浅谈含有绝对值不等式的解法

浅谈含有绝对值不等式的解法

张兴兴

摘 要：不等式一直以来都是高考的重要内容之一，自从新课改以后，绝对值不等式被划

入了选修部分。含绝对值不等式解题方法灵活要求逻辑思维强，是高考的重点，在高考中用含绝对值不等式考查学生也是一种趋势。本文从以下五个方面讨论了不同形式的解绝对值不等式，为解决这些问题大家快速方便、准确地选择适当的方法。 关键词：不等式 绝对值 数形结合

第一章 课题的提出 1.1课题选择的背景

继义务教育阶段课程改革的全面推进，2011年新修的《普通高中数学课程标准实验》(以下简称标准)全国各地陆续进行新课改。贵州2012年将新课改投入高考以来已连续使用了三年。课改后高中的课程分为必修课程和选修课程。必修为了满足所有学生对数学的需求，选修则满足不同学生对数学的发展要求必修五个模块、选修四个系列而绝对值不等式在选修4——5不等式选讲模块下在学习了必修5，不等式、一元二次不等式及基本不等式之后的专题也是对其巩固与深化。

1.2课题研究的意义

绝对值不等式可以与集合、函数、代数等知识结合，涉及的知识点广计算量不大且题简洁是考查学生灵活应用知识能力、逻辑思维能力和分析解决问题能力的常考题型，特别是在新课改以后减少学生的计算负担，去掉繁琐的计算。高考更青睐于用绝对值不等式来考查学生的灵活运用、逻辑思维、分析解决问题能力的考查，所以在高考中的地位不容小视。本文以解题入手决绝绝对值不等式问题，希望为学生学习快速准确应对绝对值不等式提供一些帮助。

第二章 解绝对值不等式 2.1用定义法解含绝对值不等式

根据绝对值的意义，即

(x x x x x ≥0)?=?-(<0?，

），

有:

(x x <<

>0)?

－ｃｃｃ，ｃ　

ｃ）， (0x x x x R <>>0)??

>?≠??∈<0?

－ｃ或ｘｃｃ，ｃ（ｃ＝0），　（ｃ），

例2.1.1 求关于x 的不等式55x ≤－的解集。

分析：结合高中课程标准实验教科书中的绝对值不等式的概念与定义，可以考虑先去掉绝

对值符号，进一步化成一般的不等式，再进行求解。 解：15515x x ≤?≤≤－－－

46x ?≤≤－

所以原不等式的解集为{}

46x x ≤≤－。

2.2利用不等式的有关性质解含有绝对值不等式 利用不等式的性质如不等式

0ax b c c ax b c ax b c >>?><＋（）＋或＋－由此得原不等式的解；不等式

00ax b c c c ax b c c <>?<<>＋（）－＋（）

由此得出与原不等式等价的两个不等式方程，分别求解两个不等式方程，得出的两个解取交集，即为原绝对值不等式的解。

例2.2.1 解关于x 的不等式213x x ->-。

分析：我们知道当c 0≥时，ax b c ax b c ax b c +>?+>+<-或利用这个性质

解：30

2133-0213213x x x x x x x x -≥?->-?

->--<-?

或或 3,

34

23x x x x ≤???>?>

或或- 整理得4

2333

x x x <-<≤>或

或 所以x 的解集为42333x x x x ??<-<≤>????

或

或 例2.2.2 若不等式x x a <－４＋３－的解集，求a 的取值范围。

分析：如果按照一般的方法去绝对值讨论计算量庞大，且容易出错。观察不等式左面结构 不难想到不等式的性质a b a b ≤＋＋，使不等式的求解过程更具简单化。 解: x x a <－４＋３－，x x x x ≥－４＋３－－４＋３－＝１

∴当a x x a ><１时，－４

＋３－有解 从而当1a 0<≤时，解为空集。 所以a 的取值范围为{}

01a a <≤

例 设函数1

()(0)f x x x a a a

=+

+->， 证明()2f x ≥。（2014年全国二卷理科第24题第1问）

分析：此函数可以看成是关于两个含有绝对值符号的函数相加的问题，解决此类问题可以利 用分段函数判断单调性能够求出来。但这样计算量大还含有未知数很容易出错

观察0a >且有两个绝对值相加那么我们可以用绝对值的性质来解此题简单容易准确率高 解：由于0a >，所以由绝对值性质111()()f x x x a x x a a a a a

=+

+-≥+--=+ 2≥

所以()2f x ≥。

2.3、利用平方法解含绝对值不等式

在不等对于不等式的左边和右边都是单一的一项的绝对值不等式情况，式的左边和右边各自平方使其去掉绝对值符号从而解答，这样做的好处在于不用去分析绝对值的定义避免了繁琐的分类讨论过程，在解题的格式上也显得比较的简洁。但需要注意的是利用此类方法解题必须保证不等式两边均为非负数，否则需要分类讨论。 例2 .3.1解不等式123x x ->-

分析：因为此不等式两边都是单一的一项绝对值情况，即1230x x -≥0,-≥，所以可以对不等式两边同时进行平方。 解：2

2

123(1)(23)x x x x ->-?->-

22214129x x x x ?-+>-+ 231080x x ?-+<

解得

4

23

x << ∴原不等式解集为423x x ??

<

。

例2.3.2、解不等式x x a <－１＋。

分析:因为两边都是非负数，所以可以用平方法解含绝对值的不等式

解：

00x x a x x a x x x x a

a x a ≥>∴<<> ２

２

２

２

２

２

－１，＋，两边平方得－１＋，则－２＋１＋２＋整理得：（２＋２）１－

讨论 当a a a a >>>１

２＋２０，即－１时，不等式解为（１－）２

； 当２ａ＋２＝０，即ａ＝－１时，无解；

当<<<１２ａ＋２０，即ａ－１时，不等式的解集为ｘ（１－ａ）２

。 2.4、零点分段法解含绝对值不等式

零点分段法顾名思义在于设零点和分段上面，如果数 １２３ｎｘ，ｘ，ｘｘ能够让

１２３ｎｘ－ｘ，ｘ－ｘ，ｘ－ｘｘ－ｘ中每一项绝对值都等于零，称 １２３ｎｘ，ｘ，ｘｘ为零点，这n 个数（零点）将实数分成了n+1段，在每一段（区间）

讨论绝对值去掉符号，结合区间最后计算出解集，这样的解题方法是解决绝对值较多的时候经常用的方法，对于绝对值符号较少的不等式也可用同样的方法，但过程比较的多、思路简单，绝对值符号较少时一般不用此方法。

例2.4.1 解不等式2

435x x -++>。

分析：此类题目是典型的含多个绝对值不等式问题，零点分段法是我们采取的最有效解决此类不等式的首选方法，即对自变量进行分段讨论。 解：令2

40,30x x -=+=解得零点-3，-2 ，2 ①2

23

3

43560

x x x x x x ≤-≤-????

?-++>+->?? 3332x x x x ≤-???<-?<->?

或

②2

232

3232

343560x x x x x x x x x -<≤--<≤--<≤-??????∈????<->-++>+->???或x 2

③2

2

323243520x x x x x x -<≤--<≤-?????-++>--

32

1212

x x x -<≤-???-<<-?

-<<-?

④2

2

223x 2

435x x x x x x ≥≥????>?

?<->-++>??或 综上①②③④得3-1x 2x 2x <-<<>或或 所以不等式的解集为}{

3-1x 2x 2

x x <-<<>或或

例2.4.2 已知函数()2f x x a x =++-（2012年理科全国二卷第24题） （1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集。

（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2,求a 的取值范围。 分析：此题虽说是函数不等式问题但是含有多个绝对值可以用 零点分段法来解题a=-3那么可以得到零点2,3进行分段谈论 解：（1）当3a =-时，()32f x x x =-+-由f ≥（x)3

323x x ?-+-≥

令30,20x x -=-=，得零点2、3

①2

1323

x x x x ≤??≤?

-+-≥?

②23

323x x x x <

-+-≥?

③3

4323

x x x x ≥??≥?

-+-≥?

综上①②③得1x 4x ≤≥或

所以不等式()3f x ≥的解集为}{

1x 4

x x ≤≥或

分析:(2)()4f x x ≤-通过变形可得42x x x a ---≥+ 含有3个绝对值本应找零点分段讨论但题目条件限制在[]1,2x ∈ 所以可以省去找零点分段的过程直接在[]1,2x ∈这段上考虑讨论 解:x)4f x ≤-（变形得42x x x a ---≥+ 因为[]1,2x ∈所以

42x x x a ---≥+

4(2)x x x a ?---≥+ 2x a ?≥+

22x a ?-≤+≤ 22a x a ?--≤≤-

由条件[]1,2x ∈得2122a a --≤-≥且 即30a -≤≤

所以a 的取值范围[]3,0-

2.5、数形结合法解含绝对值不等式

利用绝对值的几何意义、数形结合，画出数轴，把绝对值问题化为数轴上两点间距离问题来求解数形结合直观、形象，化繁为简 ，多数适用于

><∈＋

ｘ－ａ＋ｘ－ｂｍ或ｘ－ａ＋ｘ－ｂｍ（ｍＲ）

型不等式。数形结合的方法又可以分为两种，结合数轴和结合函数图像，有的同一道题两种方法都可用，根据问题的特点

和学生的喜好选择最适当的方法。

2.5.1数轴法数形结合：

2.5.1对任意实数x,若不等式>ｘ＋１－ｘ－２ｈ恒成立，求h 的取值范围。

解：由绝对值的几何意义，令实数x,-1,2对应在实数上的点分别是P 、M 、N ，原不等式等价于求>ＰＭ－ＰＮｈ成立，因为ＭＮ＝３,点P 在点M 的左边时ＰＭ－ＰＮ的值最小，最小值为-3所以ｘ＋１－ｘ－２

例2.5.2不等式125x x -++≥的解集 为（2014年高考广东理科第9题）

绝对值的几何意义是距离，1x -的几何意义为在数轴上x 到1的距离，2x +的几何意义为在数轴上x 到-2的距离，那么125x x -++≥的几何意义为在数轴上x 到1与x 到-2的距离和大于等于5

当x 在-2和1之间时，x 到1与x 到-2之间的 距离为3，即123x x -++=；当x 在1的右边时，取2x =，x 到1与x 到-2之间的 距离为5，即125x x -++=。所以当2

x ≥

时，原不等式成立。同理当x 在-2的左边，取3x =-时，x 到1与x 到-2之间的 距离为5，即125x x -++=，所以当3x ≤-时原不等式成立。 综上可得{

}32x x x ≤-≥或原不等式成立。

5.2图像法数形结合：

例2.5.3也可用函数图像法来解

对任意实数x,若不等式>ｘ＋１－ｘ－２ｈ恒成立，求h 的取值范围。

解： 如果把不等式的左边用分段方法看成一个分段函数，然后画出函数图像，通过图像看h 的取值范围

令ｙ＝ｘ＋１－ｘ－２

≤??

?<

－３ （ｘ１）

ｙ＝２ｘ－１　（－１ｘ２）３ （ｘ２）

要让>ｘ＋１－ｘ－２ｈ恒成立，从图像可以看出<ｈ－３

故h <－３符合题意

例5也可 用函数图像数形结合来解 不等式125x x -++≥的解集

解：令不等式的左边为函数()f x ，将函数化为分段函数的形式，在画出分段函数的图像，结合图像求出不等式的解集

令21,1()1x 23,2121,2x x f x x x x x +>??

=-++=-≤≤??--<-?

画出函数图像

图形为

由图像可以看出，当()5f x ≥时,x 的取值有两支3x ≤-和2x ≥ 所以不等式125x x -++≥的解集为{

}32

x x x ≤-≥或。

第三章结论

绝对值不等式的题型解答关键在于去掉绝对值符号化为一般不等式求解这是思想，解题方法也不只限于上述的五种方法或许还有更优秀的方法，解题的方法不存在好与坏，解题因人而异适合题型和个人喜好的方法才是好方法。本文列出最为常见的五种方法，希望在大家找到适合自己的方法的道路上能够提供一些小小的帮助。

参考文献：

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[2] 曾光.含绝对值不等式的解法比较[J].广东教育(高中版),2014,(第7期).

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[5] 高晓兵.含绝对值不等式的平方解法[J].数学辅导(中等教育),2013,(第1期)

[6] 赵春祥.含绝对值不等式解法要点归纳[J].第二课堂(高中版),2005,(第11期).

[7] 方志平.两类绝对值不等式的简捷解法[J].中学生数学,2013,(第23期)