立体几何中点的轨迹问题

2011.NO35 1

点的轨迹问题是平面解析几何中的一个重要内容，对于大多数学生来讲都是很难解决的，如果把问题与立体几何结合即探求空间某点的轨迹，可以说是难上加难！在此本文仅以几个例子说明空间点的轨迹问题的解决方法，以期能抛砖引玉，给广大学生一些启示。

一、动点在几何体的某个面上

如果动点在几何体的某个面上，则它的轨迹就与平面解析几何中的轨迹问题相同，就可能是直线和圆锥曲线等，不过往往是其中的一部分而已。

例1．动点P在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的ABB 1A 1面上，且PB=PB 1，则P点的轨迹是线段BB 1的垂直平分线。

例2．如图A B C D 为直角梯形，∠ABC=90°，AD⊥面PAB，AD=4，BC=8，∠APD=∠

BPC，求P点的轨迹。

例3．如图正方体中，点P在面A 1B上，满足P到A 1D 1和P到BB 1的距离相等。求点P 的轨迹。

解析:P到A 1D 1的距离就是P到点A 1到距离，在平面A 1B 上，动点P到定点A 1的距离等于它到定直线BB 1的距离，由抛物线的定义知P点的轨迹是抛物线的一部分。

例4．如图所示，正三棱锥V—ABC中，点P在侧面VAB上，且点到底面ABC 的距离等于它到顶点V的距离，求P点轨迹。

解析:作PG⊥AB于G，

PF⊥于ABC于F，连接FG，则∠PGF是二面角V—AB—C的平面角，由题设知VP=PF，

而sin∠PGF是一个小于1的正常数，即动点P到定点V和到定直线AB的距离之比为一个小于1的正常数，所以P点的轨迹是椭圆的一部分。

二、动点为空间中的动点

动点为空间的点，它的轨迹就可能是直线、平面或曲面，在中学最大的可能是球面，例如到正方体相连三个面的距离都相等的点的轨迹就是正方体的对角线;到空间两点距离相等的点构成一个平面;在平面同侧且到平面距离相等的点在一个与已知平面平行的平面上;到一条直线的距离相等的点构成一个圆柱面;当然，到一定点距离为定值的点构成一个球面，等等。

例5．在正方体ABCD—EFGH中，棱长为2，M在DH上，N在面ABCD上，MN=2，P点为MN的中点，求P点的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积。

解析:连结D N ，则三角形M D N 为直角三角形，于

是

，即点P到定点D的距离为定值1，所以P点的轨

迹是一个球，此球面与正方体围成的部分只有球的，所以所

求体积

。

小结:

空间中点的轨迹问题的解决，需要我们对解析几何中的轨迹问题有很牢固的基础，同时还考查了学生的观察能力和空间想象能力，需要学生仔细寻找动点与定点或定直线之间的关系。考试中题目一般出现在选择或填空题之中，不是很难解决，但由于它综合了解几和立几两部分的内容，大家应该引起注意，多多关注一下！

(作者单位:重庆市涪陵区第七中学校)

立体几何中点的轨迹问题

◇ 杜永明

数学教研

立体几何中的轨迹问题

例析空间中点的轨迹问题的转化 求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。 一．轨迹为点 例1已知平面βα||，直线α?l ，点P l ∈，平面βα,之间的距离为8，则在β内到P 点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( ) A ．一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点 解析:设Q 为β内一动点，点P 在β内射影为O ，过O, l 的平面与β的交线为l '， PQ=10，∴OQ==-228106点Q 在以O 为圆心6为半径圆上，过Q 作QM l '⊥于M ，又 点Q 到直线l 的距离为9∴QM=178922=-则点Q 在以l '平行距离为17的两条平行线上 两条平行线与圆有四个交点∴这样的点Q 有四个，故答案选D 。 点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。 二． 轨迹为线段 例2． 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）。 β α l M O Q P

A. 线段1B C B.线段1BC C. 1BB 中点与1CC 中点连成的线段 D. BC 中点与11B C 中点连成的线段 解：连结11,,AB AC B C ，易知111BD A AB ⊥所以11111,,AB BD AC BD B C BD ⊥⊥⊥， 所以1BD ⊥面1ABC ，若P ∈1B C ，则AP ?平面1ABC ，于是1BD AP ⊥，因 此动点P 的轨迹是线段1B C 。 评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P 的轨迹。 例3 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)，若MP AM ⊥，则点P 的轨迹是________。形成的轨迹的长度为__________。 解析:在平面SAB 中，过M 作AM 的垂线交AB 于C ，在底面上，过C 作AB 的垂线分别交底面圆于D,E 两点，则AM ⊥面MDE,DE 即为点P 的轨迹，又AO=1,MO= 2 3,AM= 2 7,从而AC=47,OC=4 3,所以DE=()2 7 2 4 312=-.所以填上线段；2 7. 三． 轨迹为直线 例4 (北京高考题)如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，过点B 作直线l 与AB 垂直，则直线l 与平面α交点的轨迹是 ( ) α A B A ．圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线 解析: 由题意可知直线l 的轨迹应是过点B 且与AB 垂直的平面，该平面与平面α交点为一条直线，故答案选C.

立体几何动点问题

立体几何与平面解析几何的交汇问题 在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。 一、动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。 例1定点A 和B 都在平面α内，定点α?P ，α⊥PB ， C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥。那么，动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 例2若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到平面BCD 距离与到棱AB 距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ） ） 解：设二面角A —BC —D 大小为θ，作PR ⊥面BCD ，R 为垂足，PQ ⊥BC 于Q ，PT ⊥AB 于T ，则∠PQR =θ， 且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴ 为小于1的常数，故轨迹图形应选（D ）。 二、几何体的截痕

例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab ，其中a,b 为长、短半轴长）。 解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影 椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时 b=R ，a= =2R ，∴离心率 ， 投影面积S=πab=π·k·2R=2πR 2=18π。 三、动点与某点（面）的距离问题 , 例4．正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是 1AA 的中点， 在对角面D D BB 11上找一动点M ，使AM+ME 最小.a 23． 四、常见的轨迹问题 （1） 轨迹类型识别 此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法. 例5、（北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交 α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 【解析】直线l 运动后形成的轨迹刚好为线段AB 的垂面，由公理二易知点C 刚好落在平面α与线段AB 的垂面的交线上，所以动点C 的轨迹是一条直线.选择 A. 总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可. 例6、如图，在正方体ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，若四边形A 1BCD 1 内一动点P 到AB 1和 BC 的距离相等，则点P 的轨迹为（ ） … A ．椭圆的一部分 B ．圆的一部分 C ．一条线段 D ．抛物线的一部分 O E 例4题图 A % C D A 1 C 1 D 1 B 1 M - C D B C P O

立体几何中的动点轨迹问题讲解

立体几何中的动点轨迹问题讲解 这类问题在高考中并不常见，或者说在高考中出现得并不明显，但在用空间向量求二面角时偶尔会遇到一种题目，即需要用到的点并不是一个确定的点，而是在一个面上的动点，且这个点还满足一些特定的值或平面几何关系，此时需要根据条件确定出动点所在的轨迹，在每年高考前的模拟题中也会遇到这种题目，若在选填中，则一般位于压轴或次压轴位置，求几何体中动点的轨迹或者与轨迹求值相关的问题，在解析几何中满足条件的动点都会有特定的轨迹，动点绝不是乱点，在几何体中依旧如此。 这种题目做法和平面几何求轨迹方程类似，因为点在面内(非平面)，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，这四种情况没有过于明显的界限，知道就好，下列题目中就不再分门别类的去叙述了。 立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别。 题目中可以找到与AM垂直且包含OP的平面，这样动点P的轨迹就知道了，从O点向底面作垂线，垂足为O'，连接BO',可知AM⊥平面OO'B，即可得知P的轨迹。

但题目是在规则的正方体中，直线OP和AM为异面直线，两者成90°的特殊角度，根据射影法求异面直线的夹角方法，我们只需确定出OP在底面上的投影位置即可。 与上题类似，需要找到一个与BD1垂直且包含AP的平面，根据三垂线定理可知BD1⊥AC，BD1⊥AB1，所以BD1⊥平面ACB1，平面ACB1与有侧面的交线为B1C，所以点P的轨迹为线段B1C

立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)

立体几何中的轨迹问题 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 轨迹问题 【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( ) 解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB ∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ． 另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨 迹与CD 平行，它与CF 成π 4 角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为 锐角，显然也不满足PE ⊥AC ． 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹． 【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1． (2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ． —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)． (4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合形成 一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ． 若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为23 3 的点 的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ． 1 A C C 1 A E C C 1 A A 1 A 1 (1) (2) (3) (4) D D A ． B ． C ． D ． A

立体几何中的轨迹问题答案

立体几何中的轨迹问题 【判断轨迹】 一、点线面中的轨迹问题 1.平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 一条直线 解：设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面 内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． 2．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ） 在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是（除去两点的圆） 3．已知平面//α平面β，直线l α?，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为 2 9 的点的轨迹是四个点 简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等 于 2 9 的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<= -，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ． 二、柱体中的轨迹问题 1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ． 2.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)． 3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能圆或圆的一部分 l A B C α

立体几何中的轨迹问题(详细版)

立体几何中的轨迹问题 高考数学有一类学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视，在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。通常要求学生有较强的空间想象能力，以及能够把空间问题转化到平面上，再结合解析几何方法求解，以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法。 一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。 例1：直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。 解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直，可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平面N 。再结合点B 一定在平面M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B 的轨迹是一条直线。 针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA 与平面M 成α角，直线PB 始终与直线PA 成β角，再来求点B 的轨迹。 由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M 的交线即可。由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。因此，我们在以下命题： 直线PA 是平面M 的一条斜线，且与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β角，交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。 结论： （1）若α=90°，β≠90°，则动点B 的轨迹是一个圆； （2）若α≠90°，β=90°，动点B 的轨迹是一条直线； （3）若α≠90°，β≠90°，则 ①若90°>α>β，则轨迹是椭圆； ②若α=β，则轨迹是抛物线； ③若α<β，则轨迹是双曲线。 用上面的观点我们来看下一例： 例2：已知平面α//平面β，直线L α，点P ∈L ，平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线L 的距离为9的点的轨迹是 （ ） （A ）一个圆 （B ）两条直线 （C ）四个点 （D ）两个点 解：空间中到直线的距离为定值的点的轨迹是一个圆柱，平面与圆柱的交线是两条直线。空间中到一点的距离为定值的点的轨迹是一个球，平面与球的交线是一个圆。在平面内两条直线与一个圆的公共点是四个点或两个点，再结合具体数据，可知，轨迹是四个点。 上面两例都是一个动点在运动，结合解析几何中经常出现的中点轨迹，在立体几何中也有类似的问题： 例3：空间两条异面直线m 、n ，动点P 在直线m 上运动，动点Q 在直线n 上运动，求PQ 中点的轨迹。 P A O B M P A B P 2 m n Q 2 Q 1 P 1 R 1 R 4 R 2 R 3 P m n B Q A P 1 Q 1 R 例4图 O

立体几何中点的轨迹问题

2011.NO35 1 点的轨迹问题是平面解析几何中的一个重要内容，对于大多数学生来讲都是很难解决的，如果把问题与立体几何结合即探求空间某点的轨迹，可以说是难上加难！在此本文仅以几个例子说明空间点的轨迹问题的解决方法，以期能抛砖引玉，给广大学生一些启示。 一、动点在几何体的某个面上 如果动点在几何体的某个面上，则它的轨迹就与平面解析几何中的轨迹问题相同，就可能是直线和圆锥曲线等，不过往往是其中的一部分而已。 例1．动点P在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的ABB 1A 1面上，且PB=PB 1，则P点的轨迹是线段BB 1的垂直平分线。 例2．如图A B C D 为直角梯形，∠ABC=90°，AD⊥面PAB，AD=4，BC=8，∠APD=∠ BPC，求P点的轨迹。 例3．如图正方体中，点P在面A 1B上，满足P到A 1D 1和P到BB 1的距离相等。求点P 的轨迹。 解析:P到A 1D 1的距离就是P到点A 1到距离，在平面A 1B 上，动点P到定点A 1的距离等于它到定直线BB 1的距离，由抛物线的定义知P点的轨迹是抛物线的一部分。 例4．如图所示，正三棱锥V—ABC中，点P在侧面VAB上，且点到底面ABC 的距离等于它到顶点V的距离，求P点轨迹。 解析:作PG⊥AB于G， PF⊥于ABC于F，连接FG，则∠PGF是二面角V—AB—C的平面角，由题设知VP=PF， 而sin∠PGF是一个小于1的正常数，即动点P到定点V和到定直线AB的距离之比为一个小于1的正常数，所以P点的轨迹是椭圆的一部分。 二、动点为空间中的动点 动点为空间的点，它的轨迹就可能是直线、平面或曲面，在中学最大的可能是球面，例如到正方体相连三个面的距离都相等的点的轨迹就是正方体的对角线;到空间两点距离相等的点构成一个平面;在平面同侧且到平面距离相等的点在一个与已知平面平行的平面上;到一条直线的距离相等的点构成一个圆柱面;当然，到一定点距离为定值的点构成一个球面，等等。 例5．在正方体ABCD—EFGH中，棱长为2，M在DH上，N在面ABCD上，MN=2，P点为MN的中点，求P点的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积。 解析:连结D N ，则三角形M D N 为直角三角形，于 是 ，即点P到定点D的距离为定值1，所以P点的轨 迹是一个球，此球面与正方体围成的部分只有球的，所以所 求体积 。 小结: 空间中点的轨迹问题的解决，需要我们对解析几何中的轨迹问题有很牢固的基础，同时还考查了学生的观察能力和空间想象能力，需要学生仔细寻找动点与定点或定直线之间的关系。考试中题目一般出现在选择或填空题之中，不是很难解决，但由于它综合了解几和立几两部分的内容，大家应该引起注意，多多关注一下！ (作者单位:重庆市涪陵区第七中学校) 立体几何中点的轨迹问题 ◇ 杜永明 数学教研

立体几何中的常见模型化方法

立体几何中的常见模型化方法 建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景 例题一个多面体的三视图如图1 所示，则该多面体的体积是 A. 23/3 B. 47/6 C.6 D.7 分析该几何体的三视图为 3 个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答. 解图 2 为一个棱长为2 的正方体. 由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2 X 1/3X 1/2X 1 X 1 X仁23/3选A. 解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便. 变式1已知正三棱锥P-A BC，点P, A , B , C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为_______ 分析由于在正三凌锥P-ABC 中，PA，PB，PC 两两互 相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型.

解构造如图 3 所示的正方体. 此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点0,且EP丄平面ABC , EP与平 面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3, 所以又0P为球的半径，所以0P=.故球心0到截面ABC的距离解后反思从正方体的8 个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征. 变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A.3 n B.4 n C.3 n D.6 n 分析将一个正方体切掉四个大的“角” ，就可得到一个正四面体. 解如图4 所示，构造一个棱长为1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，连接AB1，AD1 ，AC，CD1，CB1， B1D1，?t 四面体B1-ACD1 为符合题意的四面体，它的外接球的直径 AC1=,所以此正方体外接球的表面积S=4 n R2=3 n .选A. 解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求 得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的｝.若正四面体的棱长为a,则其体积为 变式 3 四面体A-BCD 中，共顶点A 的三条棱两两互相垂直，且其长分别为1，2， 3.若四面体A-BCD 的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为_____________ .

立体几何轨迹问题

立体几何轨迹 1．（2020·江西高三（理））如图，已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为6的菱形，60BAD ∠=?，AC ，BD 相交于点O ，SO ⊥平面ABCD ，4SO =，E 是BC 的中点， 动点P 在该棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的长为（ ） A ．3 B ．7 C ．13 D ．8 2．（2020·上海高三专题练习）四棱锥P ABCD -，AD ⊥平面PAB ， BC ⊥平面PAB ，底面ABCD 为梯形，4=AD ，8BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）． A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分 3．（2019·北京101中学高二期末）正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ?=，则动点P 的轨迹的周长为（ ） A ． B C ． D ．4．（2020·广东高三（理））四棱锥P ABCD -，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，4=AD ，8BC =，6AB =，APD BPC ∠=∠，满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆的一部分 C ．椭圆的一部分 D ．抛物线的一部分 5．（2020·安徽高二期末（理））已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为2，高为1，E 为CD 的中点．动点M 在该棱锥的表面运动，满足EM BD ⊥．则动点M 的轨迹的周长是（ ）

A 1 B ． C + D 2+ 6．（2020·江西省吉水中学高二月考（文））正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S ABCD -的底面边长为4，高为4，点 E 、 F 、 G 分别为SD 、CD 、 BC 的中点， 动点P 在正四棱锥的表面上运动，并且总保持//PG 平面AEF ，动点P 的轨迹的周长为（ ）. A B ．C D ． 7．（2020·四川成都七中高三月考）如图，四棱锥S -ABCD 为的正方 形ABCD ，AC 与BD 的交点为O ，SO ⊥平面ABCD 且SO =E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（ ） A ．1 B ． C ．1+ D ．18．（2020·黑龙江双鸭山一中高二月考（文））已知四棱锥S －ABCD 的底面是边长为2的正方形,AC 、BD 相交于点O , SO ABCD ⊥面, 2SO =， E 是BC 的中点，动点P 在该棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥， 则动点P 的轨迹的周长为 ( ) A 2+ B C + D ．2 9．（2019·云南昆明一中高三月考（理））已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.

立体几何中的轨迹判断问题(教案)

立体几何中的轨迹判断问题 1. 已知平面//α平面β，直线l α?，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为 2 9 的点的轨迹是（ ） A. 一个圆 B. 两条平行直线 C. 四个点 D. 两个点 解析：如图1，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4。在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上。又在β内到直线l 的距离等于 2 9 的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32 17 4)29(22<= -，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选C 。 2.已知平面βα||，直线α?l ，点P l ∈，平面βα,之间的距离为8，则在β内到P 点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( ) A ．一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点 解析:设Q 为β内一动点，点P 在β内射影为O ，过O, l 的平面与β的交线为l '， PQ=10， ∴OQ==-228106点Q 在以O 为圆心6为半径圆上，过Q 作QM l '⊥于M ，又 点Q 到直线l 的距离为9∴QM=178922=-则点Q 在以l '平行距离为17的两条平行线上 两条平行线与圆有四个交点∴这样的点Q 有四个，故答案选D 。 点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。 3.如图2，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α?C 是α内异于A 和B 的动点。且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即?=∠90ACB 。所以点C 的轨迹是以AB 为 β α l M O Q P

立体几何中的轨迹交汇问题

立体几何中轨迹问题 1、 已知平面//α平面β，直线l α?，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为2 9的点的轨迹是（ ） A. 一个圆 B. 两条平行直线 C. 四个点 D. 两个点 2、 如图定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α?C 是α内异于A 和B 的动点。且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 3、 在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ． 直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线 变式1：已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线 变式2：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离与到直线AB 的距离的平方和为2，则在平面直角坐标系XAY 中，动点P 的轨迹方程是什么？ 变式3：已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝31 ， 点P 在平面ABCD 内运动，且点P 到11D A 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，试确定点P 轨迹的图形． 4、如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得△ ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是： (A)圆 (B)椭圆 (C)一条直线 (D)两条直线

高中数学：立体几何中的轨迹问题

高中数学：立体几何中的轨迹问题 以立体图形为载体的轨迹问题，将立体几何和解析几何巧妙地整合在一起，解答这类问题的关键是把空间问题转化为平面问题，一般可从两个方面考虑：一是利用曲线的定义，二是用解析法求出轨迹方程。 例1、已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（） A. 一个圆 B. 两条平行直线 C. 四个点 D. 两个点 图1

解析：如图1，设点P在平面内的射影是O，则OP 是、的公垂线，OP=4。在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上。又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选C。 例2、在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（） A. 圆 B. 不完整的圆 C. 抛物线 D. 抛物线的一部分 解析：因为面PAB，面PAB，所以AD//BC，且。 又， 可得，

即得 在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B （3，0）。设点P（x,y），则有 ， 整理得 由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B。 小结：根据题目的信息，利用空间几何性质，把立体几何问题转化到平面上，再利用解析几何的方法探求轨迹是本题的闪光之处。 例3、如图2，定点A和B都在平面内，定点P C是内异于A和B的动点。且，那么动点C在平面内的轨迹是（） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点

立体几何中的轨迹和最值问题

立体几何中轨迹和最值问题 高三数学组 梅向平 2011、11、30 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化。对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题。对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性。 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题。其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均 值定理等，求出最值。 一、轨迹问题 【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC .则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( ) 解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD .设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG 。由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC .又∵EG ∥SB ∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE . 另解：本题可用排除法快速求解。B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ； C 中P 点所在的轨迹与C D 平行，它与CF 成π 4 角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在 的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC 。 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型。这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹。 【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、 DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1. (2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C . (3) 正方体ABCD —A 1B 111A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心). (4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 . 若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上 与点A 距离为23 3 的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 . 【例3】 (1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨 迹所在的曲线是 ( D ) A ． A 直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线 变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨 迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线). (2)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂 直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A ) A .一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．双曲线的一支 解：设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面 内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A . (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =1 3 ，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差 为1，则点P 的轨迹为 抛物线 . (4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上 运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6 . 【例4】 若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D ) 1 A C C 1 A E C C 1 A A 1 A 1 (1) (2) (3) (4) D A ． B ． C ． D ． C C 1 A l A B C α A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M P A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N 3 3 2 3

高考数学压轴题突破之立体几何五种动态问题和解题绝招

2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招 中高考数学名师张芙华?2018-01-2906:14:27 2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招一．方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。 二．解题策略

类型一立体几何中动态问题中的角度问题 【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大。 类型二立体几何中动态问题中的距离问题 【指点迷津】求两点间的距离或其最值。一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值。 类型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题 【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值。 类型四立体几何中动态问题中的轨迹问题 类型五?立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题

立体几何之空间轨迹1

立体几何之空间轨迹1 1.在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A 、B 分别在x 轴， y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则OP 的取值范围是 . 2.已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在 平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上，若PM =PQ 长度的最小值为 . （第2题） （第3题） （第4题） 3.如图，面ACD α⊥,B 为AC 的中点， 2,60,AC CBD P α=∠=为内的动点，且P 到 直线BD APC ∠的最大值为 . 4.如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示） 5. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于 M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列 四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆； （1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交 线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积； （3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线 是长轴为2a 的椭圆，求椭圆的面积（椭圆22 221x y a b +=的面积S ab π=）；

高考数学难点突破八立体几何中的翻折问题

高考数学难点突破八--------立体几何中的翻折问题 一、知识储备 翻折问题就是把平面图形经过折叠变成一个空间图形，实际上，折叠问题就是轴对称的问题，折痕就是对称轴，重合的即是全等图形，解决折叠问题时，要把运动着的空间图形不断地与原平面图形进行对照，看清楚其中哪些量在变化，哪些量没有变化，从而寻找出解决问题的方法，达到空间问题与平面问题相互转化的目的。核心是抓牢折痕就是翻折前与翻折后平面图形的公共底边，折痕与公共底边上两高所在平面垂直。 二、应用举例 例1.如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且1AM AD ==，3AB =，将ADM ?沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为 ( ) A B C D 例2.在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==,E 为边AD 上的一点， 1DE =，现将ABE ?沿直线BE 折成A BE '?，使得点A '在平面 BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角 A BE C '--的大小为θ，直线,A B A C ''与平面BCDE 所成的角分 别为αβ，，则 A.βαθ<< B.βθα<< C.αθβ<< D.αβθ< <

例3.如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC 沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE a ∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ ） A. ,2a ββγ>> B. ,2a ββγ>< C. ,2a ββγ<> D. ,2a ββγ<< 例4.如图，在ABC △中，1AB =，22BC =，4 B π = ，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长度为（ ） A ． 5 B ． 25 C ． 35 D ． 25 例5.已知在矩形ABCD 中，2AD AB = ， 沿直线BD 将ABD ? 折成'A BD ?，使得点'A 在平面BCD 上的射影在BCD ?内（不含边界），设二面角'A BD C --的大小为θ，直线 ','A D A C 与平面BCD 所成的角分别为,αβ，则（ ） A. αθβ<< B. βθα<< C. βαθ<< D. αβθ<< Q D P C B A