八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷综合测试(Word版 含答案)

八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷综合测试（Word 版 含答案）

一、压轴题

1．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=

1

2

x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；

（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．

①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式； ②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；

③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

2．在ABC 中，AB AC =，D 是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE .

（1）如图，当 D 在线段BC 上时，求证：BD CE =.

（2）如图，若点D 在线段CB 的延长线上，BCE α∠=，BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.

（3）如图，当点D 在线段BC 上，90BAC ∠=?，4BC =，求DCE

S

最大值.

3．如图，在ABC ?中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=?==，过点C 做射线CD ，且

//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从

点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：

（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度； （2）当2t =时，请说明//PQ BC ； （3）设BCQ ?的面积为(

)2

S cm

，求S 与t 之间的关系式．

4．如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（﹣3，0），D 为x 轴上的一个动点且不与B ，O 重合，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得线段AE ，使得AE ⊥AD ，且AE ＝AD ，连接BE 交y 轴于点M ．

（1）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时， ①若D 点的坐标为（﹣5，0），求点E 的坐标． ②求证：M 为BE 的中点． ③探究：若在点D 运动的过程中，OM

BD

的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

（2）请直接写出三条线段AO ，DO ，AM 之间的数量关系（不需要说明理由）．

5．在平面直角坐标系中点 A （m ?3，3m +3），点 B （m ，m +4）和 D （0，?5），且点 B 在第二象限．

（1）点B 向平移单位，再向下平移（用含m 的式子表达）单位可以与点A 重合；（2）若点B 向下移动 3 个单位，则移动后的点B 和点A 的纵坐标相等，且有点 C（m?2，0）．

①则此时点A、B、C 坐标分别为、、．

②将线段AB 沿y 轴负方向平移n 个单位，若平移后的线段AB 与线段CD 有公共点，求n 的取值范围．

③当m

6．已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，－4），M（4，－4）．

（1）如图1，若点C与点O重合，A（－2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；

（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证∠NEF＝2∠AOG．

7．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分

∠EPK，求∠HPQ的度数．

8．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC

上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？

9．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：

（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？

（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF

10．如图1，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，且点()6,10C ，点

()0,2D ，点P 为矩形AC 、CB 两边上的一个点．

（1）当点P 与C 重合时，求直线DP 的函数解析式；

（2）如图②，当P 在BC 边上，将矩形沿着OP 折叠，点B 对应点B '恰落在AC 边上，求此时点P 的坐标．

（3）是否存P 在使BDP ?为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

11．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． （初步思考）

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （深入探究）

第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．

（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．

第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．

（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ．

第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．

（3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等，并作简要说明．

12．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．

（1）求OAB ∠的度数；

（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=?，求点D 的坐标．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）b=

72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32

t ﹣27

2

；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+2或9﹣2或6时，△APQ 为等腰三角形． 【解析】

分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；

（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据

1

2

P S AQ y =

?即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22

t -<即可求得7

2

2

2(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()2

2

2(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()2

22(71)03(72)t t -++-=--， 即可求得．

详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点， ∴3=?m +2，解得m =?1， ∴点P 的坐标为(?1,3)， 把点P 的坐标代入212y x b =

+ 得,()1

312

b =?-+，

解得72b =； (2)∵72

b =

； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72， ∴C 点的坐标为(?7,0)，

①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)， ∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7?t =9?t ，

∴11273(9)32222S AQ yP t t =?=?-?=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t ?9，

∴11327(9)32222

S AQ yP t t ；=

?=?-?=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327

.22

S t =- ②∵S <3，

∴273322t -<或327

3.22t -< 解得7

③存在； 设Q (t ?7,0)，

当PQ =PA 时,则()()()222

2(71)032103,t -++-=++-

∴22

(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)，

当AQ =PA 时,则()()22

2(72)2103,t --=++-

∴2

(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()2

22(71)03(72)t t -++-=--，

∴22

(6)9(9)t t -+=-，

解得t =6.

故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．

点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键. 2．（1）见解析；（2）αβ=，理由见解析；（3）2 【解析】 【分析】

（1）证明()ABD ACE SAS ?△△，根据全等三角形的性质得到BD CE =； （2）同（1）先证明()ABD ACE SAS ?△△，得到∠ACE=∠ABD ，结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示∠ACE ，得到α和β关系式；

（3） 同（1）先证明()ABD ACE SAS ?△△，得到ABC ADCE S S ?=四边形，那么

DCE ADE ADCE S S S ??=-四边形，当AD BC ⊥时，ADE S ?最小，即DCE S ?最大．

【详解】

解：（1）∵BAC DAE ∠=∠， ∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠， ∴BAD CAE ∠=∠， 在ABD △和ACE △中，

AB AC BAD CAE AD AE =??

∠=∠??=?

， ∴()ABD ACE SAS ?△△， ∴BD CE =；

（2）同（1）的方法得()ABD ACE SAS ?△△， ∴∠ACE=∠ABD ，∠BCE=α， ∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α， 在ABC 中， ∵AB= AC ，∠BAC=β， ∴∠ACB=∠ABC =

12(180°-β)= 90°-1

2

β， ∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+1

2

β， ∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-1

2

β+α， ∵∠ACE=∠ABD = 90°+1

2

β， ∴90°-

12β+α= 90°+1

2

β， ∴α = β；

（3）如图，过A 做AH BC ⊥于点H ， ∵AB AC =，90BAC ∠=?， ∴45ABC ∠=?，1

22

BH AH BC ==

=， 同（1）的方法得，()ABD ACE SAS ?△△，

AEC ABD S S ??∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S ????+=+，

即1

42

ABC ADCE S S BC AH ?==

?=四边形， ∴DCE ADE ADCE S S S ??=-四边形，

当ADE S ?最小时，DCE S ?最大，

∴当AD BC ⊥2AD =，时最小，21

22

ADE S AD ?=

=， 422DCE S ?∴=-=最大．

【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的． 3．（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）见解析；（3）S=16-2t ． 【解析】 【分析】

（1）直接根据距离=速度?时间即可； （2）通过证明PCQ BQC ?，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；

（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M ，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．

【详解】

解：（1）CP=3t ，BQ=8-t ； （2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6 ∴CP=BQ ∵CD ∥AB ∴∠PCQ=∠BQC 又∵CQ=QC ∴

PCQ BQC ?

∴∠PQC=∠BCQ ∴PQ∥BC

（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M

∵AC=BC，CM⊥AB

∴AM=11

84

22

AB=?=（cm）

∵AC=BC，∠ACB=90?∴∠A=∠B=45?

∵CM⊥AB

∴∠AMC=90?

∴∠ACM=45?

∴∠A=∠ACM

∴CM=AM=4（cm）

∴

11

8t4162 22

BCQ

S BQ CM t ==?-?=-

因此，S与t之间的关系式为S=16-2t．

【点睛】

此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．

4．（1）①E（3，﹣2）②见解析；③

1

2

OM

BD

=，理由见解析；（2）OD+OA＝2AM或

OA﹣OD＝2AM

【解析】

【分析】

（1）①过点E作EH⊥y轴于H．证明△DOA≌△AHE（AAS）可得结论．

②证明△BOM≌△EHM（AAS）可得结论．

③是定值，证明△BOM≌△EHM可得结论．

（2）根据点D在点B左侧和右侧分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质即可分别求出结论．

【详解】

解：（1）①过点E作EH⊥y轴于H．

∵A（0，3），B（﹣3，0），D（﹣5，0），∴OA＝OB＝3，OD＝5，

∵∠AOD＝∠AHE＝∠DAE＝90°，

∴∠DAO+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠DAO＝∠AEH，

∴△DOA≌△AHE（AAS），

∴AH＝OD＝5，EH＝OA＝3，

∴OH＝AH﹣OA＝2，

∴E（3，﹣2）．

②∵EH⊥y轴，

∴∠EHO＝∠BOH＝90°，

∵∠BMO＝∠EMH，OB＝EH＝3，

∴△BOM≌△EHM（AAS），

∴BM＝EM．

③结论：OM

BD

＝

1

2

．

理由：∵△DOA≌△AHE，∴OD＝AH，

∵OA＝OB，

∴BD＝OH，

∵△BOM≌△EHM，

∴OM＝MH，

∴OM＝1

2

OH＝

1

2

BD．

（2）结论：OA+OD＝2AM或OA﹣OD＝2AM．理由：当点D在点B左侧时，

∵△BOM≌△EHM，△DOA≌△AHE

∴OM=MH，OD=AH

∴OH=2OM，OD－OB=AH－OA

∴BD=OH

∴BD＝2OM，

∴OD ﹣OA ＝2（AM ﹣AO ）， ∴OD+OA ＝2AM ．

当点D 在点B 右侧时，过点E 作EH ⊥y 轴于点H

∵∠AOD ＝∠AHE ＝∠DAE ＝90°，

∴∠DAO+∠EAH ＝90°，∠EAH+∠AEH ＝90°， ∴∠DAO ＝∠AEH ， ∵AD=AE

∴△DOA ≌△AHE （AAS ）， ∴EH=AO=3=OB ，OD=AH ∴∠EHO ＝∠BOH ＝90°， ∵∠BMO ＝∠EMH ，OB ＝EH ＝3， ∴△BOM ≌△EHM （AAS ）， ∴OM ＝MH

∴OA ＋OD= OA ＋AH=OH=OM ＋MH=2MH=2（AM ＋AH ）=2（AM ＋OD ） 整理可得OA ﹣OD ＝2AM ．

综上：OA+OD ＝2AM 或OA ﹣OD ＝2AM ． 【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系，掌握全等三角形的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键．

5．（1）左；3；(1-2m )；（2）①（-4，0）；（-1，0）（-3，0）； ②当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，1913n ≤≤；③ F 9

(

,2)12m

--． 【解析】 【分析】

(1)根据平面直角坐标系中点的平移计算方法即可得解

(2)①根据B 点向下平移后，点B 和点A 的纵坐标相等得到等量关系，可求出m 的值，从而求出A 、B 、C 三点坐标；②过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，设出K 点坐标，作 KH ⊥BM 与 H 点，表示出H 点坐标，然后利用面积关系

ABM AKM BKM S S S ???=+求出距离；当 B '在线段 CD 上时，BB '交 x 轴于 M 点，过 B '做

B 'E ⊥OD ，利用S △COD = S △OB'

C + S △OB'

D ，求出n 的值，从而求出n 的取值范围；③通过坐标平移法用m 表示出

E 点的坐标，利用D 、E 两点坐标表示出直线DE 的函数关系式，令y=﹣2，求出x 的值即可求出

F 点坐标． 【详解】

解：（1）根据平移规律可得：B 向左平移； m －（m －1）=3，所以平移3个单位；

m+4－（3m+3）=1－2m ，所以再向下平移(1-2m )个单位； 故答案为：左；3；(1-2m )

（2）①点 B 向下移动 3 个单位得：B （m ，m+1） ∵移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等 ∴m+1=3m+3 ∴m=﹣1

∴A （-4,0）；B （-1,0）；C （-3,0）；

②如图 1，过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点， 设 K 点坐标为（-3，a ） M 点坐标为（-1,0）

作 KH ⊥BM 与 H 点，H 点坐标为（-1，a ） AM=3,BM=3,KC=a,KH=2 ∵ABM AKM BKM S S S ???=+ ∴222

AM BM KC AM KH BM

???=+ ∴

33323222a ???=+ 解得：1a =，

∴当线段 AB 向下平移 1 个单位时，线段 AB 和 CD 开始有交点， ∴ n ≥ 1，

当 B'在线段 CD 上时，如图 2

BB'交 x 轴于 M 点，过 B'做 B'E⊥OD,B'M=n-3,B'E=1,OD=5,OC=3∵ S△COD = S△OB'C + S△OB'D

∴

'' 222 CO OD CO B M OD B E ???

=+

∴353(3)51 222

n

??-?

=+

解得：

19

3

n=，

综上所述，当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，

19

1

3

n

≤≤．

③∵A（m?3，3m+3）， B（m，m+4） D（0，?5）且AD 沿直线 AB 方向平移得到线段BE，

∴E点横坐标为：3

E点纵坐标为：﹣5+m+4－（3m+3）=﹣4－2m

∴E（3，﹣4－2m），

设DE：y=kx+b，把D（0，﹣5），E（3，﹣4－2m）代入y=kx+b

∴

3k+b=42m

b=5

?

?

?

﹣－

﹣

∴

1-2m

k=

3

b=-5

?

?

?

??

，

∴y=12m

x5

3

－

－，

把y=﹣2代入解析式得：﹣2=12m

x5

3

－

－，

x=

9

12m

－

，

∴F

9

(,2) 12m

-

-

．

【点睛】

本题考查平面直角坐标系中点的平移计算及一次函数解析式求法，解题关键在于理解掌握平面直角坐标系中点平移计算方法以及用待定系数法求函数解析式方法的应用．

6．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．

【解析】

【分析】

（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;

（2）作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出

∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;

（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．

【详解】

解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,

∵A（﹣2,2）、B（4,4）,

∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,

∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝1

2

×（2+4）×6﹣

1

2

×2×2﹣

1

2

×4×4＝8;

（2）作CH // x轴,如图2,

∵D （0,﹣4）,M （4,﹣4）, ∴DM // x 轴, ∴CH // OG // DM,

∴∠AOG ＝∠ACH,∠DEC ＝∠HCE, ∴∠DEC+∠AOG ＝∠ACB ＝90°, ∴∠DEC ＝90°﹣55°＝35°, ∴∠CEF ＝180°﹣∠DEC ＝145°;

（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC ＝∠ACB ＝90°, 而∠HEC+∠CEF ＝180°,∠NEC+∠CEF ＝180°, ∴∠NEC ＝∠HEC,

∴∠NEF ＝180°﹣∠NEH ＝180°﹣2∠HEC, ∵∠HEC ＝90°﹣∠AOG,

∴∠NEF ＝180°﹣2（90°﹣∠AOG ）＝2∠AOG ． 【点睛】

本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 7．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°． 【解析】 【分析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；

（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得

90902KPG PKG HPK ??∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知

1

452

QPK EPK HPK ?∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得

∠HPQ =45°． 【详解】

（1）AB ∥CD ，

理由如下：

∵∠1与∠2互补，

∴∠1+∠2=180°，

又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，

∴∠AEF+∠CFE=180°，

∴AB∥CD；

（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，

∴

1

()90

2

FEP EFP BEF EFD?∠+∠=∠+∠=

∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．

∵GH⊥EG，

∴PF∥GH；

（3）∵∠PHK=∠HPK，

∴∠PKG=2∠HPK．

又∵GH⊥EG，

∴∠KPG=90°﹣∠PKG=90°﹣2∠HPK，∴∠EPK=180°﹣∠KPG=90°+2∠HPK．∵PQ平分∠EPK，

∴

1

45

2

QPK EPK HPK

?

∠=∠=+∠，

∴∠HPQ=∠QPK﹣∠HPK=45°．

答：∠HPQ的度数为45°．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．

8．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）15

4

；（4）经过

80

3

s点P

与点Q第一次相遇．

【解析】

【分析】

（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；

（2）利用SAS可证三角形全等；

（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；

（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．

【详解】

解：（1）BP=3×1=3㎝，

CQ=3×1=3㎝

（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等

∴BP=CQ=3×1=3cm ，

∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点， ∴BD=5cm ．

又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ， ∴PC=8﹣3=5cm ， ∴PC=BD 又∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， 在△BPD 和△CQP 中，

PC BD B C BP CQ =??

∠=∠??=?

∴△BPD ≌△CQP(SAS)

（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等， ∴BP 与CQ 不是对应边， 即BP≠CQ

∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ， 则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ， ∴点P ，点Q 运动的时间t=4

33

BP =s ， ∴15

4Q CQ V t =

=cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得15

4

x=3x+2×10， 解得80x=3

∴经过

80

3

s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】

本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．

9．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ； （2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出

∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得

AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．

【详解】

（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：

如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，

∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°

在△ACD与△CBE中，

AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE

∴△ACD≌△CBE（SAS），

∴CD=BE，即CD和BE始终相等；

（2）证明：根据题意得：CE=AD，

∵AB=AC，

∴AE=BD，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，

∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，

∴∠EAB=∠DBC，

在△BCD和△ABE中，

BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE

∴△BCD≌△ABE（SAS），

∴∠BCD=∠ABE

∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，

∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；

（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：

如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，

∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，

∴△ADG为等边三角形，

∴AD=DG=CE，

在△DGF和△ECF中，

∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC

∴△DGF≌△EDF（AAS），

∴DF=EF.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．