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种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长

种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长
种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长

姓名洪俊班级2013级生物基地学号201300140030 同组者/

科目基础生态学实验题目种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长组别/

一.实验目的:

1.认识到环境资源是有限的,任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。

2.了解种群在有限环境中的增长方式,理解环境对种群增长的限制作用,领会逻辑斯蒂模型中生物学

特性参数r与环境因子参数—生态学特性参数K的重要作用。

3.学会如何通过实验估计出r、K两个参数和进行曲线拟合的方法。

二.实验原理:

由于环境是有限的,种群指数增长只是暂时的,多发生在种群增长的早期阶段,密度很低、资源丰富的情况下。随着种群密度增大,资源缺乏,影响到种群的增长率,使其降低。

受自身密度影响的种群增长称为与密度有关的增长,分为离散的和连续的两类。下面介绍常见的连续增长模型

与密度有关的连续增长模型两点假设:

有一个环境容纳量K,当Nt=K时,种群停止增长,dN/dT = 0;

种群增长率随种群密度升高成比例降低,最简单的情况是每增加一个个体,同时产生1/K的抑制效果。当种群数量为N时,种群增长率下降为原来的(1-N/K)。

结果:导出逻辑斯谛方程。

逻辑斯谛方程(Logistic equation):

)

1(

d

d

K

N

rN

t

N

-

=

姓名 洪俊 班级 2013级生物基地 学号 201300140030 同组者/ 科目 基础生态学实验 题目 种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 组别 /

? 其积分式为: rt a t e K

N -+=

1

? 其中

0ln

N N K a -=

? K —理论上的环境容纳量,难以准确测定。

? N 为种群大小,t 为时间,r 为种群的瞬时增长率,K 为环境容纳量,1-N/K 为剩余空间。 密度制约导致种群增长率随密度增加而降低,与非密度制约的情况相反,种群增长曲线不是“J ”型,而是“S ”型。

“S ”型曲线有两个特点:

曲线渐近于K 值,即环境容纳量(或平衡密度)。 曲线上升是平滑的。

逻辑斯谛曲线常划分为五个时期: 开始期:种群个体数很少,增长缓慢; 加速期:随着种群个体数增加,增长逐渐加快;

转折期:种群个体数达到环境容纳量一半(即K/2)时,增长最快; 减速期:种群个体数超过 K/2以后,增长逐渐放慢; 饱和期:种群个体数达到K 值停止增长。

姓名洪俊班级2013级生物基地学号201300140030 同组者/

科目基础生态学实验题目种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长组别/

逻辑斯谛方程中两个参数r和K具有重要的生物学意义:

r表示物种的潜在增殖能力,即种群内禀增长率。

K是环境容纳量,即物种在特定环境中的平衡密度。应注意K是随环境(资源量)的改变而改变的。

三.实验步骤:

1.准备草履虫原液、草履虫培养液

2.确定草履虫最初密度

用移液枪取50μl原液于凹玻片上,,在实体显微镜下看到有游动的草履虫时,滴一滴鲁哥氏固定液,观察计数(重复4次)。

3.取培养液50mL,置于锥形瓶中,经计算加入适量原液,使N0=250-300个.(20℃和30℃各两瓶)

4.封口、做标记、放入培养箱中

5.对草履虫种群数量观察记录(每天定时,4次/瓶)

6.根据实验数据估计Logistic方程参数(a、r、K),描绘Logistic增长曲线(K由三点法求的,a、r由一元线性回归方程的统计方法得出)。

姓名洪俊班级2013级生物基地学号201300140030 同组者/

科目基础生态学实验题目种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长组别/

四.实验结果:

K=190000 b=-1.43945 a=7.1523

Y=a+bx

从草履虫数量随时间变化的理论曲线和实际估测曲线得知,草履虫的逻辑斯蒂方程的实际曲线和理论曲线拟合程度很高

五.思考题:

1.在不同温度下,种群的逻辑斯蒂增长中的K值是否稳定不变的?

答:不是得,种群的最大环境容纳量和温度有关。

2.种群的逻辑斯蒂增长曲线中,r和K两个参数的生物学意义是什么?

答:r表示种群的增长能力,K是环境容纳量。

3.为什么说种群的逻辑斯蒂增长是受到密度制约的?

答:因为竞争本身是密度制约的,密度越大越容易出现竞争;许多其它情况也是密度制约的,如拥挤时可发生自相戕害甚至同类相食,食物的不意污损,疾病传播,寻找躲避处更困难和更易曝露于天敌等。

logistic回归模型 SPSS例析

Logistic 回归 Logistic 回归是多元回归分析的拓展,其因变量不是连续的变量;在logistic 分析中,因变量是分类的变量;logistic 和probit 回归皆为定性回归方程的一种;他们的特点就在于回归因变量的离散型而非连续型。Logistic 回归又分为binary 和multinominal 两类; 1、Logistic 回归原理 Logistic 回归Logistic 回归模型描述的是概率P 与协变量12,.......k x x x 之间的关系,考虑到P 的取值在0----1之间,为此要首先把Plogistic 变换为()ln( )1p f p p =-,使得它的取值在+∞-∞到之间,然后建立logistic 回归模型 P=p(Y=1) ()ln()1p f p p =-=011+......k k x x βββ++ 011011+......+......1k k k k x x x x e p e ββββββ++++?=+ Logistic 回归模型的数据结构 观察值个数 取1的观察值个数 取0的观察值个数 协变量12,.......k x x x 的值 N1 r1 n1-ri ……………………… N2 r2 n2-r2 ………………………. . . . . . . . . Nt rt nt-rt ………………………. 根据数据,得到参数0 1....k βββ的似然函数 011011011+ (1) +......+......1()()11k k i i i k k k k x x r n r t i x x x x e e e βββββββββ++-=++++∏++ 使用迭代算法可以求得0 1....k βββ的极大似然估计。 2、含名义数据的logistic 模型 婚姻状况是名义数据,分为四种情形:未婚、有配偶、丧偶、离婚;在建立logistic 模型时,定义变量M1、M2、M3,使得

逻辑斯蒂方程及经济

逻辑斯蒂方程及经济学应用 梁美娟,生物0801,20080205035 摘 要:逻辑斯蒂方程是一种非线性微分方程,其数学模型S 型曲线模型被广泛应用于描述事物的增长,本文系统的阐述了该方程的历史和演变,分析其生态学意义,并说明了该模型在经济学上的应用。 关键词:逻辑斯蒂方程;Lotka-V olterra 模型;前景理论;S 型曲线 一 前言 逻辑斯蒂方程广泛应用于描述客观事物的S 型变化现象。逻辑斯蒂数学模型是一条单调递增的,单参数k 为渐近线的S 型曲线。基本数量特征是当t 很小的时,呈指数增长,而当t 很大时,增长速度下降,且接近一个值(k )趋于平稳。利用它我们可以表征种群的数量动态,描述客观事物增长过程,还可以对满足该方程的现象进行预测,有助于相关政策的制定。另外,logistic 方程还可以作为其它模型如Lotka-V olterra 竞争模型的理论基础。 二.逻辑斯蒂方程的历史和演变 最早在1798年,英国统计学家Malthus(1766-1843)的《人口原理》中提出闻名于世的Malthus 人口模型。假设:在人口自然增长过程中,相对净增长率(出生率减死亡率)为常数,即单位时间人口的增长是与人口正比例,比例系数r 。 ?????==0 )(0N N rN dt dN t (1) 该模型准确反映了1700-1964年的人口增长,表明人口以指数规律随时间无限增长。但不是适应与以后的增长。因地球上各资源只可供一定数量的人生活,人口增加,环境的限制越来越明显,r 减少。1838年,比利时数学家P.F.Verhulst 引入N m ,表示自然条件所能容纳的最大人口数,Verhulst 假设的有限环境的物种相对增长率为 ?????=-=0 )(0)1(N N N K N r dt dN t (2) 由曲线得出以下结论:不管初值为多少,人口总量最终接近于极限值K ,极限值的一半(即r/2K )前,是加速生长的时候,过了这一点以后,增长速度减少,并且迟早会达到零。 三、逻辑斯蒂方程的生态学应用 1、在种群生态学中,种群的增长是一个复杂的问题,,由于种群手到诸多因素的影响,如环境条件、营养条件、出生率、死亡率、个体基数及时代特征等。

逻辑斯蒂增长曲线-实验报告

实验目的: 1、使学生们认识到环境资源是有限的,任何种群数量的动态变化都受到环境条 件的制约。 2、加深对逻辑斯蒂增长模型的理解与认识,深刻领会该模型中生物学特性参数 r与环境因子参数----生态学特性参数K的重要作用。 3、学会如何通过实验估计出r、K两个参数和进行曲线拟合的方法。 实验原理: 种群在资源有限环境中的数量增长不是无限的,当种群在一个资源有限的空间中增长时,随着种群密度的上升,对有限空间资源和其他生活必需条件的种内竞争也将加强,必然影响到种群的出生率和存活率,从而降低了种群的实际增长率,直至种群停止增长,甚至使种群数量下降。逻辑斯蒂增长是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单的形式,又称阻滞增长。 种群在有限环境中的增长曲线是S型的,它具有两个特点: 1、S型增长曲线有一个上渐近线,即S型增长曲线逐渐接近于某一特定 的最大值,但不会超过这个最大值的水平,此值即为种群生存的最大 环境容纳量,通常用K表示。当种群大小到达K值时,将不再增长。 2、S型曲线是逐渐变化的,平滑的,而不是骤然变化的。 逻辑斯蒂增长的数学模型: dN dt =rN( K?N K ) 或 dN dt =rN(1? N K ) 式中:dN dt —种群在单位时间的增长率; N—种群大小; t—时间; r—种群的瞬时增长率; K—环境容纳量; (1?N K )—“剩余空间”,即种群还可以继续利用的增长空间。逻辑斯蒂增长模型的积分式: N= K 1+e a?rt 式中:a—常数; e—常数,自然对数的底。实验器材:

恒温光照培养箱、实体显微镜、凹拨片、1000毫升烧杯、100毫升量筒、移液枪(50微升),1千瓦电炉、普通天平、干稻草、鲁哥氏固定液、50毫升锥形瓶、纱布、橡皮筋、白胶布条、封口膜、标记笔、计数器、自制的观测数据记录表格 方法与步骤: 1、准备草履虫原液 从湖泊或水渠中采集草履虫。 2、制备草履虫培养液 (1)制取干稻草5g,剪成3~4厘米长的小段。 (2)在1000毫升烧杯中加水800毫升,用纱布包裹好干稻草,放入水中煮沸10分钟,直至煎出液呈现淡黄色。 (3)将稻草煎出液置于室温下冷却后,经过过滤,即可作为草履虫培养液备用。 3、确定培养液中草履虫种群的初始密度 (1)用50微升移液枪取50微升草履虫原液于凹拨片上,当在实体显微镜下看到有游动的草履虫时,再用滴管取一小滴哥鲁氏固定液于凹玻片 上杀死草履虫,在实体显微镜下进行草履虫计数。 (2)按上述方法重复取样4次,对四次计数的草履虫数求平均值,并推算出草履虫原液中的种群密度。 (3)取冷却后的草履虫培养液50毫升,置于50毫升烧杯中。经过计算,用移液枪取适量的草履虫原液放入培养液中,使培养液中的草履虫的 个数在1-2个。此时培养液中的草履虫密度即为初始种群密度。 (4)用纱布和橡皮筋将实验用的烧杯罩好,并做好本组标记,放置在20摄氏度与30摄氏度的恒温光照培养箱中培养。 4、定期检测和记录 (1)在实验开始后10天内,每天定时对培养液中的草履虫密度进行检测。 (2)将每天的观测数据记录在表格中。 5、环境容纳量K的确定 将10天中得到的草履虫种群大小数据,标定在以时间为横坐标,草履虫种群数量为纵坐标的平面坐标系中,从得到的散点图中不仅可以看出草履虫种群大小随时间的变化规律,还可以得到此环境条件下可以容纳草履虫的最大环境容纳量K,通常从平衡点以后,选取最大的一个N,以防止在计算ln[(K-N)/N]的过程中真数出现负值。 最大环境容纳量K还可以通过三点法求得。三点法的公式为 K=2N1N2N3?N22(N1+N3) N1N3?N2 式中:N 1,N 2 ,N 3 —分别为时间间隔基本相等的三个种群数量,要求时间间隔尽量 大一些。 6、瞬时增长率r的确定 瞬时增长率r可以用回归分析的方法来确定。首先将Logistic方程的积分式变形为

逻辑斯蒂模型

逻辑斯蒂模型(Logistic growth model ) 1.原始逻辑斯蒂模型: 设0t 时刻的人口总数为)(0t N ,t 时刻人口总数为)(t N ,则: ?????==0 0)(N t N rN dt dN 但是这个模型有很大的局限性:只考虑出生率和死亡率,而没有考虑环境因素,实际上人类生存的环境中资源并不是无限的,因而人口的增长也不可能是无限的。此人口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数。 2.改进逻辑斯蒂模型: 考虑自然资源和环境对人口的影响,实际上人类所生存的环境中资源并不是无限的,因而人口的增长也不可能是无限的,因此,将人口增长率为常数这一假设修改为:?????=-=0 02)(N t N KN rN dt dN 其中K r ,称为生命系数 分析如下: rt t t e r K N r K t N -∞→∞→-+=)1(1lim )(lim 0 0)1(1lim 0?-+=∞→r K N r K t = K r N KN r KN r KN r dt dN KN r dt dN KN dt dN r dt N d ))(2)(2()2(222---=-=-= 说明: (1)当∞→t 时,K r t N → )(,结论是不管其初值,人口总数最终将趋向于极限值K r /; (2)当K r N 00时,0)(2 N K r KN KN rN dt dN -=-=,说明)(t N 是时间的单调递增函数; (3)当K r N 2 时,022 dt N d ,曲线上凹,当K r N 2 时,022 dt N d ,曲线下凹。

表九用spss软件得到各观察值所对应的拟核值,残差值和标准残差 拟合值97077.7 101458.9 105412.6 108940.84 112057.91 114787.4 117159.2 残差-818.74 -2753.91 438.35 3763.15 2275.08 1035.51 11.73 标准残 -0.7505 -2.0548 0.3051 2.5699 1.5537 0.7098 0.0080 差 拟合值119206.2120962.7122462.4123737.3124817.2125729.2126497.3残差-689.28-1112.76-1341.41-1348.34-1191.28-968.25-711.37标准残 -0.4707-0.7540-0.9009-0.8985-0.7899-0.6410-0.4720差 拟合值127142.9127684.4128138.0128517.4128834.5129099.2 残差-399.93-57.47314.93709.501153.451656.76 标准残 -0.2670-0.03870.21470.49060.81010.941 差 从新数据得到F=372.3471 p值=0.001 从新数据得到相关系数R=0.9888,相关性比较强,说明这种拟合是比较贴切的,本文建立逻辑斯蒂模型:0.8840.185 =+ y e-- 130517.5/(1)x

逻辑斯谛(Logistic)映射

§4 从倍周期分定走向混沌 4-1 逻辑斯谛(Logistic )映射 我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。若昆虫不加以条件控制,每年增加λ倍,我们将一年作为一代,把第几代的虫日记为,则有: i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1) i N ,1>λ增长很快,发生“虫口爆炸”,但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间, 以及由于接触传染导致疾病曼延,使虫口数目减少,它正比于,假定虫口环境允许的最大虫口为,并令2 i N o N o i i N N x = ,则该模型由一个迭代方程表示: 21i i i N N N λλ?=+ 即为: )1(1i i i x x x ?=+λ (4-2) 其中:]4,0[], 1,0[∈∈λi x 。 (4-2)式就是有名的逻辑斯谛映射。 4-2 倍周期分歧走向混沌 借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算,我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。 (一)迭代过程 迭代过程可以用图解来表示。图4-1中的水平轴表示,竖直轴表示,抛物线表示(4-2)式右端的迭代函数。45o线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。由水平轴上的初始点作竖直线,找到与抛物线的交点,A 的纵坐标就是。由点 )0,(0x R ),(10x x A 1x

),(10x x A 作水平直线,求它与45o线的交点,经B 点再作竖直线,求得与抛物 线的交点,这样就得到了。仿此做法可得到所迭代点。 ),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时,一般有个暂态过程。但我们关心的不是暂态过程,而是这所趋向的终态集。终态集的情况与控制参数λ有很大关系。增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。改变λ值,不仅仅改变了终态的量,而且也改变了终态的质。它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小,而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。 (二)终态性质 ①当31<<γ时,迭代结果的归宿是一个确定值,趋于一个不动点,即抛物线与45o线的交点,这相当于系统处于一个稳定态,如图4-2(a)所示。此值与λ有关,且与λ值有一一对应关系。当4.2=λ时,12/711==+i x x 。迭代的结果为一个不动点的情况,其周期为1,这表示从出发,迭代一次就回到。 i x i x ②当449.33<<γ时,迭代的终态在一个正方形上循环,亦即在两个值之间往复跳跃,与一个i x λ值对应将有两个值,即其归宿轮流取两个值,如图4-2(b)所示。当i x 2.3=λ时,此值为i i x x =?+2,7995.05130.0周期为2,表示从出发,迭代二次后回到。所以,从图3-12(a)到3-12(b)中间发生了一个倍周期分岔,一个稳定态分裂成为两 i x i x 图4-2 叠代过程 种状态,而系统便在两个交替变动的值间来回振荡。 ③当544.3449.3<<λ时,最终在四个值之间循环跳跃,如图4-2(c)所示。 +4,即终态集是个四周期解,表示从出发,迭代四次后回到。所以,从图4-2(b) 到3-12(c),中间又发生了一个倍周期分岔,两种状态分裂成四种状态,而系统便在四个交 i x i i x x i x i x =

逻辑斯蒂

一、逻辑斯蒂方程建立的过程及背景 在自然界和社会上存在大量的 s型变化的现象, 逻辑斯蒂Logistic模型几乎是描述 s型增长的唯一数学模型.这是一条连 续的、单调递增的、以参数 k为上渐近线的 s型曲线, 其变化 速度一开始增长较慢, 中间段增长速度加快, 以后增长速度下 降并且趋于稳定. 利用它可以表征种群的数量动态, 描述某一 研究对象的增长过程, 也可作为其它复杂模型的理论基础如 Lotka- Volterra两种群竞争模型. 可以看出逻辑斯蒂方程不管 在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途. 1逻辑斯蒂模型的产生与发展 在提出逻辑斯蒂模型之前, 最早给出种群生态学经典数学模型 是 M althus模型, 由英国统计学家 M althus( 1766- 1834)在 1798年人口原理!一书中, 提出了闻名于世的 M althus人口模 型. 设 t0时刻的人口总数为 N ( t0), t时刻人口总数为 N( t), 则: dN/dt=rN N(t0)=N0 但是这个模型有很大的局限性: 只考虑出生率和死亡率, 而没 有考虑环境因素. 实际上人类所生存的环境中资源并不是无限 的, 因而人口的增长也不可能是无限的, 实践证明 M althus人 口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数. 比利 时数学家Verhulst对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一 假设修改为 dNdt=rN-KN^2 N(t0)=N0 其中 r,K称为生命系数(VitalCoefficients). (2)式就 是最早的逻辑斯蒂模型. 解之得: N(t) =1/(K/r+(1/N0-K/r)exp(-rt) 二、逻辑斯蒂方程在MATLAB中的实现 function f = curvefun1(x,t) syms x t; k=9000;

迪克西特斯蒂格利茨模型及其应用

迪克西特-斯蒂格利茨模型及其应用 胡 怀 国 新贸易理论和新增长理论是当前经济理论中最热门的研究领域之一,它们的产生和发展在很大程度上则得益于迪克西特-斯蒂格利茨模型(简称D-S 模型)的启发,该模型是由迪克西特(A.K. Dixit,)和斯蒂格利茨在1977年所发表的《垄断竞争和最优产品的多样性》论文中提出来的。本文先简要介绍D-S 模型的核心内容,然后重点分析新贸易理论和新增长理论如何能够以D-S 模型为基础建立起来。 一、迪克西特-斯蒂格利茨模型 不论是在国际贸易理论还是在经济增长理论方面,人们日益发现“规模经济”是问题的核心。尽管人们可以在完全竞争的框架下对外部规模经济问题进行研究,但内部规模经济却无法和竞争性的市场结构相兼容。在D-S 模型提出以前,由于内部规模经济模型的求解极为复杂、且一般不能求出均衡解(从而更无法进行福利分析和比较),人们不得不借助于外部性、溢出效应和边干边学等似是而非的概念,将研究局限于外部规模经济的分析。不论是经济理论本身还是对经济现实的解释,都要求一种能够对内部规模经济和垄断竞争的市场结构进行严格分析的理论框架,D-S 模型则为该问题的解决提供了简洁的基本方法。 迪克西特和斯蒂格利茨在论文中指出,经济学中的一个基本问题是:一个市场解能否导致社会最优的产品数量和产品种类?分配不公、外部效应和规模经济都是导致不完全市场结构、并使得市场均衡解偏离社会最优解的原因。他们的主要目的,是对其中的(内部)规模经济情形进行分析。他们首先构造了著名的迪克西特-斯蒂格利茨效用函数(D-S 效用函数,后被引申为D-S 生产函数),然后依次在效用函数是不变弹性、可变弹性和非对称性的情形下求出其市场均衡解,并分别在每种情形下对市场均衡解和社会最优解进行了比较。 D-S 模型的核心内容体现在消费和生产两个方面:(1)他们通过构造一个包含产品种类的D-S 效用函数,推导出了特定形式的需求函数和张伯伦dd 曲线与DD 曲线;(2)他们假定每种产品的生产都具有不变的固定成本和边际成本(这意味着成本函数具有平均成本递减和边际成本不变的性质,从而呈现出内部规模经济的特征),然后结合需求函数和新厂商自由进入的条件,求得每个厂商的均衡产量、均衡价格和产品种类数量。 为了讨论产品数量和产品种类的关系,迪克西特和斯蒂格利茨首先将整个经济分为两部分:某个行业(集团或部门)和行业之外的其它部分。假定行业内部的各种产品之间具有很好的替代性,但与其它行业产品之间的替代性则很差。如果将行业之外的所有产品用0x 表示,行业内的各种产品用()n i x i ,,2,1 =表示,则代表性消费者的效用函数可以表示为 ?? ??????????? ??=∑ρρ10,i i x x U u ,其中()ρ-11是行业内部各种产品之间的替代弹性(这里假定效用函数对行业内的每种产品是对称的)。此外,为了保证效用函数的凸性,假定10<<ρ。 为了在I x p x n i i i =+∑=10的预算约束下,求出实现上述效用函数最大化的每种产品的最 优消费数量,他们构造了关于产品数量和价格水平的两个指数:ρρ11??????=∑=n i i x y 和

逻辑斯蒂有限增长模型的改进

逻辑斯蒂有限增长模型的改进 郑连存1,郑瑶2 1 北京科技大学数学力学系,北京100083 E-mail: liancunzheng@https://www.wendangku.net/doc/436340550.html, 2 中国人民大学经济学院, 北京 100080 E-mail: taotaot6162@https://www.wendangku.net/doc/436340550.html, 摘要: 本文将经典的逻辑斯蒂有限增长模型改进为具有幂律型增长因子的形式, 并讨论了模型所描述的有限增长特性。本文研究结果表明,幂律指数α的值对于某特定的生物种群(如人口、酵母菌)的总数量有着重要的影响。某特定的生物种群(如人口、酵母菌)的总数是幂律指数α的减函数。 )(t p 关键词:逻辑斯蒂方程,有限增长,微分方程 1. 引言 20世纪末,世界人口已经达到60亿已上, 到2050年世界人口估计将达到100亿, 届时这些人口的六分之一将生活在发达国家。人口增长问题不仅仅是简单的人口数量问题,更重要的是人口的迅速增长会对人类的福利造成影响,对经济发展造成影响[1]。 自18世纪末马尔萨斯发表了著名的著作《人口原理》,人口的增长问题越来越引起人们的重视。在仅考虑出生率和死亡率两个因素情况下,设时刻人口总数为,设t 时刻人口总数为 马尔萨斯有限增长模型描述为如下简单微分方程0t )(0t p )(t p [2-7] kp dt dp = (1) 的解。其中为人口增长比例因子(k >0). 方程(1)的解为, 它预测人口 数量随时间按指数增长。当人口数量不大时,马氏模型从一定程度上反映了人口增长规律, 但当人口数量较大时,马氏模型出现较大偏差。19世纪末, 丹麦生物数学家Pierre-Francois Verhulst 将方程(1)改写为 k ) (00)(t t k e p t p ?=p p M r dt dp )(?=, (2) 0>r 其中M 假定为人口(酵母菌)的最大值。 第一作者:郑连存,男,1957年出生,教授,博士导师 研究方向:微分方程理论及应用 https://www.wendangku.net/doc/436340550.html,

逻辑斯蒂增长模拟

第7章树木生长量测定 【本章提要】本章主要介绍树木年龄的概念及测定方法;树木生长量的概念和种类;树木生长方程的概念和性质;树木生长经验方程;常用的几种树木生长理论方程的假设、性质和适用条件;平均生长量和连年生长量的关系;树木生长率;树木生长量的测定方法以及树干解析的外业调查和内业计算方法。 测树学中所研究的生长按研究对象分为树木生长和林分生长两大类;按调查因子分为直径生长、树高生长、断面积生长、形数生长、材积(或蓄积)生长和生物量生长等。树木生长量的大小及生长速率,一方面受树木本身遗传因素的影响,另一方面受外界环境条件的影响。在这双重因素的影响下,经过树木内部生理生化的复杂过程,表现在树高、直径、材积及形状等因子的生长变化过程。正确地分析和研究树木与其相关因子的变化规律,对指导森林经营工作具有重要意义。 7. 1 树木年龄的测定 7.1.1 树木年轮的概念 7.1.1.1 年轮 树木年轮(tree annual ring)的形成是由于树木形成层受外界季节变化产生周期性生长的结果。在温带和寒温带,大多数树木的形成层在生长季节(春、夏季)向内侧分化的次生本质部细胞,具有生长迅速、细胞大而壁薄、颜色浅等特点,这就是早材(春材),它的宽度占整个年轮宽度的主要部分。而在秋、冬季,形成层的增生现象逐渐缓慢或趋于停止,使在生长层外侧部分的细胞小、壁厚而分布密集,木质颜色比内侧显著加深,这就形成晚材(秋材)。晚材与下一年生长的早材之间有明显的界限,这就是通常用来划分年轮的界限。所以年轮是树干横断面上由早(春)材和晚(秋)材形成的同心“环带”。在一年中只有一个生长盛期的温带和寒温带,其根颈处的树木年轮数就是树木的年龄(tree age)。 7.1.1.2 年轮的变异 一般情况下,一年中树木年轮是由早(春)、晚(秋)材的完整环带构成。但在某些年份,由于受外界环境条件的制约,使年轮环带产生不完整的现象,这就称为年轮变异。在年轮分析过程中,常遇到伪年轮、多层轮、断轮以及年轮消失、年轮界线模糊不清等变异现象。为此,在年轮测定时要认真观察识别多方位量测。并可借助圆盘着色、显微镜观测等手段识别年轮变异现象。 7.1.2 确定树木年龄的方法 7.1.2.1年轮法 在正常情况下,树木每年形成一个年轮,直接查数树木根颈位置的年轮数就是树木的年龄。如果查数年轮的断面高于根颈位置,则必须将数得的年轮数加上树木长到此断面高所需的年数才是树木的总年龄。树干任何高度横断面上的年轮数只是表示该高度以上的年数。 7.1.2.2生长锥测定法 当不能伐倒树木或没有伐桩查效年轮时,可以用生长锥查定树木年龄。生长锥(increment borer)是测定树木年龄和直径生长量的专用工具。 生长锥的使用方法:先将锥筒装置于锥柄上的方孔内,用右手握柄的中间,用左手扶住锥筒以防摇晃。垂直于树干将锥筒先端压入树皮,而后用力按顺时针方向旋转,待钻过髓心为止。将探取杆插入筒中稍许逆转再取出木条,木条上的年龄数,即为钻点以上树木的年龄。加上由根颈长至钻点高度所需的年数,即为树木的年龄。 7.1.2.3查数轮生枝法

种群的逻辑斯蒂增长模型

华南师范大学实验报告 学生姓名 学 号 专 业 年级、班级 课程名称生态学实验 实验项目 种群的逻辑斯蒂增长模型 实验类型 验证 □设计□综合 实验时间 年 月 日 实验指导老师 实验评分 种群的逻辑斯蒂增长模型 1 实验目的 1.1 了解种群在有限环境中的增长方式,理解环境对种群增长的限制作用; 1.2 学习种群密度的检测,种群增长模型的建立,参数的估计以及种群增长曲线的拟合等实验技术; 1.3 加深对逻辑斯蒂增长模型的特征及其模型中两个参数r 、k 的理解。 2 材料与方法 2.1 材料与试剂 草履虫、干稻草、鲁哥氏固定液 2.2 实验仪器 六孔培养皿、量筒、解剖镜、锥形瓶、烧杯、锥形瓶 2.3 实验方法 2.3.1 配制人工海水 按表1配制30‰人工海水的人工海水,再将30‰人工海水加矿泉水稀释为20‰的人工海水。 表1 30‰人工海水配方(1升水) 药品 含量 NaCL 28.000g KCL 0.800g MgCl 2·6H 2O 25.000g CaCl 2·H 2O 1.200g 2.3.2 接种红色伪角毛虫 在六孔平板中的两个孔滴加5ml20‰人工海水,两个孔滴加5ml30‰人工海水→做好标记→每孔分别放两粒米粒→分别在解剖镜中吸取50只红色伪角毛虫→常温下培养→实验开始的7天内,每天定时对培养液中的草履虫密度进行检测。(每次计数至少重复3次) 2.3.3 Logistic 增长模型的拟合 种群在有限环境中的连续增长表现为Logistic 增长,其增长曲线呈S 型。Logistic 增长数学模型为: )(K N K N N -r dt d =或)(K N N N -1r dt d =

逻辑斯蒂方程

姓名 班级 学号 同组者 科目 生态学实验 题目 种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 组别 ***** 种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 【实验目的】 1. 认识到环境资源是有限的,任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。 2. 加深对逻辑斯蒂增长模型的理解与认识,深刻领会该模型中生物学特性参数r 与环境因子参数— —生态学特性参数K 的重要作用。 3. 学会如何通过实验估计出r 、K 两个参数和进行曲线拟合的方法。 【实验原理】 逻辑斯蒂方程增长是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单形式,又称为阻滞增长。种群在有限环境下的增长曲线是S 型的,它具有两个特点: (1)S 型增长曲线有一个上渐近线,即S 型增长曲线逐渐接近于某一个特定的最大值,但不会超过这个最大值的水平,此值即为种群生存的最大环境容纳量,通常用K 表示。当种群大小达到K 值的时候,将不再增长。 (2)S 型曲线是逐渐变化的,平滑的,不是骤然变化的。 逻辑斯蒂增长的数学模型: )(K N K rN dt dN -= 或 )1(K N rN dt dN -= 式中:dt dN ——种群在单位时间内的增长率; N ——种群大小; t ——时间; r ——种群的瞬间增长率; K ——环境容纳量; (K N - 1)——“剩余空间”,即种群还可以继续利用的增长空间。 逻辑斯蒂增长模型的积分式:rt a e K N -+=1 式中:a ——常数; e ——常数,自然对数的底。 【实验器材】 坐标纸、笔 【操作步骤】 1.老师给出草履虫培养的种群数目,将下面的表格填好。

姓名 班级 学号 同组者 科目 生态学实验 题目 种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 组别 ***** 2.将7天内的草履虫种群大小数据,标定在以时间为横坐标、草履虫种群数量为纵坐标的平面坐标系中,从得到的散点图中不仅可以看出草履虫种群大小随时间的变化规律,还可以得到此环境下可以容纳草履虫的最大环境容纳量K 。通常从平衡点以后,选取最大的一个N ,以防止在计算)( N N K In -的过程中真数出现负值。最大环境容纳量K 还可以通过三点法求得。三点法的公式为:2 2 31312 2321) (2N N N N N N N N N K -+-= 式中:321N N N ,,——分别为时间间隔基本相等的三个种群数量,要求时间间隔尽量大一些。在此,选择三点法,带入第1、4、7天的种群数计算出K 值。 3.瞬间增长率r 可以用回归分析的方法来确定。首先将方程变形为 rt a e N N K -=-,两边取对数,得 )( N N K In -=a -rt 。如果假设=y )(N N K In -,b=r -,x=t ,那么方程的积分式可以写为bx a y +=,这是一个直线方程,只要求出a 和b ,即可得到方程。 根据一元线性回归方程的统计方法,a 和b 可以用下面的公式求得: x b y a -= ∑∑==---= n i i n i i i x x y y x x b 1 2 1 ) () )(( 式中:x ——自变量x 的均值; i x ——第i 个自变量x 的样本值; y ——应变量y 的均值; i y ——第i 个因变量y 的样本值;

逻辑斯蒂方程

逻辑斯蒂方程 逻辑斯蒂方程的推导 当一种新产品刚面世时,厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数,这样厂家便于组织生产,商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢? 首先要考虑社会的需求量.社会对产品的需求状况一般依如下两个特性确定: 1、对产品的需求有一个饱和水平.当产品需求量达到一定数量时,对这种产品的需求也饱和了,设饱和水平为a; 2、假设在时刻t,社会对产品的需求量为x=x(t),需求的增长速度dx/dt正比于需求量x(t)与需求接近饱和水平的程度a-x(t)之乘积,记比例系数为k ; 根据上述实际背景的两个特征,可建立如下微分方程: (1) 分离变量,得: 两边积分,得: 其中: 从而,通解为: (2) 其中,B和b为正常数,可由初始条件确定。式(1)称为逻辑斯蒂方程(1ogistic equation),式(2)称为逻辑斯蒂曲线。 逻辑斯蒂方程的基本性质 1、当t=O时,x(t)的值为:; 2、x(t)的增长率,因此,x(t)是增函数; 3、当B值较大而t较小时,将很大,,于是 x(t)近似于依指数函数增大,销售速度不断增大; 4、当t增大以后,越来越接近于零,分母越来越接近于1,销售速度开始下降,

x(t)的值接近于a(饱和值)。 逻辑斯蒂方程的应用 1、人口限制增长问题 人口的增长不是呈指数型增长的,这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响,最终人口的增长将减慢下来。实际上,人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。 2、信息传播问题 所谓信息传播可以是一则新闻,一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期,知道这一信息的人很少,但是随时间的推移,知道的人越来越多,到一定时间,社会上大部分人都知道了这一信息.这里的数量关系可以用逻辑斯蒂方程来描述。若以t表示从信息产生算起的时间,P表示已知信息的人口比例,则逻辑斯蒂方程变为: (3) 例如,当某种商品调价的通知下达时,有10%的市民听到这一通知,2小时以后,25%的市民知道了这一信息,由逻辑斯蒂方程可算出有75%的市民了解这一情况所需要的时间。 在方程(3)中,由t=0时,P=10%可得B=9;再由t=2时,P=25%可得,。 当P=75%时,有: 解得t=6,即6小时后,全市有75%的人了解这一通知。 3、.商品销售预测问题 例如,某种商品的销售,开始时,知道的人很少,销售量也很小。当这种商品信息传播出去后,销售量大量增加,到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如,这种商品饱和量估计a=500(百万件),大约5年可达饱和,常数b经测定为b=lnl0,B=100。下面我们来预测一下第3年末的销售量是多少。 由,有: (百万件) 所以第三年末的市场销售量大约为454.5百万件,这样可以做到有计划地生产。 逻辑斯蒂方程的应用比较广泛。如果问题的基本数量特征是:在时间t很小时,呈指数型增长,而当t增大时,增长速度就下降,且越来越接近于一个确定的值,这类问题可以用逻辑斯蒂方程加以解决。

逻辑斯蒂回归模型

逻辑斯蒂回归模型(logistic regression model )------分类模型 1、 二项逻辑斯蒂回归模型 ) exp(1) exp()1(b x w b x w x Y P +?++?== ) exp(11)0(b x w x Y P +?+== 其中 是参数和是输出,是输入,R R Y R x n n ∈∈∈∈b w {1,0} 对于给定的输入x ,按照上两式求出)0(x Y P =、)1(x Y P =,将实例x 分到概率较大的那一类 为了方便我们将权值向量w 和输入x 加以扩充 ) exp(1)exp()0()exp(1)exp()1(),,,,,(,)1,,,,(x 32121x w x w x Y P x w x w x Y P b w w w w w x x x T n T n ?+?==?+?==??=??=,这样令 对于模型的参数w 的估计,采用极大似然估计法 设 )(1)0() ()1(x x Y P x x Y P φφ-====,给定训练集T={(x1,y1)(x2,y2)……(xl,yl )} 似然函数为 [][]i i y i y L i i x x -=-∏11 )(1)(φφ 对数似然函数为 )] exp(1log()([)](1log()(1)(log [)(11i i L i i i i i L i i x w x w y x x x y w f ?+-?=-+-=∑∑==φφφ 对)(w f 求极大值,得到w 的估计值 以对数似然函数为目标函数的最优化问题是一个无约束最优化问题,通常采用最速下降法、拟牛顿法 最速下降法程序 基于Armijo 非精确线搜索的最速下降法Matlab 程序 function [x,val,k]=grad(fun,gfun,x0) %功能: 用最速下降法求解无约束问题: min f(x) %输入: x0是初始点, fun, gfun 分别是目标函数和梯度 %输出: x, val 分别是近似最优点和最优值, k 是迭代次数.

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