总复习习题：第二章 函数、导数及其应用 课时提升作业 九 2.6 Word版含答案

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课时提升作业九

幂函数与二次函数

(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为( )

A. B.± C.±9 D.9

【解析】选D.由函数f (x)=xα过点(4,2),可得4α=22α=2,所以α=,所以f(x)==,

故f(m)==3?m=9.

2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间上有最大值3,最小值2.则m的取值范围是

( ) A.

C. D.(-∞,2]

【解析】选C.y=(x-1)2+2,由x2-2x+3=3得x=0或x=2,所以1≤m≤2.

3.(2016·德州模拟)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )

【解析】选D. A项,因为a<0,-<0,所以b<0.又因为abc>0,所以c>0,由图知f(0)=c<0,故A 错;B项,因为a<0,->0,所以b>0,

又因为abc>0,所以c<0,而f(0)=c>0,故B错;C项,因为a>0,-<0,所以b>0,又因为abc>0,所以c>0,而f(0)=c<0,故C错;D项,因为a>0,->0,所以b<0,又因为abc>0,所以c<0,由图知f(0)=c<0.

【加固训练】设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一,则a的值为

( )

A. B.

C.1

D.-1

【解析】选D.因为b>0,故对称轴不可能为y轴,由给出的图可知对称轴在y轴右侧,故a<0,所以二次函数的图象为第三个图,图象过原点,故a2-1=0,a=±1,又a<0,所以a=-1.

4.若a<0,则下列不等式成立的是( )

A.2a>>0.2a

B.0.2a>>2a

C.>0.2a>2a

D.2a>0.2a>

【解题提示】构造函数y=x a,再比较与0.2a的大小,进而比较2a与,0.2a的大小. 【解析】选B.因为a<0,所以y=x a在(0,+∞)上是减函数,所以0.2a>>2a.

5.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+5在(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈,总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数a的取值范围是( )

A. B.

C. D.,因为f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,所以a≥2,则|a-1|≥|(a+1)-a|=1.

因此对任意的x1,x2∈,

总有|f(x1)-f(x2)|≤4,

只需|f(a)-f(1)|≤4即可,

即|(a2-2a2+5)-(1-2a+5)|=|a2-2a+1|

=(a-1)2≤4,所以-2≤a-1≤2,

解得-1≤a≤3,又a≥2,所以2≤a≤3.

6.(2016·菏泽模拟)幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上是单调递减的函数,则实数m的取值范围是( )

A.m=-1

B.m=2

C.m=-1或m=2

D.m=1或m=-2

【解析】选B.由题意知

解得m=-1(舍)或m=2.

7.定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)= 2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x,则当x∈,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范围是.

【解析】f(x)=x2+(a-4)x+4-2a

=(x-2)a+x2-4x+4,

令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,

由题意知即

解得x>3或x<1.

答案:(-∞,1)∪(3, +∞)

10.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为上的最小值为4,则a的取值集合为

( ) A. B.

C.{-3,3}

D.{-1,-3,3}

【解析】选C.因为函数f(x)=x2-2x+1

=(x-1)2,对称轴x=1,

因为在区间上的最小值为4,

所以当1≤a时,y min=f(a)=(a-1)2=4,

a=-1(舍去)或a=3,

当a+2≤1时,即a≤-1,y min=f(a+2)

=(a+1)2=4,a=1(舍去)或a=-3,

当a<1

故a的取值集合为{-3,3}.

【加固训练】

设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )

A.f(m+1)≥0

B.f(m+1)≤0

C.f(m+1)>0

D.f(m+1)<0

【解析】选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.

由f(m)<0,f(-1)=f(0)=a>0,得-10,所以f(m+1)>f(0)>0.

2.(5分)(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且f(3)

【解析】因为f(x)是偶函数,所以-2m2+m+3应为偶数.

又f(3)

整理得<1,

所以-2m2+m+3>0,解得-1

又m∈Z,所以m=0或1.

当m=0时,-2m2+m+3=3为奇数(舍去);

当m=1时,-2m2+m+3=2为偶数.

故m的值为1.

答案:1

3.(12分)已知幂函数f(x)=(m∈N*).

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性.

(2)若该函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.

【解析】(1)因为m2+m=m(m+1)(m∈N*),而m与m+1中必有一个为偶数,所以m2+m为偶数,

所以函数f(x)=(m∈N*)的定义域为),求函数g(x)的最小值.

【解析】(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.

(2)设x>0,则-x<0,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,所以f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),所以f(x)=

(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为x=a+1,

当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为最小值;

当1

当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为最小值.

综上可得g(x)min=

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导数在研究函数中的应用(含标准答案)

导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值 在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数 值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数 值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值 点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上

所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】 考点一利用导数研究函数的单调性 【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

几个常见函数的导数1

几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分： 年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min 一.知识点： 知识点一几个常用函数的导数 知识点二基本初等函数的导数公式

二.典例分析： 题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2 . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝? ?? ??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4 ； (4)y ′＝(4 x 3 )′＝(x 34)′＝1 434x -＝344 x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1 x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2 x 2 ＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x . 反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2 上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别 作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k PA ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，

即y ＝4x －8， QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组??? ? ? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得 ????? x ＝1， y ＝－4. ∴A (1，－4)． (2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由． 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线y ＝x 2 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 解 设切点坐标为(x 0，x 2 0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2 的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．

导数在研究函数中的应用练习题

导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程________的根； ③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函 数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的________； ②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 要点梳理 1.>< 2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值 3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b) (3)①极值②f(a)，f(b) 1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________. 2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”). 3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号)

常见函数的导数

常见函数的导数 学习目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时体会算法的 思想并熟悉具体的操作步骤。 学习重难点：利用导数公式求一些函数的导数 一、 知识点梳理 1. 基本初等函数，有下列的求导公式 '1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x = 4.()0C '= 3'2 5.()3x x = ' 2 116.()x x =- '= 1 8.()x x ααα-'=（α为常数） 9.()ln (01)x x a a a a a '=>≠， a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '= =>≠， x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x '= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=－ 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 二、典例讲解 例1、求下列函数导数。 练习：（1）5 -=x y （2） 、x y 4= （3）、x x x y = （4）、x y 3 l o g = （5）、)100() 1(l o g 1 ≠>>-= x a a x a y x ，，， （6）、y=sin( 2π+x) (7)y=sin 3 π （8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π ，0 ) 的切线的直线方程. 2. 若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. (1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4 (4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y

人教版数学高二选修2-2作业1.3导数在研究函数中的应用课时作业4

课时作业 函数的最大(小)值与导数 A 组 基础巩固 1．函数y ＝f (x )＝ln x x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2 D ．10 解析：令y ′＝ln x ′x －ln x x 2＝1－ln x x 2＝0?x ＝e. 当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0， 所以y 极大值＝f (e)＝e －1 ， 在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1. 答案：A 2．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞) B.???? ??32，＋∞ C.? ????32，134 D.???? ??32，134 解析：f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12 ， 所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增． 所以f (x )的最大值是f (3)＝ 134，最小值是f (1)＝32 .故选D. 答案：D 3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为 ( ) A ．－5 B ．7 C ．10 D ．－19 解析：f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x －3)·(x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝3或－1. ∵x ∈[－2，－1]时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在[－2，－1]上递减． ∴f (－2)＝2，即a ＋2＝2，a ＝0，它的最小值为f (－1)＝－5. 答案：A 4．f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，

高考数学第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用

第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页 ) , 1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3 －15x 2 －33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11) 解析：f′(x)＝3x 2 －30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e 解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e. 3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π] 解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2 ＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范 围是________． 答案：(－∞，4] 解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2 在[2，＋∞)上恒成立． 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大． 答案：10 解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－ 2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，00；当10

几种常见函数的导数

§ 3.2 几种常见函数的导数 课时安排 1课时 从容说课 本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用. (1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是x x x x x x f x x f n n ?-?+=?-?+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---?++??+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-?+-+-=-- ， 1112110)1()1(------++-?-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题. (2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim 0=→?x x x ，根据学生的情况可以补充证明. 第五课时 课 题 § 3.2 几种常见函数的导数 教学目标 一、教学知识点 1.公式1 C ′=0(C 为常数) 2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q ) 3.公式3 (sin x )′=cos x 4.公式4 (cos x )′=-sin x 5.变化率 二、能力训练要求 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 三、德育渗透目标 1.培养学生的计算能力. 2.培养学生的应用能力. 3.培养学生自学的能力. 教学重点

3.2.1几个常用函数导数(学、教案)

3. 2.1几个常用函数导数 课前预习学案 （预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处） 复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量y ?= （2）求平均变化率y x ?=? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim = 上课学案 学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程； 2.学会利用公式，求一些函数的导数； 3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程 学习过程 合作探究 探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数 新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态. 试试： 求函数()y f x x ==的导数 反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题 例1 求函数1()y f x x ==的导数 解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???

1常见函数的导数公式

1．常见函数的导数公式： （1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； （3）x x cos )'(sin =； （4）x x sin )'(cos -=； （5）a a a x x ln )'(=； （6）x x e e =)'(； （7）e x x a a log 1)'(log = ； （8）x x 1)'(ln = ． 2．导数的运算法则： 法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 ''(0)u u v uv v v v -?? =≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 例题：一：1：求函数323y x x =-+的导数. 2： y = x x sin 2．函数y =x 2cos x 的导数为 。 函数y =tanx 的导数为 。 2：求下列复合函数的导数： ⑴3 2 )2(x y -=； ⑵2 sin x y =； ⑶)4 cos(x y -=π ； ⑷)13sin(ln -=x y ．3 2 c bx ax y ++=

4．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线 （ ） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定 5．曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ） A 、( 1 , 0 ) B 、( 2 , 8 ) C 、( 1 , 0 )和(－1, －4) D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 6．f (x )=ax 3 +3x 2 +2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于 （ ） A. 3 19 B. 3 16 C. 3 13 D. 3 10 7．曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 8．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定 9．物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,则在4s 附近的平均变化率 . 10．曲线y ＝x 3－3x 2 ＋1在点(1,－1)处的切线方程为__________________. 11．已知l 是曲线y = 3 1x 3 +x 的切线中，倾斜角最小的切线，则l 的方程是 . 12.已知过曲线y =3 1x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( ) A.?? ? ??38, 2 B.?? ? ??- 34,1 C.?? ? ??- -328,1 D.?? ? ??320, 3 13．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f y =的解析式. 14．求过点（2，0）且与曲线y = x 1相切的直线的方程.

几种常见函数的导数教案

几种常见函数的导数教案 教学目的 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点和难点 掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点． 教学过程 一、复习提问 1．按定义求导数有哪几个步骤？ 2．用导数的定义求下列各函数的导数： (1)y＝x5；(2)y＝c． 几点说明：练习(1)为推导正整数幂函数导数公式作准备，在求Δy值时启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5；练习(2)推导前，首先指出这里y＝c称为常数函数，可设y=f(x)=c说明不论自变量取何值，对应的函数值均为c，以避免出如下错误，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx． 二、新课 1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式． 2．几个常见函数的导数公式． (1)设y=c(常数)，则y'=0． 此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c 的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．

(2)(x n)'＝nx n-1(n为正整数)． 此公式的证明在教师指导下，由学生独立完成． 证明：设y=f(x)=x n， 此公式可叙述成“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”． (3)(sinx)'=cosx． 证明：y＝f(x)=sinx，

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中得应用(1) 一、教学目标 1、理解函数得单调性与导数得关系；会利用导数研究函数得单调性。 2、会用导数求不超过三次得多项式函数得极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次得多项式函数最大值、最小值。 3、理解函数在某点取得极值得条件； 二、知识梳理 １、给出下列命题： ①若在区间上就是增函数,都有 ②若在区间上可导,则必为上得单调函数 ③若对任意,都有，则在上就是增函数 ④若可导函数在区间上有，则区间上有 其中真命题得序号就是 2、下列结论中正确得就是 ①若，则就是函数得极值 ②若在内有极值，则在内不就是单调函数 ③函数得极小值一定小于它得极大值 ④在定义域上最多只能有一个极大值与一个极小值 3、求函数在最值得一般步骤为：(1）；（2）；（3）。 三、诊断练习 题1:函数得单调减区间就是__________． 题2。函数有极 ___值_____.

题3.函数得最大值就是________、 题４。函数在处取得极小值. 要点归纳 （1）要熟悉求函数单调区间、求极值得一般步骤方法，如诊断练习题１、题2 （２)分析原函数、导函数得图象，牢记“正增负减”四个字，即“导数得正负决定原函数得增减”。遵循此规律，函数得增减性、极值情况一目了然. 四、范例导析 例1、已知函数、（1）判断函数得奇偶性;（2）求函数得单调区间、 【变式】：已知函数，求函数得单调区间。 例2：设函数,已知就是奇函数。 (１）求、得值。 (2）求得单调区间与极值。 例3：已知函数，其中ｅ就是自然对数得底数、 （1)证明:就是Ｒ上得偶函数； （2)若关于得不等式≤在上恒成立,求实数得取值范围； 注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理得范围。 变式：已知函数。 （１）若函数在上就是增函数,求得取值范围; （2)若在时取得极值，且时，恒成立，求得取值范围。 五、解题反思 1、与初等方法相比，导数在研究函数性质时,具有一般性与有效性。运用导数知识，我们可以解决一些非整式型函数得单调区间、最值问题。牢记求导公式就是根本,同时一定要熟练掌握求单调区间,求极值、最值得解题基本步骤.如例1

导数在研究函数中的应用(基础篇)解读

导数在研究函数中的应用（基础篇） 知识点：1.函数的单调性与导数 2.函数的极值与导数 3.函数的最值与导数 课前练习： 1.设y=8x 2-lnx ，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（ ） A ．单调递增，单调递减 B 、单调递增，单调递增 C 、单调递减，单调递增 D 、单调递减，单调递减 2.函数y =x ln x 在区间(0，1)上是（ ） A.单调增函数 B.在(0， e 1)上是减函数，在(e 1,1)上是增函数 C.单调减函数 D.在(0，e 1)上是增函数，在(e 1,1)上是减函数 3.函数 224y x x =-+的递增区间是 ;递减区间是 . 4.函数42()25f x x x =-+在区间[2,2]-上的最大值是 ;最小值是 5.a ax x y ++=3为R 上为增函数,则a 的取值范围为_________ 6.函数 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是单调增函数，则下列式中成立的是（ ） （A ） 03,02≥+>ac b a （B ） 03,02≤->ac b a （C ） 03,02≥+

几个常用函数的导数教案

§1.2.1几个常用函数的导数 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 教学过程： 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y ?→?→?'=== 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y ?→?→?'===

几个常用函数的导数

321几个常用函数导数 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用教学过程：【合作探究】 探究任务一：函数y f(x) c的导数. 问题：如何求函数y f(x) c的导数 新知：y 0表示函数y c图象上每一点处的切线斜率为______________ . 若y c表示路程关于时间的函数，则y ______ ，可以解释为________________ 即一直处于静止状态. 试试：求函数y f (x) x的导数 反思：y 1表示函数y x图象上每一点处的切线斜率为______________ . 若y x表示路程关于时间的函数，则y ______ ，可以解释为________________ 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y 2x,y 3x,y 4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数. (1)从图象上看，它们的导数分别表示什么 (2)这三个函数中，哪一个增加得最快哪一个增加得最慢 (3)函数y kx(k 0)增(减)的快慢与什么有关 【典型例题】 1 .函数y f (x) c的导数 根据导数定义，因为亠f(x x) f(x)口0 x x x 所以y lim lim 0 0 x 0 x x 0 y 0表示函数y c图像上每一点处的切线的斜率都为0?若y c表示路程关于时间的函 数，则y 0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态. 2.函数y f (x) x的导数 因为_y f (x x) f (x) xxx 1 x x x 所以y

1.3导数在研究函数中的应用第1课时优秀教学设计

1.3 导数在研究函数中的应用 【课题】：1.3.1函数的单调性与导数(特色班) 【教学目标】： （1）知识与技能：正确理解利用导数研究函数的单调性的原理；理解并掌握用导数判断函数的单调区间及增减性的方法；会利用导数与函数单调性的关系求不超过三次的多项式函数的单调区间，并能用以上知识解决一些实际问题． （2）过程与方法：在解决问题中，通过结合导函数研究原函数图象增减性的关系，加深对导函数几何意义的理解； （3）情感态度与价值观：依据导数在某区间的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性。 【教学重点】： 利用导数判断函数单调性的方法,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 【教学难点】： 利用导数研究函数的单调性； 导函数图象与函数单调性的关系． 【课前准备】：Powerpoint 【教学过程设计】：

解：各函数的图象大概如下：

若函数32 11(1)11432 f x x ax a x = -+-+（）在区间（，）上为减函数，数，求实数a 的取值范围。在6+∞区间（， ）为增函解： ，令()'21f x x ax a =-+-()'0,11 f x x x a ===-得或[] ''112141*********;604165757a a a a a a x f x x f x a a a -≤≤->>-∞-+∞-∈<∈+∞>≤-≤≤≤当，即时，函数在（，）为减函数，不符合题意；当，即时，函数在（，）和（，）为增函数，在（，）为减函数。 依题意得，当（，）时，（）当（，）时，（）。所以，，得，即实数的取值范围为，五 、小结 五．回顾总结1.讨论导数的符号来判断函数的单调区间。在某个区间(a ,b )内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 , 那么函数 在这个区间内单调递减.2. 或 只是函数f(x)在该区间为增(减)函数的充分不必要条件. 3.利用导数的符号来判断函数的单调区间充分体现了数形结合的思想。小结知识，加深认识 六、作业 1．习题1.3 A 组 1 2．习题1.3 B 组2、3 设计反思 对于特色班的教学，要适当在基础练习完成，加深对知识点拓展练习和知识的掌握。 ()'0f x >()'0f x <()'0f x >()'0f x <()y f x =()y f x =

导数在研究函数中的应用(含标准答案)

导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我査验】 一、自主归纳 1.利用导函数判断函数单调性问题 函数沧)在某个区间(a, b)的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____________________ ，则刃力在这个区间上是增加的. (2)若____________________ ,则心)在这个区间上是减少的. (3)若____________________ ,则兀丫)在这个区间是常数. 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 ⑴求/(x). (2)在立义域解不等式/(x)>0或/(x)<0. (3)根据结果确定心)的单调区间? 3.函数的极大值 在包含“的一个区间(a，b\函数y=Ax)在任何一点的函数值都_____ 卞点的函数值，称点x()为函数y=J(x)的极大值点,英函数值夬旺)为函数的极大值. 4.函数的极小值 在包含xo的一个区间(a, b),函数y=j(X)在任何一点的函数值都____ %点的函数值，称点x°xo为函数y=J(x)的极小值点，英函数值久比)为函数的极小值.极大值与极小值统称为 ______ ，极大值点与极小值点统称为极值点. 5.函数的最值与导数 1■函数y 在0, b］上的杲大值点心指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 _______ v0)- 2.函数严金)在0,甸上的杲小值点儿指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 _______ ?")- 二、自我查验 1 -函数Ax)=x±elnx的单调递增区间为() A . (0,十 8) B . (一 8 0) C . (一8, 0)和(0,十 8) D . R

2?若函数Ax)=x3 +W十MT十1是R上的单调增函数则加的取值围是____ ?

导数在研究函数中的应用

.-导数在研究函数中的应用

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第2讲 导数在研究函数中的应用 ★ 知 识 梳理 ★ 1. 函数的单调性与导数的关系 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 解析：单调递增；单调递减 2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 解析：极大值点；极小值. 3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根. (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值. 4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法 2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题 3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题 （1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。 问题1. 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； 点拨:根据求导法则有2ln 2()10x a f x x x x '=- +>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22 ()10x F x x x x -'=-=>，，

几个常见函数的导数

§1.2.1几个常见函数的导数 【学情分析】： 本节重要是介绍求导数的方法.根据导数定义求导数是最基本的方法.但是,由于最终总会归结为求极 限,而本章并没有介绍极限知识,因此, 教科书只是采用这种方法计算21 ,,,, y c y x y x y y x =====这五个常见函数的导数.学生只要会用导数公式和求简单函数的导数即可. 【教学目标】： （1）用导数定义, 求函数2 1 ,,,, y c y x y x y y x =====. （2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数. （3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识. 【教学重点】： 能用导数定义, 求函数21 ,,,, y c y x y x y y x =====. 【教学难点】： 能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.

3 (4)(0) y x x =>

练习与测试： A ．基础题. 1．求下列函数的导数： （1）12 y x = （2）y = （3）41 y x = （4）y = 答案：（1）'11 12y x = （2）' y = （3）' 5 4y x -=- （4）2' 5 35 y x -= 2．已知函数2 ()f x x =，则' (3)f =（ ） （A ）0 （B ）2x （C ）6 （D ）9 答案：C 3．已知函数1()f x x =，则' (2)f -=（ ） （A ）4 （B ）14 （C ）4- （D ）1 4 - 答案：D

4．已知函数3 ()f x x =的切线的斜率等于3，则其切线方程有（ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）多余2条 （D ）不存在 答案：B B ．难题 1．已知(1,1),(2,4)P Q -是曲线2 y x =上两点，求与直线PQ 平行的曲线2 y x =的切线方程． '(1,1),(2,4)121 11,24 11424410PQ P Q k y x x y y x x y -∴=====- =---=解：令得所以曲线的切线方程为：即 2．设曲线3 y x =过点3 (,)a a 的切线与直线,0x a y ==所围成的三角形面积为 1 3 ，求a . 3'2 332233 3()|3(,)3()320 2 0,;,3 12 ()1 231 x a k x a a a y a a x a a x a y y x a x a y a S a a a a ===∴-=---======-=∴=±解：过点的切线方程为即令得得

导数在研究函数中的应用教案

第二章函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文)、(理)30～32页 ) , 1. (选修22P28例1改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11) 解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．

2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e 解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e. 3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π] 解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函 数，则b 的取值范围是________． 答案：(－∞，4] 解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在[2， ＋∞)上恒成立． 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大． 答案：10 解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0