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妙用函数巧解题

妙用函数巧解题

邓超 (福建省福州市第十八中学 350001)

函数思想是中学数学中重要的数学思想之一,并在其中起到了举足轻重的作用。在许多难以入手的题目当中,通过适当的构造函数,利用函数的单调性、奇偶性等性质往往能使问题迎刃而解。出人意料的是下面一道有关二项式定理的问题中,通过引入函数使得问题得到巧妙的解决。

【例】在2006

(x 的二项展开式中,含x 的奇次幂的项之和为S ,当x =时,S 等于

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_____________。

【解一】由二项式定理得:2006

2006120052

2004220062005(((x x C x C x -=+?+?+

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2006(???+,含x 的奇次幂的项之和S =120053

200332006

2006((C x C x ?+?+

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200520052006(C x ?。x =时,2006132005

100320061200620062006(()22S C C C -=++???+=-?

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30082=-。

【评注】解一中的计算十分繁琐,而且用了一个不那么显然的一个结果:024

n n n C C C +++???

13512n n n n C C C -=+++???=。下面用函数的思想给出一个解法。

【解二】设()S x 等于2006

(x 的二项展开式中所有含x 的奇次幂的项之和,()T x 等于

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2006(x 的二项展开式中所有含x 的偶次幂的项与常数项之和。于是有

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2006(()()x T x S x =+

(1)

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显然题中所求就是函数值S 。又 因为()T x 是偶函数,()S x 是奇函数,

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()()T x T x -=,()()S x S x -=-1)中有:

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2006T S =+,

(2)

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2006((T S T S =+=-

(3)

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(2)-(3)得:

20062S =-,故30082S =-。

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【评注】解二中将2006

(x 表示成了一个偶函数和一个奇函数之和(事实上,对于任意函

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数都能表示成了一个偶函数和一个奇函数之和),从而使整个解题过程大大简化,而且整个解法也不依赖排列组合及二项式定理的任何结果。