复杂边界单连通域共形映射解析建模研究
第19卷第4期2002年11月
工程数学学报
J0URNAL0F ENG I NEER I NG M ATHEM AT I CS
V o l.19N o.4
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N ov.2002文章编号：1005-3085（2002）04-0135-04
复杂边界单连通域共形映射解析建模研究"
徐趁肖，朱衡君，齐红元
（北方交通大学机械与电子控制工程学院，北京100044）
摘要：在工程实际中任意非规则复杂边界单连通域问题的数学模型建立难度大，导致求解和优化参数非常困难。根据共形映射原理，采用复变三角插值理论，利用法线迭代收敛方法，将任意复杂边界单
连通域问题转化为单位圆域问题，系统地建立了二者间的共形映射函数，并对具有对称轴特性的
单连通域问题进行了算法简化。
关键词：共形映射；三角插值；建模
分类号：AM S（2000）40B41中图分类号：034文献标识码：A
1引言
对于工程中非规则复杂单连通域问题［1］（速度、温度、强度等），其接触边界及域的数学模型难以建立，导致难于求解及优化分析工程参数，通常采用经典的共形映射变换［2］将其转化为简单边值问题。最基本的共形映射采用初等函数变换，K ar m an-T refftz变换等以及这些变换函数的适当组合可将复杂几何外形变换成某一简单几何外形，并可期望该几何外形接近于圆。经典的T heodorsen变换是将近似圆变换为圆的有力工具。但是，对于实际应用中复杂多样的几何外形，最终得到的近似圆并不总是很接近于圆，此时，T heodorsen变换的应用将受到限制。S ch w artz-Christo ff el共形映射积分［2，3］，通过顺序数列法，有效地解决了多数多边形向单位圆的数学模型转换研究，但在复变函数转化为实变函数的过程中计算非常复杂［4］，甚至无法完成实转化，求解难度大。
本文针对共形映射实际应用中所遇到的困难，采用复变三角插值理论，系统地建立任意复杂边界接触域与单位圆接触域间的共形映射函数，使不同复杂接触域问题得到简化，使问题的解析求解和参数优化成为可能。
2复杂边界单连通域共形映射三角插值算法
由R ie m ann变换存在定理［2］可知，从单位圆域到任意给定单叶性单连通区域一定存在
"收稿日期：2001-06-06.作者简介：徐趁肖（1973年4月生），女，博士生，研究方向：计算流体力学、
载运工具运用工程、自动控制等方面.
共形映射，而且变换具有唯一性。该共形变换满足C arat heodor y 边界对应定理，如图1所示。为满足映射的唯一性条件，可取两平面中的原点相对应，并使接触域边界处的边值条件不变，满足该条件的函数为泰勒级数。
设 （!）
为辅助平面!上单位圆域到物理平面 上复杂边界单连通域的共形映射函数，将单位圆沿圆周划分为 等份，等分点处复向量分别为! （!），其对应幅角为图1复杂边界单连通域共形映射
" 2! ， 0，1，2，…， 1。函数族｛1，e i "1，e i "2，…，e i " 1 1，2，…， ｝在［0，2!］上具有正交性质，因此 （!）
在 个等分点处的三角插值级函数为： （!） ! 1 !
!
1 # e i " （1）
i 1 ! 1 0
# e i " （2）式中， 1，2，…， ；#为复向量的模。该变换即为离散傅立叶变换及其反变换［5］，但由于单位圆域与给定单连通域之间的映
射函数插值点的对应值是未知的，无法直接应用上述公式进行求解。为实现函数的求解，采用奇、偶数插值点反复迭代的方法来确定满足精度要求的插值点坐标。
2 1
三角插值共形映射函数求解将单位圆沿圆周划分为2 等份，2 个等分点分为奇数点和偶数点两组，
对应幅角分别为："2 和"2 1。 在 个偶数或奇数插值点基础上建立时，分别用 或
表示。首先对单位圆和给定单连通域取初始偶数插值点序列： （ 1）2 （"
2 ）， 0，1，…， 1；上标中 表示迭代次数；1表示当前序列为轮廓点序列，0表示当前序列不一定为轮廓
点。将 （ 1）2 （"
2 ）代入式（2），可利用快速傅立叶变换（FFT ）得到对应的三角插值函数系数 ， 1，
2，…， 。令 ，代入式（1），令" "2 1，得到奇数插值点 （ 0）2 1（"2
1）。显然，该奇数插值点序列并非真实插值点，通过法线收敛使其趋近于轮廓得到轮廓奇数插值点
（ 1）2 1（"2 1）并代入式（2），得到相应的系数 。同理，令
，代入式（1），得到轮廓偶数插值点 （ 1）2 （"
2 ）并代入式（2），得到相应的系数 。按上述步骤反复迭代，直至映射边界与精确边界之间的相对偏差满足精度要求：
（ 1） （（ 1）1） （ 1） "$； （ 0） （ 1） （ 1）
"$（3）
则可令 或 ，从而得到所求的三角插值函数631工程数学学报第19###############################
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f （!） 1 0 !
1 0 " e i # 当 数目不是足够大时，上述迭代收敛速度将非常缓慢，难于达到精度要求，故将前一步所得偶数点和奇数点结合，通过倍增插值点数目的方法，实现加速收敛的目的。
2 2
对称工程接触域物理模型的简化算法在工程实际问题中遇到的单连通域往往具有若干个对称轴，因此可充分利用对称轴域的特性，对三角插值迭代求解进行简化，实现算法的快速收敛。
设对称轴数为 （其中之一为 轴），则由对称特性得到：
a 2 ／（2 ） 1
" （ co s # + s i n # ）， +10， +（ 1）
， ／ 0
， 1，2，…， （4）
当 时， 时，可得到z li m ／ 0
a +1! +1 a 1!。2 3
迭代的收敛性分析上述三角插值算法的迭代次数由规定的轮廓精度确定，需要选择适当的收敛方法来加速迭代过程，本文选用法线收敛法。
设z 区域有光滑曲线（见图2），则可以将轮廓的两个邻近点所构成的弦以确定的精度来代替对应段的光滑曲线。设z ［z 1，z 2］，弦a 中点沿法向与曲线轮廓点的相对偏移量$为
$ R R 2 a 2 4 R R 1 （a 2R ） 2 R 8（a R ）2+14（a R ）4+［］ (5)
图2插值点法线示意图
其中，R —为弦a 中点对应曲线轮廓点的曲率半径。当a 0时，$为弦a 长度的较高阶无穷小，$比弦a 收敛得更
快。因此，如果有邻近点z 向光滑曲线的轮廓趋近时，
将存在一个弦可代替z 1z 2弧，在要求精度条件下，可用以判断z 点向轮廓的
趋近程度，使轮廓点的计算转化为两个插值点的计算，简化了求解
算法，称为法线式收敛法。
3算例
以单位圆域到任意边界域的共形映射（见图3）为例，对本文方法进行验证。
图3单位圆到任意边界域的共形映射
单位圆方程为：｛! 1｝
。按照上述步骤进行求解，当迭代至 128时得到满足精度要求$
0 05%的共形映射函数
f （"，#） 1 !
1（a +i ）" e i # 其中
7
31第4
期徐趁肖等：复杂边界单连通域共形映射解析建模研究
!"=12.26025，0.1527187，1.514639，-0.2453129，-0.4720298，-0.8532333
，-0.4628697，-7.105802e -2，-0.1641047，0.2486598，0.1867307，
0.1581441，-1.669509e -3，…，-1.495436e -3；
#"=-2.359595e -002，0.7437036，0.3271865，-0.2714515，0.25835
，-0.2315818，-0.4096973，6.717138e -2，-9.360105e -2，6.797042e -3，
0.1218982，0.1185321，3.365806e -2，…，1.194689e -3；
式中，"$1，2，3，…，128，!!［0，1］，"!［0，2!］。4结论
1）采用近代复变三角插值理论和法线迭代收敛方法，
将任意复杂边界单连通域转化为单位圆域，系统地建立二者间的共形映射函数，实现解析建模求解。
2）对于具有对称轴的单连通域工程映射问题，
简化了建模算法。3）应用建模理论，
可实现各类复杂问题建模（速度、温度，强度等），使对不同复杂边界单连通域的工程设计参数优化问题成为可能。
参考文献：
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Re g ion C onf or m al M a pp i n g
XU Chen-x iao ，Z~U ~en g -j un ，@I ~on g -y uan
（1-C o lle g e o f M echan ical ，E lectron ic &C ontro l En g i neeri n g ，n ort hern Jiao ton g U n ivers it y ，B e i j i n g 100044）Abstract ：It is d ifficult to m ode l t he irre g ular g eom etr y s i m p l y -connected re g ion i n en g i neeri n g p rob le m s ，Wh ich m akes anal y tical so lution and o p ti m ization o f p ara m eters ver y hard.C onf or m al m a pp i n g m et hod is ado p ted to transf or mt he com p licated contact re g ion to un it circle d isk.T o so lve t he conf or m al m a pp i n g f unction ，com p lex trian g ular i nter p o lation W it h iterative and nor m al conver g ence is p resented.A nd FFT al g orit h mis used to so lve t he coefficients.F or s y mm etrical re g ion ，a f ast al g orit h mis realized b y s i m p lification.U s i n g t h is m et hod ，it is
p oss i b le to obtai n anal y tical so lution and o p ti m
ized p ara m eters.T he m et hod is realized b y a com p uter p ro g ra mand its eff ect is p resented W it h an exa m p le.
K e y words ：conf or m al m a pp i n g ；trian g le i nter p o lation ；m ode li n g
831工程数学学报第19"
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复杂边界单连通域共形映射解析建模研究
作者：徐趁肖， 朱衡君， 齐红元
作者单位：北方交通大学机械与电子控制工程学院,北京,100044
刊名：
工程数学学报
英文刊名：CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
年，卷(期)：2002,19(4)
被引用次数：4次
参考文献(5条)
1.齐红元;朱衡君精密异型材挤压(拔制)模具复变三维成形解析与模腔CAD/CAM建模理论 2001
2.曹伟杰保形变换理论及其应用 1988
3.Fafe G S Conformal Mapping: Method and Application 1991
4.郑志强单位圆到任意曲线保角变换的近似计算方法 1992(05)
5.威佛 H J;王中德;张辉离散和连续傅立叶分析理论 1991
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