一次函数图象和性质经典练习题
一次函数的定义
1、判断正误: （1）一次函数是正比例函数； （ ） (2)正比例函数是一次函数； （ ） (3)x ＋2y ＝5是一次函数； （ ）(4)2y －x=0是正比例函数． （ ）
2、选择题
（1）下列说法不正确的是（ ）
A ．一次函数不一定是正比例函数。
B ．不是一次函数就不一定是正比例函数。
C ．正比例函数是特殊的一次函数。
D ．不是正比例函数就一定不是一次函数。
（2）下列函数中一次函数的个数为（ ）
①y=2x ；②y=3+4x ；③y=21
；④y=ax （a ≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y-1=0；
A ．3个
B 4个
C 5个
D 6个
3、填空题
（1）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________。
（2）当m=__________时，函数y=3x2m+1 +3 是一次函数。
(3 )关于x 的一次函数y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则m 应取_________。
4、已知函数y=
()()112-++m x m 当m 取什么值时，y 是x 的一次函数？当m 取什么值是，y 是x 的正比例函数。
5、函数：①y=-2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=1+x ；⑤y=221x +1；⑥y=0.5x
中，属一次函数的有 ，属正比例函数的有 （只填序号）
（2）当m= 时，y=()()m x m x m +-+-1122是一次函数。
(3)请写出一个正比例函数，且x =2时，y= －6
请写出一个一次函数，且x=－6时，y=2
(4) 我国是一个水资源缺乏的国家，大家要节约用水．据统计，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．李丽同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当李丽同学离开x 小时后水龙头滴了y 毫升水．则y 与x 之间的函数关系式是
(5)设圆的面积为s ，半径为R,那么下列说法正确的是（ ）
A S 是R 的一次函数
B S 是R 的正比例函数
C S 是2
R 的正比例函数 D 以上说法都不正确
6、说出下面两个问题中两个量的函数关系，并指出它们是不是正比例函数，是
不是一次函数。
① 汽车以40千米/小时的平均速度从A 站出发，行驶了t 小时，那么汽车离开A 站的距离s(千米)和时间t(小时)之间的函数关系是什么？的函数关系式为 ，它是 函数
② 汽车离开A 站4千米，再以40千米／小时的平均速度行驶了t 小时，那么汽车离开A 站的距离s(千米)与时间t(小时)之间的函数关系是什么？的函数关系式为 ，它是 函数
7、曾子伟叔叔的庄园里已有50棵树，，他决定今后每年栽2棵树，则曾叔叔庄
园树木的总数y （棵）与年数x 的函数关系式为 它是 函数
8、圆柱底面半径为5cm ，则圆柱的体积V （cm 3）与圆柱的高h （cm ）之间的函数关系式为 ，它是 函数
9、甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y
（元）与包裹重量x （千克）之间的函数解析式，并计算5千克重的包
裹的邮资。
10、．在拖拉机油箱中，盛满56千克油，拖拉机工作时，每小时平均耗油6千克，
求邮箱里剩下Q （千克）与拖拉机的工作时间t （小时）之间的函数解析式。
一次函数的图象
1、在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象．
(1) y ＝2x 与y ＝2x ＋3
3、说出直线y ＝3x ＋2与221+=
x y ；y ＝5x -1与y ＝5x -4的相同之处． 解 :直线y ＝3x ＋2与22
1+=x y 的 ，相同，所以这两条直线 ，同一点，且交点坐标 ，；直线y ＝5x -1与y ＝5x -4的 相同，所以这两条直线 ，．
4、（1）直线521,321--=+-=x y x y 和x y 2
1-=的位置关系是 ，直线521,321--=+-=x y x y 可以看作是直线x y 2
1-=向 平移 个单位得到的;; 向 平移 个单位得到的
(2)将直线y ＝-2x ＋3向下平移5个单位，得到直线 ．
(3).函数y ＝kx -4的图象平行于直线y ＝-2x ，求函数若直线4y kx =-的解析式为 ；
(4)直线y=2x-3可以由直线y=2x 经过 单位而得到；直线y=-3x+2 可以由直线y=-3x 经过 而得到；直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 而得到．
（5）直线y=2x ＋5与直线
521+=x y ，都经过y 轴上的同一点（ 、 ） 5、写出一条与直线y=2x -3平行的直线
6、写出一条与直线y=2x -3平行，且经过点（2，7）的直线
7、直线y=－5x +7可以看作是由直线y=－5x －1向 平移 个单位得到的
1、（1）一次函数y=kx+b 当x=0时，y= ，横坐标为0点在 上，在y kx b =+中，；当y=0时，x= 纵坐标为0点在 上。。画一次函数的图象，常选取（0, ）、（ ,0）两点连线。（2）直线y ＝4x －3过点（_____，0）、（0， ）；
（3）直线23
1+-=x y 过点（ ，0）、（0， ）．
2、 分别在同一直角坐标系内画出下列直线，写出各直线分别与x 轴、y 轴的交
点坐标，并指出每一小题中两条直线的位置关系．
（1）y =－x +2 ； y =－x －1. （2）y =3x －2 ； y =23
2-x .
3、直线y =－x +2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是
4、直线y =－x －1与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是
5、直线y =4x －2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是
6、直线y =23
2-x 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是
7、 画出函数y ＝－2x ＋3的图象，借助图象找出：
（1） 直线上横坐标是2的点，它的坐标是（ ， ）
（2） 线上纵坐标是－3的点，它的坐标是（ ， ）
（3） 直线上到y 轴距离等于2的点，它的坐标是（ ， ）
（4）点（2、7）是否在此图象上；（ ）
（5）找出横坐标是-2的点，并标出其坐标；（ ， ）
（6）找出到x 轴的距离等于1的点，并标出其坐标；（ ， ）
（7）找出图象与x 轴和y 轴的交点，并标出其坐标。（ ， ）
9、求函数32
3-=x y 与x 轴、y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
10、一次函数y ＝3x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b .
一次函数的性质
1、做一做，画出函数y =-2x +2的图象,结合图象
回答下列问题。函数y =-2x +2的图象中：
(1) 随着x 的增大，y 将 （填“增大”或“减小”）
(2) 它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”）
(3) 图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是
(4) 这个函数中,随着x 的增大,y 将增大还是减小?它的图象从左到右怎
样变化?
(5) 当x 取何值时,y =0?
(6) 当x 取何值时,y ＞0?
2、函数y =3x －6的图象中：
（1）随着x 的增大，y 将 （填“增大”或“减小”）
（2）它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”）
（3）图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是
3、已知函数y =(m -3)x -3
2. (1) 当m 取何值时,y 随x 的增大而增大?
(2) 当m 取何值时,y 随x 的增大而减小?
[B 组]
1、写出一个y 随x 的增大而减少的一次函数
2、写出一个图象与x 轴交点坐标为（3，0）的一次函数
3、写出一个图象与y 轴交点坐标为（0，－3）的一次函数
1.一次函数y=5x+4的图象经过___________象限,y 随x 的增大而________,它的
图象与x 轴. Y 轴的坐标分别为________________ （2）．函数y=(k-1)x+2，当k ＞1时，y 随x 的增大而______,当k ＜1时，y 随x 的增大而_____。
2、函数y =-7x －6的图象中：
（1）随着x 的增大，y 将 （填“增大”或“减小”）
（2）它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”）
（3）图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是
（4）x 取何值时，y=2? 当x=1时，y=
3.某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k 、b 的符号，并说出函数的性质.
(k 0, b 0) (k 0, b 0)
4、已知一次函数y ＝(2m-1)x ＋m ＋5,
当m 取何值时,y 随x 的增大而增大? 当m 取何值时,y 随x 的增大而减小?
5.已知点(x1, y1)和(x2, y2)都在直线 y=43
x-1上, 若x1 < x2, 则 y 1__________y 2
6． 已知一次函数y ＝(1-2m)x ＋m-1，若函数y 随x 的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m 的取值范围.
7．已知函数m x m y m m +-=--12)1(,当m 为何值时，这个函数是一次函数.并且图象经过第二、三、四象限？
8．已知一次函数y ＝（1－2k ） x ＋（2k ＋1）．
①当k 取何值时，y 随x 的增大而增大？
②当k 取何值时，函数图象经过坐标系原点？
③当k 取何值时，函数图象不经过第四象限？
9.已知函数y ＝2x -4.
(1)作出它的图象；
(2)标出图象与x 轴、y 轴的交点坐标；
(3)由图象观察，当-2≤x ≤4时，函数值y 的变化范围.
10．若 a 是非零实数 , 则直线 y=ax-a 一 定（ ）
A.第一、二象限
B. 第二、三象限
C.第三、四象限
D. 第一、四象限
11.已知关于x 的一次函数y ＝(-2m ＋1)x ＋2m2＋m-3.
(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m 的值；
(2)若一次函数的图象经过点(1，-2),求m 的值.
12． 已知一次函数y ＝(3m-8)x ＋1-m 图象与y 轴交点在x 轴下方，且y 随x 的增大而减小，其中m 为整数.
(1)求m 的值；(2)当x 取何值时，0＜y ＜4？
一次函数图象和性质
第1题. 将直线13
y x =-向上平移3个单位得到的函数解析式是 ． 第7题. 直线y mx n =+
如图所示，化简：m n -= ．
第8题. 已知函数y kx b y =+的图象与轴交点的纵坐标为5-，且当12x y ==时，，则此函数的解析式为 ．
第11题. 在函数2y x b =-中，函数y 随着x 的增大而 ，此函数的图象经过点(21)-，，则b = ． 第13题. 如图，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m n ，为常数，且mn 0≠）图象的是（ ）
第14题. 在下列四个函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ）
Ａ．2y x = Ｂ．36y x =- Ｃ．25y x =-+ Ｄ．37y x =+ 第15题. 已知一次函数y kx k =+，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）
Ａ．
Ｂ． C ． D ．
Ｄ．
Ｃ． B ． A ． （第7题）
第16题. 在下列函数中，（ ）的函数值先达到100．
Ａ．26y x =+ Ｂ．5y x = Ｃ．51y x =- Ｄ．42y x =+
第17题. 已知一次函数35y x =+与一次函数6y ax =-，若它们的图象是两条互相平等的直线，则a = ．
第18题. 一次函数3y x =+与2y x b =-+的图象交于y 轴上一点，则b = ． 第19题. 作出函数41y x =-的图象，并回答下列问题：
（1）y 的值随x 值的增大怎样变化？
（2）图象与x 轴、y 轴的交点坐标是什么？
第20题. 已知一次函数2
(3)16y m x m =++-，且y 的值随x 值的增大而增大．
（1）m 的范围；（2）若此一次函数又是正比例函数，试求m 的值．
第24题. 已知一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k b 、的取值范围是（ ）
Ａ．0k >且0b <
Ｂ．0k >且0b < Ｃ．0k <且0b > Ｄ．0k <且0b < 第26题. 如图所示，已知正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y x k =--的图象大致是（ ）
第27题. 若函数
2(1)2y m x m =+
+-与y 轴的交点在x 轴的上方，且10
m m <，为整x
x x x D ． Ｃ． B ． A ．
第1课时--正比例函数的图象和性质-练习题(含答案)
第1课时正比例函数的图象和性质一．选择题（共10小题） 1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（） A．y=﹣2x2B． y=C． y= D．y=x﹣2 2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（） A．0B．﹣2 C．2D．﹣0.5 3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（） A．±2 B．﹣2 C．D． 4．下列说法正确的是（） A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系 B． 三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系 C． y=中，y与x成反比例关系 D． y=中，y与x成正比例关系 5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（） A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系 B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系 C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系 D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米 6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（） A．3B．﹣3 C．±3 D．不能确定 7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（） A．k=2 B．k≠2 C．k=﹣2 D．k≠﹣2 8．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（） A．1B．2C．3D．4 8题图 9题图 9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（） A．k 1 ＜k2＜k3＜k4B．k2＜k1＜k4＜k3C．k1＜k2＜k4＜k3D．k2＜k1＜k3＜k4 10．在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（） A．B．C．D． 二．填空题（共9小题） 11．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为_________ ． 12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k= _________ ．
正比例函数图象及性质
14.2.2 正比例函数图象及性质 罗江中学初中数学组:张恩东 【教材分析】 正比例函数图像及性质位于第十四章第二节，是学好正比例函数解析式的后续内容，这一节内容是函数与直角坐标平面第一次完美的结合，在这节课中如果学生能够很好的感悟和内化数形结合的思想，将为研究更为复杂的反比例函数图像、二次函数图像奠定坚实的基础，本节内容在初中数学里起着承上启下的重要作用。在感悟数形结合思想同时也适合对学生分析、对比、归纳等能力的培养。 一、教学目标 1、知识与技能: 认识正比例函数图像是一条直线，学会画正比例函数图像 2、过程与方法: 通过计算机辅助教学使学生在观察、探究中自主发现正比例 函数的性质,并认识k 的符号对函数图象的影响. 3、情感态度与价值观: 通过性质的探索、研究、发现，使学生感受、领悟数 形结合思想，同时培养学生的观察、分析、归纳的逻辑思维 能力。 二、教学重点: 正比例函数图像的画法及其性质的发现。 三、教学难点: 正比例函数图像的画法及其性质的发现。 四、教学过程 知识复习: 上一节课我们学习了正比例函数,那么正比例函数一般解析式是什么呢? y=kx （k 是常数，k ≠0）其中k 叫做比例系数．称y 与x 成正比例 怎样判断一个函数是正比例函数呢? 正比例函数的图象是什么呢?这节课我们一起来探索正比例函数图象及性质 现在请同学们在同一直角坐标系中画出下列正比例函数的图象 (1)x y 2= (2)x y 2-= 提问:要画出这两个函数图象应采用什么方法呢?这种方法有哪些步骤? 自变量的取值有没有要求呢？ 观察、 比较两个函数的相同点与不同点． 两图象都是经过原点的___________．函数y=2x 的图象从左向右____________，经过第________象限；函数y=－2x 的图象从左向右_________，经过第_________象限． 为什么函数图象不同?请大家观察这两个函数的解析式同不同?不同在哪个地方? 说明k 的值对函数图象有影响吗? 请大家在刚才直角坐标系中画下列两个正比例函数的图象 (1)x y 21= (2) x y 2 1-= k 的值对函数图象有影响吗?(没有) k 的符号对函数图象有影响,有怎样的影响呢?
正比例函数的图像与性质教案
19.2.1正比例函数图像与性质导学案 教学内容 正比例函数图像与性质 教学目标 1、知识与技能： 知识性目标：理解正比例函数图像特征． 技能性目标：能画出正比例函数图像 2、数学思考： 数学思想：体会与发展建立数学模型和数形结合的思想． 数学研究方法：从特殊到一般，从数到形研究正比例函数图像特征及性质. 3、解决问题： 利用正比例函数图像特征及性质知识解决有关实际问题． 4、情感与态度： 结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯. 教学重难点 教学重点：正比例函数图像特征和性质. 教学难点：正比例函数图像特征和性质的综合运用. 一情境导入： 3月31日清晨，强飓风尼可拉斯以每小时192km的速度从北部登陆德国，造成重大损伤，飓风在德国横扫的路程随时间变化而变化吗？ t (h) 1 2 3 4 s (km) 问题1.从上表中，你能得出时间和路程之间的函数关系式吗？ 问题2.上述解析式是正比例函数吗？ 那么它们的图像有什么性质呢？ 二自主探究
在同一直角坐标系中画出下列函数图像. （1）y=2x （2） 解：列表得： 根据你所画的图像回答: 1.上述图像的形状是_____________. 2.对函数y=kx, ,当x=0时，y=＿，函数过点__________． 当x=１时，y=＿，函数过点__________． 函数y=kx 是一条经过点________和点________的__________． 3.当k>0时，直线y=kx 经过第____________象限. 当k<0时，直线y=kx 经过第____________象限. 4.在函数y=2x 上，当x=-1时，y=____. 当x=0时，y=_____. 当x=1时，y=_____. 当x 增大时，y____________.图像从左到右呈________趋势. 在函数y=-2x 上，当x=-1时，y=____. 当x=0时，y=_____. 当x=1时，y=_____. 当x 增大时，y______________.图像从左到右呈________趋势. 归纳：正比例函数的性质： x … -3 -2 -1 1 2 3 … y=2x … … … … x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-2x … … y=-x … … x y 21=x y 2-=x y -=x y 2 1 =
教案正弦型函数的图像和性质
教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+
一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O
正比例函数图象与性质
3/ 2016 -2017学年度第二学期初二数学单元测试 （时间70分钟，满分100 分） (共 2 页) 2017.5 1 2 3 4 5 6 7 8 、选择题（本题共36分，每小题4分，将答案填在表格中） 1如果点M 在直线y =X-1上，贝y M 点的坐标可以是（ ) 8 .如图，菱形 ABCD 中，AB = 2，/ B = 120 °点 M 是AD 的中点, 点P 由点A 出发，沿A T B T D 作匀速运动，到达点 D 停止， 则厶APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系的图 象大致是（ O 1 2 3 1 O O A ? (1, 0) B ? ( 0, 1) C - (— 1, 0) D ? (1,— 1) ?如果函数y =（m -1）x |m| 是正比例函数，那么（ ) 二、填空题（本题共 24分，每小题4分） A . m = 1 或 m = -1 B . m = 1 .一次函数y= — 3x+2的图象不经过（ A .第一象限 B .第二象限 5.若一次函数y = x +4的图象上有两点 B . 5 - y2 .关于直线y= -2x - 4的描述正确的是（ A ?可以看成是直线 B ?可以看成是直线 m = -1 D . m = 0 C ?可以看成是直线 D ?可以看成是直线 ) C .第三象限 1 A(- , yj 、B (1, 2 y= -2x 沿x 轴向左平移 y= -2x 沿x 轴向右平移 y= -2x 沿y 轴向上平移 y= -2x 沿y 轴向下平移 D .第四象限 y 2）,则下列说法正确的是 （ ） C . % y 2 4个单位得到 4个单位得到 4个单位得到 4个单位得到 乃-忌+/> .一次函数y 1 =kx b 与y^ x a 的图象如图，则下列结论① k ：： 0 ；② a 0 ；③当 x 3 寸，Wh 中，正确的个数是（ B . 1 9.函数y=" x 中，自变量x 的取值范围是 3 10.写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点 （ 可以是 0,5), 则这个一次函数 11.平行四边形的周长为 240，两邻边为x 、y ,则它们的函数解析式为 y= 其中自变量 x 的取值范围是 __________________ 12.已知函数 y = ax + b 和y = kx 的图象交于点 P ,则根据图象可得，二元一次方程组 13.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：① 从小到大排列并用“v”连接为 __________________ b , c 14.右表是一次函数 比=kx ? d, y 2二kx ? 6的部分自变 量x 与函数的对应值，则 m 的值为 _______ . x -2 0 1 y 1 3 y 2 2 m
正弦函数的图像和性质
1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h
11正比例函数的图象和性质同步习题含答案
12.2 一次函数的图象 1 正比例函数的图象和性质 要点感知1画函数图象的步骤：(1)__________；(2)__________：建立直角坐标系，以__________为横坐标，__________为纵坐标，确定点的坐标；(3)__________. 预习练习1-1下面所给点的坐标满足y=-2x的是( ) A.(2，-1) B.(-1，2) C.(1，2) D.(2，1) 要点感知2 正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是一条__________，因此画正比例函数图象时，只要描出图象上的__________，然后过两点作一条直线即可，这条直线叫作“直线__________”. 预习练习2-1 如图，某正比例函数的图象过点M(-2，1)，则此正比例函数表达式为( ) A.y=-1 2 x B.y= 1 2 x C.y=-2x D.y=2x 要点感知3 正比例函数图象的性质：直线y=kx(k≠0)是一条经过________的直线.当k>0时,直线y=kx经过第_______象限，从左到右，y随x的增大而________；当k<0时，直线y=kx经过第_____象限，从左到右，y随x的增大而________. 知识点1 画正比例函数的图象 1.正比例函数y=3x的大致图像是( )
2.已知正比例函数y=x，请在平面直角坐标系中画出这个函数的图象. 知识点2 正比例函数的图象与性质 3.已知函数y=kx的函数值随x的增大而增大，则函数的图象经过( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 4.对于函数y=-k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是( ) A.其函数图象是一条直线 B.其函数图象过点(1 k ，-k) C.其函数图象经过一、三象限 D.y随着x增大而减小 5.正比例函数y=-x的图象平分( ) A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 6.函数y=-5x的图象在第__________象限，y随x的增大而__________. 知识点3 实际问题中的正比例函数
正弦函数余弦函数的图像(附)
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？
答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线． 根据诱导公式sin ????x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)． 要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，????π2，0，(π，－1)，????3 2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象． 思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？ 答案
正弦型函数教案
正弦型函数y=Asin(ψx+φ）的图象变换教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能目标： 能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、过程与方法目标： 通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。 3、情感、态度价值观目标： 通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。 二、教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。 三、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这 种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。 学情分析： 本节课在高一第二学段，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。 教学内容分析：
正比例函数的图像与性质
《19.2.2正比例函数图像及性质》教案 【教学目标】 1.知识与技能 （1）掌握正比例函数的概念； （2）会求正比例函数的解析式； （3）掌握正比例函数的性质。 2.过程与方法 使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。 3.情感态度和价值观 实例引入，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 正比例函数的概念及图像。 【教学难点】 正比例的性质与常数k的关系。 【教学方法】 教法：启发引导。学法：自学与小组合作学习相结合的方法。【课前准备】 多媒体课件，直尺，彩色粉笔。 【课时安排】 1课时 【教学过程】
一、复习导入 【过渡】我们学习了第一节的内容，主要是学习了函数的基本知识，如变量与常量，函数的解析式等等，现在，我们一起来回忆一下这几个基本概念吧。 1、正比例的解析式是什么？ 2、已知y与x成正比例，且当x =-1时，y =-2，求y与x之间的函数关系式？ （可以由学生回答） 【过渡】在学习基础知识的过程中，我们会看到不同种类的函数解析式，那么，这些函数解析式有没有哪些具有共同的特征呢？又有什么样的性质呢？今天，我们就来探究一种具有独特性质且简单的函数：正比例函数。 二、新课教学 1．正比例函数 课本P86思考内容。 【过渡】这几个问题的函数关系式很容易就能得到，大家观察这四个关系式，这几个关系式有什么共同点呢？ （学生回答） 列表更清晰直观。 【过渡】根据大家的观察，这些函数有什么共同点？ 这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！ 【过渡】在数学中，我们将这样的函数称为正比例函数。 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k
正弦、余弦函数的图象
1.3.2 三角函数的图象与性质 第1课时 正弦、余弦函数的图象 正弦曲线、余弦曲线 (1)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线(如图)． (2)“五点法”画图 画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，? ???? π2，1，(π， 0)，? ?? ?? 3π2，－1，(2π，0)． 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，? ???? π2，0，(π， －1)，? ?? ?? 3π2，0，(2π，1)．
(3)正弦、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x ＝sin ? ???? x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的 图象向左平移π 2个单位长度即可． 思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度 制吗？ [提示] 作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用． 1．思考辨析 (1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( ) (2)y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同．( ) (3)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ 2．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________． [答案] 0，π4，π2，3π 4，π 3．不等式cos x ＜0，x ∈[0,2π]的解集为________． [答案] ? ?? ?? π2，3π2 利用“五点法”作简图 【例1】 用“五点法”作出下列函数的图象． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]； (3)y ＝－1－cos x ，x ∈[0,2π]． 思路点拨：先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．
正比例函数图像与性质(20201109201806)
19.2.1正比例函数图像与性质 学习目标 知识与技能 1.会画正比例函数的图象； 2?能根据正比例函数的图象和表达式y =kx（山0）,理解k>0和k v 0时, 函数的图象特征与增减性； 情感、态度与价值 通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观. 学习重点：用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质。 学习难点：:发现、归纳正比例函数的性质。 教学过程 一、复习导入 1、什么是正比例函数？ 2、画函数图象需要经历哪些步骤？ 二、研读课文 （一）例1画出下列正比例函数的图象：
（1）y=2x, y= 3 x 说一说：这些图象都是经过原点的 ________ ，函数y=2x的图 象从左向右 ______________ , 经过第________________ 象限, y随x的增大而___________ ;函数y= 1x 的图象从左向 3 右_____ ，经过第_________ 象限，y随x的增大而_________ < ⑵y=-1 ?5x, y=-4x 当k v 0时，正比例函数的图象特征及性质又怎样呢?
(二)归纳：正比例函数的图象及性质怎样? (三)分析图像，探究画正比例函数图像的简单方法： 过原点_________ 和点 _________ 画直线，得到y =kx 的图象. 四、归纳小结 1.你有哪些收获？ 2.你还有哪些困惑？ 自我检测: 1. 直线y = 5x经过第______ 象限，y随x增大而______ ; 2. 直线y…(a2T)x经过第 ____________ 象限，y随x增大而______ 3. 若直线y二(2k - 3)X经过二、四象限，则k的取值范围是 --------- 5—— m2-3 4. 若直线y = (m T)x 经过一、三象限，则m= ______ .
正弦型函数图像高考题
正弦型函数历年高考题 1 一、选择题 1、(2005)函数y=sinx 的图象向左平移 6 π 后得到的图像的解析式是（ ） A 、y=sinx+6π B 、y=sinx-6π C 、y=sin(x+6π) D 、y=sin(x-6 π ) 2、(2007)函数y=sin2x 的图象向左平移6 π 后得到的图像的解析式是（ ） A 、y=sin(2x+6π) B 、y=sin(2x-6π) C 、y=sin(2x-3π) D 、y=sin(2x+3 π ) 3、 (2009)如图是函数y=2sin(x ω?+) (其中ω>0,?< 2 π )，则ω、?正确的是（ A ω=2，?=6π B ω=2，?=3 π C ω=1，?=6π D ω=1，?=3 π 5、（2011）把y=sinx 的图像向左或向右平移π／2个单位，得到的函数是（ ） A y=sinx B y=-cosx C cos y x = D y=sinx 或 y=-cosx 6、（2012）函数)4 2sin(2π + =x y 的图像，可由函数x y 2sin 2=的图像（ ）而得到。 A. 向左平移 4π个单位 B. 向右平移4π 个单位 C. 向左平移8π个单位 D.向右平移8π 个单位 二、填空题 7、（2003）函数sin 24y x π? ? =+ ?? ? 的图象向右平移 8 π 单位，所得图象的函数解析式是 。 2、（2004）函数sin 22 x x y =的最小正周期为 ,值域为 。 3、（2007）函数y=sinxcosx 的最小正周期是 ，最小值是 。 8、（2012）正弦型函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>?A 在一个最小正周期内的图像中，最高点为 )2,9(π，最低点是)2,9 4(-π ，则ω=___________. 9、（2014）把正弦函数sin 2y x =的图像向_________________个单位，可以得到正弦函数 sin 24y x π? ?=+ ?? ?的图像
正弦型函数的图像
正弦型函数的图像 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
正比例函数图象及性质
《正比例函数图像及性质》教案 八年级数学下册 一、教学目标 1. 知识技能：学习正比例函数及其图象画法、性质和应用。 2. 过程与方法：培养学生的观察能力、数形结合能力、探索规律能力、利用正比例函数及其图象解决实际问题能力。 3. 情感态度：认识数学知识与实际生活相联，体验学习有价值的数学过程。二?教学重点：正比例函数及其图象性质 难点：正比例函数的增减性 三.教学准备 课件、笔记本电脑、三角板、计算器 四.教学过程 （一）复习引入 什么是自变量？什么是函数？（提问） 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是变量，y是x的函数. （二）共同思考，探索新知 1、下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么
共同点? （1）圆的周长I随半径r的大小变化而变化？（L=2 r ） （2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m （单位：g）随它的体积V （单位：cm3的大小变化而变化；（m=7 8V） （3）每个练习本的厚度为0. 5cm。一些练习本摞在一些的总厚度h （cn）随这些练习本的本数n的变化而变化。（h=0. 5n） （4）冷冻一个0C的物体，使它每分钟下降2C.物体的温度T （C）随冷冻时间t （分）的变化而变化。（T=-2t ） 2、发现新知： 我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样。一般地，形如y=kx （k 是常数，"0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 3、随堂练习 1、下列式子中，哪些表示是的正比例函数？并说出正比例 函数的比例系数是多少？ x 2 鼻 2x -1 （1）y = -0.1 x（2）y = 2- （3）y = （4）y 4 x 4、讲解例题 例：已知y-3与x成正比例，当x=2时，y=7，求y与x之间的函数解析式. （三）探究正比例函数图象 我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么
正弦函数y=sinx的图象和性质
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1.3.1 正弦函数的图象和性质 二. 教学目的 1、掌握用几何法绘制正弦函数y sin x,x R =∈的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义； 2、掌握正弦函数y sin x,x R =∈的性质及应用； 3、掌握正弦型函数y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象（特别是用五点法画函数 y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象）、性质及应用。 三. 教学重点、难点 重点： 1、用五点法画函数y Asin(x ),x R =ω+?∈的简图； 2、函数y Asin(x ),x R =ω+?∈的性质及应用； 3、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象的关系。 难点： 1、正弦函数y sin x,x R =∈的周期性和单调性的理解； 2、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象的关系。 四. 知识分析 1、正弦函数图象的几何作法 采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下： （1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份； （3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π 、L 、2π的正弦线； （4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份； （5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。 2、五点法作图 描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五
正比例函数的图像和性质
正比例函数的图像和性质教学设计 一、教学目标 1、知识目标： （1）探究正比例函数的图像特征，正确画出正比例函数图像； （2）理解正比例函数的性质； （3）结合图相对简单实际问题中的函数关系进行分析。 2、能力目标： （1）通过对正比例函数图像特征的观察和分析，促进学生有感性思维向理性思维的发展，提高学生的逻辑思维能力； （2）通过对于正比例函数性质的讨论，增强学生数形结合的观念； 体会由“特殊”到“一般”的数学思想方法，提到他们的概括能力、抽象能力、语言表达能力。 3、情感目标 （1）结合描点作图及观察图像培养学生认真细心严谨的学习态度和习惯。 （2）培养学生积极参与数学活动，勇于探索的数学现象和规律，形成良好的质疑和独立思考的习惯。 二、教学重点： 1、正比例函数图像的画法和性质 2、理解正比例函数意义及解析式特点 三、教学难点： 发现及归纳正比例函数的性质
四、教学方法：探索归纳，启发式讲练结合 五、教学用具：粉笔、黑板 六、教学过程： （一）复习、巩固旧知识 师：上一节课我们已经学习了正比例函数的定义，以及它的表达式，大概回忆一下，好，大家共同回忆。 生：一般的，形如y=kx(k不等于零，k为常数)的函数，叫做正比例函数。 师：好，很棒啊。那么同学们还知道k和x满足什么条件的时候才是正比例函数。 生：k不为零，x的次数为一次。 师：好，现在我们已经知道了正比例函数的解析式，今天我们就来探究它的图像以及它有什么样的性质。 师：同学们回忆画函数图像的步骤的一般步骤。 生：列表、描点、连线 师：好，那老师给同学们在黑板上示范一下如何画函数图像。 （在黑板上写，画出y=x的函数图像，在画图中要注意x取值的任意性，平面直角坐标系的三要素） 师：好，现在老师已经画完了y=x的函数图像，请同学来再画y=-x,y=2x的函数图像，并看看这些函数图像它的形状是不是一样。 下面同学画y=3x,y=-3x的函数图像。 师：看黑板，这些函数图像画的对不对，现在同学们观察函数图
正比例函数图象和性质
§19.2.2正比例函数的图像和性质 一、教学目标 1．知识与技能： （1）能画正比例函数的图像，并能结合公理和正比例函数图象特点快速作图； （2）能够在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。 2．过程与方法： （1）初步能够从数学角度去观察事物，思考问题，体验解决问题方法策略的多样性； （2）逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由特殊到一般的数学思想； （3）能够尝试演绎推理发现规律，体验合作学习的过程。 3．情感态度与价值观： （1）通过小组合做讨论，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望； （2）通过本节课的教学希望能激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。 二、学情分析 教材分析： 正比例函数图像是在学习正比例函数解析的后续内容，这一节内容是正比例函数与直角坐标系的完美结合。学生在这节课中如果能内化和感悟数形结合的思想，将会为以后研究更为复杂的反比例函数及二次函数的图像打下坚实的基础。 学生分析： 在这节课之前，该班学生已经较好的拥有了解决平面坐标系的一些基本问题，理解了变量以及常量和代数式的内容的起点能力，因此在学习新知识的时候也不存在多大的问题，也形成了较理想的先决条件。学生运用数学知识解决实际问题以及推理总结的能力有待进一步加强。 三、教学重难点 教学重点：画正比例函数的图像，并在画图过程中观察并发现函数的性质。 教学难点：在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。 四、教学过程 （一）复习引入、温顾知新 1.正比例函数的定义 一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 2、画函数图象的步骤 列表、描点、连线 这个过程，由老师提问学生作答，在学生回答不够完善的地方，请其他学生补充，老师紧后给予完善。
正比例函数图像和性质
正比例函数的图像和性质 知识精要 1.正比例函数的图像 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0 ≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。 2.正比例函数性质 精讲名题 例1.若函数y=(m-1) 3 - m x 是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。 解:m=4,图像经过第一、三象限。 例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。 解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0 ≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x ∴y=-4x+1
例3.已知y 与x 的正比例函数，且当x=6时y=-2 (1)求出这个函数的解析式； (2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像； (3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值； (4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？ 解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31 -=k ∴这个函数的解析式为x y 31-= (2) x y 3 1 -=的定义域是一切实数，图像如图所示： (3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 3 1 4-=，∴a=-12 (4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2）， 当x=6时，y=2631-=?- 因此，点B 也在直线x y 3 1 -=上 例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？ 解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小， ∴k-2<0,∴k<2 例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。 （2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。 解：（1）根据题意得a<0,a+3≥0 ∴-3≤a<0 (2) 根据题意得2m+1>0,3m+1<0 解得-1/2 正弦型函数的图像和性质教学设计 教学目标：使学生掌握正弦型函数的图像及其性质，掌握图像 的变化规律。 重点：掌握正弦型函数的图像及其性质，掌握图像的变化规律。 难点：正弦型函数图像的变化规律。 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时， A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振 动一次需要的时间2T π ω =称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数 12f T ω π == ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =， 先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简x 6 π- 12π 3π 712π 56 π 23 x π + 0 2 π π 32 π 2π 3sin(2)3 x π + 3 0 3- 0 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin()3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(2)3 y x π =+ 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上； ②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的1 2 ，得到sin(2)3y x π=+的图象；③再把 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图 象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还 可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移 6 π 个单位，得到函数sin 2()6 y x π =+的图象； ③再把函数sin 2()6 y x π=+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到 3sin 2()6 y x π =+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，正弦型函数的图像和性质(教学设计)