对价格的弹性是

P ER EP

== 。

三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分） 1

．arctan x

x tdt →∞

2． 40

1sin dx x

+⎰

3．1

ln e

x xdx ⎰

4．

6(1)dx x x +⎰

5．求由 0

cos 0y

t e dt tdt +=⎰

⎰所决定的隐函数()x y y =的导数

.dx

dy 6．已知

sin x

是()f x 的原函数，求()xf x dx '⎰。 7．求由曲线2

1y x =-与直线1y x =+所围成的平面图形的面积。

8．求由曲线3

y x =与1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积。

四、(12分)列表分析函数)1ln(2

x y +=函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。

五、（B 类8分）设()f x 连续，证明：

()()() 0 0 0x

u x f t dt du x u f u du ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰

微积分试题及答案

一、选择题(每题2分) 1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ƒ()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于（） A 、- 1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2 y x = (,)x R y R + - ∈∈ B 、2 2 1y x =-+ C 、2 y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设（，则的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、2 63y x k y x k =-==已知直线是的切线，则 __________ 5、ln 21 11x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x = +函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数的导数 2、21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知），求

微积分综合练习题与参考答案完美版

综合练习题1（函数、极限与连续部分） 1．填空题（1）函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x . （2）函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是．答案： ]2,1()1,2(-⋃-- （3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f （4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧ ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f （6）函数13 22+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x （7）=∞→x x x 1 sin lim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数答案：B （2）下列函数中为奇函数是（）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2 x x + 答案：C （3）函数)5ln(4 +++=x x x y 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 答案：D （4）设1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （）

A ．)1(+x x B ．2 x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C （5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D （6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 答案：B （7）函数2 33 )(2+--= x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点答案：A 3．计算题（1）4 2 3lim 222-+-→x x x x ．解：41 21lim )2)(2()1)(2(lim 4 23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）3 29lim 223---→x x x x 解：2 3 4613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4 58 6lim 224+-+-→x x x x x 解：3 2 12lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x

微积分试卷及答案6套

微积分试题（A卷）一。填空题（每空2分，共20分) 1.已知则对于，总存在δ〉0，使得当时，恒有│ƒ(x） ─A│< ε。 2.已知，则a =，b = . 3.若当时，α与β是等价无穷小量,则 . 4.若f (x)在点x = a处连续，则。 5.的连续区间是。 6.设函数y =ƒ(x)在x0点可导，则______________。 7.曲线y = x2＋2x－5上点M处的切线斜率为6，则点M的坐标为. 8.。 9.设总收益函数和总成本函数分别为,,则当利润最大时产量是. 二. 单项选择题（每小题2分，共18分） 1.若数列{x n｝在a的ε 邻域（a-ε,a+ε）内有无穷多个点，则（）。 (A) 数列{x n}必有极限，但不一定等于a(B) 数列｛x n}极限存在,且一定等于a (C）数列{x n｝的极限不一定存在(D) 数列{x n}的极限一定不存在 2.设则为函数的（）. （A）可去间断点（B）跳跃间断点(C) 无穷型间断点(D) 连续点 3.( ）。（A) 1 （B) ∞（C) (D） 4.对需求函数,需求价格弹性。当价格（）时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。（A） 3 （B） 5 （C) 6 (D) 10 5.假设在点的某邻域内（可以除外)存在，又a是常数，则下列结论正确的是( ）。（A)若或∞，则或∞

(B ）若或∞,则或∞ （C ）若不存在，则不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线的拐点个数是（ ) 。（A) 0 (B)1 （C) 2 （D) 3 7. 曲线（）。 (A) 只有水平渐近线; （B) 只有垂直渐近线；（C) 没有渐近线; (D ）既有水平渐近线, 又有垂直渐近线 8. 假设连续，其导函数图形如右图所示，则具有（）（A ）两个极大值一个极小值 (B ）两个极小值一个极大值 (C ）两个极大值两个极小值（D ）三个极大值一个极小值 9. 若ƒ（x )的导函数是,则ƒ（x ）有一个原函数为 ( ）。（A) ; (B) ; （C ）；（D) 三．计算题（共36分） 1．求极限 (6分) 2．求极限（6分） 3．设，求的值,使在(-∞，+∞)上连续。（6分） 4．设，求及（6分) 5．求不定积分（6分） 6．求不定积分（6分) 四．利用导数知识列表分析函数的几何性质，求渐近线,并作图。(14分) 五．设在[0， 1］上连续,在（0， 1)内可导，且，试证: （1）至少存在一点，使；（2）至少存在一点,使； (3) 对任意实数λ ，必存在，使得。（12分) 微积分试题（B 卷）一. 填空题 (每空3分,共18分) 10. 。 11. . 12. 关于级数有如下结论 : x

微积分试卷及规范标准答案6套

微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│?(x )─A │< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a

(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （）。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 0 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =→)() (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（）。 (A) 0 (B)1 (C) 2

微积分基础期末试题及答案

微积分基础期末试题及答案 [注意：本文按照期末试题的格式进行排版] 试题一：函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。证明：根据 Rolle 定理，已知在 [a, b] 区间上连续且在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0，那么一定存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。试题二：设函数 y = f(x) 满足条件：f(x + 2) = 3f(x) + 5。证明 f'(x) = f'(x + 2)。证明：将 f(x + 2) = 3f(x) + 5 两边对 x 求导，得到 f'(x + 2) = 3f'(x)。根据等式两边的对称性，可以推导得到 f'(x) = f'(x + 2)。试题三：设函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内具有二阶连续导数，且对任意的 x ∈(a, b)，有 f(x) > 0，f''(x) > 0。证明 f'(x) 在 (a, b) 上严格单调递增。证明：根据题设条件可知，对任意的 x ∈ (a, b)，f''(x) > 0，即 f'(x) 的导数处处大于 0。根据导数的定义，说明 f(x) 在 (a, b) 上严格单调递增。

答案一：证明思路：利用介值定理和导数的定义进行推导。由于 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，根据介值定理可知，对任意介于 f(a) 和 f(b) 之间的数值 c（c ≠ 0），存在ξ ∈ (a, b) 使得f(ξ) = c。由于 f(a) = f(b) = 0，所以 c = 0。即存在ξ ∈ (a, b)，使得f(ξ) = 0。又因为 f(x) 在开区间 (a, b) 内可导，根据导数的定义，有f'(ξ) = lim┬(h→0)⁡〖(f(ξ+h)-f(ξ))/h〗。当 h 趋近于 0 时，根据 c 的取值为 0，可以得到： f'(ξ) = lim┬(h→0)⁡(f(ξ+h))/h). 因为 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，那么 f(x) 在ξ 点周围的某个小区间内都有定义。因此，f(ξ + h) 在ξ 点周围也有定义。根据上述推导过程，可以得出结论：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。答案二：证明思路：利用等式两侧求导的性质和导数的线性性质进行推导。已知 f(x + 2) = 3f(x) + 5，对等式两侧同时对 x 求导，得到 f'(x + 2) = 3f'(x)。据此，可以得出结论：f'(x) = f'(x + 2)。答案三：证明思路：利用 f''(x) > 0 的条件和导数的定义进行推导。

微积分考试题库(附答案)

85 考试试卷（一）一、填空 1．设c b a ,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅= 2．x x e 10 lim +→= ，x x e 10 lim -→= ，x x e 1 lim →= 3．设2 11)(x x F -= '，且当1=x 时，π2 3)1(=F ，则=)(x F 4．设= )(x f ⎰ dt t x 2sin 0 ，则)(x f '= 5．⎩ ⎨⎧>+≤+=0,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b 二、选择 1．曲线⎩⎨⎧==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（）。（A ）12222=+-z y x ；（B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ；（D ）122222=+-z y x 2．2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=（）。（A ）1 （B ）2 1 e （C ）0 （D ）1-e 3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰ dx x f x f x )]()([（）（A ）c x xf +)(；（B ）c x f x +')(；（C ）c x f x +'+)(；（D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（）（A ）0)(='ξf （B ）a b a f b f f --= ') ()()(ξ

86 （C ）0)(=ξf （D ）a b dx x f a b f -=⎰)()(ξ 5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x = 3 π 处取得极值，则=a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题 1．求与两条直线⎪⎩ ⎪ ⎨⎧+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限（1）12cos 1lim 21 +-+→x x x x π；（2）1 arctan lim 30--→x x e x x 3．计算下列积分（1）⎰dx x sin ；（2） ⎰ +dx x sin 21 （3）⎰+dx x x e ln 11 2；（4）⎰--+2/12 /111dx x x 4．求下列导数或微分（1）设32 ) 1)(21()2(x x x y +--=，求dy 。（2）⎩ ⎨⎧+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ，求22dx y d 。（3）x x x y sin )1(+=，求dy 。（4）设a y x =+ ，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈，且1)2 1 (,0)1()0(===f f f ，证明：（1）存在)1,2 1(∈η，使ηη=)(f （2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)(=--'ξξλξf f

数学课程微积分基础练习题及答案

数学课程微积分基础练习题及答案微积分是现代数学的基础学科之一，对于理工科学生来说，掌握微积分的基础知识非常重要。为了帮助学生更好地巩固微积分基础，下面将提供一些微积分的基础练习题及答案。 1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+1$在点$x=2$处的导数值。解答：首先，我们可以使用导数的定义来计算导数值。导数的定义是函数在该点的极限，即$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。将函数$f(x)$代入该定义中，可以得到： $f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{3(2+h)^2-2(2+h)+1-3(2)^2+2(2)-1}{h}$ 化简后得到： $f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{3(4+4h+h^2)-4-2h+1-12+4-1}{h}$ 继续化简： $f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{12+12h+3h^2-4-2h+1-12+4-1}{h}$ 合并同类项： $f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{3h^2+10h}{h}$ 简化后得到： $f'(2)=\lim_{h\to 0}(3h+10)=10$ 所以，函数$f(x)=3x^2-2x+1$在点$x=2$处的导数值为10. 2. 求函数$g(x)=\sin(x)+\cos(x)$的导函数。

解答：根据求导公式，对于$\sin(x)$和$\cos(x)$的导数分别是 $\cos(x)$和$-\sin(x)$。所以，函数$g(x)=\sin(x)+\cos(x)$的导函数可以通过对每一项分别求导得到： $g'(x)=\cos(x)-\sin(x)$ 所以，函数$g(x)=\sin(x)+\cos(x)$的导函数为$g'(x)=\cos(x)-\sin(x)$。 3. 求函数$h(x)=e^x\cdot\ln(x)$的导数。解答：首先，我们可以将函数$h(x)$展开得到 $h(x)=e^x\cdot\ln(x)=e^x\cdot(\ln(e)\cdot\ln(x))=e^x\cdot\ln(e)\cdot\ln(x)=e ^x\cdot\ln(x)$。接下来，我们可以分别对$e^x$和$\ln(x)$应用乘法法则来求导。对于$e^x$而言，它的导数等于自己，即$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$。而对于$\ln(x)$而言，它的导数是$\frac{1}{x}$。所以，函数 $h(x)=e^x\cdot\ln(x)$的导数可以计算为： $h'(x)=\frac{d}{dx}(e^x\cdot\ln(x))=e^x\cdot\ln(x)+e^x\cdot\frac{1}{x }=\ln(x)\cdot e^x+\frac{e^x}{x}$ 所以，函数$h(x)=e^x\cdot\ln(x)$的导数为$h'(x)=\ln(x)\cdot e^x+\frac{e^x}{x}$。通过以上的练习题，我们可以进一步巩固微积分的基础知识。希望以上答案能够对学生们的学习有所帮助。如果还有其他问题或者需要更多练习题及答案，请随时提问。

微积分试卷(附答案)

微积分试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1、函数)1ln(3-+-=x x y 的定义域是____________. 2、设x x f -= 11 )(则=))(1( x f f ________________. 3、已知65 4lim 25=-+-→x k x x x ，则k =________________. 4、=+-∞ →x x x x )1 1( lim ____________. 5、设函数⎪⎩⎪ ⎨⎧=≠=0 ,0,1sin )(x a x x x x f 为),(+∞-∞上的连续函数，则a =____________ . 6、设)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=→x x f x ) (lim 0 . 7、已知x x x f += 1)1(，求)(ln x f '= . 8、曲线)1ln(2 x y +=的在区间__________________单调减少。 9、若x e -是)(x f 的原函数，则=⎰ dx x f x )(ln 2_____________. 10、⎰ =xdx x ln _____________. 二、单选题（每题3分，共15分） 1、下列极限计算正确的是（） A ． 111lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x B. e x x x =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++→11lim 0 C ． 1sin lim =∞→x x x D. 11 sin lim 0=→x x x 2、函数1 1 arctan )(-=x x f 在x =1处是( ). A. 连续 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点 3、函数3 )(x x f =在区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理，则其ξ=（）. A . 3 B.3- C.33- D. 3 3 4、当0→x 时，与2 x 等价的无穷小是（）。 A. 12-x e B. )2 1ln(x + C. )cos 1(2x - D.x arctan

微积分综合练习题及答案

北京邮电大学高等函授、远程教育 04—05学年春季学期《高等数学（微积分）》综合练习题与答案经济管理、电子邮政专业第一部分练习题、判断题设f （x ）的定义域为（,1），则f （1的定义域为（0，1）. x 设f （X ）的值域为（，1），则arctgf （x ）的值域为（一,一）. 2 4 11. 12 .如果0 1 13.如果级数 n 1. 2. 3. e （x 1^是偶函数. 4. 1 x y ln —是奇函数. 5. 1 lim (1 x)， e 6. d 2 2 设 f (u)是可导函数，则一 f (sinx 2 ) 2xcosx 2 f (u) dx u sin x 2 7. 设函数y f （e x ）可微,则dy e x f(e x )dx . 9. 10. 设 df (x)」^dx ,则 f (x) 1 x dx f(x)df(x) f(x)df(x) . f (x)dx f (x) c . arctgx .

1u n发散，则n imu n 0.

14.级数 X n (x 0)收敛的充分必要条件是 X 1. 1 15.级数 1 nz 收敛的充分必要条件是p 16.如果 a(|)n 1 4 1，则常数a 1 4 17. —f(x,y) X X X 0 y y 0 f (x, y 。) x Xo - 18.设 z xy r 「 Z X ，则—— X xy 1 xyx 19. d-f[x,y(x)] dx X f y y (X). 20.设 f 、u 、 v 都是可微函数，则一 f [u(x, y), v(x, y)] f^U X X f£. X 二、单项选择题 1.设 f(x) X, 0 X, 2 2, X 0则f(X)的定义域为 A.( B.[ 2,2 ) C. ( ,2 ] D.[ 2,2 ] 2.设 f(X)的定义域为( ,0),则函数 f (In X) 的定义域是 A. (0, B.(0,1 ] C.(1 , D.(0,1) 3.设 f(X 1) X (X 1),则 f(X)= A. x(x 1) B. x(x 1) C.(x 1)(x 2) D.X 2 4.下列函数中，奇函数为 A. sin(cosx) B.l n(x J x 2 1) 1 X C. tgxln C f si nx D. e sin n 5. lim ----- n n 1 A.0 B.1 C. 1 D.

微积分考试题及答案

微积分初步期末模拟试题及答案一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数241)(x x f -= 的定义域是． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k ． ⒊已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． ⒋若⎰=x x s d in ． ⒌微分方程y x e x y y x +='+'''sin )(4的阶数是．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 ⒉当k =（）时，函数⎩⎨⎧=≠+=00,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．1 B ．2 C ．1- D ．0 ⒊满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f 的（）。 A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点 ⒋设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰a a x x f -d )(（） A ．⎰0-d )(2a x x f B ．⎰0-d )(a x x f C ．⎰a x x f 0d )( D ． 0 ⒌微分方程1+='y y 的通解是（） A. 1e -=Cx y ； B. 1e -=x C y ； C. C x y +=； D. C x y += 22 1 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限4 23lim 222-+-→x x x x ． ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y '. ⒊计算不定积分x x x d )1(2⎰ + ⒋计算定积分⎰π0d sin 2 x x x 四、应用题（本题16分）

高等数学微积分练习题集全套(含答案)

高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)= x-1，则[]ϕ=f (x)（） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-⎰（） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1 x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设C +⎰2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<= 8．arctan lim _________x x x →∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13. 设2ln 2,6a a π==⎰则___________. 14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，求dy.

数学微积分复习题集及答案

数学微积分复习题集及答案导言微积分是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。为了帮助学生复习微积分知识，本文提供了一套包括复习题和答案的微积分复习题集。通过解答这些问题，学生可以巩固对微积分的理解，提高解题能力和应用能力。一、求导篇 1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的导函数f'(x)。答案：f'(x) = 6x + 2。 2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导函数g'(x)。答案：g'(x) = cos(x) - sin(x)。 3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导函数h'(x)。答案：h'(x) = 2/x。二、定积分篇 4. 求函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1在区间[1, 3]上的定积分∫[1,3] f(x) dx。答案：∫[1,3] f(x) dx = 26/3。 5. 求函数g(x) = e^x的不定积分F(x)。答案：F(x) = e^x + C，其中C为任意常数。

6. 求函数h(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分∫[0,π] sin(x) dx。答案：∫[0,π] sin(x) dx = 2。三、微分方程篇 7. 求微分方程y' = 2x的通解。答案：y = x^2 + C，其中C为任意常数。 8. 求微分方程y' = y的通解。答案：y = Ce^x，其中C为任意常数。 9. 求微分方程y'' + y = 0的通解。答案：y = A*sin(x) + B*cos(x)，其中A和B为任意常数。四、面积与体积篇 10. 求曲线y = x^2和直线y = 2x的交点坐标，并求由该曲线、直线以及x轴所围成的面积。答案：交点坐标为(0, 0)和(2, 4)，所围成的面积为8/3。 11. 求曲线y = sin(x)在区间[0, π]上绕x轴旋转一周所形成的体积。答案：体积为2π。 12. 求曲线y = e^x在区间[0, 1]上绕y轴旋转一周所形成的体积。答案：体积为(e - 1)π。五、应用篇

微积分试卷(含答案)

微积分试题一、填空题（每题2分⨯10=20分） 1、函数 ()f x =的定义域是 2、设()2f x x =- ，则[(2)]f f = 3、 22929lim 1 n n n n →∞--=- . 4、 0sin 5lim sin x x x →= 5、 1lim(1)x x x →∞+= 6、 '(arcsin )x = 7、函数 2y x =，则=dy 8、函数 3x y e =的导数为 . 9、 02sin lim x x x →= . 10、数学思维从思维活动的总体规律的角度来考察，可分为形象思维、、和直觉思维。二选择题（每题2分⨯5=10分） 1、若),1()(+=x x x f 则=-)(x f （）. A x(x-1) B (x-1)(x-2) C x(x+1) D (x+1)(x+2) 2、1sin(1)lim 1 x x x →-=-( ). A 1 B 0 C 2 D 2 1 3、函数)(x f 在0x x =处有定义是)(x f 在0x x =处连续的（）. A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、设)(x f y -=，则='y （）. A )('x f B )('x f - C '()f x -- D )(' x f - 5、设函数(),()u x v x 在x 可导，则（） A []uv u v '''= B []uv u v '''=- C []u v u v '''⨯=+ D []uv u v uv '''=+

三、计算题（每小题6分，共24分） 1、已知2 (tan )6sec f x x =-，求)(x f 2、求极限3 33lim 22x x x x →∞- 3、求极限0tan sin lim x x x x →- 4、求极限1 0lim(14)x x x →+ 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求4x y x e =的导数 2、设)(x y y =由隐函数5y e xy =+确定，求y '。 3、求五、应用题（每小题8分，共16分） 1、把边长为a 的正方形铁皮四角各剪去一个大小相同的小正方形，而后把四边折起，做成一个无盖方盒，问剪掉的小正方形的边长为多大时，方盒的容积最大？ 2、某商品的销售量Q 是单价P （万元/件）的函数：4 5P Q -=，总成本函数(32+=Q C 万元），如果销售每件商品要纳税a （万元/件），求销售利润最大时的单价。六、证明题（6分）证明方程32 233x x +=至少有一个正根。一、填空题（每题2分⨯10=20分） 1、{|44}x x -<< 2、 2 3、 9 . 4、 5 5、 e 6、 7、 2dx

微积分试题和答案

高等数学：微积分部分：试卷：数学教研是：一、选择题(每题2分) 1、设x ƒ()定义域为〔1,2〕，则lg x ƒ()的定义域为〔〕 A 、〔0,lg2〕B 、〔0，lg2] C 、〔10,100〕 D 、〔1,2〕 2、x=-1是函数x ƒ()=() 22 1x x x x --的〔〕 A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于〔〕 A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于〔〕 A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为〔〕 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射〔〕 A 、2y x =(,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x =(0)x > 二、填空题〔每题2分〕 1、 __________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设（，则的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________

4、263y x k y x k =-==已知直线是的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题〔每题2分〕 1、2 2 1x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题〔每题6分〕 1、1sin x y x =求函数的导数 2、21 ()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、计算 6、2 1 lim(cos )x x x + →计算五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？〔8分〕 2、描绘函数21 y x x =+的图形〔12分〕六、证明题〔每题6分〕 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x +→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数