2011年山东高考数学理科真题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理 科 数 学

参考公式：

柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的体积公式V=34

3

V R π=

, 其中R 是球的半径. 球的表面积公式：2

4S R π=,其中R 是球的半径.

用最小二乘法求线性回归方程系数公式1

2

21

???,n

i i

i n

i i x y nx y

b

a

y bx x nx

==-?==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

（1）设集合{}{}

260,13M x x x N x x =+-<=≤≤,则M

N =

（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3] （2）复数22i

z i

-=

+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点(),9a 在函数3x

y =的图象上，则tan

6

a π

的值为 （A ）0 （B ）

3

3

（C ）1 （D ）3 (4)不等式5310x x -++≥的解集是

（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数(),y f x x R =∈，“(

)y f x =的图像关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

正（主）视图

俯视图 （6）若函数()sin f x x ω= (0ω>)在区间0,

3π??????上单调递增，在区间,32ππ??

????

上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ）

32 （D ）23

（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表

广 告 费 用x （万元） 4 2 3 5 销 售 额y （万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程???y

bx a =+中的?b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 （A ）63.6万元 （B ）65.5万元 （C ）67.7万元 （D ）72.0万元

（8）已知双曲线22221x y a b

-=（0,0a b >>）的两条渐近线均和圆C ：22

650x y x +-+=相切，且双曲

线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为

（A ）22154x y -= （B ）22145

x y -= （C ）

22136x y -= （D ）22

163

x y -= （9）函数2sin 2

x

y x =-的图象大致是

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

（10）已知()f x 是最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，()3

f x x x =-，则函数()y f x =的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为

（A ）6

（B ）7

（C ）8

（D ）9

（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱， 其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图； ③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是

（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0

（12）设1,A 2,A 3,A 4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (R λ∈)，

1412A A A A μ=(R μ∈)，且

1

1

2λ

μ

+

=,则称3,A 4A 调和分割1,A 2A ,已知点()(),0,,0C c D d

(,c d R ∈)调和分割点()()0,0,1,0A B ，则下面说法正确的是

(A)C 可能是线段AB 的中点 (B)D 可能是线段AB 的中点

(C)C ，D 可能同时在线段AB 上 (D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）执行右图所示的程序框图，输入2,l =3,5m n ==，则输出的y 的值是 68 .

(14)若6

2a x x ??

- ? ???

展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .

（15）设函数()2x

f x x =+（x ＞0），观察： ()()12

x f x f x x ==

+ ()()()2134x

f x f f x x ==

+ ()()()32f x f f x ==

78x

x +

()()()43f x f f x ==

1516

x

x + ……

根据以上事实，由归纳推理可得： 当*

n N ∈且2n ≥时，()()()1

n n f x f

f x -== .

()212

n n

x

x -+ （16）已知函数()log (01)

a f

x x x b a a =+-≠＞，且当，234a b <<<<时，函数()f x 的零点*

0(,1),,=x n n n N n ∈+∈则 2 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）

在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知

cos A-2cosC 2c-a

=

cos B b

. （Ⅰ）求

sin sin C

A

的值； （Ⅱ）若1

cos 4B =

2b =，求ABC ?的面积S .

（Ⅰ）

sin 2

sin C

A =

（Ⅱ）154S = （18）（本小题满分12分）

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立. （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ. （Ⅰ）0.55 （Ⅱ）1.6 （19）（本小题满分12分）

在如图所 示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，

90ACB ∠=?，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ， FG ∥BC ，EG ∥AC ,2AB EF =.

（Ⅰ)若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ; （Ⅱ）若2AC BC AE ==,求二面角A BF C --的大小． 3

π

（20）（本小题满分12分）

等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行

9

8

18

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n

n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S .

（Ⅰ）1

23n n a -=（Ⅱ）()()3ln 31213ln 3ln 212

n

n n n n S n n ?+-??=?-?---??为偶数为奇数

（21）（本小题满分12分）

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均

A

B

C

D

E

F

G

M

为半球形，按照设计要求容器的体积为

803

π

立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.

（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r . （Ⅰ）()2160=42,02y c r r r

π

π-+

<≤ （Ⅱ）()'32

8220,022c y r r r c π-??=

-<< ?-?

?3

3

3202020

0,,0222

r r m c c c -===>---令 则

()

()()'222

82c y r m r rm m r

π-=-++ （1）902,,2

m c <<>

',0;r m y ==

()'0,,0;r m y ∈<

所以，r m =是极小值点，也是最小值点C （2）当9

2,32

m c ≥<≤

时，当()0,2r ∈，'0;y <函数单调递减，所以，2r =是函数最小值点。 综上，932

c <≤

时，费用最小时2r =；9

2c >时，费用最小时3202r c =-.

（22）（本小题满分14分）

已知直线l 与椭圆C : 22132

x y +=交于()11,P x y ,()22Q x y ?两不同点，且OPQ ?的面积S=6

2,其中

O 为坐标原点。

（Ⅰ）证明2

2

12x x +和2

2

12y y +均为定值

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ 的最大值；

（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D , E , G ，使得6

2

ODE ODG OEG S S S ???===？若存在，判断DEG ?的形状；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）直线l 斜率不存在时，2

2

123x x +=；2

2

122y y +=

直线l 斜率存在时，y kx m =+，显然0m ≠，代入椭圆方程整理得

()()2

2

2236320k x

kmx m +++-=

由2

2

0,32k m ?>+>

22

2

22632132k m PQ k k +-=+?+，21m d k

=

+ 由62

OPQ S ?=

,得22

322k m += ∴22123x x +=；22122y y +=. （Ⅱ）2

2

4252

OM PQ

OM PQ +≤=, ∴OM PQ 的最大值是5

2

（Ⅲ）不存在。