将军饮马问题地11个模型及例题
将军饮马问题
问题概述
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题
方法原理
1.两点之间，线段最短；
2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4.垂线段最短.
基本模型
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′，
在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则
需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.
3.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；
理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′，
连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 即︱P′A-P′B︱<︱PA-PB︱ 4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：作点B关于直线l的对称点B′，连接B′A并延长交 于点P，点P即为所求； 理由：根据对称的性质知l为线段BB′的中垂线，由中垂 线的性质得：PB=PB′，要使︱PA-PB︱最大，则需 ︱PA-PB′︱值最大，从而转化为模型3. 典型例题1-1 如图，直线y=2 x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分 3 别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时， 点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________. 【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连 接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为 △BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从 而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理 （或两点之间的距离公式，实质相同）计算. 【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴 于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21 AO=3， ∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点， D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23， ∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中， CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5. 【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变 化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析 式，再求其与x 轴的交点P 的坐标. 典型例题1-2 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________. 【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ， 连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的 交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值， 再用两点之间的距离公式求此最大值. 【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC 的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223 )2()1(-++=241 ； 【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点. 变式训练1-1 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0）， OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短 时，点P 的坐标为（ ） A ．（0，0） B ．（1，12） C ．（65，35） D ．（107，57） 变式训练1-2 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2， BD=2√3,E 为AB 的中点，P 为对角线AC 上一动点，则PE+PB 的 最小值为__________. 变式训练1-3 如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=12x 2 +bx+c 与直线交于 A 、E 两点，与x 轴交于 B 、 C 两点，且B 点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标. 拓展模型 1. 已知：如图，A 为锐角∠MON 外一定点； 要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使 AP+PQ 的值最小. 解：过点A 作AQ ⊥ON 于点Q ，AQ 与OM 相交于点P ，此 时，AP+PQ 最小； 理由：AP+PQ ≧AQ ，当且仅当A 、P 、Q 三点共线时， AP+PQ 取得最小值AQ ，根据垂线段最短，当 AQ ⊥ON 时，AQ 最小. 2. 已知：如图，A 为锐角∠MON 一定点； 要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使 AP+PQ 的值最小. 解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON 于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小； 理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小， 只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型1 3.已知：如图，A为锐角∠MON一定点； 要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使 △APQ的周长最小 解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对 称点A 2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点 P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值 即为线段A1A2的长度； 理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周 长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线 时，其值最小. 4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON两个定点； 要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形 APQB的周长最小 解：作点A关于直线OM的对称点A′，作点B关于直线 ON的对称点B′，连接A′B′交OM于P，交ON于Q， 则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的 最小值即为线段AB和A′B′的长度之和； 理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA′,将 QB转化为QB′，当A′、P、Q、B′四点共线时， PA′+PQ+ QB′的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小. 5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定 点，（直线AB不与m垂直） 要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小. 分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使 P、Q“接头”，转化为基本模型 解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至 点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点 Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即 为所求，此时AP+PQ+BQ最小. 理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA， 当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即 AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小. 6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a (a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边） 要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小 分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移， 使P、Q“接头”，转化为基本模型 解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A′，使 AA′=PQ=a,连接A′B交直线l于点Q，在l上截取 PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时 AP+PQ+QB的最小值为A′B+PQ，即A′B+a 理由：易知四边形APQA′为平行四边形，则PA=QA′， 当A′、Q、B三点共线时，QA′+QB最小，即PA+QB 最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小. 7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a (a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边） 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 D B C A A N 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值 M B D A D A Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。 即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．2 6 C ．3 D ． 6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值； 初中数学解题模型专题讲解 专题10 “将军饮马”模型详解与拓展 平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题． 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 模型提炼： 模型模型【【1】一定直线、异侧两定点 直线l 和l 的异侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小 解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB 交直线l 于点P，点P 即为所求点 模型模型【【2】一定直线、同侧两定点 直线l 和l 的同侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小 解答： 第一步：画点A 关于直线l 的对称点A'（根据“翻折运 动”的相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等， 如图所示，AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为 一定直线异侧两定点问题） 第二步：联结A'B 交直线l 于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短 模型模型【【3】一定直线、一定点一动点 已知直线l 和定点A，在直线k 上找一点B （点A、B 在直线l 同侧）， 在直线l 上找点P，使得AP+PB 最小 解答： 第一步：画点A 关于直线l 的对称点A' 第二步：过点A'做A'B⊥k 于点B 且交直线l 于点P，根据“从直线 外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB 最小即AP+PB 最小 将军饮马模型(终稿) 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短 第 1 页 共 10 页 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH = 22 BC CH -=22 63 -=33 在直角△BHE中，BE = 22 BH EH - =22 (33)1 +=27 2．如图，在锐角△ABC中，AB =42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 第 2 页共10 页 将军饮马模型 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“ 将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB 最小 . 作法：连接 AB ，与直线l 的交点Q， Q 即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点 Q 处， PA+PB 最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接 AB ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点， 在⊿ PAB 中，由三角形三边关系可知：AP+PB ≧ AB( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ ) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 的和最小 . 关键：找对称点 作法：作定点 B 关于定直线l的对称点 C，连接 AC ，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点，即 当动点 P 跑到了点 Q 处， PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接 AC ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点， 在⊿ PAC 中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧ AC( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ ) 2.两动一定型 例3：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C，使得△ BAC 周长最短． 作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A’，作点 A 关于 ON 的对称点 A’’，连接 A’ A ’’，与 OM 交于点 B，与 ON 交于点 C，连接 AB ， AC ，△ ABC 即为所求． 原理：两点之间，线段最短 将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1. 3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 2.如图，直线l和l同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△P AB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形P AQB的周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 Part 1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值 解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ 重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短 例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM 交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求． 原理：两点之间，线段最短 最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ A B 将军 军营 河 【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？ 【问题分析】 这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【思路概述】 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． B B 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． P O B A M N 【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M． 中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇 以微课堂 初中精品微课，数学奥林匹克国家一级教练执教。 一、模型展现 (1)直线型 模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小． 原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长． 模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小． 原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短． 模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大． 原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长． 模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大． 原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边． 变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同． 模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小． 原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等． (2)角型 模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小． 原理：作两次对称，两点之间，线段最短． 模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小． 原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短． 模型8：在OA，OB上求作点M，N， (1)使PM＋MN最小． (2)使PN＋MN最小． 原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短． 模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM ＋MQ最小． 原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长． (3)平移型 模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小． 原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．) 模型11(造桥选址)： 直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN ＋NB最小． 原理： 将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．) 二、典型例题 平移型“将军饮马”问题解法大全 如下图，大家都熟悉求两条线段和最短的“将军饮马”模型，就是通过对称把同侧两定点转化为异侧两定点，再利用两点之间线段最短，找到我们要得的动点，进而求出最短距离。 在直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型，即（“两定一动型”----两个定点+一个动点）。 如果本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ的距离之和最短，又该如何处理呢（“两动一定型”） 法一：先对称后平移 作定点A关于动点所在直线（河）的对称点A',将点A'沿直线平移PQ的长度得A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直.最短AP+PQ+BQ即此时P,个长度得点PQ线反向平移 思路：作对称（同侧变异侧）---对称点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）---连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点. 法二：先平移后对称 将点A沿直线平移PQ的长度得A',作定点A'关于动点所在直线（河）的对称点A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直线反向平移PQ个长度得点P,即此时AP+PQ+BQ最短. 思路：定点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）----作对称（同侧变异侧）----连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点. 作图模型：对称+平移+连接+反向平移+连接 简析：典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”）.具体思路均是构造定点关于动点所在直线（河）的对称点. 反思：“平移型将军饮马”问题，需通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.具体思路可“先对称后平移”，也可“先平移后对称”.通过平移将一定点变为两定点，再将同侧定点通过对称转变为异侧定点，连接原定点和对称点即可得最短距离. (思路：定点沿河平移定长，作出对称点，连接异侧两定点) 将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1. 3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 将军饮马模型 Revised as of 23 November 2020 将军饮马问题 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。 1.将军饮马故事 “将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短 A B 模型一：一条定直线，同侧两定点 在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。 一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离。 理由：A ’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A ’P 。所以 PA+PB=PA ’+PB 。这样问题就化成了求 A ’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。 例一：某供电部门准备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M ，同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电。已知两个居民小区A 、B 分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。 （1）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短最短线路的长度是多少千米 （2）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短此时分支点M 与A1的距离是多少千米 模型二：一条定直线，一定点，一动点 如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M ，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。 A B B A A ’ B ’ A ’ B ’ L L 2020年中考数冲刺难点突破将军饮马与最值问题 专题一将军饮马中两定一动模型与最值问题 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。 1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】 在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B. 【答案】10 【详解】 解：如图： 连接DE 交AC 于点P ，此时PD ＝PB ， PB +PE ＝PD +PE ＝DE 为其最小值， ∵四边形ABCD 为正方形，且BE ＝2，AB ＝8， ∵∵DAB ＝90°，AD ＝AB ＝8，AE ＝AB -BE ＝6， 在Rt∵ADE 中，根据勾股定理，得 DE ＝22AD AE + ＝2286+ ＝10． ∵PB +PE 的最小值为10． 故答案为10． 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x =>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标． 912 （2）过点B 作BE AD ⊥垂足为E ， ∵90B =o ∠，AB BD =，BE AD ⊥ ∵1322 AE ED AD ===， ∵39322OD BE +=+ =， ∵93(,)22B ， 则点B 关于y 轴的对称点193(,)22 B -，直线1AB 与y 轴的交点就是所求点P ，此时PA PB +最小， 设直线AB 1的关系式为y kx b =+，将 (3,3)A ,193(,)22B - ，代入得， 33932 2k b k +=???-+=?? 解得：15k =，125b =， ∵直线1AB 的关系式为11255 y x =+， 当0x =时，125 y =， ∵点12(0,)5 P 答：点P 的坐标为12(0, )5． 点C ，点D 是该抛物线的顶点． 将军饮马模型 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． B 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小． B 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小． l P B' A B 作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB A A 模型实例 例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ． E D P P E C D 解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称， ∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3 例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB - 的最大值是多少？ 解答： 如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ． ∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°．将军饮马
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