圆综合测试题
圆综合测试题
（时间：_______ 满分：120分）
（班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______）
一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列命题中不正确的是（ ）
A.圆是轴对称图形
B.圆的对称轴是直径
C.圆的对称轴有无数条
D.经过圆心的直线都是圆的对称轴
2.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ） A.
2 2 2 2
3.如图，在⊙O 中，∠ABC=50°，则∠AOC 等于（ ） ° ° ° °
4.如图，已知⊙O 的半径为1，△ABC 内接于⊙O ，BD AC ⊥于点D ，OM AB ⊥于点M ，则sin CBD ∠的值等于（ ）
A ．OM 的长
B ．2OM 的长
C ．C
D 的长 D ．2CD 的长
5.若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似.如图，如果扇形AOB 与扇形1110A B 是相似扇形，且半径11:OA O A k =(k 为不等于0的常数).那么下面四个结论： ①∠AOB ＝∠1110A B ；②△AOB ∽△1110A B ；③
11
AB
k A B =；④扇形AOB 与扇形1110A B 的面积之比为2
k ，其中成立的个数为（ ） 个 个 个 个
B
O
O 1
B A
1
第5题图
6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝68°，则∠OBC 的大小是( ) A ．22° B ．26° C ．32° D ．68° O A B C
第3题图 O C B A D
M 第4题图
第6题图
O
C
A
第6题图
7.如图，PA 和PB 是⊙
O
的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径.已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是（ ） ° ° ° °
8.如图，PA,PB 分别与⊙O 相切于A,B 两点.若∠C=65°，则∠P 的度数为（ ） ° ° ° °
9.如图是一块△ABC 余料，已知AB=20cm ，BC=7cm ，AC=15cm ，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（ ）
A.πcm 2 π2 Cπcm 2 πcm 2
10.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示.已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水部分的面积是（ ）
A.（
316π﹣43）cm 2 B.（316π﹣83）cm 2 C.（38π﹣43）cm 2 D.（3
4
π﹣23）cm 2
二、填空题（每小题4分，共32分）
11.已知△ABC 的边BC=4cm ，⊙O 是其外接圆，且半径也为4c m ，则∠A 的度数是____. 12.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°,N 是MB 的中点,P 是直径AB 上的一动点.若MN=1，则△PMN 周长的最小值为 .
13. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为4，则AB 的长为 ，边心
第8题图P O
A B
C
第7题图 第9题图 第10题图 第12题图
第13题图
距OM=
.
14.如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC＝3BC，CD与⊙O相切于D点.若CD＝3，则劣弧AD的长为.
15.如图，⊙O的半径OA=5 cm，弦AB=8 cm点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是cm．
16.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为m．
17.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=°，CD=8cm，则⊙O的半径为cm．
18.赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图所示，若桥的跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径为米．
三、解答题（共58分）
19．（10分）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河的底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于点E.已知
13
12
DOE
sin=
∠.
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
O
A P B
第15题图
第14题图
第16题图第17题图
第18题图
20.（10分）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°.
（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．
21．（12分）如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A，B，D三点，过点B 作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．
（1）求证：ED∥AC；
（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12-16S2+4=0，求△ABC的面积．
22. （12分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留 ）.
第21题图
A
O
B
E
C D
第19题图
第20题图
23．（14分）如图，形如量角器的半圆O 的直径DE=12㎝，形如三角尺的△ABC 中，∠ACB=90°，ABC=30°，BC=12㎝，半圆O 以2㎝/s 的速度从左到右运动，在运动过程中，点D ，E 始终在直线BC 上.设运动时间为t （s ），当t=0s 时，半圆O 在△ABC 的左侧，且OC=8㎝.当t 为何值时，△ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？
B
C E
A
O
D
第22题图
O
A
B
C E
D 第23题图
圆综合测试题参考答案一、
二、°或150°13.
3
π
14.π
3
2
16.0.8 2
三、19.解：（1）因为OE⊥CD，CD=24，所以12
CD
2
1
DE=
=.
在R t△DOE中，因为
13
12
DOE
sin=
∠，所以OD=13.所以半径OD的长为13 m.
（2）由题意，得5
12
-
13
ED
-
OD
OE2
2
2
2=
=
=.所以将水排干需：5÷=10（小时）.
20.解：（1）如图①所示；
（2）如图②，连接OD.设⊙O的半径为r.
因为∠ABC=90°，∠ACB=30°，所以AB=
2
1
AC=r.
因为∠ABD=∠ACD=45°，OD=OC，所以∠ODC=∠CCD=45°，
所以∠DOC=90°.在Rt△ODC中，DC=2
2
2=
+OC
OD r.
因为∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠D EC，所以△ABE∽△DCE.
所以===
2
1
．
第20题图
21. （1）证明：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD =∠DAC．
因为∠E=∠BAD，所以∠E =∠DAC．
因为BE∥AD，所以∠E =∠EDA．所以∠EDA =∠DAC．所以ED∥AC．
（2）解：因为BE∥AD，所以∠EBD =∠ADC．
因为∠E =∠DAC，所以△EBD∽△ADC，且2
BD
k
DC
==．所以2
1
2
4
S
k
S
==，即
12
4
S S
=．
因为2
12
1640
S S
-+=，所以2
22
161640
S S
-+=，即()2
2
420
S-=．
所以
2
1
2
S=．因为3
3
2
=
=
+
=
=
?
CD
CD
CD
CD
BD
CD
BC
S
S
ABC，所以S
△ABC
=
2
3
．①②
22．（1）证明：连接OD.因为BC 是⊙O 的切线，D 为切点， 所以OD ⊥BC.又因为AC ⊥BC ，所以OD ∥AC ，所以∠ADO=∠CAD.
因为OD=OA ，所以∠ADO=∠OAD ，所以∠CAD=∠OAD ，即AD 平分∠BA C. （2）解：连接OE ，ED.因为∠BAC=60°，OE=OA ，所以△OAE 为等边三角形. 所以∠AOE=60°，所以∠ADE=30°.
又因为1302
OAD BAC ∠=∠=，所以∠ADE=∠OAD ，所以ED ∥AO ，所以S △AED ＝S △OED .
所以S 阴影=S 扇形OED =
ππ3
2
3602602=?. 23.解：如图①，当点C 与点E 重合时，半圆O 所在的圆与AC 相切，此时，t=2÷2=1（s ）；
如图②，当点O 运动到点C 时，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F.在Rt △FOB 中，∠FBO=30°，OB=12cm ，则OF=6cm ，即OF 等于半圆O 所在圆的半径，所以AB 与半圆O 所在的圆相切，此时点O 运动了8cm ，所求运动时间为t=8÷2=4（s ）；
如图③，当点O 运动到BC 的中点时，OC=OD=6cm.又∠ACB=90°,所以AC 与半圆O 所在的圆相切，此时点O 运动了14cm ，所求运动时间为t=14÷2=7（s ）；
如图④，当点O 运动到B 点的右侧，且OB=12cm 时，过点O 作QO ⊥直线AB ，垂足为Q ，在Rt △OQB 中，∠OBQ=30°，则OQ=6cm ，等于半圆O 所在圆的半径，所以直线AB 与半圆O 所在的圆相切，此时点O 运动了32cm ，所求运动时间为t=32÷2=16（s ）. 综上，当t 为1s,4s,7s,16s 时，△ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切.
第23题图
O A
B
C
E D O A
E
C B
D ②
O A
B
C
E D ③
① O A
B
C
E
D ④