高考数学一轮复习-基本初等函数知识点与典型例题
高考数学一轮复习-基本初等函数知识点与典
型例题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
基本初等函数
【整体感知】：
函数
第1讲 指数函数
【基础梳理】 1.根式
（1）根式的概念
如果一个数的n 次方等于a （n ＞1且n ∈N*），那么这个数叫做a 的n 次方根.也就是，若x n =a ，则x 叫做__a 的n 次方根_,其中n ＞1且n ∈N*.__根式__, 这里n 叫做____根指数___，a 叫做__被开方数____. （2）根式的性质
①当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号_表示. ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n 次方根用符号表示, 负的n 次方根用符号___表示.正负两个n 次方根
可以合写为___n a ±_____（a ＞0）. ③()n n a =___a ___. ④当n 为奇数时， n
n a =__a __;当n 为
偶数时，||n n a a = =___(0)
(0)
a a a a ≥??-
⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①正整数指数幂：n n a a a a =??
?个
（n ∈N*）；②零指数幂：a 0
=__1__（a ≠0）；
③负整数指数幂：a -p =__
1
p a
___（a ≠0，p ∈N*）； ④正分数指数幂：m n
a =___n
m a ____（a>0，m 、n ∈N*， 且n>1）； ⑤负分数指数幂：m n
a
- =
1m n
a
=
1
n
m
a
(a>0,m 、n ∈N*,且n>1).
⑥0的正分数指数幂等于__0____，0的负分数指数幂____没有意义______. （2）有理数指数幂的性质
①a r a s = a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(ar)s = a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r = a r b r (a>0,b>0,r ∈Q). 3.指数函数的图象与性质
y =a x (a ＞0且a ≠1)
图 象
a ＞1
0＜a ＜1
定义域 R 值 域
(0,+∞)
性质
(1)过定点___(0,1)______
(2)当x>0时,__ y>1__; x<0时,__
0
0 x<0时,__ y>1____ (3)在(-∞，+∞)上是_增函 数_ (3)在(-∞，+∞)上是_减函数___ 【要点解读】 要点一 指数运算 【例1 】210.503 3277(1)(0.027)()(2)1)1259-+-- 142 1151133 3 3 6 6 2 2 223 3 8(3)(2)(6)(3);(4) 1)4ab b a b a b a b a b --÷-÷+ 1112 2 2 (5)(1),.a a x a - +=>若 【标准解析】根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留。 【误区警示】一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序，否则容易发生运算的错误。 【答案】12 31259559 (1)(0.3)().2710033100 =+=+-=原式 (2)212)12) 1.=-=--=-原式 2111150326 236 (3)[2(6)(3)]44.a b ab a +-+-=?-÷-==原式 11111121121113 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 211212112113 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1113 3 3 3 3(8)2(2)(42) (4)42422(). b a b a b b a b a a b b b b b a a b b b a a b b a b b b b b b ---++= ÷ ?= ? ?++++-=??==原式 1 1122 2 2 22222111(5),2,4(4)(2)(2)111()4()2(),.x a a x a x x x x a a a a a a a a a a a a - =+=+ +∴-=-=+++-=+-=+-=-∴==由得原式 【变式训练】11 203 217(1)(0.027)()(2)1);79 - --+-化简： 41232 333 3 225 3 33 3 82(2) ()42a a b b a a a a a a b ab a - -?÷-??++ （3）已知112 2 3x x - +=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值。 【标准解析】1123 22725105(1)()7()149145.1000933 -=-+-=-+-=-原式 （2）原式= 5 131212 13231312 3131312313 3133131)() (2) 2()2()(])2()[(a a a a a b a b b a a b a a ???-÷ +?+- 23 2316 1653 13 13 13 13 1 2)2(a a a a a a b a a b a a =??=? -? -=。 （3）∵112 2 3x x - +=，∴112 2 2()9x x - +=，∴129x x -++=， ∴17x x -+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， 又∵33111 2 2 2 2 ()(1)3(71)18x x x x x x -- -+=+?-+=?-=，∴ 22332 2 2472 3183 3 x x x x --+--= =-+-。 【技巧点拨】根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 要点二 指数函数的概念与性质 【例2】已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围． 【例3】设函数() f x= 22 21 x x a a ?+- + 为奇函数. 求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断 () f x在其定义域上的单调性. 【标准解析】解决含指数式的各种问题，要熟练运用指数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。 【误区警示】证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。 【答案】(1)方法一依题意，函数() f x的定义域为R，∵() f x是奇函数， ∴() f x -=-() f x，2分 2222 , 2121 x x x x a a a a - - ?+-?+- ∴=- ++ ∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1. 6分 方法二∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即22 0, 2 a- =∴a=1. 6分 （2）由(1)知 21 (), 21 x x f x - = + 设 12 x x <且 12 ,x x∈R， 8分21 21 21 2121 ()() 2121 x x x x f x f x -- -=- ++ 则 212121222(22) (1)(1)0,2121(21)(21) x x x x x x -=---=>++++∴12()()f x f x <,∴()f x 在R 上是增函数.【变 式训练】设 e ()e x x a f x a --= +是定义在R 上的函数.（1）()f x 可能是奇函数吗（ 2）若()f x 是偶函数，试研究其单调性. 【标准解析】(1)方法一 假设()f x 是奇函数,由于定义域为R, ∴()f x -=-()f x ，,即 e e (),e e x x x x a a a a --+=-+ 整理得 1()(e e )0,x x a a -++= 即10,a a +=即2a +1=0,显然无解. ∴()f x 不可能是奇函数. 方法二 若()f x 是R 上的奇函数，则f(0)=0,即1 0,,a a +=无解∴()f x 不可能是奇函数. (2)因为()f x 是偶函数，所以()f x -=()f x ,即e e ,e e x x x x a a a a --+= + 整理得 1()(e e )0,x x a a ---=又∵对任意x ∈R 都成立，∴有1 0,a a -=得a=±1. 当a=1时，()f x =x x e e -+,以下讨论其单调性， 任取12,x x ∈R 且12x x <, 12121 1 2 2 12 12(e e )(e 1) ()()e e e e ,e e x x x x x x x x x x f x f x +-----=+--=?则 1212e e 0,e e 0,x x x x ?>-<其中当12e 10,x x +-> 12()()f x f x <,()f x 为增函数, 此时需要120x x +>，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间. 当a=-1时，同理可得()f x 在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数. 【技巧点拨】解决含指数式的各种问题，关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。 要点三 指数函数的图像与应用 【例4】若函数y=g(x)的图象与函数f(x )=(x －1)2(x ≤1)的图象关于直线y=x 对称,则g(x)的表达式是 （ ） 【命题立意】函数的图象经常和函数的性质联系在一起，把握函数图象之间的特点和联系。在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象。 【标准解析】利用函数的图象关于直线y=x 对称的实质是求函数的反函数 【误区警示】此题还要特别注意反函数的定义域，不要忘记书写，也不要出现表达错误的情况。 【答案】因为1()x f x -= ，1()x f x =-，所以在x ≤1时，f(x)的反函数为 1()1f x x -=-（x ≥0），故答案为g(x)=1－x (x ≥0) 【变式训练】下图是指数函数（1）y =a x ，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ） O x y 1(1) (2) (3) (4) A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 【标准解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小. 【技巧点拨】 x=1称为指数函数特征线。熟练运用特征线比较底数大小带来极大方便。 【答案】解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c . 解法二：令x =1，由图知c 1 ＞d 1 ＞a 1 ＞b 1 ，∴b ＜a ＜1＜d ＜c .答案：B 【例5】已知函数|1|1 ().3 x y += (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出 当x 取什么值时函数有最值. 【标准解析】第(1)由()f x -=-()f x 恒成立可解得a 的值; 第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可. 【误区警示】在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成. 【答案】 （1）由已知可得1|1| 11()(1)1 (),33 3(1) x x x x y x +++?≥-?==??<-? 其图象由两部分组成： x y ① ② ③ ④ 一部分是亦由1()(0)3x y x =≥向左平移1个单位得到11 ()(1);3 x y x +=≥- 另一部分是由3(0)x y x =<向左平移1个单位得到 13(1);x y x +=<-图象如图： (2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 【变式训练】若直线y=2a 与函数y=|x a -1| (a>0,且a ≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是______. 解析当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意. 当0 0<2a<1,1 0.2 a ∴<< 【技巧点拨】在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象，数形结合. 第2讲 对数函数 【基础梳理】 1.对数的概念 （1）对数的定义 如果a x =N(a>0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作__log a x N =____,其中_a___叫做对数的底数,__N__ 叫做真数. （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a ≠1) ___log a N ____ 常用对数 底数为_10___ ___lg N ___ 自然对数 底数为__e__ ____ln N ___ 2.对数的性质与运算法则 （1）对数的性质 ① log a N a =___N__;②log N a a =__N___(a>0且a ≠1). （2）对数的重要公式 ①换底公式: log log log a b a N N b = (a,b 均大于零且不等 于1)； ② 1 log ,log a b b a = 推广log a b ·log b c ·log c d =__log a d ____. (3)对数的运算法则 如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么 ①log ()a MN =____log log a a M N +___; ② log a M N =______log log a a M N -____; ③log n a M = ____log a n M _______(n ∈R); ④ log m n a M =log .a n M m 3.对数函数的图象与性质： a >1 0＜a ＜1 图 像 性 质 （1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R （3）过点（1，0），即x ＝1时，y ＝0 (4)当x>1时,__ y>0___当0 y<0____ (4)当x>1时,___ y<0_____当0 y>0__ 5)在（0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数 4.反函数 指数函数y=a x 与对数函数log a y x =互为反函数，它们的图象关于直线____y=x ____对称. 【要点解读】 要点一 对数运算 【例1】计算（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+； （3）1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2 3--+? 【标准解析】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。 【误区警示】公式和法则运用不熟练导致错误较多，要注意一些简单的技巧和方法。 【答案】（1）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 = ?=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++； 分母=41006lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=?-+；∴原式=4 3 。 【变式训练】设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c += 若4log (1)1b c a ++ =，82 log ()3 a b c +-= ，求a 、b 、c 的值。 【标准解析】由4log (1)1b c a ++=得14b c a ++=，∴30a b c -++=………① 由82 log ()3 a b c +-=得2 384a b c +-==…②由①+②得2b a -=……③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=……④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。 【技巧点拨】对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 【答案】6a =，8b =，10c = 要点二 对数方程 【例2】方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 。 【标准解析】关于含对数式等式的形式，解题思路是转化为不含对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。 【误区警示】变形不是等价变形，要注意严重解的合理性。 【答案】原方程变形为2)1(log )1(log )1(log 2222=-=++-x x x ，即412=-x ，得5±=x 。 且???>+>-0 101x x 有1>x 。从而结果为5。 【变式训练】方程lgx+lg （x+3）=1的解x=___________________. 【标准解析】由lgx+lg （x+3）=1，得x （x+3）=10，x 2 +3x －10=0. ∴x=－5或x =2.∵x ＞0，∴x=2. 【技巧点拨】利用对数的运算法则进行化简和计算时，在去掉对数符号时，特别要注意“真数必须大于零”这个条件。 【答案】2 要点三 对数函数的概念与性质 【例3】若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（ ） A ．a=2,b=2 B ．a= 2 ,b=2 C ．a=2,b=1 D ．a= 2 ,b= 2 【标准解析】利用函数和图象的性质解题。 【误区警示】没有讨论对数函数的底数a 的范围。 【答案】依题意可知0)1(log =+-b a 且1log =b a ，因此-1+b=1且a=b,解得a=b=2.选择A 【变式训练】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ ） 【标准解析】可以利用图象的特点和函数的性质，如图象上的特殊点，对应函数的坐标。另外也可以直接求出，画出图象进行比较。 【技巧点拨】要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。 【答案】由y=log 2x 得f —1(x )＝2x ,所以y= f —1(1－x )＝21-x , 选择C C 要点四 指数函数、对数函数综合问题 【例4】已知1 1log )(--=x mx x f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ，（1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性；（3）求)(x f 的反函数)(1 x f -；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时， )(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值. 【标准解析】对于这几个问题都是比较常规的，如第一问，根据奇函数的性质得到等式即可解出m 的值；第二问可以利用导数求函数的单调性，也可以利用单调性的定义求解；第三问则是单纯的求函数的反函数，不过特别要注意反函数的定义域；第四问则要根据第二问的一些结论，结合着使用。 【误区警示】各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验. 【答案】（1）011log 11log 11log )()(2 2 2=--=--+--+=+-x x m x mx x mx x f x f a a a 对定义域内的任意x 恒成立，10)1(1112 22 22±=?=-?=--∴m x m x x m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）∴-+=,11log )(x x x f a 定义域为),1()1,(+∞--∞ ，求导得e x x f a log 1 2 )(2--='， ①当1>a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<'与在x f x f 上都是增函数； （另解）设1 1 )(-+= x x x g ，任取111221>>-< 1)(1() (21111)()(2112112212<----=-+--+= -∴x x x x x x x x x g x g ，)()(12x g x g <∴，结论同上； （3）111)1(1111log -+=?+=-?-+=?-+=y y y y y a a a x a x a x x a x x y ， )10,0(1 1 )(,0,011 ≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y 且 （4）)2,1()(,3,21->∴-< ∴命题等价于1)2(=-a f ，即01413 1 log 2=+-?=--a a a a a ，解得32+=a . 【变式训练】在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…，对每个自然数n 点P n 位于函数y=2000( 10 a )x (0 ),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由。 【标准解析】 (1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10 a )21 + n 。 (2)∵函数y =2000(10 a )x (0b n +1>b n +2。则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ，即(10a )2+(10 a )－1>0，解得a <－5(1+2)或a >5(5－1)。