兰州一中实验班招生数学试题.doc
2012年兰州一中实验班招生试题
数 学
满分150分，时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．相交两圆的公共弦长为6,两圆的半径分别为
32和5,则这两圆的圆心距等于( ) A.2 B.7 C.2或6 D.1或7
2．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =
5
1
，则AD 的长为( ) A . 2 B .3 C .2 D .1
3．已知n m ,是方程0122
=--x x 的两根，且
8
)763)(147(22=--+-n n a m m ，则
a
的值等于
（ ）
A ．－5
B .5
C . －9
D .9
4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4 ，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ， EF 交DC 于F , 设BE=x ，FC=y ，则当点E 从点B 运动到点C 时,y 关于x 的函数图象是( )．
5．若实数x ,y 满足2
2
4250,x y x y +--+=则
32x y y x
+- 的值是（ ）
A ．1
B ．
3
22
+ C ．3－22 D ．3 +22
6．二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数ac bx y -=与反比例函数x c
b a y +-=在同一坐标系内的图象大致为（ ）
7．小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校，
所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ） A.8.6分钟 B.9分钟 C.12分钟 D.16分钟
8．方程x 2+2x －1=0的根可看成函数y =x +2与函数1
y x
=
的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x 3+x －1=0的实根x 所在范围为（ ）
A ． 102x -
<< B ．112x << C ．102
x << D ．
3
12x << 二、填空题（把答案填在题中的横线上.6小题,每小题6分,共36分）
9．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为 元．
10．已知Rt ΔABC 中，斜边BC 上的高AD=4，cosB=
5
4
，则AC= _______ ． 11．某厂第一季度共生产钢190吨,二、三月份共生产钢150吨,则平均每月的增长率是________.
12．如图，AB 与CD 相交于E ，DA ∥EF ∥BC,且AE:EB=1:2，△ADE 的面积为1，则△AEF 的面积是_________.
13．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是_____________.
y x
O B.
y x
O A.
y x
O C.
y x
O D.
1
- 1
O x
y
第6题图
120°
1
2
1
2
14.将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm.
答案
一、选择题
1.D
2.A
3.C
4.A
5.D
6.B
7.C
8.B 二、填空题
9. 28 10. 5 11. 50% 12.
23 13. 1
3
14. 1 三、解答题（解答时,必须写出必要的解题步骤.6小题,共74分）
15. （本题满分12分）已知关于x 的方程014)3(22
2
=--+--k k x k x ．
（1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；
（3）若以方程014)3(22
2
=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数x
m
y =
的图象上，求满足条件的m 的最小值． 解: （1）由题意得△＝()[]()
144322
2
--?---k k k ≥0
化简得 102+-k ≥0，解得k ≤5．…………….4分
（2）将1代入方程，整理得2
660k k -+=，解这个方程得 13k =，
23k =…………….8分
（3）设方程014)3(22
2=--+--k k x k x 的两个根为1x ，2x ，
根据题意得12m x x =．又由一元二次方程根与系数的关系得2
1241x x k k =--，
那么()52142
2
--=--=k k k m ，所以，当k ＝2时m 取得最小值－5……….12分
16.（本题满分12分）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2011年1 月的利润为200万元．设2011年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2011年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2011年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
解：⑴①当1≤x ≤5时，设k
y x
=
，把（1，200）代入，得200k =，即200
y x
=
；…………….2分 ②当5x =时，40y =，所以当x ＞5时，4020(5)2060y x x =+-=-；…………….4分
⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元；…………….8分 ⑶对于200
y x
=
，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月．…………….12分
17．（本题满分12分）数学家高斯在读小学二年级时老师出了这样一道计算题:
1+2+3+4+5+…+99+100=?
高斯很快得出了答案,他的计算方法是:
1+2+3+4+5+…+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(49+52)+(50+51)=50 × 101=5050
(1) 请你利用上述方法或用其它的方法求s=1+3+5+7+…+[2(n–1)–1]+(2n –1)的计算公式;
(2)如图,第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的,第三个图形是由第二个图形中的中间三角形连结三边中点而得到的,依次类推……
分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形的三角形的个数,由此推测出第n 个图形中三角形的个数,并求出
第一个图形到第n 个图形的三角形个数
之和.
解:(1)s=n 2. …………….6分
(2)第二个图形中三角形的个数5; …………….7分 第三个图形中三角形的个数9; …………….8分 第四个图形中三角形的个数13; …………….9分 第n 个图形中三角形的个数4n –3; ……………10分
第一个图形到与第n 个图形的三角形个数之和为2n 2–n. …………….12分
① ② ③ ……
第17题图
18．（本题满分12分）（1）如图,A 、B 两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A 工厂到河堤的距离AC 为1km ，B 工厂到河堤的距离BD 为2km ，经测量河堤上C 、D 两地间的距离为6km ．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A 、B 两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C 地多远的地方？
（2）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想构造图形，尝试解决下面问题：若221(9)4y x x =
++-+ ，当x 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值．
解：（1）延长AC 到E ，使CE=AC ，连接EB 交CD 于点P ，则点P 就是污水处理厂所在的地方（画出图形）．
设CP=x ，则DP=6-x ，
由点A 与点E 的对称性可知∠APC=∠EPC ， 又由对顶角相等可知∠BPD=∠EPC ， ∴∠APC=∠BPD ，
又∵∠ACP=∠BDP=90°， ∴△ACP ∽△BDP ，
∴
AC CP
BD DP =
∴126x x
=-， 解得x=2，
所以，污水厂应建在距离C 地2km 处；…………6分 （2）仿照（1）中建立图形，
使AC=1，CD=9，BD=2，设CP=x ， 则221(9)4y x x =+-+中的21x +即是图中的AP 2(9)4x -+即是图中
的BP ．
所以221(9)4y x x =
+-+AP+BP 的最小值，
仿照（1）中找到点A 关于直线CD 的对称点E ，连接EB ，与CD 的交点就是所求的点P ． 由△ACP ∽△BDP ，得AC CP
BD DP
=
∴
129x
x
=
-， 解得x=3， 所以当x=3时，221(9)4y x x =
+-+
最小值是2231(93)4310y =+-+= ．…………….12分