揭示概念本质,加深数学理解――一堂《全称量词与存在量词》课
揭示概念本质，加深数学理解
――一堂《全称量词与存在量词》课
温州中学邵达
一、教材分析：
全称量词与存在量词是新课程增加的内容，本节内容安排在学生学习了命题及命题的否定之后，旨在通过丰富的实例，使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词的含义；会判断含有一个量词的全称命题和含有一个量词的特称命题的真假；会正确地写出这两类命题的否定。认识到含有一个量词的的否定是特称量词，含有一个量词的特称命题的否定是全称命题。
本节的教学重点是通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
教学难点是全称命题和特称命题的真假的判断，以及写出含有一个量词的命题的否定。
在选修2－1的教师教学用书后相关知识中，我们可以了解到全称量词和存在量词来源于数理逻辑。在数理逻辑中，全称量词与存在量词均属于逻辑谓词。Hinman著《Fundamentals of Mathematical Logic》一书中对全称量词与存在量词进行了论述，他认为在本质上，全称量词是一种逻辑合取，存在量词是一种逻辑析取，即我们教材中所述的且．与或．。因此全称命题即一系列的命题的且．，而特称命题为一系列命题的或．。这也就很好的解释了判断全称命题为真，就是要求一系列命题都为真。同时也很好的解释了全称命题的否定就是只要否定这一系列命题中的一个就可以。
而如果不从本质上对全称命题和特称命题进行解释，学生对于全称命题和特称命题的否
．．．．．．．．．．．定．的理解只能是出于一种感觉，不能上升到理论的高度，进而在否定一些特殊的全称或特称命题时误入歧途。而通过解析全称命题和特称命题的本质，不仅能进一步去解释如何判断一
个全称或特称命题的真假，而且能很好地解释全称命题和特称命题的否定
．．．．．．．．．．．．如何叙述，甚至对于复杂的全称或特称命题的否定也能给出很好的诠释。
另一方面，根据全称命题与特称命题的本质，我们发现其实它们又恰恰是前一节课中逻辑连接词的一个延续，不会对学生造成过重的学习负担，但是对于学生的数理逻辑认识无疑又得到了升华。因此，我在教学的过程中，大胆的引入对全称命题和特称命题的本质的解释。
考虑到学生的认知过程和课堂教学的实际，我们先造成学生的认知冲突，在认知冲突中给出概念，再去探询其本质，使整节课高潮迭起。
二、教学设计：
1、情境引入
老师：昨天我们学习了逻辑连接词“且”、“或”、“非”，今天我们继续来讲讲“且”、“或”、“非”。思考：写出命题p：“平行四边形的对角线相等”的否定
学生：平行四边形的对角线不相等。
老师：命题p是真命题还是假命题？
学生：假命题。老师：为什么？学生：平行四边形对角线不一定相等，。矩形对角线相等，其它的不相等。
老师：那p命题的否定“平行四边形的对角线不相等”是真命题吗？
学生：假命题。
老师：那不是跟我们昨天得出的结论“p与 p一定是一真一假”矛盾了吗？问题出在哪里呢？我们再重新审视一下命题p，刚刚我们说它错是为什么？不一定，也就平行四边形的对角线有可能相等，也有可能不相等。
学生：命题p 的完整形式是所有的平行四边形对角线都相等。
学生：命题p 的否定应该是存在一个平行四边形，它的对角线不相等。
老师：可以看出这个关键词的作用有多大啊！我们把类似于“所有”的短语叫做全称量词。我们还注意到命题p 的否定中也有一个关键词“存在”，我们把它叫做存在量词。今天，我们就来学习全称量词与存在量词。
笔者在开课前，曾经在其他班级尝试用其他方法作为引入。例如：通过调查学生有没有都穿校服作为引子，直接给出全称命题的本质。这样对于后面的课堂就会机械而且乏味；如果抛出书本的引子，又不够引起学生的关注和共鸣。这里的引入，可以造成学生认知冲突，引起学生学习和探究的兴趣。并且为后面的命题的否定形式作了铺垫。
2、概念建立
给出全称量词、全称命题定义：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。
给出存在量词、特称命题定义：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。
师：其实在我们地日常生活中，我们也经常用到全称命题和特称命题。我举了两个例子，我们一起来看看。
例1.试判断下列命题是全称命题还是特称命题，并指出它们所包含的相应的全称或存在量词
(1)天下乌鸦一般黑; 全称命题 全称量词为天下、一般
(2)有志者事竟成; 全称命题 全称量词为竟
师：不仅仅是在生活中，在我们数学的学习过程中，我们也频繁地碰到全称命题和特称命题。
(3)对每一个无理数x ，2x 也是无理数; 全称命题 全称量词为每一个
(4)所有的正整数都大于3; 全称命题 全称量词为所有
(5)存在两个相交平面同垂直于一条直线; 特称命题 存在量词为存在
(6)方程x 2+x +1=0有实数解 特称命题 存在量词为有
(7)零向量和任何向量平行 全称命题 全称量词为任何
师：除了上面的命题外，你还能举出更多的例子吗？
学生的举例过程中，教师应当注意对学生举出的例子的甄别，例如“我们班级有一个很高的同学”不是命题。
本节课教材的要求是尽可能的用丰富的实例让学生了解全称命题和特称命题，与其老师不厌其烦的举例，不如充分调动学生的积极性，让学生参与课堂，通过师生互动加深对概念的建立。另外，学生的例子千奇百怪，教师一定要注意甄别，这需要教师对概念的把握非常准确。另外在举例的过程中，不能让学生过多的举生活中的例子，因为某些例子会超出我们讨论的范畴，从而引起不必要的麻烦。数学的例子，应当更为广泛，涉及数学各个模块的内容。
3．概念的书写
师：在数学的证明和解题过程中，像这样子的文字书写过于繁琐，我们能不能把例1中关于数学的命题用数学的语言符号书写下来呢？
(3)对每一个无理数x ，2x 也是无理数; 2
,R R x Q x Q ?∈∈痧
(4)所有的正整数都大于3; ,3x N x +?∈>
(5)存在两个相交平面同垂直于一条直线;
,,l l αβαβαβ?≠?⊥⊥ 平面，满足，
(6)方程2
10x x ++=有实数解 2000,10x R x x ?∈++= (7)零向量和任何向量平行 ,0//a a ?
师：我们能否从上面的书写格式中得出一些全称命题和特征命题的规律呢？
它们有什么共同的特征？结构上有什么共同点？
学生：都是先给出全称或特称命题的对象的范围，后说明它们具有的性质。
通常，将含有变量x 的语句用p (x ), q (x ), r (x ),…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么，全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立 ”可用符号简记为：(),x M p x ?∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”。
特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立 ”可用符号简记为：00(),x M p x ?∈，读作“存在一个x 0属于M ，使p (x 0)成立”。
概念的书写是一个重要内容，但是事实上，学生掌握良好，可适度提速，笔者在上课期间曾在此处花去过多时间而没能在45分钟内解决战斗。
4．概念的深化
师：学会了书写，我们还要学会去判断它们的真假
例2 判断下列命题的真假：
（1）所有的正整数都大于3 ； 假
（2）2
,11x R x ?∈+≥； 真
（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数; 假
（4）零向量和任何向量平行; 真
（5）存在两个相交平面垂直于同一条直线； 假
（6）有一个实数0x ，使20010x x ++=. 假 （7）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除。真
在学生回答问题的过程中，追问为什么，并且强调判断全称命题为真（特称命题判断为假）要求所有的对象都要满足（不满足）条件，而判断全称命题为假（特称命题判断为真）只需要一个反例。而后让学生总结规律。
师：我再举个例子：我们班级的全体同学都带了校徽。这是一个真命题还是假命题？如何去
判断？
学生：这是一个全称命题，如果说明它是真的，那就要逐一验证所有同学都带了校徽。 师：哦，那就是我要逐个的检查，××带了校徽而且××带了校徽而且××带了而且……。
我在这节课开始的时候说我们今天要来继续讲“且”、“或”、“非”。我们上了半节课了，“且”、“或”、“非”呢？还没提到呢？真的是这样吗？
学生：“我们班级的全体同学都带了校徽”这个命题，我们可以把它分解为好多个命题的“且”。 师：你能从中得到什么启发？
学生：全称命题就是很多命题用“且”连接起来。
师：这其实就是全称命题的逻辑本质啊！全称命题的本质就是一系列命题的“且”。你认为
一个全称命题用全称量词来阐述比起用很多个“且”来阐述哪个更好？
学生：全称量词来阐述全称命题更简洁明了。
师：全称命题是一系列命题的“且”，那特称命题呢？有谁能像我们刚才那样举个实例， 说
明一下特称命题的这个本质吗？
学生：特称命题就是一系列命题的“或”。
师：大胆而又合乎逻辑的假设。你能从这两个命题的本质上解释我们总结过的判断它们真假的方法吗？
学生：全称命题是一系列命题的“且”，那么如果一个全称命题是真的，那么这一系列的命
题均为真；如果全称命题为假，只需要说明这一系列命题其中的一个为假即可。类似的也可以给出特称命题真假判断的方法。
通过学生关心的，身边的例子指出概念的本质更能引起学生的共鸣。本质的引入应该注意师之间的互动，尽可能的引导学生发现本质，学生自己体会和得出的更能引起学生的共鸣。
5．概念的升华
师：我们现在知道一系列命题的“且”是全称命题，一系列命题的“或”是特称命题。一系
列命题的“非”……没有这种说法。那我们就看看全称命题和特称命题的否定吧。 例3.写出下列命题的否定
1)天下乌鸦一般黑； 存在一只乌鸦不是黑的
(2)所有的正整数都大于3； 存在一个正整数不大于3
(3)零向量和任何向量平行 存在一个向量与零向量不平行
(4)?x ∈R ，x 2+x +1>0； ? x ∈ R ，x 2+x +1≤0
(5)存在两个相交平面同垂直于一条直线; 任意两个相交平面不能同垂直于一条直线
(6)方程x 2+x +1=0有实数解 方程x 2+x +1=0无实数解
(7) 存在一条直线与坐标轴不相交 所有直线与坐标轴都不相交
在学生回答问题的过程中，追问原命题是今天学过的什么命题？原命题的否定是什么命题？ 学生从中总结出全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
再问：结合上节课学过的知识，你能从这两种命题的本质上去说明上述的规律吗？
学生：()p q p q ?∧??∨?，()p q p q ?∨??∧?。而全称命题是一系列命题的“且”，
因此它的否定是原先一系列命题的否定的“或”。类似的，也可以说明特称命题的否定。 师：现在，我们对全称命题和特称命题有了更为深刻的理解。让我们回到开始的问题：平行
四边形的对角线相等，这个全称命题的否定是什么？之前我们给出的答案是否正确？ 师：我们再来看一些例子。
练习1：写出下列命题的否定（视时间多少而定）
(1)平行四边形的对角线相等 存在一个平行四边形，它的对角线不相等
(2)奇数是质数 存在一个奇数，它不是质数
(3)不等式220x x --≥的解为2x ≥ x ?满足不等式2
20x x --≥，2x <
(4)若3x >，则6x > 存在一个3x >，6x ≤
师：不是所有含有“全称量词”或者“存在量词”的命题都是全称或特称命题，也不是所有
不含“全称量词”或者“存在量词”的命题都不是全称或特称命题。我们要从命题其背后的本质来看待。
这里的教学应该强调本质，突出本质的作用，让学生体会把握数学本质对于学习数学的好处，能够对某些数学问题理解的更为深刻。在这个过程中，用数学本质再次来审视开始时引入的
问题，学生对于原先的命题的理解就更为深刻了。
从这节课中，我们发现掌握概念本质能帮助我们理清思路，能帮助我们发现隐藏在表象下的联系，能告诉我们这些联系的必然性。所以，学习数学需要我们把握住概念的本质，数学的本质，这对于我们理解数学问题，解决数学问题有着重要的作用。不要忽视对数学概念本质的理解，它就是你理清思路，快速解题的捷径
三、课后反思：
1．这节课其实融合了全称量词与存在量词整个章节的内容，笔者在省一级重点中学实践这节课时，时间略紧，想普通中学估计需要2节以上的课。
2．本课在教授过程中，对于书写问题不能花太多时间，笔者在开课时因此没能讲授练习1。3．对于实例，一方面教师应当事先准备更多更广泛的实例，以备不时之需；一方面教师应该有对概念的良好把握，及时甄别实例的可靠性。
4．对于全称量词与存在量词的本质概念，教材中没有介绍，有兴趣的读者可以自行参阅参考书目1，有详细的论述。
四、参考书目
1．《数学选修2－2教师教学用书》，人民教育出版社，2007年5月第3版。2．Hinman, P.（2005）．Fundamentals of Mathematical Logic．A K Peters．ISBN 1-568-81262-0．3．Franklin, J. and Daoud, A.（1996）．Proof in Mathematics: An Introduction．Quakers Hill Press．ISBN 1-876192-00-3．
青岛版小学数学概念课教学模式
“我的模式我的课”课堂教学模式 黄岛区弘文学校 姓名：南京彩 2014年6月
“问题研学，多元联动”数学课堂教学模式 一、“问题研学，多元联动”的内涵 “问题研学”：体现了以问题为主线的教学思想 教师备课要以问题设计为重点：如何将知识点化作有效的问题来研究，如何将能力训练具化成科学合理层递式、阶梯状的问题来探讨，如何将旧知与新知凝合为系统的问题来拓展，如何设置情境提出并解决问题，都需要教师深入研究、整合，钻研教材、整合教材、活用教材。 学生学习要以解决问题为目的：围绕各种问题，学生动脑思考，自主、合作、探究，在陈述自己观点、倾听同伴思维、小组异议争论中，不断整合、完善，求同存异，在发现、分析、解决问题的过程中，最终培养起学生的思维能力。 “多元联动”：体现了教学过程多元化的特色 它是与以往的单一教学相对而言。教育理念多元化、课程整合多元化、教学组织形式多元化、作业设计多元化、评价手段多元化等，在问题研讨中、评价激励中、团队平台中，师生、生生充分互动，促进学生学习力、习惯养成、心理发展、素质培养的连贯发展。 二、“问题研学，多元联动”数学课堂教学模式的操作流程 1．创设情境，提供素材 概念教学是较为枯燥、抽象的，而小学生的心理特征决定他们很容易理解和接受直观、具体的感性材料。在教学时要创设贴近学生生活实际的情境，提供丰富的素材，调动起学生自主探索解决问题的热情地，为学生理解、总结概念奠定基础。 设计这一环节的意义在于，激发学习兴趣，把学生引入一个与问题有关的情境中，让学生喜欢学、有兴致学，调动其学习的积极性。 2．分析素材，理解概念 概念的获得是学生经过分析、综合、比较、抽象、概括的结果。当学生产生探究欲望和具备了一定的思考基础之后，教师要努力给学生创造学习数学的生动场景，让学生经历独立观察思考、小组互动、合作交流的过程，通过对素材的分析，形成对概念的初步理解。 此环节要求教师要为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间，处理好自主学习的主动性、合作探究的互动性及探究学习的过程性，要让学生经历“独立思考——组内交流——大班汇报”的过程，让学生在观察、实验、猜测、验证等数学活动中，交流并明确解决问题的策略。 设计这一环节的意义在于，让学生带着明确的问题任务，在独立自学中，在合作探究中，独学与群学相结合，实现研学的目的。引导学生进行合作探究，在
初中数学概念课堂教学设计
专题讲座 初中数学概念课堂教学设计 俞京宁（北京教育学院丰台分院） 学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。许多事实例证了正确地理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙。基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。 一、什么是数学概念？ 概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。 可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容。为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。 二、目前概念教学的现状 数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。 案例 1 ：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长x 。
论数学概念的重要性
论数学概念的重要性 【摘要】概念是思维的基本单位，高中数学概念教学应该呈现概念的本质和外延，数学概念教学是数学教学的重要内容，是推导数学定理和公式的逻辑基础，是提高解题能力的前提。建立学生对数学概念的理性认识，体会到其所蕴合的丰富数学思想具有重要的意义。 【关键词】高中数学数学概念教学反思 数学概念的理解和运用即为数学最为本质的内容之一，在平时的教学中应给予足够的重视。如果脱离了数学概念，便无法进行数学思维，也无法构成数学思想和数学方法。在学习中要重视概念的形成、概念的理解和概念的应用，重视概念的各种形式之间的转换。学好 概念，夯实基础，只有这样，我们才能始终立于不败之地。 在教学实际中，有不少学生学习很努力，但是成绩不理想。其直接原因往往是对概念的理解不够透彻，以及对概念的应用和转化不灵 活。结合自己的教学实践，对数学概念的重要性作以下探讨。 一、创设教学情境，引入概念 遵循高中数学新课标的要求，加强概念的引入，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程。笔者在教学实践中根据教学内容和 学生情况等，总结了如下几种引入方式： （1）以实际问题引入概念。数学概念来源于实践，又服务于实践，从实际问题出发引入概念，使得抽象的数学概念贴近生活，使学生易于接受，还可以让学生认识数学概念的实际意义，增强数学的应
用意识。例如等比数列这样的概念就是直接源于生活的概念，在讲授的过程中，现实生活中的实例随手可得，如常见的细胞分裂问题，商店打折问题，放射性物质的质量问题，银行利率，为自己家选择合适的还贷方式等等实例可以信手拈来穿插在概念的讲解、巩固的过程中。 （2）利用学生已有的知识经验引入概念。例如，在引入算法概念时，学生对求解一般的二元一次方程组已很熟练，强调求解一般的 二元一次方程组的步骤就是算法，这样就显得水到渠成。 （3）通过学生实验引入概念。如讲椭圆概念时，教师指导学生固定钉子在纸板的不同位置，然后让绳子长度大于两钉子之间的距离，同时用铅笔拉紧绳子画线，最终可以得到椭圆。学生动手实验， 可在学生脑海中留下深刻印象。 （4）从概念的历史背景出发，激发兴趣。如复数和虚数的概念有悠远的历史背景，因此，在讲解这两个概念时，可以将数的发展史、虚数与复数的出现历程作简单阐述，教学中，适当引入与数学概念相关的故事，并巧妙处理，既可激发学习兴趣，又可达到教育之目的。 二、抓住本质属性，讲清概念 要正确深刻地理解概念绝非易事，教师要根据学生的知识结构和能力特点，从多方面着手，适当引导学生剖析概念，抓住概念的实质。 为此可以从以下几个方面努力： （1）强调概念中的关键词语，结合正反例子，做好概念理解。如
小学数学概念理解+详细说明
?目录： ?1、小数部分 ?2、分数和百分数 ?3、数的整除 ?4、整数、小数、分数四则混合运算 ?5、简易方程 ?6、比和比例 ?7、数感和符号感 ?8、量的计算 ?9、平面图形的认识和计算 十进制计数法： 一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位.其中“一”是计数 的基本单位.10个1是10,10个10是100……每相邻两个计数单 位之间的进率都是十.这种计数方法叫做十进制计数法。 整数的读法： 从高位一级一级读,读出级名（亿、万）,每级末尾0都不读.其他数 位一个或连续几个0都只读一个“零”。 整数的写法： 从高位一级一级写,哪一位一个单位也没有就写0. 四舍五入法： 求近似数,看尾数最高位上的数是几,比5小就舍去,是5或大于5舍 去尾数向前一位进1.这种求近似数的方法就叫做四舍五入法.
位数多的数较大,数位相同最高位上数大的就大,最高位相同比看第 二位较大就大,以此类推. 一、小数部分： 把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示.如1/10记作0.1,7/100记作0.07. 小数点右边第一位叫十分位,计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位,计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一,没有最小的计数单位.小数部分有几个数位,就叫做几位小数.如0.36是两位小数,3.066是三位小数. 小数的读法： 整数部分整数读,小数点读点,小数部分顺序读. 小数的写法： 小数点写在个位右下角. 小数的性质： 小数末尾添0去0大小不变.化简 小数点位置移动引起大小变化： 右移扩大左缩小,1十2百3千倍.
(完整版)初中数学概念课教学模式的研究
初中数学概念课教学模式的研究 郭耀京、丁振棠、邓振新、邓燕、曾敏芝、高月、王星赞、杨桂春 一、模式研究背景 概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。是用词或符号来概括事物的本质，是人对客观事物的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。它是数学知识的基石，是数学知识的重要组成部分，人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活．新的数学课程标准指出要让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，而正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提．因此，数学概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。 掌握数学概念是学好数学的基础，是学好定理、公式、法则和数学思想方法的前提，是提高解题能力的关键，是解决例题和练习题的依据。但在传统的数学概念课教学中，老师轻视概念的形成过程，课堂上采用的教学方式一般是学生自己看课本或教师运用讲授法进行讲解，然后学生就做例题和练习题。这种概念课的教学方式，产生的后果是学生对数学概念的感性认识很浅，理解一知半解；学习得到的概念太死板，不能灵活运用到学习中去；学生的学习能力也得不到提升和培养，学习积极性不高。为了突破这个教学难点，改变原来的教学方式，充分发挥学生的主体作用，打造切实可行的高效课堂。 新课程实施以来，我们初中数学学科一直致力于新形势下的课堂教学模式研究，取得了一定成果。结合自身学科特点，吸取先进教学理念，探索适合自身课堂教学的有效模式，真正做到了知识内容问题化、教学过程互动化、活动结论规律化、问题解决书面化、反思简记习惯化、评价方式多样化，从而学生思维的打开、飞跃、完善过程暴露无遗，使课堂教学更有针对性与实效性。 二、基本模式 数学概念教学过程是在教师指导下，调动学生认知结构中的已有感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃(包括概念转变)，最后组织成完整的概念图式的过程。为了使学生掌握概念、发展认识能力，必须扎扎实实地处理好每一个环节。数学概念教学模式为：引入—形成—巩固与深化。（一）、概念的引入 概念的引入是数学概念教学的必经环节，通过这一过程使学生明确：“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备。新课程标准提倡通过主动探究来获取知识，使学生的学习活动不再单纯地依赖于教师的讲授，教师努力成为学习的参与者、协作者、促进者和组织者。因此，在引入过程中教师要积极地为学生创设有利于他们理解数学概念的各种情境，给学生提供广阔的思维空间，让他们逐渐养成主动探究的习惯。一般可采取下述方法： 1.联系概念的现实原理引入新概念。在教学中引导学生观察有关事物、模型、图识等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。例如：在圆概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，一端固定在图板上，另一端套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义。
如何进行小学数学概念课的教学
如何有效的进行小学概念课教学 贺兰七小宋慧 教师数学概念教学的质量,直接影响着学生学习数学的质量。学生的逻辑思维能力、空间想象能力、灵活解答问题能力等等无一不是以清晰、确定的概念为基础的。这些能力的高低与相应概念明确、理解的深度、广度有着密切的联系。实践证明，加强概念教学是切实提高小学数学教学质量的有效策略。那么在当前积极开展课堂教学有效性研究的背景下，应该如何有效开展小学数学高年级概念课的教学呢？ 一、创设有效生活情境，引入概念。 情境创设是一节课的眼睛，是可以顾盼生辉的。而数学概念是抽象枯燥的，因此教学中一定要把概念放在一个丰富的，典型的，自然的现实生活情境中引入，这样才能站在学生的心理需求上。 如五年级《分数的产生和意义》对于小学生来说是一个比较抽象的概念，怎样让学生理解单位“1”的含义，引导学生一步步从具体的实例中到逐步抽象，归纳出分数的意义是本节课的两个重点问题。 李老师先通过古人测量物体用打结的绳子测量，比3节多，比4节少，这不足一节该怎么记录呢？学生说用分数表示。再举例分物的时候，两个人平分一个苹果，每人得到这个苹果的多少？ 二、大量感知，深入理解概念。 概念的形成是一个积累渐进的过程，因此在概念的教学中要遵循从具体到抽象，从感性认识到理性认识的原则。小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡的。这种过渡在很大程度上还是依靠丰富的感性材料，从各种类型的感知材料中概括抽象出数学概念。数学概念不是靠老师讲出来的，而是靠学生自己去体验、感悟的。 《分数的产生和意义》其中学生对于单位“1”的理解是一个难点，老师大胆放手让学生通过举例来理解，在归纳后概括出单位“1”这个概念强调表示的是一个整体。为了让学生能更加深刻的理解这一概念，老师通过图让学生体会、感悟，认识单位“1”，着重体会单位“1”表示一个整体的情况。整个过程体现了学生是学习的主体，帮助学生实现思维的加速。老师的这节课在设计上淡化形式，注重实质，注意数学与生活的联系，一切
如何进行小学数学概念教学
如何进行小学数学概念教学 小学数学教学过程，就是“概念的教学”。一个数学教师，要把概念教学放到突出地位。小学数学中的一些概念，对小学生来说，由于年龄小，知识不多，生活经验不足，抽象思维能力差，理解起来有一定的困难。因此教师在有关概念的教学过程中，一定要从小学生年龄实际出发，这样才会收到好的教学效果。 一、为学生提供充分的探究空间、创设条件、营造氛围，引导学生自主探究、合作交 流，让学生充分理解数学概念的意义。 1.直观形象地引入概念 数学概念比较抽象，而小学生，特别是低年级小学生，由于年龄、知识和生活的局限，其思维处在具体形象思维为主的阶段。认识一个事物、理解一个数学道理，主要是凭借事物的具体形象。因此，教师在数学概念教学的过程中，一定要做到细心、耐心，尽量从学生日常生活中所熟悉的事物开始引入。这样，学生学起来就有兴趣，思考的积极性就会高。如在教平均数应用题时，我利用铅笔做教具，重温“平均分”的概念。我用9个同样大的小木块摆出三堆，第一堆1块，第二堆2块，第三堆6块，问：“每堆一样多吗？哪堆多？哪堆少？”学生都能正确回答。这时，我又把这三堆木块混到一起，重新平均分三份，每份都是3块，告诉学生“3”这个新得到的数，是这三堆木块的“平均数”。我再演示一遍，要求学生仔细看，用心想：“平均数”是怎样得到的。学生看我把原来的三堆合并起来，变成一堆，再把这堆木块分做3份，每堆正好3块。这个演示过程，既揭示了“平均数”的概念，又有意识地渗透“总数量÷总份数=平均数”的计算方法。然后，又把木块按原来的样子1块，2块、6块地摆好，让学生观察，平均数“3”与原来的数比较大小。学生说，平均数3比原来大的数小，比原来小的数大，这样，学生就形象地理解了“求平均数”这一概念的本质特征。 2、从动手操作中形成概念。 俗话说：“实践出真知，手是脑的老师。”数学源于实践，又服务于实践，在教学中尽量让学生参与动手实践，让学生摸一摸，拼一拼，移一移，折一折，减一减等形式的动手操作活动，获取丰富的感性认识，再经过大脑加工，由表及里，由浅入深，去伪存真地辩论分
如何有效进行小学数学概念教学
如何有效进行小学数学概念教学 数学概念是小学数学知识的一项重要内容，是学生理解掌握数学知识的首要条件，也是进行计算和解题的前提。因此重视数学概念教学，对于提高教学质量有着举足轻重的作用。那么怎样让枯燥、抽象的概念变得生动有趣，使课堂教学更有效，减轻孩子们的学习负担，让概念在孩子们心中得到完美内化呢？我粗浅的认识从以下几方面入手。 一、概念的引入讲述宜直观形象 针对第一学段孩子的抽象思维能力较弱，对数学语言描述的概念理解较为困难，我们在教学中应该多用形象的描述，创设有趣的问题情境，打些合理的比方等，努力让孩子们理解所学概念，可以采用以下一些方式来进行教学。夸张的手势，丰富的肢体语言，理解运算所蕴含的意义，区分概念的差别。在让一年级的孩子认识加减法的时候，我举起双手像音乐指挥家一样，左边一部分，右边一部分，两部分合在一起就用加号，加号就是横一部分，竖一部分组起来的，减法则反过来展示。孩子们看得有趣，记得形象，不但记住了加减号还明白了加减号的用法。在教二年级孩子感受厘米和米时，我让孩子们学会用手势来表示1厘米和1米，使得孩子们在估计具体物体的长度时有据可依。形象生动的讲解，让孩子们自然接受数学符号。教师的语言讲解也要力求符合学生实际，特别是第一次描述时，教师一定要斟字酌句地用孩子能理解的语言尽可能用数学语言简洁地描述。因为对于第一次接触新概念的孩子们来说，第一印象是最为深刻的。当然在适当的时候我们也可以选择让孩子们根据自己的理解来说一说来试着对概念进行解释，一方面同龄人的解释会让孩子们概念的理解更为容易；另一方面也可以锻炼一下孩子的数学语言表达能力。我们要记住：孩子们的数学概念应该是逐级递进、螺旋上升的（当然要避免不必要的重复），以符合学生的数学认知规律。很多时候第一学段的孩子对于部分数学概念，只要能意会不必强求定要学会言传。
浅谈数学概念教学的重要性
浅谈数学概念教学的重要性 摘要:概念教学是中学数学教学中至关重要的一个环节，是基础知识和基本技能教学的核心。学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生之所以觉得学习数学很困难，概念不清往往是最直接的原因，这样就不能熟练地对数学概念进行理解、应用和转化等。因此，抓好概念教学对提高普通中学数学教学质量具有根本性的意义。但是，在现今的数学概念教学过程中，许多教师重解题、轻概念，忽视了学生对数学概念的理解，造成学生解题和概念脱节。那么如何搞好新课程下数学概念的教学呢 关键词:概念;引入;形成;理解;归纳;系统化 一、概念的引入 借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引人概念。学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义、作用。因此，教师应设置合理的教学情境，使学生体会学习新概念的必要性。学生往往对故事感兴趣，这恰恰是增强数学教学活力的切人点，教学中，教师可以结合概念适当引人一些数学小故事，激发学生的学习兴趣，如:等差数列中高斯的故事，等比数列中印度的那位聪明的宰相。另外我们还可以通过寻找新旧概念之间的联系来掌握新的概念。数学中有许多概念都有着密切的联系，如:平行线段与平行向量，函数与方程，映射与函数
等等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。 二、概念的形成 在数学概念的形成阶段，教师可以通过大量典型、丰富的实例，让学生进行分析、比较、综合等活动，揭示概念的本质。例如，在引人奇函数这个概念时，教师可以让学生观察熟悉的函数f(x}=上,g(x)二的图象，学生很容易看出图象关于原点对称。教师进x一步提出问题:你能从数的角度说明它为什么关于Y对称吗学生根据初中对对称的认识，发现自变量*的值对称着取，观察它们的函数值。于是，学生计算了厂1)抓1}抓2)抓-2)抓3)抓-3)，学生猜想:*取互为相反数的两个值，他们的函数值互为相反数。教师追问:是刘所有的定义域内的*都成立吗于是，学生if}f(})与厂劝，发现互为相反数。然后教师给出这类函数的名字为奇函数。 华罗庚教授说得好:“学习数学最好到数学家的纸篓里去找材料，不要只看课本上的结论。”教师要多给学生提出一些开放性的问题，多为学生开展一些探索性的活动，帮助学生树立学习信心，相信“不同的学生在数学上得到不同的发展”，使学生的数学学习活动真正成为一个主动的和富有个性的过程。 三、概念的理解
小学数学概念全部归纳
小学数学概念全部归纳Prepared on 21 November 2021
小学数学概念全部归纳 整数概念 【自然数】我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，...叫做自然数。 【整数】在小学阶段，整数通常指自然数。 【数字】表示数目的符号叫做数字，通常把数字叫做数码。 【加法】把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 【加数】在加法中相加的两个数，叫做加数。 【和】在加法中两个加数相加得到的数叫做和。 【减法】已知两个数的和与其中一个数，求另一个加数的运算，叫做减法。【被减数】在减法中，已知的和叫做被减数。 【减数】在减法中，减去的已知加数叫做减数。 【差】在减法中，求出的未知加数叫做差。 【乘法】求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 【因数】在乘法中，相乘的两个数都叫做积的因数。 【积】在乘法中，乘得的结果叫做积。 【除法】已知两个因数的积，与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 【被除数】在除法中已知的积叫做被除数。 【除数】在除法中，已知的一个因数叫做除数。 【商】在除法中，未知的因数叫做商。 【计数单位】一，十，百，千，万，十万，百万，千万，亿......都叫做计数单位。 【十进制计数法】每相邻的两个计数单位间的进率是十。 【数位】写数的时候，把计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。第一个数位称为个位，依次是十位，百位，千位，万位，十万位...... 【有余数除法】一个整数除以另一个不为零的整数，得到整数的商以后还有余数，这样的除法叫做有余数的除法。余数比除数小。 【整数四则混合运算】我们学过的加减乘除四种运算，统称为四则运算。 【第一级运算】在四则运算中，加法和减法叫做第一级运算。 【第二级运算】在四则运算中，乘法和除法叫做第二级运算。 【整除】两个整数相除，如果用字母表示可以这样说：整数a除以整数b(b不等于0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b 能整除a。 【约数和倍数】如果数a能被b（b不等于0）整除，a叫做b的倍数，b叫做a 的约数或a的因数。 【偶数】能被2整除的数叫做偶数，因为0也能被2整除，所以0也是偶数。【奇数】不能被2整除的数叫做奇数。例如1、3、5、7......
初中数学概念教学的研究
“初中数学概念教学的研究”课题研究阶段性总结学概念是数学内容的基本点，是逻辑导出定理、公式、法则的出发点，是建立理论系统的着眼点；同时，它又是学生认知的基础,是学生进行数学思维的核心。因此概念在数学教与学中有着重要的地位。 数学概念是数学知识系统中的基本元素，是解决数学问题的前提，是数学研究对象的高度抽象和概括，它反映了数学对象的本质属性，是最重要的数学知识之一。学生在运用数学概念进行、判断的过程中要得出正确的结论，首先要正确地掌握概念。正确理解概念是学好数学的基础，是决定数学教学效果的首要因素。因此，概念教学在数学教学中有着不容忽视的地位。 对基本概念的教学一直是比较薄弱的，不少教师讲题时头头是道，十分生动，总有说不完的话，而讲基本概念时总是干巴巴的，没有几句话，有的教师对一些重要概念一带而过，很快就转入解题教学中去，这种教学形式是不利于学生对概念的正确理解的，由于初中生的知识水平，对很多概念的背景知识不可能展开说得很多，但总希望能把有关概念的背景、产生、内涵，适当地讲清楚。 国内外关于数学概念教学理论研究是比较多的，对于一些概念课授课方法也是有研究的。但是那些理论的得出和经验的总结都是特定教育环境下的产物；而对于今天所推进的新课程实验（特别是在我国刚刚开始实施阶段）初中数学概念教学理论研究还几乎是一片空白。对于实践研究就更不足为谈了。 还有，对概念教学还有一个记忆与理解的关系问题，对一些重要的基本概念，我们要求学生准确记忆，但这种记忆不是死记硬背。我们时常可以看到有的教师在课堂上要求全班学生一起背某一段定义、定理。学生整齐划一，如同背古诗一样背出来。这样做的效果可想而知！我认为对基本概念应该“在理解的基础上记忆，在应用的过程中加深理解”。 对中学数学概念教学，目前大致分为两种不同的观点：一种观点是要“淡化概念，注重实质”；另一种观点是要保持概念阐述的科学性和严谨性。笔者
“数学概念课”课堂教学模式的实践与认识
“数学概念课”课堂教学模式的实践与认识 【摘要】在数学概念课教学中进行探究活动，是数学概念教学的一个重要过程。学生是认识的主体，又是创造与发展的主体，充分尊重学生的主体地位，正确发挥教师的主导作用，是“数学概念课”课堂教学模式这一教学模式的指导思想。不断改革创新，形成教学风格，数学概念课堂教学模式的实施，是教学改革的需要，是 鼓励学生创造思维的不断发展。 【关键词】数学概念课教学模式课堂教学实践认识 1.问题的提出 《数学课程标准》明确指出：“教师应……帮助他们（学生）在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动的经验。”这就清楚地表明，探究应是数学教学的重要方式。在数学概念课教学中进行探究活动，是数学概念教学的一个重要过程。学生是认识的主体，又是创造与发展的主体，充分尊重学生的主体地位，正确发挥教师的主导作用，是“数学概念课”课堂教学模式这一教学模式的指导思想。上学期，我们课题组对“数学概念课”课堂教学模式进行了初步的探索，并总结出“启导探究式”的教学模式，其流程大致分为六个步骤：情景导入→自主探索→课上交流→归纳小结→反馈评价→升华提高。本学期，我们对六个步骤的教学过程和教学设计进行了探讨，并对上述模式进行了修改和调整。
2.“启导探究式”课堂教学模式教学过程及认识 课型１、形成性概念教学模式 1.1 模式结构图 1.2 操作实践及认识。学生学习数学概念的心理过程主要有两种方式，一种是概念的形成，一种是概念的同化。概念的形成是在大量的感性认识下，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性。高中数学教学中，有不少的概念学习仍可采用概念形成的方式来进行。 1.2.1 情境导入环节。数学概念是抽象的，但都有其客观的物质基础。创设情境，呈现刺激模式，就是为概念的形成提供“物质基础”。呈现的刺激模式或者是经验事实，或者是典型事例，或者是直观演示。这些刺激模式应该是出自于学生熟悉的生产和生活背景，而且是正面的肯定例证，数量和刺激强度要适当，要有一定的变化性且新颖有趣，并宜采用同时呈现的方式，以利于学生分析比较。 例1 椭圆概念课的引入 教学时可先出示准备好的油罐车图片和演示截面图，再引导学生联想鸡蛋的外形，并演示截面图，最后展示嫦娥1号的奔月轨道视 频画面。从而引出学习椭圆概念这个课题。 1.2.2 启导探索环节。老师引导学生进行自主探索，对呈现的刺
高中数学概念课教学
高中数学概念课教学 摘要培养创新精神和实践能力是目前我国教育改革，实施素质教育的重要任务之一，它要求我们在日常教学中持之以恒地认真钻研教材，合理创设问题情景，加强思维训练，并积极探索规律，改进教学方法，优化教学过程。笔者在高中数学概念教学中，发现教师若能充分重视数学概念的教学，在概念教学中恰当的把握好传授知识与增长能力的关系，充分尊重学生在学习过程中的主体体验、主动积极的思维和情感活动，才能循序渐进地引导学生在体验中感悟、在体验中创造、在体验中提高数学素养，帮助学生认识、理解、体验和掌握数学概念，促使其能运用数学概念灵活处理相关的数学问题。发展学生学会学习、学会思考、学会提问和开拓创新的能力。 关键词数学概念认识掌握拓展应用 数学是自然的，数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉，我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。才能是学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念的引入——概念的形成——概括概念——明确概念——应用概念—— 形成认知。传统的教法教师经常包办到家，口若悬河，常使学生感到枯燥无味，对数学课提不起兴趣，致使不少学生概念模糊，从而影响对数学内容的后续学习。数学概念是学习数学知识的基础，是
培养数学能力的前提。如何搞好数学概念课的教学呢? 一、让学生在亲自感知、体验教学中认识概念 学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。我们着重谈一下从实际问题引入，通过创设实验活动，培养学生动手操作能力，让他们在亲自体验实践中形成数学概念。如在椭圆概念教学中，可要求学生事先准备两个小图钉和一条长度为定长细线，将细线两端分别固定在图板上不同两点a 和b ，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动所得图形。提问思考讨论：(1)椭圆上的点有何特征？(2)当细线长等于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(3)当细线长小于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(4)请同学总结，完善椭圆定义。这样的设计，不是教师机械的讲解、学生被动的接受的过程，而是学生通过数学实验，在不断思考和探索中得到新发现，获得新知识，从而体验数学概念的发生、形成和发展的过程，，一方面有利于增强学生上数学课兴趣，感受过程给他们带来的快乐，另一方面有利于学生充分了解概念由来，方便记忆。 二、寻找新旧概念之间联系，形成系统化，进一步掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系，如平面角与空间角、映射与函数、平行线段与平行向量、等差数列与等比数列等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。
浅谈小学数学概念教学的基本策略与模式1
浅谈小学数学概念教学的基本策略与模式 闵光祥在小学数学课中,根据教学内容可以划分为概念课、计算课、解决问题课与空间图形课,而几乎在每一个新知识的起始课，学生最先接触到的必然是数学概念。概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的，也是学习其他数学知识的基础，因此上好概念课对小学生的后续学习以及数学素质发展的培养都具有很重要的意义。 一、小学概念教学中普遍存在的问题 目前，我们学校的教研有多个老师上了概念课，听了之后就发现我们经常会不经意地把数学概念课上得冰冷无味、死板缺乏生机；学生没有通过对大量事物的感知、分析、理解而抽象出概念，总的来说就是忽视概念的形成过程，忽视概念间的相互联系，忽视概念的灵活应用，主要存在以下一些问题: 1、概念教学脱离现实背景。很多教师在上概念课的时候，首先就要求学生把概念强记下来，然后进行大量的强化练习来巩固概念。这种死记硬背的教学方式有着很大的消极影响，由于学生并没有理解概念的真正涵义，一旦遇到实际应用的时候就感到一片茫然。 2、孤立地教学概念。很多教师在教学概念的时候往往习惯于把各个概念分开讲述，这样虽然是课时设置的需要，但是这种教学方式会使得学生掌握的各种数学概念显得零碎，缺乏一定的体系，这不仅给学生理解和应用概念设置了障碍，同时也给概念的记忆增加了难度。 3、数学概念的归纳过于仓促。数学概念的形成，是一个不断建构与解构的反复过程。引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性，这是概念教学应该达到的教学目标。而部分教师课堂教学中概念的形成过于仓促，学生尚未建立初步的概念，教师即已迫不及待的进行归纳与总结。 二、小学数学概念课教学的基本策略 1、必须将概念置身于现实背景中去理解。数学概念是抽象的、严谨的、系统的，而小学生的心理特点则是容易理解和接受具体的、直观的感性知识。因此，我们在教学之始应该在数学与生活之间搭建起联系的桥梁，提供丰富、典型、全面的感知材料，千方百计地充实学生的感性材料。数学概念教学时必须将概念寓
谈数学概念的特点
谈数学概念的特点、教学原则与方法 郑步春 一数学概念的特点 .1。数学概念的意义 我们知道，概念是思维的基本形式之一，反映客观事物的一般的、本质的特征。人们对客观事物的认识一般是通过感觉、知觉形成观念（表象），这是感性认识阶段。再经过分析、比较、抽象、概括等一系列思维活动，把所感觉到的事物的共同特点抽象出来，从而认识事物的本质属性，形成概念，这是理性认识阶段。理性认识在实践的基础上不断深化，概念相应地也就进一步获得发展。 数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。有些数学概念是直接反映客观事物的。例如，自然数、点、线、面、体等。然而，大多数数学概念是在一些数学概念的基础上，经过多次的抽象概括过程才形成和发展的。例如，无理数、复数的概念，就是分别是在有理数系和实数系的基础上产生的；而关系、映射、群、环、域等概念的产生与发展的过程就更复杂了。 2．数学概念的特点 其一，数学概念具有抽象性与具体性。这是因为数学概念代表了一类事物的本质属性，决定了它的抽象性，已远远脱离具体现实，且抽象程度越高距离现实越远。但是不管它如何抽象，高层次的抽象又总是以低层次的事物为具体内容的。也就是低抽象度的概念是高抽象度概念的具体模型。例如，数字是抽象字母的具体模型，而字母又是抽象函数的具体模型。并且数学概念始终是数学命题、数学推理的基础成分，它必然落实到具体的数、式、形之中。 其二，数学概念具有相对性与发展性。在某一科学体系或特定研究领域内，数学概念的意义始终是一致的。例如，在小学里的数，始终是指正有理数；在初中里的直线，始终是指平面直线。然而数、形等概念本身处于不断发展之中。例如，自然数→有理数→实数→复数；直线上的点→平面上的点→空间中的点→n维空间中的点；锐角→任意角→空间角等。 其三，数学概念具有可感性与约定性。例如，三角形“△”，平行“∥”，微分“dx”，积分“ ”，它们除了特定的定义外，还有相应特定的名词与符号，具有名词、定义、符号“三位一体”的可感性，这不仅使学生在生活背景中准确地感知到实体模型，同时又明了地反映了概念的内涵；再比如，圆锥曲线，三角函数、实数等可感知它们的外延构成；这是其他科学所无法比拟的。然而，对于复数，二次函数，指数、对数函数，不为零的数的零次幂等概念则具有约定性。 其四，数学概念具有生成性与系列性。通过概念的约定方法缩小概念的外延；或者通过概念的概括方法，扩大概念的外延，来生成一系具有从属关系的概念。例如，矩形是有一内角为直角的平行四边形；又如，不考虑诸数系中元素的具体含义，只考虑其运算性质，可概括成群，环、域等概念，都表明了概念的生成性。相应地这类具有从属关系的概念可组成一个概念系列。 其五，数学概念具有相称性与简明性。具有同一关系的概念的外延必须是相同的。例如，无限不循环小数，叫无理数，而以无限小数是无理数就是错误的。概念的表述是简明的，一般不借助对立
初中数学概念课堂教学设计
初中数学概念课堂教学设计 杜红卫学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。许多事实例证了正确地理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙。基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。 一、什么是数学概念？ 概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。 可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容。为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。 二、目前概念教学的现状 数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。 案例 1 ：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长 x 。 这组题对于初二的学生来讲，能够很快的得到答案。由于边长都非负，所以学生的第一反应说出的都是这组数的算术平方根，因为教师设计要讲平方根，所以要求学生写出计算过 程，并强调，然后取正舍负，再由这四个例子进行抽象概括出平方根与算数平
初中数学概念课教学模式案例简析
初中数学概念课教学模式案例简析潘志 数学概念教学是数学教学的重要组成部分，因为数学概念是进行判断、推理的基础，清晰的概念是正确思维的前提(笔者参加完成的浙江省教育科学规划2000年度立项课题“培养创新意识的初中数学课堂教学模式探索”，开始于1999年12月，至今已达2年多时间，历经在理论与实践上的反复探索，形成了以培养学生创新意识为目标的初中数学课堂教学模式(根据初中数学课堂教学的内容，数学概念课教学模式为:探究数学概念产生的实际背景?提出数学新概念?揭示新概念的内涵与外延，以及与旧概念的联系?运用新概念解决问题?小结反思新概念形成过程(本文将通过一则“教学案例”的简要分析谈谈我们的一些具体做法( 教学内容:代数式 教学目标:了解代数式的发生发展过程，揭示代数式概念与一次式的联系与区别，初步掌握与运用代数式的概念解决问题;了解式的扩充是从特殊到一般，再由一般到特殊的认识过程;用代数式概念作为载体，设计探究过程，发展学生的数学探究能力;在探究新概念“代数式”的学习过程中，渗透数学史的有关知识;使学生体验数学美以及数学来源于生活，服务于生活的真谛( 以下是教学过程( 1 探究数学概念产生的实际背景 教师活动:课前准备:(1)在生产、生活实际中，一切事物间的数量关系都能用一次式表示吗?(2)有关新概念“代数式”的发生、发展史料收集( 课前:(1)布置探究问题;(2)提供查询方向，将学生探索的结果进行引导、加工、组合(
学生活动:(1)学生课前根据教师的问题通过多渠道查询(如网络、图书馆、个人资料、小组讨论、请教他人等等)，准备答案及素材;(2)亲身体验有趣而丰富的调查研究结果的过程，并形成一定的观点、看法;(3)学生之间交流、讨论并与教师交流所获得的信息，加工信息，写出结论( 简析:使学生通过收集和思考问题，尽快地投入到对新概念的探究中去(从而激发学生好奇、探究和创造欲望，将获得的材料、信息在自己的大脑中进行比较分类，分析概括，从而提高学生的心理品质与思维能力，使学生养成一种喜欢探究问题的良好习惯( 教学活动:学生举例收集(选择部分内容): (1)运动员经,秒跑完400米，平均速度:400,,米/秒;(2)一个三角形的底边长为,，高线 ,长为,，1，它的面积:(1,2),(,，1);(3)棱长为,的立方体，它的体积:,;(4)大米单价是每千克3(20元，食油单价是每千克8(40元，买,千克大米和,千克食油的总价:3(20,，8(40,(元);(5)梯形高线长,，上、下底分别为,和,，梯形面 积:(1,2)(,，,),( 简析:从实际问题出发，经过数学化，与学生共同从中提炼出上述问题的共性特征:用运算符号把数与字母连结而成的式子(称为代数式)( 2 提出数学新概念 教师活动(电脑展示“代数式”的有关数学史料):卡片1:伟大的德国数学家莱布尼茨说过:“符号的巧妙和利用符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约，在这里它以惊人的形式节省了思维(” 教师组织学生共同欣赏、领悟、体验概念发生、发展的合理性与必要性;通过交流、对比，完善新知识的产生，打破传统的教师讲，学生听的整齐划一模式(
最新小学数学概念课教学模式初探
小学数学概念课教学模式初探 马桂芹 在小学数学课中,根据教学内容可以划分为概念课、计算课、解决问题课与空间图形课,而几乎在每一个新知识的起始课,学生最先接触到的必然是数学概念。概念是学生学习数学的基础，是数学基础知识的重要组成部分，更是学生认识、判断、理解和解决数学问题的基础。 概念教学如此重要，但在实际的概念教学中却存在着一些问题。轻过程，重结果，概念的归纳过于仓促。学生尚未建立初步的概念,教师已迫不及待的进行归纳与总结，导致对概念的理解存在夹生饭的现象。当发现问题再回去弥补，而这个时候的弥补，又感觉没有多少味道，从而造成误解的一直持续。轻感悟，重讲解，概念教学脱离现实背景。一些教师在上概念课的时候,首先要求学生把概念记忆下来,然后进行大量的强化练习来来弥补对概念理解的不足。学生没有理解概念的真正涵义,一旦遇到实际应用的时候就感到一片茫然。造成学习效率不高，老师和学生都很疲劳。 为了提高概念教学的有效性，根据概念学习的心理过程及特征，我们可以把数学概念的教学分为三个阶段：①引入概念，感知概念，形成表象；（概念从哪里来？）②通过抽象和概括，感悟概念，理解概念；（概念是什么？）③通过实例分析，巩固和应用概念。（概念有什么用？）下面结合《百分数的认识》一课，谈谈我对小学数学概念教学基本模式的一点思考。 一、引入概念，经历概念的发生过程。 数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取不同的方式去引入概念。一般来说，数学概念的引入可以采用如下几种方法。①以感性材料为基础引入新概念。用学生在日常生活中所接触到的事物或图形、图表等作为材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念。如学习“认识角”时，可以提供大量的图片或实物来引入。②以新、旧概念之间的关系引入新概念。如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。如学习“乘法意义”时，可以从“加法意义”来引入。 ③从概念的发生过程引入新概念。数学中有些概念是用发生式定义的，在进行这类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教具或创设现实的问题情境，让学生
浅谈对数学概念的理解
教 育 战 线131 INTELLIGENCE ··· ·····················浅谈对数学概念的理解 江苏省连云港市浦南中学 左克红 淡化概念是现今初中数学教育的一个重要方面，在九年制义务教育教材的编写中有明显的反映。但是，促进对数学概念的理解并不能因此被偏废。本人想就此谈谈自己的一些看法。 一、数学概念的学习特点 数学是由概念、命题组成的逻辑系统。数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其特有属性（或本质属性）在思维中的反映，是构成数学体系的基本元，是使得整个体系结成一体的结点。 数学概念的学习常有两种基本形式：概念同化与概念形成。初中生在学习数学概念时常以概念同化为主，对初次接触的或极为抽象的概念，则采用概念形成的学习方式。但是，不管采用何种形式，学习效果将直接取决于学生能否完整理解概念的内涵和外延，真正理解概念的本质属性，并且掌握概念，从而能够应用概念。 二、理解对数学概念学习的意义数学教学中，数学概念作用于学生的思维，学生在主动思维的过程中，经大脑特殊而复杂的运动来反映概念，并加以保存，这种保存可以是理解的，也可以是不理解的（即常说的死记硬背）。只有在理解的基础上的保存，才有可能对概念进行本质的、理解的记忆，进而才有可能运用这种本质的认识去观察问题，用理性的认识分析问题，从而解决问题。 三、影响学生对数学概念理解的因素 由于受各种因素的影响，学生对数学概念的理解程度往往是不相同的，常见的主要因素有如下几种： 1、经验和抽象概括能力 学生对概念的理解程度，往往取决于学生是否储备了足够的相关知识基础，以及是否具备相应的抽象概括能力。例如：学生平方概念以后，学生基本能够“找出”满足X2=9的X 值，这便转化到“解一元二次方程”，首选的方法便是“直接开平方”，用于解决形如X2=ɑ（ɑ≥0）型的一元二次方程；以完全平方式（ɑ+b）2=ɑ2+2ɑb+b2为 基础，可以把所给方程经“二次项系数化为一”、“移项”，“方程两边同加上一次项系数的一半的平方”等步骤，整理为(x+a)2=b(b ≥0)的形式，这就是“配方法”的思想：对一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0)运用“配方法”整理，即得一般方法“公式法”。在这里，如果其中某环节受阻，则上述循序渐进的三个概念及相互关系就难以理解、把握。 2、本质属性和非本质属性 概念的本质属性越明显，学习时就越容易理解和掌握；反之，非本质属性多而且明显，则会学生对概念的正确理解和把握。比如：讲解“等腰三角形”时，常常习惯于将顶点画在“上方”，底边在“下面”，一旦将顶点画在“左（或右）边”，将底边画在“右（或左）边”，有的同学就因这个三角形的两腰不在他的视线两侧，而错误地认为这不是等腰三角形。再如：无理数应是“无限不循环小数”，讲课时常例举 “开方开不尽”的数帮助理解，在不知不觉中，“无理数是开方开不尽的数”这一错误观点便在许多学生的头脑中形成，而用这一错误观点取代无理数是无限循环小数这一概念。这一切都缘于他们将概念的非本质属性混淆于概念的本质属性。 3、变式 要理解某一概念的本质属性，往往可以通过列举具有该本质属性的肯定例证或者是不具有该本质属性的否定例证，经过比较分析来进行。如函数概念教学中，学生误以为只有“变量y 随变量x 的变化而变换，y 才是x 的函数”，这便变更了函数概念的内涵“对变量X 在某一范围内的每一个确定值，变量y 都有唯一的、确定的值与之对应”。这时，可以举肯定例证：y=︱X ︱-X，当X 取任意非负实数时，y 都有唯一的确定的值0与之对应；而当X 为负实数时，就变成y=-2X。可见，变式有助于纠正学生理解上的偏差，让学生理解的更透彻。 四、促进学生理解数学概念的措施为了帮助学生更好地理解数学概 念，在教学过程中应充分注意到以下几点： 1、调动学生思维的积极性 理解是人应用已有的经验、知识，通过思维对未知对象或现象作出新的解释，弄清其新的特点、性质、联系或意义的一种认识过程，唯有经由学生积极思维才可实现。如果学生仅仅注意到“互为相反数”的符号不同，则就会对+3与-5、-1/3与2/3之类产生疑义，故需帮助他们深入挖掘“只有符号不同的两个数”中“只有”二字的含义：若将互为相反的两个数的符号去掉，那么所剩部分（即各自的绝对值）是相同的。 2、提供感性材料的变式 理解是通过对感性认识的加工改造完成的，缺乏必要的感性材料，或已有的感性材料缺乏典型性、代表性，学生就难以对事物各要素进行鉴别，难以区分一般与特殊、本质与非本质。为此，必须从教材内容的选择和教材的呈现方式两方面确保良好的认知结构的形成。 3、注意新旧概念间的比较 新概念是建立在已有的概念的基础上的，对新概念的理解依赖于旧概念，只有将旧概念与新概念联系起来，进行比较，辨别异同，才能真正新概念的含义。如算术平方根的学习是在学习了平方根以后，学生对平方根的概念较为清晰，知道“一个正数的平方根有两个，它们互为相反数”。那么“正数的正的平方根”就不再是新鲜课题了，结合补充定义“零的算术平方根是零”，自然就理解一个非负数ɑ的算术平方根有且只有一个，并且是非负数。 4、丰富学生的语言 思维总是与语言联系在一起的，这就不仅要求学生能利用文字语言充分表述自己在理解数学概念时所进行的思维过程，还要鼓励学生较多地运用符号语言来表达数学概念。理解在学生的学习活动中起着重要的作用，数学概念的高度抽象化决定了只有深入理解概念的本质属性，把握其内涵和外延，才能实现知识的迁移和巩固。一孔愚见，敬祈指正。