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关于正交变换的英汉互译摘要

摘要：正交变换对于研究数学的内部结构和实际应用都很重要，我们在学习过程中许多方面都要用到正交变换. 本文系统的论述了正交变换在重积分、第一型曲面积分、多元函数Taylor公式这三种情况中的应用.

Abstract :Orthogonal transformation has an extreme significance for the study of mathematical internal structure and practical applications. And we can use it in all walks of the process of our study.The paper discusses systematically the application of orthogonal transformation in re-integration,the fist surface integration, Taylor formulation of multivariate function and2 distribution.Also,we have extended to more general orthogonal transformation of the second rthogonal transformation. Keywords:Orthogonal transformation; surface integration; Taylor formulation of multivariate function;

关键词：正交变换；曲面积分；多元函数Taylor 公式

近代数学及其应用对科学技术的发展有着重要的作用,它需要对一些分析问题做出数学解答,而这些问题通常只有在代数化后才能解决,因此代数方法的意义也越来越引起人们的重视.某些问题在开始应用代数方法以后,也变得明显和易于理解,问题也就迎刃而解.正交变换方法就是在近代数学及其应用方面经常用到的一种方法.

正交变换是代数学的基本内容,在欧氏空间的线性变换中,正交变换是一个很重要的线性变换.它是保持点之间的距离不变的变换.欧式空间V 的线性变换

σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于V ∈?ηξ,,都有

()()()()ηξησξσ,,=.

本文通过不断的学习思考,结合许多学者对正交变换的研究成果,对进行正交变换的各种应用进行全面的探讨,更深层的理解,较全面的总结了正交变换在数学各方面的应用.

1 正交变换的定义及性质]1[

正交变换就是保持点之间的距离不变的变换.在一般欧式空间中,我们有：定义1 欧式空间V 的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于V ∈?ηξ,,都有

()()()()ηξησξσ,,=.

根据正交变换的定义,它具有如下性质:设σ是欧式空间V 的一个变换,则下列条件是等价的:

①σ是V 的正交变换; ②σ保持向量的内积不变; ③σ保持向量的长度和夹角不变; ④对V ∈?ηξ,,()()ηξησξσ+=+;

⑤σ保持向量的长度不变且满足条件:对V ∈?ηξ,有

()()()ησξσηξσ+=+;

⑥σ保持向量的距离不变且对任意的V ∈ξ,()()ξσξσ-=-.

根据正交变换的定义和性质,现在我们来系统的研究一下它在近代数学中的

应用.

2 正交变换的应用

2.1 正交变换在重积分中的应用]2[]3[

在计算重积分时常用到变量替换,而一般的变量替换随意性很大,它要考虑被积函数和积分区域等,因此积分起来较困难.在有些情形下,利用正交变换不失为变量替换的一种有效方法.

定理1 设A 是为正交矩阵,且其行列式为1.右手系坐标()T

z y x P ,,=在正交

变换AP Q =形成另一右手坐标系下的()T

w v u Q ,,=,原坐标系下的区域P V 相应变

换成新坐标系下的曲面Q V ,则:

()()dudvdw Q A f dxdydz P f Q

??????-=1

证明：由AP Q =,得Q A Q A P '==-1,而雅可比行列式()()

,1det ,,,,='=??=A w v u z y x J 所以可证得该式.

例 1 计算三重积分

dxdydz e I xz xy z y x ???

+∞∞-+∞∞-+∞

∞

---++-=

)

44465(222

解令xz xy z y x z y x f 44465),,(222--++=,它对应的矩阵为

???

??----402062225,容易判定它是一个正定矩阵,设其特征值为321,,λλλ,则01>λ,02>λ,03>λ且080321>==A λλλ

取正交变换,使

232221),,(w v u z y x f λλλ++=

由正交变换的性质可得:

dxdydz e

I xz xy z y x ???+∞∞-+∞∞-+∞

∞

---++-=

)

44465(222=dudvdw e w v u

???+∞∞-+∞∞-+∞

∞

-++-)

(23222

λλλ

=???+∞

∞

--+∞

∞

--+∞

∞

--dw e

dv e

du e

w v u 2

1λλλ=

21λπλπλπ??=803

π. 所以在平时的学习中,我们可以利用正交变换就一个复杂的重积分化归为一个已经能解决的,或比较容易解决的问题加以解答. 2.2 正交变换在第一型曲面积分中的应用]5[

由于第一型曲面积分在正交变换下形式不变性,因此正交变换在也可用在曲面积分中.

设光滑曲面S :()v u x x ,=,()v u y y ,=,()v u z ,=;()D v u ∈,.在正交变换：

????

???????????????==??????????=z y x a a a a a a a a a AX z y x X 3332

232221131211

1111 之下变成曲面S ':()v u x x ,11=,()v u y y ,11=,()v u z z ,11= 则对于S 上连续函数()z y x f ,,有：

()()S d X A f dS X f S S

''=????'

(1)

例 2 证明普阿松公式()()

d u c b a u f dS cz by ax f S

???-++=++1

2222π其中S

是单位球面1222=++z y x .

证明若0===c b a 等式显然成立,否则令222c b a k ++=(因为

,??

? ??++=++z k c y k b x k a

k cz by ax 若令k a =αc o s ,k b =βcos ,k c =γcos 有1cos cos cos 222=++γβα,则考虑用正交变换).以单位向量??

??k c k b k a ,,扩充成一

个三阶正交矩阵A .作正交变换：

????

?????=????

??????z y x A w v u 由公式(1),得到：

()()????=++=++=++1

222222w v u z y x dS ku f dS cz by ax f

于是

2221v u w --=,()D v u ∈,;

v v w w u u w -=??-=??, 222

1111v

u w v w u v w u w --=???

??-+??? ??-+=??? ????+??? ????+ dudv v

u dS 2

11--=

()()

dudv v

u ku f dS ku f D

w v u 2

222--=????

=++

令u u =,θsin 12u v -=,其中11≤≤-u ,πθ20≤≤,于是：

()

()()du ku f d u u du ku f dudv v u ku f D

???

--=--=--1

2211

22cos 1cos 111πθθ

θπ

即

()()

d u c b a u f dS cz by ax f S

???

-++=++1

2222π,

得证.

以上是正交变换在积分运算中的应用,它在近代数学的其它方面也有许多应用.

2.3 正交变换在多元函数Taylor 公式中的应用]6[

众所周知,求多元函数()n x x x f ,......,21在某点领域内的Taylor 公式,困难在于求混合偏导数.但如果我们及时引入正交变换,就可使求混合偏导数变得简单,甚至可以避免求混合偏导数. 多元函数的Taylor 公式是指:

若()n x x x f ,......,21在点()

02010,......,n

x x x P 的某领域()0P V 有直到()1+n 阶连续偏导数,则对()0P V 内任一点()

n n h x h x h x +++0202101,...,有 f ()

n n h x h x h x +++0202101,...,=

()00201,...,n x x x f +???? ????++??+??n n h x h x h x (2)

211

()

0201,...,n x x x f +…+n

n n h x h x h x n ???

? ????++??+??...!12211()

00201,...,n x x x f +()()

n n n n n h x h x h x f h x h x h x n θθθ+++???

? ????

++??+??++0

2021011

2211,...,...!11 )10(<<θ

下面引入正交变换：设()

n ij

a A ?=为正交矩阵,则有1,=='A E A A (右旋)

令()T n x x x x ,...,21=,()T

n y y y y ,...,21=.则正交变换Ax y =可得y A x '=,再转置即

有()n x x x ,...,21在某点某点领域内正交变换后的Taylor 公式,我们需要下面两个显而易见的定理.

定理2 在正交变换Ax y =下有()()y A f x f '=,那么函数()x f 在点

()002010,......,n x x x P 的值等于()y A f '在点()

02010,...,n

y y y w 的值.其中0w 是由变换Ax y =对应的方程在x 于点0P 取值时所惟一确定的值.

定理3 若()n x x x f ,......,21在点0P 的某领域()0P V 有直到()1+n 阶连续偏导数,则在正交变换后,()y A f '在点0w 的领域()0w U 亦有()1+n 阶连续偏导数.其中

()0w U 是在Ax y =变换下,()0P V 所对应的领域.

有这两个定理作保证,在求多元函数Taylor 公式时,可大胆运用正交变换.我们得到变换后的Taylor 公式后,若想回到原变量,只需在公式中作逆变换即可.

例 3 求()()2

sin ,,z y x z y x f ++=在点()0,0,0的Taylor 公式.

解我们知道0=++z y x 的法向量为()1,1,1,单位长度为????

??31,31,31,取此

方向为变换后的u 轴,另再取两轴w v ,使它们两两正交如取

??? ??-=0,21,21

v ,???? ??-=62,61,61w .

此三向量可构成正交矩阵

????????

?--

=626

102

121313131A 作正交变换()()T

z y x A w v u ,,,,=则知()()0,0,0,,=z y x 时,()()0,0,0,,=w v u .由于

()()T w v u A z y x ,,,,'=,则得u z y x 3=++，这样,求()2

sin z y x ++在点()0,0,0的

Taylor 公式,变成求()

23sin u 在点()0,0,0的Taylor 公式（即求在0=u 的Taylor 公式）这是一元函数问题,有现成公式套用.

()()()

()()()()()1

222

221

23!

123cos 1!1231 (5)

33333sin +--+-+--+-+-

=n n

n n u n u n u u u u

u θ )

10(<<θ由于

33z y x u ++=

()()()()()

()

()()

()[

]()()

12cos 1!

121...

3sin +--+++++-+-++-+-+++

++-++=++n n

n n z y x n z y x n z y x z y x z y x z y x z y x θ )10(<<θ

若求多元函数Taylor 公式用于近似计算,求极值等目的,变换后的变量就不必回到原变量,因此正交变换可以运用到各种数学模型的计算中. 3 结束语

本文系统的论述了正交变换在多元函数Taylor 公式、重积分等中的诸多应用,并且就不同的应用给出了不同的方法.最后还对正交变换进行了推广,将其推广到更一般的形式,这对于锻炼学生的逻辑思维能力以及解题能力是非常有好处的. 参考文献:

[1] 陈黎钦.关于正交变换的若干问题[J],福建商业高等专科学校学报,30(6):110-113, 2006 [2] 杨宁.积分计算中的正交变换[J],工科数学,西南交通大学, 13(3):43-49,1991 [3] 姚云飞.论二次型与正交变换在重积分中的某些应用[J],工科数学,阜阳师范

学院, 9(25):90-102,2002

[4] 高伟.正交变换的几个等价条件[J],南通纺织职业技术学院学报,8(2):17-18,2008

[5] 谢蜀忠.正交变换的若干应用[J],天津职业技术师院,2(45):158-159,1994

[6] 樊启毅,梅汉飞.正交变换的推广[J],数学理论与应用,4(23):102-104,2003

[7] 张国辉,罗欢.正交变换的应用[J],衡阳师范学院学报,30(3):29-32,2009

[8] 王庆东,谢勰.正交变换的应用及其数学方法论意义[J],高等数学研究,1(11):82-84, 2008

[9] 张禾瑞, 郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1999

[10] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.