第一二章概率论的答案

一、习题详解

1.1 写出下列随机试验的样本空间，并表示下列事件的样本点集合： (1) 10件产品中有一件是不合格，从中任取2件得1件不合格品。 (2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，（i ）得白球；（ii)得红球。

分析：该题考查了样本空间和样本点的基本定义.

详解：（1）依题意可知，记9个合格品分别为：,,...,921A A A 记“不合格”为B ,则

()()()()()()()()()()()

B A A A A A B A A A A A A A B A A A A A A A ，，，，，，，，，，，，，，，，3934329242321913121,...,

...,...=Ω()(),998B A A A ，，， 共有C 2

10个样本点，其中任取两件得一不合格品的样本点集

为：(){()()}B A B A B A ，，，921...,

(2)记2个白球分别为：21ωω，，3个黑球分别为：321,,a a a ，4个红球分别为：

4321,,,b b b b ，则{}432132121,,,,,,,,b b b b a a a ωω=Ω，所以（i)={}21ωω，, (ii)={}4321,,,b b b b .

1.2 设A,B,C 为三件事，用A,B,C 及其运算关系表示下列事件：（1）A 发生而B 与C 不发生；（2）A,B,C 中恰好发生一个；（3）A,B,C 中至少有一个发生；（4）A,B,C 中至少有两个发生；（5）A,B,C 中至少有两个发生；（6）A,B,C 中有不多于一个事件发生。

分析：本题考查了事件间的关系与运算，可以利用韦恩图进行辅助做出相关的运算。

详解：（1）“B 与C 不发生”意味着C B ,均发生，即有：C B A ；

(2)“C B A ,,中恰好发生一个”，但未指定哪个发生，于是可以是恰好A 发生或恰好B 发生或恰好C 发生，即：C B A C B A C B A ；

(3)由和事件的含义知，事件C B A 即表示“C B A ,,中至少有一个发生”，即

C B A ；

(4)“C B A ,,恰好有两个发生”，但未指定哪两个发生，于是可以是恰好有AB 或

BC 或AC ,即C B A BC A C AB ；

(5)“C B A ,,中至少有两个发生”，即：ABC C B A BC A C AB 或

BC AC AB ??；

(6)“C B A ,,中有不多于一个事件发生”表示C B A ,,都不发生或恰有一个发生，即：C B A C B A C B A C B A 或 C B C A AB ??；

1.9在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中人去两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

分析：利用罗列法，将问题要求的事件罗列出来，再结合样本空间的实验的次数可求。

详解1： {}2只能与{}13,11,7 构成既约分数 {}4只能与{}13,11,7构成既约分数 {}6只能与{}13,11,7 构成既约分数 {}7只能与{}13,12,11,8 构成既约分数

{}8只能与{

}13,11构成既约分数 {

}11只能与{}13,12 构成既约分数 {

}12只能与{}13构成既约分数 以上总共有218?种可能构成既约分数（因为分子和分母对调依然是既约分数），而总的基本事件却有28A 种，因此，所得的分数为既约分数的概率为

14

9

21828=?A 。 小小说：对于较少的基本事件或样本点和实在想不出其他有效简便的办法，可用

罗列法。

详解2：因为由两个偶数所组成的分数不是既约分数即最简分数，故既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、

13中的一个组合，则事件A “所得分数为既约分数”包含3621

51323=+A A A 个样本

点，又样本空间样本点总数为5628=A ,故 14

95636)(==

A p 小小说：由于任意两个数a,b 所组成的分数有两种，即a b 或b

a

，因此事件A 的样

本点个数不应为1

5

1323C C C ?+.

1.11 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

分析：该题考查了古典概型的应用，该题其实与课本的10页的例5中的球投盒子问题的本质上是一样，人都是等可能的从每个楼层口离开和球等可能的投入盒子。因此，可以利用球投盒子的基本思想求解。

详解：由于每个人都等可能的从任意一个电梯口离开（9个），所以总共有79种基本事件。而没有两位及两位以上乘客在同一楼层离开，即为每个楼层至多只有

一位乘客离开，因此有7779A C ?种可能的基本事件（其表示为在9个楼梯口中有7个楼梯口是有乘客离开，因此是79C ，而每个人在每个楼层离开都是等可能的，因此是个全排列问题，即77A ）

由上，易知没有两位及两位以上乘客在同一楼层离开的概率为77

97

77799

9A A C =? 小小说：这道题其实是与例题中的球投盒子问题一样，所以做概率的题亦可类比

自己所做过的题，譬如球投盒子问题亦可类比计算人生日的概率等问题，有待读者自行思考！

详解2：每位乘客可在除底层外的9 层中任意一层离开电梯，现有7 位乘客，所以样本点总数为7

9。事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9 层中任取7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含29A 个样本点，于是

()77

99

A A P =.

小小说：其实我们计算生日概率问题也是用到球投盒子问题模型哦！

1.13 一个人把6根草握在手中，仅露出它们的头和尾，然后请一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。 分析：该题考查了古典概型的用法.

详解：6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有()135??种接法，同样对尾也有()135??种接法，所以样本点总数为()2135??。

用A 表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有()135??种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾

连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为()24?。所以A 包含的样本点数为

()()24135???，于是()()()

158********)(2

=?????A P 小小说：说实在，这道题也是一种模型，用该模型来解决生活中的连环问题等很

有帮助，所以，大家就稍注意这种类型的模型的应用吧！

1.14某公交汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

分析：该题考查了几何概型的应用，利用5分钟的时间转为线段的长度来计算。 详解：首先将两车间距的五分钟的时间视为x 轴上的A 点到B 点之间，如图1。 其中B 表示为刚离开的车，A 表示为快要来的车，

若人来到3分钟的区间内即等A 车不超过3分钟，

因此不超过3分钟的概率为5

3

。

小小说：学会将问题转化为别的形式进行求解，

其中，几何概型一维空间有线段，二维空间有平面，三维空间有立体，一般是这三种。

1.15两艘轮船都要停靠同一泊位，他们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

分析: 甲、乙到达泊位的时间是任意的，等可能性的，是典型的几何概型. 详解:只有当甲船比乙船早到1小时内,或乙船比甲船早到2小时内时,有一艘船停靠泊位时必须等等一段时间.以0点为计算时刻的0时, y x ,分别表示甲,乙到达泊位的时间,单位为小时,若以

()y x ,表示平面上的点的坐标,则样本

空间为

{}240,240|),(≤≤≤≤=Ωy x y x . 设事件

{}须等待一段时间

有一艘船停靠泊位时必=A

,则

{}12,),(|),(≤-≤-Ω∈=y x y x y x A .

如图1.9中阴影部分所示,所求概率为

121.024

2423

2321

222221)(=???+??=A P 小小说：该题将生活中的实际问题巧妙的转化为数学模型解决！还有，在应用几何概型中，一般可以将问题转为线段、平面和立体等.

1.16在线段AB 上任取三点,321,,x x x ，求： (1) 2x 位于1x 与3x 之间的概率。 (2) 321,,Ax Ax Ax 能构成一个三角形的概率。 分析：该题考查了几何概型的立体模型的应用！

详解:(1)由题意可知, 321,,x x x 三点的位置是在线段AB 内任意的,故共有1

2

13A A 种排列方式, 2x 位于1x 与3x 之间,则1x 可在2x 左边或右边两个位置其中一个,

21,x x 两点位置确定, 3x 位置也就唯一确定,故共有12C 种情况,记

{}之间

与位于312x x x A =,则3

162)(12131

112

===A A C C A P . (2)设线段AB 为1个单位长度, 321,,x x x 分别为线段321,,Ax Ax Ax 的长度, 若以()321,,x x x 表示正方体上的点的坐标,则样本空间为

{}10,10,10|),(321321<<<<<<=Ωx x x x x x .

设事件{}能构成一个三角形

321,,Ax Ax Ax B =,则 若3Ax 最长, ()(){}21321321321,,,|,,x x x x x x x x x x x B +<<-Ω∈= 如图1.10中阴影部分(三角锥体)所示,所求概率为

6

11111

1121

31)(1=??????=B P

同理,当12,Ax Ax 分别最长时,有6

1

)()(32==B P B P

故2

1

616161)()()()(321=++=++=B P B P B P B P

图1.10

小小说：自己都觉得繁琐的说，注意转换为什么样的模式解决问题才更加方面.

1.4设()()

,B A P AB P =且(),p A P =当B A 与相互独立时，求()B P . 分析：

详解1：()()()()AB P B P A P B A P -+= 因为

所以[])()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=?-?= )()(1AB P B P p +--= 又因为p B P B A P AB P -=?=1)()()( 详解2：A B A B ∴ 与相互独立 与也相互独立 因此，)()()(B P A P AB P =,又()p A P =，故()

p A P -=1 由)()(B A P AB P =,得 ()[])(11)(B P p B P p --=? 故得()p B P -=1.

小小说：此题亦可删减掉独立条件，也就是详解1中的解法。

1.5 设事件B A ,及B A 的概率分别为r q p 及,，求()AB P ，()B A P ，()()

.,B A P B A P 分析：本题考查概率的运算性质。 详解：依题意可得，

()()()()r q p B A P B P A P AB P -+=?-+=

()

()()()q r r q p p AB P A P B A P -=-+-=-=

()()()p r AB P B P B A P -=-=

()

()

()r B A P B A P B A P -=?-=-=111

小小说：要掌握基本的定义和公式，请查看我们的教科书和本书的知识点归纳.

1.6设三个事件

()()()()()4.02.06.05.04.0,,,=====BC P AC P C P B P A P C B A ，，，，且=AB φ,

求().C B A P

分析：该题考查了基本定义。 详解：由题， =AB 空集，

∴()0=AB P ，()()0==ABC P AB P

因此， ()()()()()()()()

9.00

4.02.006.0

5.04.0=+---++=+---++=??ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P

1.21 12个乒乓球中9个新、3个旧，第一次比赛取出了3个，用完了放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取出的3个球中有2个新球的概率。

分析：该题是一个条件概型，用分类思想较清晰的将解答出. 详解1：该题可分为4种情况考虑：

① 若第一次取出3个新球，发生的概率为()3

12

03

391C C C A P ?=,当第二次取得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

()3

12

16

1631203391|C C C C C C A B P ???= ② 若第一次取出2个新球1个旧球，发生的概率为()3

12

1

3

292C C C A P ?=,当第二次取得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

()3

12

1

5

2731213292|C C C C C C A B P ???=

③ 若第一次取出1个新球2个旧球，发生的概率为()3

12

2

3193C C C A P ?=,当第二次取得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

()3

12

14

2831223193|C C C C C C A B P ???=

④ 若第一次取出3个旧球，发生的概率为()3

12

3

3

091C C C A P ?=,当第二次取得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

()3

12

13

2931233094|C C C C C C A B P ???=

因此，其发生的总概率为

()()()()4552.0||||)(4321=+++=A B P A B P A B P A B P B P

详解2：解：分析在“第一次取出的3个球中有k 个球是新的()3,2,1,0=k ”背景下划分，设事件A 表示“第二次比赛时取出的3个球中有2个新球”，事件k B 表示“第一次比赛时用了k 个新球()3,2,1,0=k ，所以∑==3

0k k AB A 。

由古典概型和排列组合知：()3,2,1,0,3

12

33

9==-k B P C

C C k

k k 如果第一次比赛时用了k 个新球，则盒子中还有k -9个新球，有

())3,2,1,0(,|3

12

1

3

2

9==+-k B A P C

C C k k k 于是按全概率公式得，所求概率()()()k k k B A P B P A P |3

∑==

=C C C C C C C C C C C C C C C C 1

62

60

33

91

52

71

32

91

42

82

31

91

32

93

30

9+++

455.0≈

小小说：其实这两种解法的思想是一样的，不过还是建议大家用第二种解法答题，较为专业，同时也较为简便。

2.23 已知一个母鸡生k 个蛋的概率为

λλ-e k k

!

()0>λ，而每一个蛋能孵化成小鸡

的概率为p

，证明：一个母鸡恰有r 个下一代（即小鸡）的概率为

()p

r e r p λλ-!

。 分析：该考查了k 重伯努利试验，直接其盖面解答.

详解：令=k A “母鸡生k 个蛋”，A =“母鸡恰有r 个下一代”，则在k A 发生的条件下，这k 个蛋能否孵化成小鸡相当于做了一个k 重伯努利试验：

()()

()r k p p A A P r

k r r

k k C ≥-=-1，显然....,210，，A A A 构成一个完备事件，所以由全

概率公式可得：

()()()()

λ

λ--∞

=∞

=-==∑∑e k p p A P A A P A P k

r

k r

r

k r

k k k k C !

10

()()[]()()()()p r p r r

k r k r e r p e r e p r k p e

r p λλλλ

λλλλ---∞

=--==--=∑!!!1!

1

小小说：大家注意，其中()[]()()p r

k r

k e r k p -∞

=-=--∑

1!1λλ是利用到泰勒公式来化简的，即

为x k k

e k x =∑∞

=0!

，希望大家有空查阅一下下泰勒展式的几个经典例子.

1.23 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

分析：该题考查了全概型和贝叶斯概型的定义.

详解：设B 表示“次品”，1A ,2A ,3A ,4A 分别表示“该次品由甲、乙、丙间生产”，那么依题意可知：()%251=A P ()%352=A P ()%403=A P

()%5|1=A B P ()%4|2=A B P ()%2|3=A B P

由全概率公式可得：()=B P ()()()()()()332211|||A B P A P A B P A P A B P A P ++ =%2%40%4%35%5%25?+?+?

=0345.0

由贝叶斯公式知该产品由甲车间生产的概率为：

()()()()()()B P A B P A P B P B A P B A P 1111||=

=

%45.3%5%25?==69

25

同理：由乙车间生产的概率：()()()()

B P A B P A P B A P 222||=

=6928

%45.3%4%35=?

由丙车间生产的概率：()()()()69

16%45.3%2%40||333=?==

B P A B P A P B A P

1.20 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、

0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是，，，12

1

3141

而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 详解：设B 表示“迟到”，4321A A A A ，，，分别表示“乘火车、船、汽车、飞机”，则∑==4

1i i BA B

由题意知()()()()0|12

1

|31|41|4321====A B P A B P A B P A B P ，，，

由全概率公式得：

()()()i i i A B P A P B P |4

1

∑===04.01211.0312.0413.0?+?+?+?=203

由贝叶斯公式知：他迟到的情况下，乘火车的概率为：()()()()

5.020

3413.0||111=?

=

=B P A B P A P B A P

小小说：大家当心了，如果我们在开会等候某人时，很无聊很不耐烦，就握起笔根据其平常的习惯计算其迟到的概率，消除自己的不爽.

1.24 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为7.0,5.0,4.0.飞机被一人击中而击落的概率为

2.0，被两人击中而击落的概率为6.0，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。 分析：该题考查了独立事件的应用. 详解：设{=i A 第i 人击中

}()3,2,1=i ，D C B ,,分别表示有一人，二人，三人

击中，E 表示“飞机被击落”。由于事件E 可伴随D C B ,,三种情况发生，且D C B ,,互不相容。则()E P 属于全概率问题。利用i A 事件的独立性及一些事件的不容性可得：()()

321321321A A A A A A A A A P B P = =()()()

321321321A A A P A A A P A A A P ++

=7.05.06.03.05.06.03.05.04.0??+??+?? =36.0

()(

)3

21321321A A A A A A A A A P C P =

=()()()

321321321A A A P A A A P A A A P ++ =7.05.06.07.05.04.03.05.04.0??+??+?? =41.0

()()14.07.05.04.0321=??==A A A P D P

又因为()B E P |=2.0 ()6.0|=C E P ()1|=D E P 所以()()()()()()()D E P D P C E P C P B E P B P E P |||++=

=114.06.041.02.036.0?+?+? =458.0

1.20 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功n 次之前 已失败了m 次的概率。

分析：该题考查伯努利试验的理解与应用.

详解：用A 表示“在成功n 次之前已经失败了m 次”，B 表示“在前1n m +-次试验中失败了m 次”，因为每一次试验只有“成功”和“失败”两个结果发生，故在前1n m +-试验是1n m +-重伯努利试验，因此有：

11

1()(1;1;)(1)n n m n m P B B n n m p C p

p --+-=-+-=- 用C 表示“第n m +次试验成功”则：

11111

()()()()(1)(1)n n m n n m

n m n m P A P BC P B P C C p p p C p p ---+-+-===-?=- 小小说：伯努利试验室一种非常重要的概率模型，它表示“在同一条件下进行重

复独立试验或观察”的一种数学模型，注意它的应用！

第二章

2.1 解：根据概率的性质，可知：满足0,

11>=∑∞

=k k k p p 条件的{}k p 为随机变量

的分布律.

(1) 12.03.05.0321=++=++p p p ，∴是随机变量的分布律. (2) 19.01.01.07.0321≠=++=++p p p , ∴不是随机变量的分布律.

(3) 143

31143lim 3121312121lim lim 11≠=????????? ??-=???

???????? ??++??? ??+=+∞→∞→=∞→∑n n n

n n

i i n p ，

∴不是随机变量的分布律.

(4) 1211lim 212121lim lim 21=??? ??

-=???????

???? ??++??? ??+=∞→∞→=∞→∑n n n

n n

i i n p

∴是随机变量的分布律.

2.2 解：X 的可能取值为3,4,5,且有

{}{}{}6.020

12

5,3.02064,1.020213352

4352335============C C X P C C X P C X P

则随机变量X 的分布律见表2.2.

表2.2

X 3 4 5 P

0.1

0.3

0.6

2.3分析：利用概率的性质),2,1(,11 ==∑∞

=i P i i 可求解得。

解：由题意得：ξ服从几何分布，则有{})3,2,1(,13

1

===∑=i i P i ξ

即)3,2,1(,1323

1

==???

??∑=i C i

i 得，3827=C .

2.4 解：ξ的可能取13,4,5, ,,2,1k 依题意，k =ξ表示第k 次首次测到合格品，也就是前1-k 次都测到不合格品，故有ξ的分布律为：

{} ,2,1,43411

=??

?

???

?

?

??==-k k P k ξ

2.5 解:设X 代表所抽取的次数,.讨论以下两种情况. (1)放回情况. X 的可能取值为 ,,2,1k .

设事件{}抽到合格品

=A ,{}抽到不合格品=B ,则有 {}{}13

3

,1310==

B P A P . 依题意，k X =表示第k 次首次抽取到合格品，也就是前1-k 次都抽取到不合格品，所以, 所抽取的次数X 的分布律为:

{} ,2,1,13101331

=??

?

???

?

?

??==-k k X P k (2)不放回情况. X 的可能取值为1,2,3,4. 且有,

{}{},26512101332,13101=?===

=X P X P {}{}286

1

10101111221334,143511*********=???===??==X P X P

则抽取的次数X 的分布律见表2.5.

表2.5

2.8 解：分别记这两名篮球队员B A ,，Y X ,分别代表队员A 、B 投篮次数，则Y X ,可能的取值为 ,,2,1k .

k X =表示队员A 投篮次数为k ，也就是前1-k 轮回中队员B A ,每人各投1

-k 次，在第k 轮回A 首先投中，或者A 投不中而B 投中，所以X 的分布律为:

{}()

()()()()() ,2,1,

4.06.076.06.04.06.04.04.06.011111

=?=+==-----k k X P k k k k k k

同理，投中所以Y 的分布律为:

{}()()()()()()

,2,1,4.06.076.04.04.06.06.04.06.01

1

=?=+==--k k Y P k k

k

k

k k

2.10设ξ为该种商品当月销售数，x 为该种商品每月进货数，由()7~P ξ，则有

{}0,2,1,0,e !

7>===-λξλ

k k k P k

由题意得：{}07,2,1,0,999.0e !

7>=≥==- k k x P k λ

ξ，查泊松分布的数值表，

得16≥x .

2.8 解：由()λξP ~，有{}0,2,1,0,e !

>===- k k k P k

λλξ

则{}{}λλ

λξλξ--=

==

=e !

22,e 1

12

1

P P ，

又由{}{}21===ξξP P ，可得：2=λ.

所以{

}0,2,1,0,e !22>===- k k k P k ξ，故{}2

23e 3

4e !323--===ξP

2.12 解：232+=ξη的可能取值为23

2,

23,2++π

π，ξζcos =的可能取值为1,0,-1且有

{}{},21223,4102=????

??

==??????+==

===πξπηξηP P P P {}41232===?

??

???+=πξπηP P

同理：{}{}{}{}{}411,2120,4101===-==????

??

====

===πξζπξζξζP P P P P P 则23

2

+=ξη与ξζcos =的分布律见表2.9.1与表2.9.2..

表2.9.1

η

2

23π+ 223π+ P

14

12 14

表2.9.2

ζ

1

1-

P

14

12

14

2.14 解：()Y X ,的可能取值为()()()()()()()()()()5,4,5,3,4,3,5,2,4,2,3,2,5,1,4,1,3,1,2,1， 依题意，有：()(){}()(){},1.03

1

43523,1,,1.0415

2

2,1,=??===?

==Y X P Y X P ()(){}()(){},1.011

213243525,1,,1.021*******,1,=????===???==Y X P Y X P

()(){}()(){},1.021

3242534,2,,1.03142533,2,=???===??==Y X P Y X P

()(){}()(){},1.021

3242534,3,,1.011213142535,2,=???===????==Y X P Y X P

()(){}()(){}.1.01

1

223142535,4,,1.011213242535,3,=????===????==Y X P Y X P

故Y X 和的联合分布律见表2.10.

表2.10

2.15 解：()ηξ,的可能取值为()()()()1,3,1,2,1,1,3,0，依题意，有：

()(){}()(){},8321211,1,,81213,0,2

133

03=??? ????? ??===??? ??==C P C P ηξηξ

()(){}()(){}.8

1211,3,,8321211,2,3

332

23

=??? ??===??? ????? ??==C P C P ηξηξ

所以()ηξ,的联合分布律及边缘分布律见表2.11.

表2.11

2.18 解：由题意，可知ηξζ+=的可能取值为0,1,2,3,4. 且ξ与η相互独立，

则{}}{}{}{

，，6

1

312100000=?========ηξηξζP P P P {}{}}{}{}{}{}

{,2411

322131*********,11=?+?===+=====+====ηξηξηξηξζP P P P P P P ， {}}{}{}{，，41328311112=?=

=======ηξηξζP P P P {}}{}{}{，，241

318103033=?========ηξηξζP P P P

{}}{}{}{.121

328113134=?========ηξηξζP P P P ，

因而，ηξζ+=的分布律见表2.12.

表2.12.

ηξζ+=

1

2

3

4

P

6

1

24

11 4

1 24

1 12

1

2.13 解：法一：由于随机变量ξ与η分别服从二项分布：()p n k B ,,1与()p n k B ,,2，故有：

{}()()k n k

k n p p C p n k B k P --===111,,1ξ {}()()k

n k k n p p C p n k B k P --===2

2

1,,2ξ 所以，

{}{}{}{}

()()()()k

n n k k

i k

n n k

n n k i k n i n k

i i

k n i

k i k n i

n i i n k

o

i k i p p C p p C C p p C p p C i k P i P i k i P k P -+=+-+-=+----==-=-=-?-=-===-====+∑∑∑∑21

2

121

2

122

111111,0

00ηξηξηξ

法二：设ξ为1n 重伯努利试验中事件A 发生的次数(在每次试验中()p A P =)，

η为2n 重伯努利试验中事件A 发生的次数(在每次试验中()p A P =)，而ξ与η相互独

立，所以ηξ+为21n n +重伯努利试验中事件A 发生的次数，因而

{}()21,,1,121

2

1n n k p p C k P k

n n k k

n n +=-==+-++ ηξ