Ch0504
第四节 定积分的换元法积分法和分部积分法
从上节微积分学的基本公式知道,求定积分?b
a dx x f )(的问题可以转化为求被积函数
)(x f 在区间],[b a 上的增量问题. 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积
分时仍适用,本节将具体讨论之,请读者注意其与不定积分的差异.
分布图示
★ 定积分换元积分法
★ 例1
★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7 ★ 例8 ★ 定积分的分部积分法
★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13
★ 例14 ★ 例15
★ 例16
★ 例17
★ 例18 ★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题5-4
内容要点
一、定积分换元积分法
定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ?=满足条件： （1）,)(,)(b a ==β?α? 且b t a ≤≤)(?；
（2）)(t ?在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有
??
'=
β
α
??dt t t f dx x f b
a
)()]([)(. (4.1)
公式(4.1)称为定积分的换元公式.
定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：
（1）用)(t x ?=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；
（2） 求出)()]([t t f ??'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法 ?b
a
udv
?-
=b
a
b
a
v d u uv
][ 或 ?
'b
a
dx v u ?'-
=b
a
b
a dx u v uv ][.
例题选讲
定积分换元积分法
例1(E01) 求定积分?20
5
sin cos π
xdx x .
解 令,cos x t =则,sin xdx dt -=2
π=
x ?,0=t 0=x ?,1=t
?
2
5
sin cos
π
xdx x ?
-
=0
1
5
dt t ?
=
1
5
dt t 1
66
t
=
.6
1=
注: 本例中，如果不明显写出新变量,t 则定积分的上、下限就不要变，重新计算如下:
?
2
5
sin cos
π
xdx x ?
-
=2
5
)(cos cos
π
x xd 2
6
6
cos
π
x
-
=??? ?
?--=610.61
=
例2(E02) 求定积分).0(0
2
2>-?
a dx x a a
解 令,sin t a x =则tdt a dx cos =
2
2
x
a -t a 2
sin 1-=|cos |t a =,cos t a =
由换元积分公式得
?
-a dx
x a 0
2
2?
=20
2
2
cos πtdt
a
?
+=2
2
2
2cos 1π
dt t
a
?
+=
2
2
)2cos 1(2
π
dt t a
2
2
2sin 212π
??? ??+=
t t a
.4
2
a π=
注: 在第一节的课堂练习中，我们曾利用定积分的几何意义解本题并得到相同的结果.
例3 (E03) 求定积分?
-π
5
3sin sin dx x x .
解 x x 5
3
sin sin -23
)(sin |cos |x x =
∴
dx x x ?
-π
5
3sin sin dx x x ?=
π
23)(sin |cos |dx x x dx x x 23
2
20
2
3
)(sin cos
)(sin cos ??
-
=
π
ππ
?
?
-
=
π
π
π
2
23
2
23
sin )(sin sin )(sin x d x x d x π
π
π
2
2
5
20
25)(sin 5
2)
(sin 5
2x x -
=
.5
4=
例4 (E04) 求定积分?
++4
122dx
x x .
解 令,12+=x t 则,2
12
-=t x ,
tdt dx =当0=x 时，,1=t 当4=x 时，,3=t 从而
dx x x ?
++40
1
22tdt t
t ?
+-=
3
1
2
2
21
?
+=
3
1
2
)3(21
dt
t
3
1333121??? ??+=t t ??
??????? ??+-??? ??+=331932721.322=
例5 (E05) 当)(x f 在],[a a -上连续, 则 (1) 当)(x f 为偶函数,有 ?
?=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2
)(;
(2) 当)(x f 为奇函数,有 0)(=?
-a
a
dx x f .
证
?
-a
a
dx x f )(,)()(0
?
?+
=
-a
a
dx x f dx x f 在上式右端第一项中令,t x -=则
?
-0
)(a
dx x f ?
--
=0
)(a
dt t f ?
-=
a
dt t f 0
)(,)(0
?
-=
a
dx x f
(1)当)(x f 为偶函数，即),
()(x f x f =-?
-a
a
dx x f )(?
?
+
=
-a
a
dx x f dx x f 0
)()(;)(2
?
=a
dx x f
(2)当)(x f 为奇函数，即),
()(x f x f -=-?
-a
a dx x f )(?
?
+
=
-a a dx x f dx x f 0
)()(.0=
例6 (E06) 计算定积分
?
-+1
1
2
)sin |(|dx x x x .
解 因为积分区间对称于原点，且2||x x 为偶函数,2sin x x ?为奇函数，所以
?
-+11
2
)sin ||(dx x x x ?
-=
11
2
||dx x x ?
=1
3
2
dx x 1
4
4
2x
?
=.2
1=
例7 计算.11cos 2112
2dx x
x x x -+
+-?
解 原式?
?
---+
+
-+
=
11
2
11
22
11cos 112dx
x
x x dx x
x
偶函数 奇函数
?
-+
=10
2
2
114
dx x
x ?
----
=10
2
2
2
)
1(1)
11(4
dx x x x ?
--
=1
2
)11(4
dx
x
?
--=1
2
14
4dx x .4π-=
单位圆的面积
例8 (E07) 若)(x f 在[0, 1]上连续, 证明 (1) ;)(cos )(sin 2
/0
2
/0
?
?=
ππdx x f dx x f (2)
,)(sin 2
)(sin 0
?
?
=
π
π
π
dx x f dx x xf
由此计算
.cos
1sin 0
2
?
+π
dx x
x x
证 (1) 设t x -=
2
π?0,=-=x dt dx ?2
,2
ππ=
=x t ?,0=t
?
2
)(sin π
dx x f ????
??
???? ??--
=0
2
2sin π
πdt t f ?
=
2
)(cos π
dt t f ;
)(cos 2
?
=
π
dx x f
(2) 设t x -=π?0,=-=x dt dx ?ππ==x t ,?,0=t
?
π
)(sin dx x xf ?---
=0
)][sin()(π
ππdt t f t ,)(sin )(0
?-=π
πdt t f t
??
-
=π
π
π
)(sin )(sin dt
t tf dt t f ,)(sin )(sin 0
?
?
-
=π
π
π
dx x xf dx x f
.)(sin 2
)(sin 0
?
?
=
∴
π
π
πdx x f dx x xf
?
?
+=
+π
π
π
2
2
cos
1sin 2cos
1sin dx x
x dx x
x x ?
+-
=π
π
2
)(cos cos
112x d x
[].4
442)arctan(cos
2
2
0π
ππππ
π
=??? ??
--
-
=-
=x
定积分的分部积分法
例9 (E08) 计算定积分.arcsin 2
/10?xdx
解 令,arcsin x u =,dx dv =则,12
x
dx du -=
,x v =
?
2
10
arcsin xdx ?
--
=21
2
21
01]arcsin [x
xdx x x ?
--+?=21
2
2
)
1(112
1
621x d x
π
21
2
]1[12
x -+=
π
.12
312
-+
=π
例10 (E09) 求定积分?
+4
/0
2cos 1πx
xdx .
解 ,c o s 22c o s 12x x =+
∴
?
+4
2cos 1π
x
xdx ?
=
40
2
cos 2π
x
xdx ?
=
4
)(tan 2
π
x d x ?
-
=
40
40tan 21
]tan [2
1π
π
xdx x x
40]sec [ln 2
18
π
π
x -
=
.4
2ln 8
-
=
π
例11 求?
2
/0
2
sin πxdx x
解 由分部积分公式得
?
2
2
sin π
xdx x ?
-=
2
2)cos (π
x d x ?
+
-=2
2
20
2
)(cos )
cos (π
π
x xd x x ?
=2
cos 2
π
xdx
x
再用一次分部积分公式得
?
2
cos π
xdx x ?
=
2
)(sin π
x xd ?
-
=2
2
sin sin π
πxdx x
x 20
cos 2
π
πx
+=
12
-=
π
从而?2
2sin π
xdx x ?=20
cos 2π
xdx x .2-=π
例12 (E10) 计算定积分
?
--1
2
/11
2dx e
x . 解 令,12-=x t 则,dx tdt =当2
1=x 时, ;0=t 当1=x 时, ;1=t
于是有?
?---
=
1
1
2/11
2dt te
dx e t
x
再使用分部积分法，令,t u =,dt e dv t -=则,dt du =.t e v --= 从而?-1
0dt te t
?
--+
-=1
10
dt e te
t
t
1
)
(1t
e
e
---
=.21e
-
=
例13 (E11) 求定积分
?
-2
2
|ln |e
e
dx
x
x .
解 因为在]1,[2-e 上,0ln ≤x 在],1[2e 上,0ln ≥x 所以应分两个区间进行积分，于是
?
-2
2
|ln |e
e
dx x
x ?
?
+
-=
-2
2
1
1
ln ln e
e
dx x
x dx x
x ?
?
+
-
=-2
2
1
1
)2(ln )2(ln e
e
x xd x xd
?
--+-=112
2
2)
ln 2(e
e
dx x
x x ?
-
+2
2
1
1
2)ln 2(e
e dx
x x x
2
2
1
1
4444e e
x
e x
e
-++-=
-).1(81
--=e
例14 已知,6
1
2
ln 2π=
-?
x
t
e dt 求x .
解 令,1u e t =-则
?
-2ln 21
x
t
e dt ?
-+=
31
2
)1(2x
e du u
u u 31
arctan 2-=x
e u
1arctan 23
2--=
x
e π6
π=
故,4
1arctan
π=
-x
e 所以.2ln =x
例15 已知)(x f 满足方程
,)(13)(1
2
2
?
--=dx x f x
x x f
求)(x f .
解 设,)(1
2C dx x f =?则.13)(2x C x x f --=有,)13(1
22C dx x C x =--?
积分得C C C =-+
23
232
?,3=C 或,2
3=
C
所以,133)(2x x x f --=或.12
33)(2
x x x f --=
例16 (E12) 导出?
=
2
/0
sin
πxdx I n
n (n 为非负整数)的递推公式.
解 易见0I ?
=
20
π
dx ,2
π=
1I ?
=
20
sin π
xdx ,1=当2≥n 时
n I ?
=
20
sin π
xdx n
?
--
=20
1
cos sin
π
x d x n [
]
?
---+-=20
2
2
20
1
cos sin
)
1(cos sin
π
π
xdx x n x
x n n
?
--=-20
2
2
)sin 1(sin
)
1(πdx x x n n ?
?
---=-20
2
2
sin )
1(sin
)
1(π
π
xdx n xdx n n
n
n n I n I n )1()1(2---=-
从而得到递推公式.12--=
n n I n
n I
反复用此公式直到下标为 0 或 1，得
??
??
?+=??--?+=???
--?-=1
2,
3
2547612221222,221
4365223
2212m n m m m m m
n m m m m I n
π
其中m 为自然数.
注: 根据例8的结果，有.cos sin 20
20
?
?=
π
π
xdx xdx n
n
例17 利用上题结论计算.2
cos
5
?π
π
dx
解 令,
2
t x =则dt dx 2=, 于是
?
π
52
c o s dx x
?
=2
5
c o s 2
π
t d t 3
2
542??
=.1516=
例18 求函数dt t t x
x I )ln 21(1)(+=
?在],1[e 上的最大值与最小值.
解 ),ln 21()(x x x I +='令,0)(='x I 得驻点,0=x 2/1-=e x .03.6≈且)(x I '在],1[e 是恒大于0,故)(x I 在],1[e 上单调增加.
当1=x 时, )(x I 取最小值，最小值为;0)1(=I 当e x =时, )(x I 取最大值，最大值为).(e I
)(e I ?+=
e dt t t 1
)ln 21(?+=e
dt
t t t 1
)ln 2(???
?
????-+=
e
e
e
t
t t t
1212
1
241ln 2122
12
e = 即最大值,)(2e e I =最小值.0)1(=I
课堂练习
1.求定积分?
-+-2
/2
/2
2)
cos 21(|sin |ππθθθr r d .
2.设)(x f ''在[0, 1]上连续, 且,5)2(,3)2(,1)0(='==f f f 求.)2(1
?''dx x f x