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第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

一、学习目标

1、理解直线的方向向量与平面的法向量;

2、会用待定系数法求平面的法向量。 二、问题聚焦

如果用向量来刻画直线与平面的方向呢?

三、知识梳理

1、_____________________________________________叫直线的方向向量,

2、_____________________________________________叫平面的法向量 四、尝试应用

1.正方体1111D C B A ABCD -中,求证A 1是平面11D ABC 的法向量。

2.已知A(1,1,1),B(1,0,0),C(0,1,-1),(1)写出直线BC 的一个方向向量。(2)设平面α经过点A 且是α的法向量,M (x,y,z )是平面α内任一点,写出x,y,z 满足的条件.

五、拓展应用

例1. 正方体1111D C B A ABCD -中,求证1DB 是平面1ACD 的法向量。

例 2. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,如果(2,1,4)AB =-- ,(4,2,0)AD =

(1,2,AP =--

(1)求证:AP 是平面ABCD 的法向量;

(2)求平行四边形ABCD 的面积.

例3. 在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是面AC 的中心,求面OA 1D 1的法向量.

六、目标检测

1.与向量(,,)131和(,,)102同时垂直的向量是

2.已知平面α内两直线的方向向量分别为a=(1,3,0)和b=(2,6,5),求平面α的法向量n.

3. 已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5)

(1)求以,AB AC

为邻边的平行四边形的面积

(2)若

a a 分别与,AB AC

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

垂直,求向量a 的坐标

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量作业

感受·理解

1、点(-1,1,0)与点(-1,2,1)所连直线的方向向量为___________________

2、直线?

?

?=+=-020

13z y x 的方向向量为____________________________

3、已知A(3,5,2),B(-1,2,1),把→

AB 按向量)1,1,2(=→

a 平移后所得的向量是___________ 4、空间直角坐标系中坐标平面xoz 中的一个法向量为_____________________

5、若直线1l 的方向向量)1,0,1(1=→

e ,直线2l 的方向向量为)3,0,3(2-=→

e ,则1l 与2l 的位置关系是______________________

6、已知平面α经过点O (0,0,0),且)1,1,1(=→

e 是α的法向量,M (x,y,z )是平面α内任意一点,则x,y,z

满足的关系是________________________

7、已知平面α的法向量)2,2,1(1-=→

e ,平面β的法向量),4,2(2k e --=→

,若βα||,则k=_____________

思考·运用

8、已知平面α内两直线的方向向量分别为)5,6,2()0,3,1(==→

b a 和,求平面α的法向量

9、已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以→

AC AB ,为邻边的平行四边形的面积;(2)若3||=→

a ,且→a 分别与→→AC AB ,垂直,求向量→

a 的

坐标

10、在正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1,DC 的中点,求证:F D A AE 11是平面→

的法向量

探究·拓展

11、已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在BC 、DD 1上是否分别存在点E 、F ,使→

E B 1是平面AB

F 的法向量?若存在,请证明你的结论,并求出点E 、F 满足的条件。

第 7课时 空间线面关系的判定(1)

一、学习目标

能用向量方法判定空间线面的平行与垂直关系 二、问题聚焦

如果用向量来研究直线及平面之间的位置关系呢?

三、知识梳理

设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ,两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ,则:

四、尝试应用 证明在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜

线在这个平面内的

射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

五、拓展应用

例1. 证明如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。

平行 垂直

21,l l

11,αl 21,αα

例2. 在直三棱柱111C B A ABC -中,6,1,30,90100===∠=∠A A BC BAC ACB ,M 是1CC 的中点,求

证:AM B A ⊥1

例3. 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1,D 、E 分别是AC 、CC 1的中点,求证: (I)A 1E ⊥平面DBC 1; (II)AB 1∥平面DBC 1

六、目标检测

正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求证:BD 1⊥平面ACB 1.

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

第 7课时 空间线面关系的判定(1)作业

感受·理解

1、空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB 与CD 的位置关系是________________

2、已知向量)1,cos ,sin (),1,cos ,(sin x x b x x a -=-=→

,则向量→

b a 与的位置关系为_____

3、若直线a,b 是两条异面直线,它们的方向向量分别为(1,1,1)和(2,-3,-2),则直线a 与b 的公垂线的一个方向向量是____________________

4、→→b a 、

为平面α内的两个不相等向量,→c 在直线l 上,→

→→→⊥⊥?b c a c l 且则,α是直线α⊥l 的_____________条件

5、四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,),0,2,4(),4,1,2(=--=→

AD AB

)1,2,1(--=→

AP ,则PA 与底面ABCD 的关系是____________________

思考·运用

6、已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,

MN 是异面直线AC 与1C D 的公垂线段,试确定点M 在AC 上及点N 在1C D 上的位置。

7、在正方体1111ABCD A BC D -中,已知,E F 分别是111,BB D B 的中点,求证:

(1)EF ∥1BD ;(2)11BD A D ⊥.

8、长方体1111ABCD A B C D -中,1,2AD AA AB AD ==,点

E 是线段11C D 的中点,求证:DE ⊥平面EBC .

10、如图,已知直三棱柱111ABC A B C -中,90,30,ACB BAC ??∠=∠=BC=1

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

,1AA =,M 是1CC 的中点。求证:11AB A M ⊥

A

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

探究·拓展

11、如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1,P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点,且D 1P :PA=DQ :QB=5:12,

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

(1)求线段PQ 的长度;(2)求证P Q ⊥AD ;(3)求证:PQ//平面CDD 1C 1;

第 8课时 空间线面关系的判定(2)

一、学习目标

能用向量方法判定空间线面的平行与垂直关系 二、知识梳理

平行

垂直

21,l l 11,αl

21,l l 的方向向量

设空间两条直线分别为21,e e ,两个平面

21,αα的法

向量分别为21,n n ,则:

三、尝试应用

正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,且AC 与BD 交于点O ,E 为棱DD 1的中点, (1)求证:⊥O B 1面EAC ;(2)若点F 在EA 上,且AE F B ⊥1,试求点F 的坐标

四、典例

例1、已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直,M,N 点分别在对角线BD,AE 上,且

,3

1

,31AE AN BD BM ==

求证:M N ∥平面CDE

例2、正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点,棱长AA 1=a , (1)证明:F D AD 1⊥;(2)11FD A AED 平面平面⊥

21,αα

例3、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1,底面三角形ABC 中,CA=CB=1,

90=∠BCA ,棱AA 1=2,M 、N 分别是A A B A 111,的中点。(1)求BN 的长;(2)求证:M C B A 11⊥

五、目标检测

已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点,求证:平面A 1EF ∥平面B 1MC

第 8课时 空间线面关系的判定(2)作业

感受·理解

1、已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P 的坐标为(x,0,y),若ABC PA 平面⊥,则点P 的坐标是____________________

2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是A 1B 上的点,F 是AC 上的点,且A 1E=2EB,CF=2AF,则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为_______________________

3、设βα、是不重合的两个平面,它们的法向量分别为→

→n m ,,直线l 的方向向量为→

e ,若→

→→→n e m e ||,||,则βα、的位置关系为__________________

4、空间四边形ABCD 中,AD BC CD AB ⊥⊥,,则AC 与BD 的位置关系是____________

思考·运用

5、已知棱长为1的正方体AB CD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点,求证:平面A 1EF

∥平面B 1MC .

6、在正棱锥P ABC -中,三条侧棱两两互相垂直,G 是PAB ?的重心,E 、F 分别为BC 、PB 上的点,且BE :EC=PF :FB=1:2。求证:平面GEF ⊥平面PBC

7、已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为a 的正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,E 为PC 上的点且CE :CP=1:4,则在线段AB 上是否存在点F 使EF//平面PAD?

8、棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱BC 、CD 上的点,且BE=CF,(1)当E 、F 在何位置时,

E D

F B 11⊥ (2)是否存在点E 、F ,使EF C C A 11面⊥

探究·拓展

11、如图,平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,且∠

C 1CB =∠C 1C

D =∠BCD 。 (1)求证:C 1C ⊥BD ;(2)当1

CD

CC 的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD ?

请给出证明。

第 9课时 空间的角的计算(1)

一、学习目标

能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题 二、问题聚焦

如果用向量的方法来求空间的角的大小呢?

三、知识梳理

1.两条异面直线所成的角是

2.直线与平面所成的角是

3.二面角的平面角的大小是 四、尝试应用

1.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是

2.正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,直线 BC 1与平面 A 1BD 所成的余弦值为

D 1

C 1

B 1

A 1D

C

B

A

五、拓展应用

例1.如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,4

1

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

11111B A F D E B ==,求1BE 与1DF 所成的角的余弦值.

例2. 在正方体1111D C B A ABCD -中,F 是BC 的中点,点1E 在11C D 上,且11114

1

C D E D =试求直线F E 1与平面AC D 1所成角的余弦值.

六、目标检测

如图:已知正三棱柱ABC -A 'B 'C '的侧棱长为2,底面边长为1,M 是BC 的中点。 (1)求异面直线AB '与BC '的夹角;

(2)在直线CC '上求一点N ,使得MN ⊥AB '。

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

第 9课时 空间的角的计算(1)作业

A' C'

感受·理解

1、正方体ABCD D C B A -1111边长2,EF 分别是111,A D CC 中点则<,>的余弦值为

2、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 棱长为a ,(1)A 1B 与B 1C 的夹角为 ;(2)A 1B 与AC 1所成角为

3、棱长都等于2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1下底面ABC,如果D 、E 分别是AC 、CC 1的中点, 以D 为原点,DA 为x 轴,DB 为y 轴建立空间直角坐标系D-xyz. (1)平面DBC 1的一个法向量坐标为 ;(2)A 1E 与平面DBC 1的关系为 ;(3)AB 1与平面DBC 1 关系为 。

4、四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0), =(-1,2,-1),则PA 与底面ABCD 所成角为

5、在正方体AC 1中,E ,F ,M ,N 分别是A 1B 1,BC ,C 1D 1,B 1C 1中点则面MNF 与面ENF 的关系为

6、正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面所成的二面角为θ,AD 与BF 夹角的余弦为4

2,则θ= 7、空间四边形OABC 中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=

3

π

,则

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

= 8、,,m n p

不共面,,||,0,28)1(,423→→→→→→→→→→→→≠+++=--=b a a p y n m x b p n m a 若,则x,y 的值分别

为 、 。

思考·运用

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

9、在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,且P A ⊥底面ABCD PD 与底面成30°角.

(1)若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证:BE ⊥PD ;(2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值.

10、在三棱锥O ABC -中,已知侧棱,,OA OB OC 两两相互垂直,求证:底面ABC ?是锐角三角形。

11、如图,在棱长为1的正方体BCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 分别是DD 1、BD 、BB 1的中点。(1)求E F C F ? ; (2)

如12C M EF =

,求1MB 的坐标;(3)1

11AQ AD B ⊥面于Q ,求Q 点坐标。

探究·拓展

12、已知ABC ?和DBC ?所在的平面互相垂直,AB BC BD ==,120CBA DBC ∠=∠=?,求:(1)AD 与BC 所成的角;(2)AD 与平面BCD 所成的角;

第 10课时 空间的角的计算(2)

一、学习目标

能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题 二、知识梳理

1.两条异面直线所成的角是

2.直线与平面所成的角是

3.二面角的平面角的大小是 三、尝试应用

1、正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心,M 是CC 1的中点,(1)求证:OM 是平面BD A 1的法向量。 (2) 求二面角D B A A --1的余弦值.

2、在四棱锥V-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明AB ⊥平面VAD .

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

(Ⅱ)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小.

四、拓展应用

例1. 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角11C BD A --的余弦值.

例2.已知E,F 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱BC 和CD 的中点,求:(1)D A 1与EF 所成角的大小。(2)F A 1与平面EB B 1所成角的余弦值.(3)求二面角B B D C --11的余弦值.

例3. 如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动. (1)证明:D 1E ⊥A 1D ; (2)AE 等于何值时,二面角D 1—EC —D 的大小为4

π.

五、目标检测

正四棱锥S —ABCD 中,所有棱长都是2,P 为SA 的中点,如图 (1)求二面角B —SC —D 的大小;

(2)如果点Q 在棱SC 上,那么直线BQ 与PD 能否垂直? 请说明理由

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

第 10课时 空间的角的计算(2)作业

感受·理解

1、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 。

2、空间四边形OABC 中,OB =OC ,∠AOB =∠AOC=3

π

,则cos<,OA BC >的值是

3、已知空间四边形ABCD 的各边以及对角线的长都是a ,点,,E F G 分别是,,AB AD CD 的中点,下列

运算的结果为正数的是

①AD DB ?

② GE GF ? ③FG BA ? ④GF AC ?

4、一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是30°,则这条线段与这个二面角的棱所成的角的度数为

5、在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是等腰三角形,∠ACB=90

,侧棱为2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 中点,E 在面ABD 上射影是三角形ABD 重心G ,则A 1B 与面ABD 所成角余弦为 。

6、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离

7、正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3,侧棱

3231=

AA ,D 是C B 延长线上一点,且BC BD =,

则二面角B AD B --1的大小是

8、已知棱长为1的正方体AB CD -A 1B 1C 1D 1中,E 是A 1B 1的中点,求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值 .

思考·运用

9、已知棱长为1的正方体AB CD -A 1B 1C 1D 1,求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小

10、已知棱长为1的正方体A C 1,E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点. (1)求证:E 、F 、D 、B 共面;(2)求点A 1到平面的B DEF 的距离; (3)求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角.

11、已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,点E 为棱AB 的中点,求:(1)D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小;(2)二面角D -BC 1-C 的大小;(3)异面直线B 1D 1与BC 1之间的距离.

探究·拓展

12、如图:正方体AB CD-A 1B 1C 1D 1,过线段B D 1上一点P (P ?平面A C B 1)作垂直于D 1B 的平面分别交过D 1的三条棱于E 、F 、G .

(1)求证:平面EFG ∥平面A C B 1,并判断三角形类型;

(2)若正方体棱长为a ,求△EFG 的最大面积,并求此时EF 与B 1C 的距离.

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

第 11课时 空间向量及其运算复习

一、例题分析

例1、设向量)4,5,3(-=a ,)8,1,2(=b ,计算:b a b a b a

?-+,23,32及a 与b 所成的角。并确定μ

λ、的值,使b a

μλ+与z 轴垂直。

A

B

C

A 1

B 1

C 1

D

例2、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是线段AD,AC 上的点,且AC AF DE 3

1

=

=,求证:1//BD EF

例3、平行六面体中,过A 的三条棱长都为1且两两夹角 600,(1)求AC 1的长 (2)E 为面A 1DB 内任一点...且1AA z AD y AB x AE ?+?+?=,求x+y+z=? (3)AC 1交面A 1BD 于G 点,求AG:GC 1=?

例4、如图,已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点,试用空间向量知识解下列问题:

(1)求证:1AB ⊥平面1A BD ;

(2)求二面角1A A D B --的余弦值大小. 二、练习

1、下列命题中正确的有( )个

①若y x +=,则,与共面;②若,与共面,则y x +=;

③若y x +=,则P,M,A,B 共面;④若P,M,A,B 共面,则y x +=

A B

C

D A 1

B 1

D 1

C 1

G E

2、已知

60,3||,2||===,则|32|b a -等于

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

3、已知向量)2,,,4,2(y x =,若⊥=且,6||,则x+y 的值为

4、已知空间三点A(3,2,0),B(6,1,2-),C(5,1,1-),(1)求以AC AB ,为边的平行四边形面积;(2)若3||=a ,且a 分别与AC AB ,垂直,求向量a 的坐标。

5、在空间四边形ABCD 中,已知G 是BCD ?的重心,E,F,H 分别为边CD,AD,BC 的中点,化简下列各式:

(1)2131++;(2))(21-+;(3)3

1

3131++ 6、平行六面体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别在11,DD BB 上,且,311BB BE =

DF=13

2

DD ,(1)证明:A,E,1C ,F 四点共面;(2)若

1AA z y x ++=,求x+y+z 的值。

第 6课时 直线的方向向量与平面的法向量

第11课时 空间向量及其运算复习作业

感受·理解

1、已知空间四边形ABCD 的各边以及对角线的长都是a ,点,,E F G 分别是,,AB AD CD 的中点,下列运算的结果为正数的是

①AD DB ?

② GE GF ? ③FG BA ? ④GF AC ?

2、已知(1,0,2),(6,21,2),//,a b a b λλμλμ=+=-

若则与的值依次为

3、若向量,(,0m a b n a b R λμλμλμ=+∈≠

与不共线向量和都垂直向量且)则m n 与必定

4、b a ,是空间二向量,若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 。

5、一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是30°,则这条线段与这个二面角的棱所成的角的度数为

6、如图(课本118页第6题图),

ABC ?内接于O ,AB 为O 的直径,AB=10,BC=6,,CD=8且CD ⊥平面ABC ,E 为AD 的中点,则异面直线BE 与AC 所成的角为 。

7、在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是等腰三角形,∠ACB=90

,侧棱为2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 中点,E 在面ABD 上射影是三角形ABD 重心G ,则A 1B 与面ABD 所成角余弦为 。

思考·运用

8、如图(课本118页第9题图),已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,MN 是异面直线AC 与1C D