含参量反常积分一致收敛的判别法
题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名
学号
系别数学系
年级2010级
专业数学与应用数学
指导教师
职称
完成日期
摘要
含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法
Abstract
Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression.
Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis
目录
1引言 (1)
2基本概念 (1)
2.1含参量反常积分 (1)
2.2含参量反常积分一致收敛 (2)
3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2)
3.1定义法 (2)
3.2柯西准则法 (3)
3.3变上限积分的有界性法 (3)
3.4确界法 (4)
3.5微分法 (5)
3.6级数判别法 (6)
3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6)
3.8狄里克莱判别法 (8)
3.9阿贝尔判别法 (8)
4结束语 (1)
参考文献 (10)
致谢 (11)
含参量反常积分一致收敛的判别法
柯美蓉
（闽江学院 数学系；福建 福州 350108）
1.引言
含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,是研究和表达函数，特别是非初等函数的有力工具.为了讨论含参变量反常积分的连续性、可微性和可积性，我们需要引进含参变量反常积分的一致收敛性的概念，它和函数项级数的一致收敛性的意义是相当的.
现行的数学分析教材[1-3
、5]
给出的含参量反常积分的一致收敛的判别法主要
是一致收敛定义、柯西准则、维尔斯特拉斯判别法、狄里克莱判别法及阿贝尔判别法，它们都有一定的局限性，不适用于每种含参量反常积分的一致收敛性的判别.
为了更好的判别含参量反常积分的一致收敛性，本文研究、归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的九种方法:一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M 判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点，以便于人们的研究、理解.
2.基本概念
2.1 含参量反常积分
设函数),(y x f 定义在无界区域},),{(I y x a y x R ∈+∞<≤=上，其中I 为区间
[]d c ,,反常积分dx y x f a
?+∞
),(都收敛，则它的值是 y 在[]d c ,上取值的函数，当记
这个函数为)(y Φ时，则有
I y dx y x f y a
∈=Φ?+∞
,),()(， （2-1）
称dx y x f a
?
+∞),(式为定义在I 上的含参量y 的无穷限反常积分，或简称含参量反常
积分[1].
2.2 含参量反常积分一致收敛
若含参量反常积分dx y x f a
?
+∞),(与函数)(x Φ对任给的正数,存在某一实数
a N >，使得当N M >时,对一切[]d c y ,∈都有 ε<Φ-?
M
a
y dx y x f )(),(，
（2-2） 即
ε
+∞
M
dx y x f ),(， （2-3）
则称含参量反常积分dx y x f a
?+∞
),(在I 上一致收敛于)(y Φ，或者简单的说含参量
积分dx y x f a
?+∞),(在I 上一致收敛.
3.含参量反常积分一致收敛的判别方法
3.1 定义法
定义判别法：根据以上2.2 关于含参量反常积分一致收敛的定义进行判别. 例3-1 证明：含参量反常积分dy xe xy ?+∞
-0在()+∞,0内不一致收敛，但是在[)+∞,α上
一致收敛（其中0>α）[2].
分析 由含参量反常积分一致收敛定义可知，含参量反常积分()dy y x f ?
+∞0
,在
()+∞,0上不一致收敛指：存在00>ε对任何实数00>A ,总存在0A A >和
()+∞∈,0x ，
st ()0,ε≥?
+∞
A
dy y x f .
（3-1） 证明 1）当0>x 时，
dt e dy xe Ax
t xy
t A
xy
?
?
+∞
-=+∞
-=
令
+∞
--=Ax
t
e
Ax e -=
取1010=ε ，00>?A ，取0A A >,()+∞∈=,01
A x ,
有
011
10
1
ε=>
===-?
--∞
+-?
e e
e
dy xe A
A Ax
A
xy ， ∴含参量反常积分dy xe xy ?+∞
-0
在()+∞,0内不一致收敛.
2)由1）可知
dy xe A xy ?+∞
-Ax e -=，
0>?ε，ε<-Ax e 可知ε1ln 1x A >，故可取εα1
ln 10=A ，
则当0A A >时，对所有的[)+∞∈,αx 有
ε<=-+∞
-?
Ax A
xy e dy xe ，
从而含参量反常积分dy xe xy ?+∞
-0
在[)+∞,α上一致收敛.
用含参量反常积一致收敛的定义证明含参量反常积分的一致收敛性，通常使用的方法是适量放大.
3.2 柯西准则法
定理3-1（一致收敛柯西准则） 含参量反常积分dx y x f a
?
+∞),(在I 区间上一致收
敛?N A stA a N >>?>?21,,,0ε，12A A >时，对I y ∈?，有
ε
2
1
),(A A dx y x f .
（3-2）注：使用柯西准则讨论一致收敛性具有很大的优越性，难度大大减少，这是因为使用这方法只要考虑充分后的有限区间[]A A ''',,而不要考虑充分后的无穷区间
[)+∞,A [3].
例3-2 设()y x f ,在无界区域},),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x R 上连续，对所有
[]b a x ,∈，含参量反常积分()dy y x f c
?
+∞
,收敛，但b x =时积分发散，证明：
()dy y x f c
?
+∞
,在[]b a x ,∈上非一致收敛.
证明 1） ()dy y b f c
?
+∞,发散，
∴00>?ε，00>?A ,0A A A >'>''?,st
()0
2,ε
≥?'
''
A A dy y b f .
2） ()y x f ,在无界区域},),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x R 上连续， ∴在有界闭区域},),{(A y A b x a y x R ''≤≤'≤≤=上一直连续，
∴对00>ε，0>?ξ，当[]b a x x ,,21∈，[]A A y y '''∈,2,1， ξ<-21x x ， ξ<-21y y ，有
()()A A y x f y x f '
-''<
-0
2211,,ε，
∴当ξ<-b x 时，有
()()A A y b f y x f '
-''<-0
,,ε，
∴
()()()0
,,ε
<-?'
''
A A dy y b f y x f
3）根据1）、2）可得
()()()()()??
?
'''
'
''
'
''
+-=
A A A A A A dy y b f dy y b f y x f dy y x f ,,,,
()()()()??
'
''
'
''
--
≥
A A A A dy y b f y x f dy y b f ,,,
0ε≥,
00>?∴ε，c A >?0，0A A A >'>''?,[]b a x ,∈，
()0,ε≥?'
''dy y x f st A A .
所以()dy y x f c
?
+∞
,在[]b a x ,∈上非一致收敛.
3.3 变上限积分的有界性法
定理3-2 若函数),(y x f 在无界区域},),{(I y x a y x R ∈+∞<≤=，)0(>a 连续，且
()R y x M ∈?>?,,0，有
()()M dt y t f y x F x
a
≤=
?,,，
（3-3） 即()()dt y t f y x F x
a ?=,,在R 有界，则当0>δ,含参量反常积分()dy x y x f a
?∞
+δ
,在区间
I 上一致收敛[4].
（分析：由给定的条件可以推理出满足狄利克雷判别法的条件的） 证明 1） ()R y x M ∈?>?,,0，有 ()()M dt y t f y x F x
a
≤=?,,，
即()()dt y t f y x F x
a ?=,,在R 有界；
2）对所有的[]d c y ,∈，当+∞→x 时，对于参变量y ，δ
x
1一致收敛于0，且δ
x 1
关于x 是单调递减的；
则由狄利克雷判别法可得到含参量反常积分()dy x
y x f a
?∞+δ,在区间I 上一致收敛. 例3-3 判断含参量反常积分dx x
x
e x
50sin ?+∞
-λ在区间[)+∞,0的一致收敛性. 解 依题意可得：()()()λλλ,,,21x F x F x F +=， 其中
()dt t e x F t ?-=1
01sin ,λλ，
()dt t e x F x
t ?-=1
2sin ,λλ，
()()+∞<≤+∞<≤∈?∴λλ0,1,x R x ， 有
()dt t e x F x
t ?
-=
1
2sin ,λλ()()+∞→→++≤
-λλλλ
01122
e 而()dt t e x F t ?-=10
1sin ,λλ是定积分，所以必然有界， 即M ?，()R x ∈?λ,，使得 ()M tdt e x F x
t ≤=?
-0
sin ,λλ；
又05>=n
∴含参量反常积分dx x
x
e x
50sin ?+∞
-λ在区间[)+∞,0是一致收敛的. 3.4 确界法
定理3-3 含参量积分()dx y x f a
?
+∞,在I 上一致收敛?[
()0,sup lim =?
+∞
∈A
I
y dx y x f .
例3-4 分析讨论含参量积分()()+∞∈?+∞
-,00
λλλdx e x 的一致收敛性[5].
解 1）当0>λ时，令λx t =，可得
dt e dx e A
t A
x ??
+∞
-+∞
-=λλλ
+∞--=A
t
e λ
A e λ-=，
∴()()1sup
,0==?
+∞
-+∞∈dx e A F A
x λλλ ，
即
()01lim ≠=+∞
→A F A ，
∴含参量反常积分dy xe xy ?+∞
-0
在()+∞,0内不一致收敛.
2）若任取0>α，就能发现
()[)A e dx e A F A
x αλαλλ-+∞
-+∞∈==?
,sup
，
∴()0lim =+∞
→A F A
从而含参量反常积分dy xe xy ?+∞
-0
在[)+∞,α上一致收敛.
3.5 微分法
定理3-4 设1）函数()y x f ,关于[]d c y ,∈可微； 2）()dx y x f a
y ,?
+∞关于[]d c y ,∈一致收敛；
3）存在一点[]d c y ,∈'，使得含参量积分dx y x f a
?+∞'),(收敛；
则含参量反常积分dx y x f a
?
+∞),(在[]d c ,上一致收敛[6].
证明 对[]y c y '∈?,，在[][]d c y y ,,?'，对[)+∞∈?,a x 有
()()()()1,,, dy y x f y x f y x f y y
y ?'
=-'
()dx y x f a y ,?+∞
关于[]d c y ,∈一致收敛， ∴()dx y x f a
y ,?
+∞
关于[]y c y '∈,也是一致收敛的，
∴[]y c y '∈?,，()ε1A ?,st 对()ε1,A A A >'''?有
()()
()22, c y dx y x f A A y -'<
?
'
''
ε
含参量积分dx y x f a
?
+∞
'),(收敛,
∴0>?ε,()y A '?,2ε，st 对()y A A A '>'''?,,2ε有
()()32
, ε
<'?
'
''
A A dx y x f
令()(){}y A A A '=,,max 210εε，则对0,A A A >'''?，式子（2）、（3）同时成立，
∴当[]y c y '∈,时，
()()()?
??'
''
'
'''
??
? ??-'=A A y y y A A dx dy y x f y x f dx y x f ,,,
()()dx dy y x f dx y x f A A y y
y A A ??
?
'
''
'
'
''
+
'<,,
()dy dx y x f y y
A A y ?
?
'
'
''
+<,2
ε
()
()εεεε
ε
=+<-'-'+
<2
2
22
y y c y ，
即含参量积分dx y x f a
?
+∞
),(关于[]y c y '∈,一致收敛，
同理可得含参量积分dx y x f a ?+∞),(关于[]d y y ,'∈也一致收敛， 总结可得含参量积分dx y x f a
?
+∞
),(关于[]d c y ,∈一致收敛.
例3-5 判断含参量积分xydy e y 2cos 0
42
?+∞
-在()+∞∞-∈,x 上的一致收敛性.
解 对固定的()+∞∞-∈,x ，有
02cos lim
2cos lim 2
2
4242==∞→-∞
→xy e
y xy e
y y y y y ，
∴对固定的()+∞∞-∈,x ，含参量积分xydy e y 2cos 0
42
?+∞
-在()+∞∞-∈,x 上收敛，
设()xy e y x f y 2cos ,2
4-=，
则
()dy xy ye
dy y x f y x ??
+∞
-+∞
-=0
40
2sin 2,2
，
∴()
2
2
4342
,2sin sup y y x e
y xy ye
y =
?-+∞∞-∈，
∴()
02sin sup
lim
2
42,=?-+∞∞-∈+∞→xy ye y y x y ，
∴由一致收敛柯西判别法可知()dy y x f x ?
+∞
,在()+∞∞-∈,x 内一致收敛，
∴含参量积分xydy e y 2cos 0
42
?+∞
-在()+∞∞-∈,x 范围上的一致收敛.
3.6 级数判别法
定理3-5 含参量反常积分
dx y x f a
?
+∞
),(在[]d c ,上一致收敛?函数项级数
()()∑∑?
∞
=∞
==+1
1
1
,n n n A A y u dx y x f n n
在[]d c ,上一致收敛，
其中n A 是数列{}n A 的项，数列{}n A 满足以下条件： 1）a A =1;
2）数列{}n A 为递增数列； 3）数列{}n A 趋于∞+.[7] 例3-6 证明含参量反常积分()
du u
v u ?
∞++1
3
2
21ln 关于v 在[]1,0是一致收敛的. 证明 令()()
32
21ln ,u v u v u f +=，
[)+∞∈,1u ，[]1,0∈v ，
∴()()
01ln ,3
2
2>+=
u v u v u f ， 同时可知：二元函数()v u f ,关于u 在[)+∞,1上单调递减，
令函数项级数为()[]()1,0,1ln 1
3
22∈+∑∞
=v n v n n ， ()()
3
2
3221ln 1ln n n n v n +≤
+， 又 ()
01ln lim 3
2
2
=+?
∞→n n n n ， ∴函数项级数为()∑∞
=+1
3
221ln n n v n 收敛， 根据函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法（M 判别法）可得到：
函数项级数()∑∞
=+1
3
221ln n n v n 关于v 在[]1,0是一致收敛的， 由级数判别方法定理可知含参量反常积分()
du u v u ?∞
++1
3
2
21ln 关于v 在[]1,0是一致收敛的.
3.7 维尔斯特拉斯判别法（简称M 判别法）
定理3-6 (维尔斯特拉斯判别法)： 设存在函数()x g ，满足以下条件： 1）使得()()x g y x f ≤,，[)+∞∈,a x ，[]d c y ,∈， 2）()dx x g a ?+∞
收敛，
则含参量反常积分dx y x f a
?
+∞
),(在[]d c ,上一致收敛.[8]
要点：使用M 判别法关键在于将被积函数绝对值()y x f ,放大，从而找出符合条件的()x g .
值得注意的是:维尔斯特拉斯的M 判别法虽然比较简单，但是有一定的局限性，能用M 判别法证明是一致收敛的含参量反常积分一定是绝对一致收敛的，但是绝对一致收敛的含参量反常积分并不能全用M 判别法证明它的一致收敛性，同时条件一致收敛的含参量反常积分也不能用M 判别法来判别一致收敛性.
例3-7 判断()() ,2,11ln 12
110
2=??
?
??++++?n dx a a a a n 是否一致收敛.
解 0=a 为奇点，
()
2
121
2
1ln 111ln 1??
? ??-≤???
??++++x a a a a
a n ，
而00111ln 11lim 1ln 11lim 212
102
121
0=?=??
? ????? ???-=??
?
??-?→→a a a a a a a a ， 故积分dx a a 2
1
1
01ln 11??
?
??-?
收敛， 从而()() ,2,11ln 12
110
2=??
?
??++++?n dx a a a a n 一致收敛.
例3-8 证明积分()?+∞
+-0
sin 2
tdu e u α，0>α在[)+∞∈,0t 中一致收敛.
证明 当0→t 时，
0sin →-t
t
e t α， 0>?∴δ，st 当δ< π ε α2sin < -t t e t ， 于是 ( )? ? +∞-+∞ +--=A t A u du e t e tdu e tu 2 2 sin sin αα ?∞+--=A t x t dx e t t e 2 sin α επ ε =< ? +∞ -0 2 2dx e x . 当0=t 时，有 ()εα +∞ +-A u tdu e sin 2 ， ∴当[)δ,0∈t 时，0>?A ，有 ()εα +∞ +-A u tdu e sin 2 ， 当+∞<≤t δ时，有 ()(),sin 2 22u u u e e t e δαδα-+-+-≤≤ ∴?+∞ -0 2 du e u δ收敛， ∴由维尔斯特拉斯判别法可知:积分()?+-tdu e t u sin 2 α在[)+∞∈,δt 时一致收敛， ∴当[)+∞∈,δt 时，00>?A ,st 对0A A >?,有 ()εα +∞ +-A u tdu e sin 2 ， ∴综合上述得：0>?ε，00>?A ,st 当0A A >时， ()εα +∞ +-A u tdu e sin 2 对每个 [)+∞∈,0t 成立. ∴积分( )?+∞+-0 sin 2 tdu e u α，0>α在[)+∞∈,0t 中一致收敛. 3.8 狄利克莱判别法 定理3-7（狄利克莱判别法）：设()()()y x h y x g y x f ,,,=，若满足以下条件： 1）存在0>N ，对所有满足a A >的实数A 以及[]d c y ,∈，都有 ()N dx y x h A a ≤?,， 即对所有对所有满足a A >的实数A ，含参量正常积分()dx y x h A a ?,对参量y 在 []d c ,上一致有界； 2）对于所有[]d c y ,∈，函数()y x g ,关于x 是单调递减的，而且当+∞→x 时，对参量y ，()y x g ,一致收敛于0； 则含参量反常积分dx y x f a ? +∞),(在[]d c ,上一致收敛. 例3-9 证明含参量积分dx y x xy ?+∞ +0 sin 在[)+∞',y 上一致收敛，其中0>'y . 证明 y y '≥?，函数 y x +1关于x 单调下降，且x y x 1 1≤+， ∴当+∞→x 时，函数 y x +1 关于y 在[)+∞',y 上一致收敛于0， 又 0>?A ，0>'≥?y y ，有 y y Ay xydx A ' ≤ -= ? 2cos 1sin 0 ， ∴根据狄利克莱判别法可得到：含参量积分dx y x xy ? +∞ +0 sin 在[)+∞',y 上一致收敛. 3.9 阿贝尔判别法 定理3-8（阿贝尔判别法）：设()()()y x h y x g y x f ,,,=，若满足以下条件： 1）对所有[]d c y ,∈，函数()y x g ,是关于x 的单调函数，且对参量y ，()y x g ,在 []d c ,上一致有界； 2）dx y x h a ?+∞ ),(在[]d c ,上一致收敛； 则含参量反常积分dx y x f a ? +∞),(在[]d c ,上一致收敛.[9] 例3-10 证明含参量积分dx e x x x α-+∞? sin 在0≥α范围上关于α一致收敛. 证明 1） x e α-关于x 是单调函数， ∴x e α-关于α是x 上的一致有界函数， 即 ()0,010≥≥≤≤-x e x αα， 2） dx x x ? +∞ 0sin 收敛，不含参数α， ∴dx x x ?+∞0sin 关于α一致收敛， 综合1）、2），由阿贝尔判别法可得到含参量积分dx e x x x α-+∞ ?0 sin 在0≥α范围上关于α一致收敛. 4.结束语 含参量反常积分是很重要的积分，研究它的连续性、可微性和可积性的关键在于研究它的一致收敛性.本文介绍一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法这九种判别方法，这些方法适用于不同含参量反常积分一致收敛的判定，每个判别法都有它的优点，同时也存在着一定的局限，选用恰当的方法能使判定过程变得方便、简单. 然而，含参量反常积分一致收敛的判别法不只有这九种，还有很多方法等着人们去发现，去探讨，去挖掘. 参考文献 [1] 华东师范大学数学系．数学分析(第四版)[M]．北京：高等教育出版社，2010.6. [2] 洪毅．数学分析[M]．广州：华南理工大学出版社，2002.3. [3] 罗俊，汪名杰，高敏.数学分析习题与解析[M]．北京：兵器工业出版社，2008.9. [4] 赵文强.关于含参量广义积分一致收敛性的教学研究[J]．重庆工商大学学报：自然科学版，2011.28(5): 460-461. [5] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993.5. [6]张永峰．含参量反常积分局部一致收敛于连续［J］．咸阳师范学院学报，2006，21( 6) : 59-60. [7]张振祺．含参量反常积分局部一致收敛的判别法［J］．榆林学院学报，2010，20( 6) : 1-3. [8]张国才王恕达含参量积分的局部收敛性（I ）［J］。牡丹江大学学报，2003，（8）. [9]郭伟艳，张国才，王恕达．含参量积分局部一致收敛的判定［J］．牡丹江师范学院学报( 自然科学版) ，2006( 2) : 5-6． 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21< =p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤ p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； 关于函数项级数一致收敛判别法的充要条件 作者：杨洪， 张宏礼， YANG Hong， ZHANG Hong-li 作者单位：黑龙江八一农垦大学文理学院,黑龙江,大庆,163319 刊名： 大庆师范学院学报 英文刊名：JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITY 年，卷(期)：2009，29(6) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.陈传璋.金福临.宋学员数学分析 2000 2.刘玉琏.傅沛仁数学分析 1992 3.吉米多维奇数学分析习题集题解 1981 4.吴从析.熊启才模糊值函数级数的绝对一致收敛性 2007(05) 相似文献(10条) 1.期刊论文孙德荣.Sun Derong函数项级数一致收敛的积分判别法-昌吉学院学报2009,""(6) 在数值级数的收敛判别法中,正项级数的积分判别法解决了一类正项级数与无穷积分的收敛判别问题,在此基础上,本文进一步研究函数项级数一致收敛的积分判别法,并以此解决一类函数项级数与含参变量无穷积分的一致收敛判别问题. 2.期刊论文孔晓东浅析函数项级数非一致收敛的证明-中国科技信息2006,""(16) 通过实例介绍了三种函数项级数非一致收敛的证明方法,即函数项级数非一致收敛的ε-N定义、确界法和柯西收敛准则. 3.期刊论文李岚函数项级数一致收敛定义的推广及其应用-陕西教育学院学报2003,19(2) 利用数列对用定义判别函数项级数一致收敛的方法进行推广,找到函数项级数一致收敛的充分条件和充要条件,提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法. 4.期刊论文王宏志.王煜函数项级数与含参变量积分一致收敛判定的统一性-通化师范学院学报2008,29(4) 函数项级数及含参变量积分是分析学中的重要内容,文中探讨了二者在一致收敛判剐法上的一致性,阐述了函数项级数及含参变量积分的内在关系. 5.期刊论文函数项级数一致收敛的判别法-甘肃联合大学学报（自然科学版）2009,23(5) 给出了判断函数项级数一致收敛的多种方法,并对每种新方法给予严格证明,内容丰富,方法多样,以利于对函数项级数一致收敛的深入了解和更为广泛的应用. 6.期刊论文王秀玲.杨雯雯.WANG Xiu-ling.YANG Wen-wen函数项级数一致收敛概念的教学设计与实践-安庆师范学院学报（自然科学版）2009,15(4) 以问题为中心进行探索式教学是当今数学教研改革的重点,本文以函数项级数的一致收敛概念的教学设计为例探讨了以问题为中心进行教学的实践 ,结果表明这是一种很好的教学模式. 7.期刊论文陶思俊.黄新仁函数项级数"非一致收敛"的几种证法-硅谷2008,""(20) 结合实例,讲解了函数项级数非一致收敛的三种常见证法,即利用柯西准则证明、利用余项上确界的极限不为零证明及利用和函数的连续性证明. 8.期刊论文刘庆升.翟永恒.刘桂仙函数项级数一致收敛的判别法-科技信息2009,""(9) 为了开阔思路,更好的理解和掌握函教项级数一致收敛的方法,本文对函数项级数一致收敛的几种判别法,分析、归纳和总结. 9.期刊论文李勇.LI Yong函数项级数一致收敛充要条件的一个注记-重庆文理学院学报(自然科学版)2006,5(2) 论述了函数序列和函数项级数一致收敛的概念和相关定理,并进一步给出了以往教材中没有提到的关于判别函数项级数一致收敛的一个有效充要判别法. 10.期刊论文杨玉敏Fuzzy值向量函数列及函数项级数的一致收敛性-鞍山师范学院学报2001,3(3) 引入了Fuzzy值向量函数列及函数项级数一致收敛的概念,给出了它们一致收敛的判别法;研究了一致收敛的函数列及函数项级数的解析性质. 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/452486578.html,/Periodical_dqgdzkxxxb200906019.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：5d32f8da-42ac-4e79-9a0a-9dcf00a6ca54 下载时间：2010年8月11日 反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛； 2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6. 一、本课题研究现状及可行性分析 目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M 判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。 函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于()n u x 一致收敛性的判别法，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。 基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< 内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分 目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10. 函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件） 第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数. 反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级 2012级 学号 2 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩 75分 目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言 --------------------------------------------------------------------- -------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9) (5).阿贝尔判别 法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10) 参考文献 (11) 摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性 1 / 1 考研数学（二）真题解析：反常积分敛散性的判定 来源：文都教育 研究生入学考试大纲数学二对反常积分这个知识点的要求是：了解反常积分的概念，会计算反常积分。从大纲要求看出，大纲对反常积分敛散性的判定要求比较低，但是近些年数二经常考敛散性的判定，所以考研的同学对此知识点不可小觑。下面文都老师把数二近三年考到的这个知识点的两道真题帮大家分析一下。 【数二】下列反常积分中收敛的是（ ） （）21d x x +∞? （）2ln d x x x +∞? （）21d ln x x x +∞? （）2d x x x e +∞? 解析： 221d 2x x x +∞+∞==∞?，所以21d x x +∞?发散 ()222ln 1d ln 2 x x x x +∞+∞==∞?，所以2ln d x x x +∞?发散 221d ln ln ln x x x x +∞+∞==∞?，所以21d ln x x x +∞?发散 22222|3,x x x x x dx xde xe e dx e e +∞ +∞+∞--+∞--=-=-+=???收敛. 应选（） 本题主要是应用牛顿—莱布尼兹公式的推广来判定反常积分的敛散性，题目比较简单。 【数二】设函数()111,1,(1)1,.ln x e x x e x x αα-+?< () 20α-<< () 02α<< 解析： 1111()(1)ln e e dx dx f x dx x x x αα+∞+∞-+=+-??? 1111lim(1)1(1)x x x αα--→-=-，因为11(1)e dx x α--?收敛，所以11α-<，即2α< 又因为1111(ln )(ln )|ln ln e e e dx d x x x x x αααα+∞ +∞-+∞++==-?? 因为1ln e dx x x α+∞+?收敛，所以0α>，因此02α<<。 应选（） 本题是用反常积分敛散性的判定定理和牛顿—莱布尼兹公式的推广来判断反常积分的敛散性，属中等难度。 学年论文 题目：一致收敛判别法总结 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：张学玉 学号：201071010374 指导教师：陶菊春 一致收敛判别法总结 学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春 摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。 Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysis of the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics. 关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法 Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion 引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。初学者需用灵活的思维以便在使用时选出正确又快捷的证明方法和技巧。为了更好的培养我们这方面的能力，总结出了函数项级数一致收敛性的若干证明方法。 一、定义 设(){}x S n 是函数项级数()x u n ∑的部分和函数列.若(){}x S n 在数集D 上一致收敛于函数()x S ，则称函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛于函数()x S ，或称函数项级数 ()x u n ∑在D 上一致收敛. 定理：若对?n ，?n a >0使得()()n n a x S x S ≤-()D x ∈?,并且当∞→n 时有 0→n a .则当∞→n 时()x S n 一致收敛于()x S . 例1：若()x f n 在[]b a ,上可积， ,2,1=n ，且()x f 与()x g 在[]b a ,上都可积 习题82反常积分的收敛判别法 习题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中?Skip Record If...?或?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在?Skip Record If...?上恒有?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?是正常数。则 当?Skip Record If...?收敛时?Skip Record If...?也收敛； 当?Skip Record If...?发散时?Skip Record If...?也发散。 证当?Skip Record If...?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?： 。 ?Skip Record If...? 于是 ， ?Skip Record If...??Skip Record If...? 所以?Skip Record If...?也收敛； 当?Skip Record If...?发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?： 。 ?Skip Record If...? 于是 ， ?Skip Record If...??Skip Record If...? 所以?Skip Record If...?也发散。 XX财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级2012级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75分 目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9) (5).阿贝尔判别法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10) 参考文献 (11) 摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性 函数项级数一致收敛性判别法及其应用 数学科学学院08级蒙班 包艳玲 20082115054 指导老师 苏雅拉图 摘 要：本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法，并通过例题给出了它的应用. 关键词：一致收敛，函数项级数，和函数. 下面我要给出函数项级数的一致收敛性的定义 定义 设给定函数项级数∑∞ =1 )(k k x u ，如果它的部分和序列= )(x S n ∑=π 1 )(k k x u 在 区间I 一致收敛到和函数)(x S ;那么称级数∑∞ =1 )(k k x u 在区间I 一致收敛到和函数 )(x S , 即用N -ε语言来叙述，函数项级数∑∞ =1 )(k k x u 在区间I 一致收敛到)(x S ，是指对 任给的0>ε，存在于x 无关的N ，只要N n >就有 ε<-= -∑=n k k n x S x u x S x S 1 )()()()( 对一切I x ∈一直成立. 例1 证明函数项级数∑∞ =-1 1k k x 在??? ???-21,21一致收敛. 证明 已知∑∞ =-1 1 k k x =x x n --11，?? ? ???-∈21,21x 时 x x x x S n n k k n --= =∑=-11)(1 1 ε<≤-≤-=--12111)()(n n n n x x x x x S x S ；??? ???-∈21,21x 时取121ln ln +????? ? ??????=εN 则只要N n >，就有ε<-)()(x S x S n ；??? ???-∈21,21x ， ∑∞ =-1 1 k k x 在??????-21,21一致收敛. 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分 ?+∞ a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛，则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 第十一章反常积分 教学目的： 1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义； 2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。 教学时数：8学时 § 1 反常积分概念（2学时） 教学目的：深刻理解反常积分的概念。 教学重点难点：反常积分的含义与性质 一问题的提出:例（P264）. 二两类反常积分的定义 定义1. 设函数定义在无穷区间上，且在任何有限 区间上可积，如果存在极限 （1） 则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称 无穷积分），记作,并称收敛. 如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散. 定义2. 设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积，如果存在 极 则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作 并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积 分发散. 例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 . ⑵计算积分. 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴; ⑵. 例3 讨论积分的敛散性 . 例4判断积分的敛散性 . 例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 . 三瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有 ，把无穷积分化成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 . §2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时） 教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。 教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 一无穷积分的性质 ⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间 上可积,且. ⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且. ⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:习题反常积分的收敛判别法
习题反常积分的收敛判别法
数项级数一致收敛判别法的充要条件
反常积分的收敛判别法
函数项级数一致收敛的判定开题报告
习题8.2反常积分的收敛判别法
反常积分的敛散性判定方法
函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用
反常积分
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
函数项级数一致收敛性的判别法
反常积分的敛散性判定方法
考研数学(二)真题解析反常积分敛散性的判定
一致收敛判别法总结
最新习题82反常积分的收敛判别法
反常积分的敛散性判定方法
函数项级数一致收敛性判别法及其应用
广义积分的收敛判别法
数学分析之反常积分