高中数学平面向量部分错题精选1

高考数学复习易做易错题选 平面向量 一、选择题：

1．（如中）在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( ) A 20 B 20- C 320 D 320- 错误分析:错误认为?

==60,C CA BC ,从而出错.

答案: B 略解: 由题意可知

?=120,CA BC ,

故CA BC ?=20

2185,cos -=???

??-??=??CA BC CA BC .

2．（如中）关于非零向量a

和b ，有下列四个命题：

（1）“b

a b a +=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”；

（2）“b

a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”；

（3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b

a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”；

其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析:对不等式b

a b a b a

+≤±≤-的认识不清.

答案: B.

3．(石庄中学)已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，

B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA ·OP 的最大值为 （

） A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当OP

cos

最大时，OA ·OP 即为最大。

4．(石庄中学)若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ）

A ． a 与b 的夹角等于-

B ．a ∥

b

C ．(a +b )(a -b )

D ． a ⊥b

正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 5．(石庄中学)已知向量 a =(2cos ，2sin )，

(

ππ

,2)， b =

（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( )

A ．

π32-

B ．2

π

+ C ．-

2

π

D ．

正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，]。

6．(石庄中学)O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC -2OA )=0，则ABC 是（

）

A ．以A

B 为底边的等腰三角形

B ．以B

C 为

底边的等腰三角形

C ．以AB 为斜边的直角三角形

D ．以BC 为斜边的

直角三角形

正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成(OA +OA )。

7．(石庄中学)已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M

N=（ ）

A ｛（1，2）｝

B {})2,2(),2,1(--

C {})2,2(--

D φ 正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。 8．已知k Z ∈，(,1),(2,4)==AB k AC ，若10

AB ≤，则△ABC 是直

角三角形的概率是（ C ）

A ．17

B ．27

C ．37

D ．47

分析：由

10

AB ≤及k Z ∈知{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---，若

(,1)(2,4)==与AB k AC 垂直，则

2302

+=?=-k k ；若(2,3)

=-=--BC AB AC k 与

(,1)

AB k =垂直

，

则

2230--=k k 13?=-或k ，所以△ABC 是直角三角形的概率是3

7.

9．(磨中)设a0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|·a0;(2)若a 与a0平行，则a=|a|·a0；（3）若a 与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ） A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：D 。

错误原因：向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。

10．(磨中)已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 正确答案：。±15。

错误原因：容易忽视平行向量的概念。a 、b 的夹角为0°、180°。

11．(磨中)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足

)

,0[),|

||

|(

+∞∈++=λλAC AC AB AB OA OP ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案：B 。

错误原因：对

)

,0[),|

||

|(

+∞∈+

+=λλAC AC AB AB OA OP 理解不够。不清楚

||AB AB ||AC AC

+与∠BAC 的角平分线有关。

12．(磨中)如果,0a b a c a ?=?≠且，那么 （ ） A ．b c = B ．b c λ= C ． b c ⊥ D ．,b c 在a 方向上的投影

相等

正确答案：D 。

错误原因：对向量数量积的性质理解不够。

13．（城西中学）向量→

AB ＝（3，4）按向量a=(1,2)平移后为 （ ）

A 、（4，6）

B 、（2，2）

C 、（3，4）

D 、（3，8） 正确答案： C

错因：向量平移不改变。

14．（城西中学）已知向量(2,0),(2,2),(2cos ,2sin )OB OC CA a a ===则向量,OA OB 的夹角范围是（ ）

A 、[π/12，5π/12]

B 、[0，π/4]

C 、[π/4，5π/12]

D 、 [5π/12，π/2] 正确答案：A

错因：不注意数形结合在解题中的应用。

15．（城西中学）将函数y=2x 的图象按向量 →

a 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① →

a 的坐标可以是（-3，0） ②→

a 的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③→

a 的坐标可以是（0，6） ④→

a

的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 正确答案：D

错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。

16．（城西中学）过△ABC 的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,

若,AB x AD = AC y AE =,(0≠xy ),则

y x 11+

的值为( ) A 4 B 3 C 2 D 1 正确答案：A

错因：不注意运用特殊情况快速得到答案。

17．（蒲中）设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）

A 、),2()2,21

(+∞?- B 、),2(+∞ C 、),21(+∞- D 、

)

21

,(--∞

答案：A

点评：易误选C ，错因：忽视a 与b 反向的情况。

18．（蒲中）设a =(x1，y1)，b =(x2，y2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ）

① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ② |a ·b |=|a | |b |； ③

2

1

21y y x x =； ④ (a +b )//(a －b )

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 答案：C

点评：①②④正确，易错选D 。

19．（江安中学）以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使

90=∠A ，则AB 的坐标为（ ）。 A 、（2，-5） B 、（-2，5）或（2，-5） C 、（-2，5） D 、（7，-3）或（3，7） 正解：B

设),(y x AB =，则由2

22225||||y x AB OA +=+?= ①

而又由AB OA ⊥得025=+y x ② 由①②联立得5,25,2=-=-==y x y x 或。

），（－或52)5,2(-=∴AB

误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。

20．（江安中学）设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则2

121y y

x x =是b a //的

（ ）条件。

A 、充要

B 、必要不充分

C 、充分不必要

D 、既不充分也不必要 正解：C

若

2

121y y x x =则b a y x y x //,01221∴=-，若b a //，有可能2x 或2y 为0，故选

C 。

误解：b a //?01221=-y x y x ?21

21y y

x x =，此式是否成立，未考虑，选

A 。 21

．

（

江

安

中

学

）

在

?

OAB 中，

)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=?OB OA =-5，则OAB S ?=

（ ）

A 、3

B 、23

C 、35

D 、23

5

正解：D 。

∵5-=?OB OA ∴5cos ||||-=??V OB OA （LV 为OA 与OB 的夹角）

()()5cos sin 5)cos 5()sin 2(cos 22

222-=?+?

+V ββαα

∴

21

cos =

V ∴

23sin =V ∴235sin ||||21=

??=?V OB OA S OAB

误解：C 。将面积公式记错，误记为V OB OA S OAB sin ||||??=?

22．（丁中）在ABC ?中，a AB =，b BC =，有0

锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 错解：C

错因：忽视0

23．（丁中）设平面向量a )()1,()1,2(R b ∈-=-=λλ，，

，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （A ）

A 、），（），（∞+?-2221

B 、（2，+）∞

C 、（—），∞+21

D 、（-）

，21-∞

错解：C

错因：忽视使用0

24．（薛中）已知A （3，7），B （5，2），向量)21(，

a AB =→

→

按平移后所得向量是 。

A 、（2，-5），

B 、（3，-3），

C 、（1，-7）

D 、以上都不是

答案：A 错解：B

错因：将向量平移当作点平移。

25．（薛中）已知ABC BC AB ABC ?>??→

→

则中,0中， 。

A 、锐角三角形

B 、直角三角形

C 、钝角三角形

D 、不能确定 答案：C 错解：A 或D

错因：对向量夹角定义理解不清

26．（案中）正三角形ABC 的边长为1，设,,b BC a AB ==c AC =，那么

a

c c b b a ?+?+?的值是

（ ）

A 、32

B 、21

C 、23

- D 、21

-

正确答案：(B)

错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。 27．（案中）已知

≠?--=?-?c b a c b c a ，且不垂直和b a ，则

()

c b a b a ??-与 （ ）

A 、相等

B 、方向相同

C 、方向相反

D 、方向相同或相反

正确答案：(D)

错误原因：受已知条件的影响，不去认真思考b a ?可正可负，易选成B 。

28．（案中）已知02

=+?+?c x b x a 是关于x 的一元二次方程，其中

c b a ,,是非零向量，且向量b a 和不共线，则该方程

（ ）

A 、至少有一根

B 、至多有一根

C 、有两个不等的根

D 、有无数个互不相同的根 正确答案：(B)

错误原因：找不到解题思路。

29．（案中）设c b a ,,是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：

①()

0)(=??-??b a c c b a ②b a b a ++

③()()垂直不与c b a c a c b ??-?? ④若c b a b a 与则?⊥,不平行

其中正确命题的个数是

（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 正确答案：(B)

错误原因：本题所述问题不能全部搞清。

二填空题：

1．（如中）若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______________.

错误分析：只由b a ,的夹角为钝角得到,0

不

是b a ,夹角为钝角的充要条件,因为b a ,的夹角为

180时也有,0

而扩大x 的范围,导致错误. 正确解法:

a

，b

的夹角为钝角,

()?+-?=?∴x x x b a 23

04322<+-=x x

解得0

34

>

x (1)

又由b a ,共线且反向可得

31

-

=x (2) 由(1),(2)得x 的范围是 ?????-∞-31,???

??+∞??? ??-,340,31 答案: ?

????-∞-31,???

??+∞??? ??-,340,31 . 2．（一中）有两个向量1(1,0)e =，2(0,1)e =，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = 秒．正确答案：2

（薛中）1、设平面向量),1,(),1,2(-=-=→

→λb a 若→

→b a 与的夹角是钝角，则λ的范围是 。

答案：)

,2()2,21

(+∞?- 错解：)

,21

(+∞-

错因：“0

→b a 和的夹角为钝角”不是充要条件。

3．（薛中）→→b a ,是任意向量，给出：○1,→

→=b a ○2

→

→

=b

a ，○3→

→b a 与方

向相反，○4,00→

→

→

→

==b a 或○5→

→b a ,都是单位向量，其中 是→

→

b a 与共线的充分不必要条件。 答案：○1○3○4 错解：○1○3

错因：忽略→

0方向的任意性，从而漏选。

4．（案中）若()()方向在则b c c a b a ,0,7,4,3,2=+-==上的投影为 。 正确答案：5

65-

错误原因：投影的概念不清楚。

5．（案中）已知o 为坐标原点，()(),5,5,1,1-=-=nm om 集合

{}

oq

op rn or A ,,2|==A ∈,且

()，则且0,≠∈=λλλR mq mp =?mq mp 。

正确答案：46

错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想。

三、解答题：

1．（如中）已知向量??? ??-=??? ??=2sin ,2cos ,23sin ,2

3cos x x b x x a ,且,

2,0??????∈πx 求

(1) b a ?及b

a

+;

(2)若

()b

a b a x f

+-?=λ2的最小值是23

-

,求实数λ的值.

错误分析:(1)求出b

a +=x 2cos 22+后,而不知进一步化为x cos 2,

人为增加难度;

(2)化为关于x cos 的二次函数在[]1,0的最值问题,不知对对称轴方程讨论.

答案: (1)易求x b a 2cos =? , b

a

+=x cos 2 ;

(2) ()b a b a x f +-?=λ2=x x cos 222cos ?-λ=1cos 4cos 22

--x x λ

=

()12cos 22

2

---λλx

?

?????∈2,0πx []1,0cos ∈∴x 从而:当0≤λ时,()1min -=x f 与题意矛盾,0≤λ 不合题意;

当10<<λ时,

()21

,23122min =

∴-=--=λλx f ; 当1≥λ时,

(),2341min -=-=λx f 解得85

=

λ,不满足1≥λ; 综合可得: 实数λ的值为21

.

2．（如中）在ABC ?中,已知()()k AC AB ,1,3,2==,且ABC ?的一个内角为直角,求实数k 的值.

错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.

答案: (1)若,90?=∠BAC 即,AC AB ⊥ 故0=?AC AB ,从而,032=+k 解得

32-

=k ;

(2)若,90?=∠BCA 即AC BC ⊥,也就是0=?AC BC ,而

(),3,1--=-=k AB AC BC 故()031=-+-k k ,解得

2133±=

k ;

(3)若,90?=∠ABC 即AB BC ⊥,也就是,0=?AB BC 而()3,1--=k BC ,故()0332=-+-k ,解得

.311=

k

综合上面讨论可知,

32-

=k 或2133±=k 或.

311=k

3．（石庄中学）已知向量

m=(1,1)，向量n →

与向量m →

夹角为

π43

，且

m →

·n

→

=-1，

(1)求向量n →

；

(2)若向量n →

与向量q →

=(1,0)的夹角为2

π

，向量p →

=(cosA,2cos22

c )，其

中A 、C 为

ABC 的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，试求

n

→

+p

→

的取值范围。

解：(1)设n →

=(x,y)

则由=

π43得：cos

→

>=

n

m n

m →

→

→→

??=

2

2

22

2-

=+?+y x y

x ①

由m →

·n →

=-1得x+y=-1 ②

联立①②两式得????

?-==10

y x 或?

????=-=01y x ∴n →

=(0,-1)或(-1,0)

(2) ∵

,q →

>=2

π

得n →

·q →

=0

若n →

=(1,0)则n →

·q →

=-10

故n →

(-1,0) ∴n →

=(0,-1) ∵2B=A+C ，A+B+C=

B=3

π ∴C=A -32π

n

→

+

p →

=(cosA,2cos21

2-c

)

=(cosA,cosC)

∴

n

→

+p

→

=

C

A 2

2cos cos +=

2

2cos 122cos 1C

A +++=

1

22cos 2cos ++C

A

=1

2

)234cos(

2cos +-+A A π

=

122sin 23

22cos 2cos +--

A A A

=

1

22sin 232cos 21+-A A

=

1

2

)32cos(++

π

A

∵0

2π

∴0<2A<3

4π

3

53

23

ππ

π

<

+

∴-1

π

)<2

1 ∴

n

→

+p

→

(

2

5,22)

4．（石庄中学）已知函数f(x)=m |x-1|(m ∈R 且m ≠0)设向量

θ

2cos ,1(=→

a )，)1,2(=→

b ，)1,sin 4(θ=→

c ，)1,sin 21

(θ=→d

，当

(0，4

π

)时，比

较

f(b a →

→

?)与f(d

c →

→

?)的大小。

解：b a →→?=2+cos2θ，d

c →

→?=2sin2θ+1=2-cos2θ

f(b a →

→

?)=m |1+cos2θ|=2mcos2θ

f(d

c →

→

?)=m |1-cos2θ|=2msin2θ

于是有f(b a →

→?)-f(d c →

→

?)=2m(cos2θ-sin2θ)=2mcos2θ

∵θ∈(0,4π

) ∴2θ∈(0, 2

π

) ∴cos2θ>0

∴当m>0时，2mcos2θ>0，即f(b a →

→

?)>f(d

c →

→

?)

当m<0时，2mcos2θ<0，即

f(b a →

→

?)

c →

→

?)

5．（石庄中学）已知A 、

B 、

C 为

ABC 的内角，且

f(A 、B)=sin22A+cos22B-

3sin2A-cos2B+2

(1)当f(A 、B)取最小值时，求 C

(2)当A+B=

2

π时，将函数f(A 、B)按向量

p

→

平移后得到函数

f(A)=2cos2A 求p →

解：(1) f(A 、B)=(sin22A-3sin2A+4

3

)+(cos22B-cos2B+4

1

)+1

=(sin2A-2

3)2+(sin2B-2

1

)2+1

当sin2A=2

3,sin2B=2

1

时取得最小值，

∴A=30或60

，2B=60

或120

C=180

-B-A=120

或90

(2) f(A 、B)=sin22A+cos22(A -2π)-2

)2(2cos 2sin 3+--A A π

=22cos 2sin 32cos 2sin

22

++-+A A A A

=3

)33

2cos(23)32cos(2++=++A A π

p →

=)

3,23(ππ

k +

6．（石庄中学）已知向量

)

,11

(

),1,(2x mx b mx a -=-=（m 为常数），

且a ,b 不共线，若向量a ,b 的夹角落为锐角，求实数x 的取值范围. 解：要满足为锐角 只须b

a ?>0且

b

a λ≠（R ∈λ）

b a ?=x mx mx --12

= 122-+-mx x

mx mx

=01>-mx x

即

x (mx-1) >0

1°当 m > 0时

x<0 或

m x 1>

2°m<0时

x ( -mx+1) <0

01

><

x m x 或

3°m=0时 只要x<0 综上所述：x > 0时，),1

(

)0,(+∞-∞∈m x

x = 0时，)0,(-∞∈x

x < 0时，

),0()1

,

(+∞-∞∈ m x

7．(磨中)已知a=（cos α，sin α）,b=（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|ka+b|=3|a －kb|，其中k>0， （1）用k 表示a ·b;

（2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的大小。

解 （1）要求用k 表示a ·b,而已知|ka+b|=3|a －kb|，故采用两边平方，得

|ka+b|2=(3|a －kb|)2

k2a2+b2+2ka ·b=3(a2+k2b2－2ka ·b) ∴8k ·a ·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2

a ·

b =k k k 8)13()3(2

222b a -+-

∵a=(cos α，sin α),b=(cos β,sin β)， ∴a2=1, b2=1,