中考几何模型解题法
中考几何模型解题法
研修课论文宋海平
第一讲以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。
第二讲弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。
第三讲在熟悉A字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。
第四讲中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。
第五讲几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。
第六讲本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。
一、角平分线模型
一、精讲精练
【模型一】夹角模型
OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的角平分线，
则：∠AOC=90°+1
2
∠B．
BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线，
则：∠P=
1
2
∠A．
AD、CD分别是∠EAC、∠FCA的角平分线，
图1
F
E
A
则： ∠D=90°-1
2
∠B ．
1. 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．
求证：OE ＝OF ．
2. （2011黄冈）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与角∠ABC 平分线BP 交于点P ，
若∠BPC =40°，则∠CAP =_______________.
3. （2011年）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、CD 分别是两个外角的平分线.
（1）求证：AC =AD ；
（2）若∠B =60°，求证：四边形ABCD 是菱形.
F
E D
C B A
【模型二】角平分线加垂直
AB ⊥AC ，AB =AC ，CE 是∠ACB 的平分线，
BE ⊥CE ，则: BE =1
2
CF ．
4. （2011）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝
1
2
∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时（如图1），①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；
A
C
E
F
图2
O F
E
C
B
A
F
E B
A
O M N
（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BE
FD
的值（用含k 的式子表示）．
【模型三】角平分线加平行线
OP 是∠MON 的角平分线，AB ∥ON ， 则：OA=AB ．
5. （2011宿迁）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E 恰在
AB 上．若AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，则AB 的长度是 _____cm ．
E
D C
B
A
6. （2011滨州）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作
直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.
【模型四】四边形对角互补模型
∠A +∠C =180°，BD 是∠ABC 的平分线， 则:AD =CD ．
7. （2011年前两问）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正
方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G . （1）求证：EF =EG ；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
弦图模型
。
一、 知识提要
1. 弦图基本模型 模型一：
图2
E
A
B
C
D
F
G
图1
G
F
D C
B
E(A )
c
b
a
模型二：
2. 弦图模型之变形
二、 专项训练
【板块一】弦图基本模型
1. 如图，Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：22AC AE
BC CE
．
2. 如图，梯形ABCD 中，AB //DC ，∠B =90°，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED ．若BC =12，DC =7，
BE ：EC =1：2，则AB 的长为
____________．
c
a b
3.在△
ABC中，AB=AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.
【板块二】弦图模型之变形
4.（2011乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，
点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为.
5.（2011）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=
∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6.（2011荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交
PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
7.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直
线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点，求证：MC：NC=AP：PB．