六方晶格第一布里渊区

FIRST BRILLOUIN ZONE OF HEXAGONAL LATTICE

Studentproject WS10/11 by Leitner Matthias and Klinser Gregor

R Q S A L H T P U M K

jade分析物相及晶胞参数和晶粒尺寸计算过程

《无极材料测试技术》课程作业 对编号01N2009534的样品XRD测试数据进行物相分析，并计算其平均晶粒尺寸大小与晶胞参数。 1.物相分析过程 使用软件对样品XRD测试数据进行分析，以定性分析样品的物相。 1.1.数据的导入 将测试得到的XRD测试数据文件直接拖动到Jade软件图标上，导入数据，得到样品XRD衍射图（图1-1）。 图1-1数据导入后得到的XRD图 1.2.初步物相检索 右键点击键，弹出检索对话框，设定初步检索条件：选择所有类型的数据库；检索主物相（MajorPhase）；不使用限定化学元素检索（UseChemistry前方框不打钩）（如图1-2所示）。点击“OK”开始检索，得到的检索结果见图1-3。 从初步检索结果可以看出，最可能的物相有四个：CaB5O8(OH)B(OH)3(H2O)3（图1-3）、CaB6O10·5H2O（图1-4a）、（图1-4b）和C20H20N16O8S4Th（图1-4c）。其中前三个均为无机物，第四个为有机金属化合物。 从结果分析，由图1-4b、c中可以看出，这两种物相的标准衍射峰没有与样品衍射峰中的最强峰匹配，因此样品中不含有第三、四中物相或者其主晶相不是第三、四种物相。而从图1-3以及图1-4a中可以看出，两种物相的衍射峰与样品的衍射峰几乎都能对上，并且强弱对应良好，因此样品中主晶相可能为CaB5O8(OH)B(OH)3(H2O)3或CaB6O10·5H2O 或者两者的混合物。 图1-2初步物相检索条件设定 图1-3经过初步检索得到的检索结果 a

b c 图1-4初步检索结果 1.3.限定条件的物相检索 初步分析结果，现对样品进行限定条件检索，检索条件设定如图1-5所示。检索结果见图1-6。 通过限定条件检索，发现CaB5O8(OH)B(OH)3(H2O)3与CaB6O10·5H2O两物相的衍射峰与样品衍射峰均能对应。虽然CaB5O8(OH)B(OH)3(H2O)3的FOM值较小，但是从图上可以看出其标准衍射峰与样品峰（包括最强峰）有很小偏离，而CaB6O10·5H2O的衍射峰与样品峰能够更好的对应（尤其是较强的衍射峰）。由于没有被告知样品的来历（合成或是天然矿物），因此，样品主晶相中一定含有CaB6O10·5H2O，可能有 CaB5O8(OH)B(OH)3(H2O)3以及和C20H20N16O8S4Th。 如果样品为人工合成，考虑到Th元素的稀少性以及第四种物相元素与前三种差别较大，可以排除样品中含有此物相的可能性；但是若为天然矿物，则无法做出类似判断。 CaB6O10·5H2O物相标准PDF卡号12-0528，卡片在附件中。 图1-5限定条件物相检索前的条件设定 图1-6经过限定元素后得到的分析结果 2.平均晶粒尺寸计算 Jade计算平均晶粒尺寸的基本原理就是谢乐公式，以衍射峰半高宽来计算。由于没有标准样品的衍射数据来制作仪器半高宽补正曲线，故计算过程中选择ConstantFWHM 选项作为半高宽补正。 2.1.数据导入 将编号01N2009534的文本数据拖动到Jade程序中，得到样品衍射图（图2-1）。 图2-1数据导入后得到的XRD图 2.2.物相检索 不对数据做任何处理，直接进行物相检索，根据1中的物相分析结果，认为主晶相为CaB6O10·5H2O，不考虑其他物相。检索结果如图2-2所示。 图2-2初步检索得到的检索结果 2.3.扣除背底、Kα2 点击键显示已有的背底（图2-3），然后再次点击键，去除背底以及Kα2（图2-4）。

高中化学选修三晶胞参数计算

晶胞参数的计算 1. 均摊法确定晶体的化学式 给出晶体的—部分(称为晶胞)的图形，要求确定晶体的化学式：通常采用均摊法．均摊法有如下规则，以NaCl的晶胞为例： ①处于顶点的粒子，同时为8个晶胞所共有，所以，每个粒子只分摊1/8给该晶胞． ②处于棱上的粒子，同时为4个晶胞所共有，所以，每个粒子只分摊1/4给该晶胞． ③处于面上的粒子，同时为2个晶胞所共有，所以，每个粒子只分摊1/2给该晶胞． ④处于晶胞内部的粒子，则完全属于该晶胞． 由此算出在NaCl的晶胞中： 含数：

含数：

故NaCl晶体中，和 数目之比为1∶1． 2. 晶胞参数的计算 根据（1）ρ= m/V （2）V=a3 例.（1）化学教材中图示了NaCl晶体结构，它向三维空间延伸得到完美晶体。NiO（氧化镍）晶体的结构与NaCl 相同，Ni2+与最临近O2-的核间距离为a×10-8cm,计算NiO晶体的密度（已知NiO的摩尔质量为mol）。 （2）天然和绝大部分人工制备的晶体都存在各种缺陷，例如在某氧化镍晶体中就存在如图所示的缺陷：一个Ni2+空缺，另有两个Ni2+被两个Ni3+所取代。其结果晶体仍呈电中性，但化合物中Ni 和O的比值却发生了变化。某氧化镍样品组成,试计算该晶体中Ni3+与Ni2+的离子个数之比。[练习]

1. 由钾和氧组成的某种离子晶体中含钾的质量分数为78/126，其阴离子只有过氧离子(O22－)和超氧离子(O2－)两种。在此晶体中，过氧离子和超氧离子的物质的量之比为?? A. 2︰1 B. 1︰1 C. 1︰2 D. 1︰3 2．食盐晶体如右图所示。在晶体中，?表示Na+，?表示Cl?。已知食盐的密度为?g / cm3，NaCl 摩尔质量M g / mol，阿伏加德罗常数为N，则在食盐晶体里Na+和Cl?的间距大约是 ?? A?cm B? cm

固体物理第四章

Chapter 4 能带理论（energy band theory ） 一、简要回答下列问题（answer the following questions ） 1、波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？ ［答］波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为321,,b b b ，而波矢空间的基矢分别为321332211,,;/,/,/N N N N N N b b b 分别是沿正格子基矢321,,a a a 方向晶体的原胞数目。 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *)(321Ω=??b b b 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 N N N N *)(3 32 21 1Ω= ??b b b 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N 。由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。也就是说，波矢点在倒格子空间是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的。 2、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？ ［答］电子的能带依赖波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区的边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢G h 正交，边界是G h 的中垂面，则禁带的宽度Eg=2|Vn|，Vn 是周期势场的付里叶级数的系数。 不论何种电子，在布里渊区的边界上，其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区的边界正交。 3、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ ［答］能带顶部是能带的极大值的位置，所以 022 ??k E ，晶格对电子作正功，有效质量大于零。 4、单电子理论是怎样将多体问题简化为周期场中的单电子问题的？ [答]单电子理论是在经过几步近似之后，将多体问题转化为单电子问题，以单电子在周

jade分析物相与晶胞参数和晶粒尺寸计算过程

《无极材料测试技术》课程作业 对编号 01N2009534 的样品 XRD 测试数据进行物相分析，并计算其平 均晶粒尺寸大小与晶胞参数。 1. 物相分析过程 使用 MDI Jade5.0 软件对样品 XRD 测试数据进行分析，以定性分析样品的物相。 1.1. 数据的导入 将测试得到的 XRD 测试数据文件 01N2009534.txt 直接拖动到 Jade 软 件图标上，导入数据，得到样品 XRD 衍射图（图 1-1）。 图 1-1 数据导入 Jade5.0 后得到的 XRD 图 1.2. 初步物相检索 右键点击 键，弹出检索对话框，设定初步检索条件：选择所有类 型的数据库；检索主物相（ Major Phase ）；不使用限定化学元素检索（ Use Chemistry 前方框不打钩）（如图 1-2 所示）。点击“ OK ”开始检索，得到的检索结果见图 1-3。 从初步检索结果可以看出，最可能的物相有四个： 5 8 323（图 1-3 ）、 CaB 6 O 10 · 5H 2 O （ 图 1-4a ）、 CaB O (OH)B(OH) (H O) 2.62 Al 9.8 Si 26.2 O 72 H 4.56（图 1-4b ）和 C 20 20 16 8 4（图 1-4c ）。其中前 Ca H N O S Th 三个均为无机物，第四个为有机金属化合物。

从结果分析，由图 1-4b、c 中可以看出，这两种物相的标准衍射峰没有与样品衍射峰中的最强峰匹配，因此样品中不含有第三、四中物相或者其主晶相不是第三、四种物相。而从图 1-3 以及图 1-4a 中可以看出，两种 物相的衍射峰与样品的衍射峰几乎都能对上，并且强弱对应良好，因此样品中主晶相可能为 CaB5O8(OH)B(OH) 3(H 2O) 3或 CaB6 O10·5H2O 或者两者的混合物。 图 1-2 初步物相检索条件设定 图 1-3 经过初步检索得到的检索结果

晶格常数的精确测定

晶格常数的精确测定
① 为什么要精确测定晶格常数？ ② 造成晶格常数误差的原因有哪些？ ③ 用哪些衍射线计算晶格常数误差较小？为什么？ ④ 如何获得精确的晶格常数？

晶格常数的精确测定
1. 晶格常数精确测定的原理； 2. 衍射仪法的主要误差来源； 3. 外推法精确测定晶格常数； 4. 精确测定晶格常数应用举例；

1.晶格常数精确测定的原理
? 点阵常数是晶体物质的重要参量，它随物质的化学成分和 外界条件（温度和压力）而发生变化。 ? 在金属与合金材料的研究过程中所涉及到的许多理论和实 际应用问题，诸如，晶体物质的键合能、密度、热膨胀、 固溶体类型、固溶度、固态相变、宏观应力等，都与点阵 常数变化密切相关。 ? 所以可通过点阵常数的变化揭示上述问题的物理本质及变 化规律。但是，在这些过程中，点阵常数的变化一般都是 很小的（约为 10-4? 数量级），因此必须对点阵常数进行 精密测定。

1.晶格常数精确测定的原理
Sialon的结构
图 1. SiO2–Si3N4–Al2O3–AlN等温截面图(1700 ℃ )
?α-Sialon: MxSi12-(m+n) Alm+n OnN16-n 等轴晶系，硬度高 ?β-Sialon:Si6-ＺAlＺOＺN8-Ｚ,0

1.晶格常数精确测定的原理
2θ: 26.512°/100; 20.076 °/76; 37.051 °/50

§5.5 布里渊区

§5.5 布里渊区 本节我们举例说明二维和三维晶格的布里渊区。 一、二维正方格子 正格子原胞基矢 a a a a == 2, 1； 倒格子原胞基矢 a b a b π=π=22,21 。 如图5.10所示，倒格子空间离原点最近的倒格点 有四个，相应的倒格矢为 b b b b 2, 2,1,1--， 它们的垂直平分线的坐标是 a k x π±= 及 a k y π±= 这些垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区。它也是一个正方形，其中一些特殊点和线有惯用的符号表示， 中心：Γ； 边界线中心：X ； 角顶点：M; ΓX 线：?; ΓM 线：∑。 离Γ点次近邻的四个倒格点相应的倒格矢是 b b b b b b b b 21,21),2(1,21+--+-+ 它们的垂直平分线，同第一布里渊区边界围成的区域合起来成为第二布里渊区，这个区的各部分别平移一个倒格矢，可以同第一个区重合。同理可得第三，第四，……，一系列布里渊区。 二、体心立方格子 正基矢 )(2 1k j i a a ++-=， )(2 2a a +-= ， )(2 3a a -+= 。 可证倒基矢 )(21k j a b +π= ， )(22k i a b +π= ， )(23i j a b +π= 。 （习题：证明bc c 的倒格子是fcc 。） 倒格矢： 图 5.10

])21()31()32[(2332211k n n j n n i n n a b n b n b n G n +++++π=++= 离原点最近的有12个倒格点，其坐标可一般地写为 )2 1,31,32(2n n n n n n a +++π. 具体写出是 )0,1,1(2a π， )0,1,1(2a π )0,1,1(2a π， )0,1,1(2a π )1,0,1(2a π， )1,0,1(2a π )1,0,1(2a π， )1,0,1(2a π )1,1,0(2a π， )1,1,0(2a π )1,1,0(2a π， )1,1,0(2a π 相应的倒格矢长度为 π=22),,(321a n n n G 这12个倒格矢的中垂线围成菱形正面体，称为简约布里渊区，如图5.11所示，其体积正好是倒格子原胞的大小。 简约区中的高对称点和线（如图5.11）： （点）)0,0,0(2:a πΓ；)0,0,1(2:a H π；)21,21,21(2:a P π；)0,2 1,21(2:a N π； （线）)10(),0,0,(2:<δ<δπ?a ， 图5.11

如何用VASP计算晶格常数

我们用Pd金属作为例子。 Pd金属的实验上的晶格常数为3.89A。在这里，我们用V ASP计算它的晶格常数。 首先将Pd所对应的POTCAR文件拷贝到目录下。然后准备好INCAR和KPOINTS文件。POSCAR文件我们将通过一个tcsh的script来产生。 KPOINTS文件可以如下： Monkhorst Pack Monkhorst Pack 11 11 11 0 0 0 INCAR文件可以如下： SYSTEM = Pd bulk calculation Startparameter for this run: PREC = Accurate ISTART = 0 job : 0-new 1-cont 2-samecut ICHARG = 2 charge: 1-file 2-atom 10-const ISPIN = 1 spin polarized calculation? Electronic Relaxation 1 EDIFF = 0.1E-03 stopping-criterion for ELM LREAL = .FALSE. real-space projection Ionic relaxation EDIFFG = 0.1E-02 stopping-criterion for IOM NSW = 0 number of steps for IOM IBRION = 2 ionic relax: 0-MD 1-quasi-New 2-CG ISIF = 2 stress and relaxation POTIM = 0.10 time-step for ionic-motion TEIN = 0.0 initial temperature TEBEG = 0.0; TEEND = 0.0 temperature during run DOS related values: ISMEAR = 0 ; SIGMA = 0.05 gaussian smear Electronic relaxation 2 (details) Write flags LWA VE = F write WA VECAR LCHARG = F write CHGCAR 产生POSCAR和计算晶格常数的工作可以用以下的PBS script来完成。

固体物理基础

固体物理基础 本课程侧重固体物理学的基本概念及理论框架的理解性掌握 第一章晶体结构 1. 固态物质的分类及其结构特点 答：（1）晶体：原子在三维空间周期地长程有序排列 （2）准晶：原子有长程准周期平移序和非晶体学旋转对称性的固态有序相 （3）非晶：原子排列短程有序，长程无序 2. 根据布拉菲晶胞选取的具体原则，证明不存在底心四方点阵或面心四方点阵 答：布拉菲晶胞的选取原则： （1）反映出点阵的最高对称性；（2）相等的棱或角数量应最多； （3）直角数目应最多；（4）在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。 底心四方点阵可以转化为体积更小的简单四方点阵；（画图证明） 面心四方点阵可以转化为体积更小的体心四方点阵。（画图证明） 3. 基于CsCl晶体，讨论点阵与晶体结构 答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点是等同点，周围环境相同，只能有14种类型； 晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，能组成各种类型的排列，实际存在的晶体结构是无限的。 晶体结构=空间点阵+基元。CsCl晶体为CsCl结构，简单立方点阵，基元为1Cs++1Cl-。4. 分析并画出二维正方点阵的第一和第二布里渊区。注意正、倒空间转换。 答：布里渊区为倒易空间中的概念，首先做出二维正方点阵的倒易点 阵，以(1, 0)、(-1, 0)、(0, 1)、(0, -1)倒易矢量的中垂面围成第一布里渊 区；以(1, 1)、(1, -1)、(-1, 1)、(-1, -1)倒易矢量的中垂面围成第二布里 渊区。 5. 晶体中缺陷的基本类型有哪些 答：（1）点缺陷（空位、间隙原子、俘获电子的空位、杂质原子等，如：弗兰克尔缺陷、肖特基缺陷、替位式杂质原子、色心、极化子等） （2）线缺陷：位错（刃位错、螺位错、混合位错、不全位错、超位错等） （3）面缺陷：表面、界面、层错、小角度晶界、大角度晶界、孪晶界、相界第二章统计热力学和量子力学基础 1. 固体中热力学平衡态的物理含义 答：给定温度下，热力学平衡态满足①系统的体积熵最大；②系统的自由能最小；对于一个具有1023个粒子数的系统，分子量子态的组合数目是个大数：假定分子总数和系统总能固定，存在这样一个分布（N1,N2,…，N i,…,N i代表E i+d E范围内分子

习题 研究生

固体物理练习题 其中带* 的为附加题 第1讲晶体结构 1.1画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石； （2）体心立方金属、氯化铯。 1.2利用钢球密堆模型，求致密度： （1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。 1.3证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。又：金属Na在273 K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。 1.4画出正四面体的所有基本对称操作。 1.5写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积 1.6金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109o28'。 1.7画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。 1.8指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。 1.9如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明 （1）对于体心立方格子，n i全部为偶数或奇数； （2）对于面心立方格子，n i的和为偶数。

1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。 1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为 123222 2a a a a c = +=- + =a i j a i j a k 试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin 区。 1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl （1）证明倒格矢123h k l =++G b b b 垂直于这个晶面； （2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为()2/d h k l π=G ，对于简单立方晶格有 2 2 2 2 2 ()/()d h k l a h k l =++。 1.13 证明第一Brillouin 的体积为3 (2)/c V π，其中V c 是晶体原胞的体积。 1.14 * 试求面心立方结构，体心立方结构的结构因子，并讨论衍射的相消条件。 1.15 * 双原子线，设有A-B 键长为a /2，ABAB 排列……AB ，原子A 、B 的散射因子分别为f A ，f B ，X 射线束垂直作用于原子线。 （1）证明干涉条件为n λ = a cos θ，其中θ为衍射束与原子线之间的交角。 （2）倒格矢G = hb ，h 为整数，证明h 为奇数时衍射束的强度正比于│f A ? f B │2 ，h 为偶数 时正比于│f A + f B │2。

简约布里渊区形状及特殊k点坐标

能带计算必备：简约布里渊区形状及特殊K点坐标，直观体现出空间构型

Symbol Description 符号描述 Γ Center of the Brillouin zone 布里渊区中心 Simple cube 简单的立方体 M Center of an edge 边的中心 R Corner point 转折点；拐角点 X Center of a face 面心 Face-centered cubic 面心立方 K Middle of an edge joining two hexagonal faces 连接两个六角形面的边的中心 L Center of a hexagonal face 六角形面心 U Middle of an edge joining a hexagonal and a square face 连接六角形面和四边形面的边的中心W Corner point 转折点；拐角点 X Center of a square face 四边形面心 Body-centered cubic 体心立方 H Corner point joining four edges 四边的交点 N Center of a face 面心 P Corner point joining three edges 三边的交点 Hexagonal 六方晶系 A Center of a hexagonal face 六角形面心 H Corner point 转折点；拐角点 K Middle of an edge joining two rectangular faces 连接两个矩形面的边的中心 L Middle of an edge joining a hexagonal and a rectangular face 连接六角形面和矩形面的边的中心M Center of a rectangular face 矩形面心

固体物理40题

1. 设晶体中的每个振子的零点振动能.试用德拜模型求晶体的零点振动能. 证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能0E 就是各振动模零点能之和。()()()0000 1 2 m E E g d E ωωωωωω== ? h 将和()22332s V g v ωωπ=代入积 分有 4 02339168m m s V E N v ωωπ= =h ，由于0 98 m B D B D k E Nk ωθθ==h 得 一股晶体德拜温度为~2 10K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟． 2. 试画出二维长方格子的第一、第二布里渊区. 3. 证明：在磁场中运动的布洛赫电子，在K 空间中,轨迹面积A n 和在r 空间的轨迹面积S n 之间的关系A n=(qB hc )2 S n ()d k d r c qv B q B dt dt ?=-?=--?r r r u r h 解： dk qB dr dt c dt ∴ =?h t k qB r c h 两边对积分,即 = 22()()n n A r c S k qB ∴ ==h 4. 证明：面心立方晶格的倒格子为体心立方. 解：面心立方晶格的基矢为 ()()() a a a a j , b , c 222 k i k i j =+=+=+r r r r r r r r r 则面心立方原胞体积3V []4 a a b c ??=r r r = a 2 b c V π* ?=r r u u r 面心立方倒格矢 ()()2384a i k i j a π=?+?+r r r r () a i j k π-++r r r 2= () b a i j k π* =-+u u r r r r 2同理： ，() a c i j k π*=+-u u r r r r 2 a b c *** u u r u u r u u r 显然，，为体心立方原胞基矢，因此面心立方晶格倒格子为体心立方 5. 证明：根据倒格子的定义证明简单立方格子体积与其倒格子体积成反比 解:设简单立方晶格常数为a ，则基矢为a ,b ,c ,V a ai a j ak ===r r r r r r 3 体积=

能带理论概述1

能带理论概述 摘 要：一般来说，物质具有四种状态：即气态，等离子体态，液态和固态。凝聚态物理研究的是后面两种状态。固态和液态是人类经常接触的物质形态，它们的宏观变化规律人类早已有所了解，但大多属于表象规律。从结构来说，凝聚态物质比气态要复杂得多，因为凝聚态物质的原子间距与原子本身的线度在数量级上大致相同，原子间有较强的相互作用，经典理论不适于处理凝聚态的微观过程。能带理论是凝聚态物理中非常重要的理论。本文简要说明能带理论主要思想。 关键词：能带理论 电子输运性质 费米面 1能带理论 固体能带理论是固体物理学中最重要的基础理论，它的出现是量子力学，量子统计理论在固体中应用的最直接，最重要的结果。能带理论成功的解决了索末菲半经典理论处理金属所遗留下来的问题，为其后固体物理学的大发展提供了条件。1926年布洛赫在瑞士的苏黎世读大学时参加了薛定谔第一次关于他的波动力学的报告会，了解了微观粒子的运动规律。1928年初海森伯认识到量子力学可能在固体的研究中有丰硕的成果，他为布洛赫提出了两个亟待解决的问题，一个是铁磁性理论，揭示外斯分子场理论的实质；另一个是金属电导理论。 布洛赫非常了解经典电子论和半经典电子论的成功和困难他从电子的波动性入手，物理图像的启发来自海特勒，伦敦和洪德对分子中电子特性的论述，以及耦合摆运动的迁移现象。数学上它采用传统的傅里叶展开法来处理最简单的一维单原子势场中的电子运动问题。发现薛定谔方程的解与自由电子德布罗意波的的解差一个周期性的调幅因子： ()()ikr k k x e u x ψ= 其中 ()()k k u x u x na =+ 这n 为任意整数，a 为一位单原子链中的原子间距（晶格常数），ikr e 描述平面波，()k u x 是 平面波的调幅因子。这一理论可以概括为在周期性势场中运动的电子波函数具有调幅平面波的形式，调幅因子食欲晶格周期性相同的周期函数，这种电子的波函数成为布洛赫函数。这一理论就是布洛赫定理，是现代固体理论中的重要基础。 经过完善之后，能带理论的基本内容是：晶体中电子的允许能级形成能带；能带既不象孤立原子中的分立能级，也不像无限空间中自由电子的连续能级，而是由准连续的能级构成；相邻的两个能带之间的能量范围为禁带；在绝对零度，被电子填充满的能量最高的电子能带为价带通常价带中的电子对应于组分原子中的价电子；在能带之上，部分被电子占据的能带称为导电带，完全没有电子占据的能带称为空带。 2 费米面 费米面概念是能带理论的又一重要内容。索末费和贝特在1933年发表了《金属电子论》的著名论评，全面奠定了金属理论的基础。贝特利用布洛赫的能带理论研究电子在布里渊区中的填充情况时首先提出来费米面的概念，当时称为“波数空间的等能面”。通过在在其附近电子对固体一些重要物理性质的决定性作用，人们认识到了费米面的重要性。

布洛赫波

和一个周期函数（布洛赫波包）相乘得到。其中与势 ），其中为晶格周期 平面波波矢（又称

在的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为 上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢是一个守恒量（以倒 ?黄昆原著，韩汝琦改编，《固体物理学》，高等教育出版社，北京，1988，ISBN 7-04-001025-9?Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (Wiley: New York, 1996). ?Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976). ?Felix Bloch, "über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik52, 555-600 (1928). ?George William Hill, "On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon," Acta. Math.8, 1-36 (1886). （本文初版于1877年，后曾被私下传阅）。 ?Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients p ériodiques," Ann. école Norm. Sup.12, 47-88 (1883). ?Alexander Mikhailovich Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion (London: Taylor and Francis, 1992).（李雅普洛夫的博士论文，1892年完稿，稳定 性理论的奠基之作） 个人工具

不同点阵的晶格常数计算公式

三斜点阵 (α≠β≠γ；a ≠b ≠c ) 1d ?kl 2=(1?cos 2α?cos 2β?cos 2γ+2cos αcos βcos γ)?1×[(?2a 2)sin 2α+(k 2b 2)sin 2β+(l 2c 2)sin 2γ+(2kl bc )(cos βcos γ?cos α)+( 2l?ca )(cos γcos α?cos β)+(2?k ab )(cos αcos β?cos γ)] 或者 1d ?kl =(?2a 2)sin 2α+(k 2b 2)sin 2β+(l 2c 2)sin 2γ+2(kl bc )(cos βcos γ?cos α)+2(l?ca )(cos γcos α?cos β)+2(?k ab )(cos αcos β?cos γ)1?cos 2α?cos 2β?cos 2γ+2cos αcos βcos γ 单斜点阵 (α=β=90°，γ<90°;a ≠b ≠c ) （c 轴和a ，b 垂直，即α=β=90°，γ<90°将α=β=90°代入前式中即得此式） 1 d ?kl 2=?2a +k 2b +(l 2c )sin 2γ?2(?k ab )cos γ1?cos 2γ=?2 a 2sin 2γ+k 2 b 2sin 2γ+l 2 c 2?2?k cos γ ab sin 2γ 正交点阵 (α=β=γ=90°；a ≠b ≠c ) （α=β=γ=90°，代入单斜点阵公式中即得此式） 1 d ?kl 2=?2a 2+k 2 b 2+l 2 c 2 四方点阵 (α=β=γ=90°；a =b ≠c ) （α=β=γ=90°，a =b 代入单斜点阵公式中即得此式）

半导体物理复习资料

第一章 半导体中的电子状态 1. 如何表示晶胞中的几何元素？ 规定以阵胞的基矢群为坐标轴，即以阵胞的三个棱为坐标轴，并且以各自的棱长为单位，也称晶轴。 2. 什么是倒易点阵（倒格矢）？为什么要引入倒易点阵的概念？它有哪些基本性质？ 倒格子： 倒格子空间实际上是波矢空间，用它可很方便地将周期性函数展开为傅里叶级数，而傅 里叶级数是研究周期性函数的基本数学工具。 3. 波尔的氢原子理论基本假设是什么？ （1）原子只能处在一系列不连续的稳定状态。处在这些稳定状态的原子不辐射。（2） 原子吸收或发射光子的频率必须满足。（3）电子与核之间的相互作用力主要是库仑力， 万有引力相对很小，可忽略不计。（4）4. 波尔氢原子理论基本结论是什么？ （1） 电子轨道方程：02 2 4πεe r mv = （2） 电子第n 个无辐射轨道半径为：2022me h n r n πε= （3） 电子在第n 个无辐射轨道大巷的能量为：222042821h n me mv E n n ε== 5. 晶体中的电子状态与孤立原子中的电子状态有哪些不同？ （1）与孤立原子不同，由于电子壳层的交迭，晶体中的电子不再属于某个原子，使得 电子在整个晶体中运动，这样的运动称为电子共有化运动，这种运动只能在相似壳间进 行，也只有在最外层的电子共有化运动才最为显著。（2）孤立原子钟的电子运动状态由 四个量子数决定，用非连续的能级描述电子的能量状态，在晶体中由于电子共有化运动 使能级分裂为而成能带，用准连续的能带来描述电子的运动状态。 6. 硅、锗原子的电子结构特点是什么？ 硅电子排布：2 262233221p s p s s 锗电子排布：22106262244333221p s d p s p s s 价电子有四个：2个s 电子，2个p 电子。 7. 硅、锗晶体能带是如何形成的？有哪些特点？ （1） 当硅、锗组成晶体后，由于轨道杂化的结果，其4个价电子形成sp 3杂化轨道。 （2）Sp 3杂化轨道能级平均分裂成上下两个能带，中间隔一禁带，着两个能带

VASP计算有限温度下的晶格常数

一般VASP算得的晶格常数是在0k下的，现在如果要算300k下的晶格常数，用VASP可否实现。 一种近似是认为二者一样。反正是在常温常压下，距离熔点很远。 一般来说，VASP计算不能加上温度，除非是做分子动力学的计算，来模拟固定在一定温度下稳定性。要计算高温下固体的能量和晶格常数、体积,可以计算出不同晶格常数（也就是体积）固体的声子振动频率，再得到自由能，利用F(V)的关系得到在某一个温度下的平衡体积。（这种办法是一种准谐近似），PRB 上面有很多类似的文章。 有人会问： (1)既然涉及到温度都只能是MD了,为何还能计算高温下的声子振动频率? 答：这是因为MD计算也能求解出声子的振动频率，这个在 Rev.Mod.Phys.2001的一篇文章就有提到。 (2)得到声子的振动频率在VASP中是设定IBRION=5,但是只能计算Gama 点的振动频率,你的意思是计算Gama点的频率? 答：VASP可以任何k点的声子振动频率，不局限于Gamma点。手册上有提到的，要计算其他非Gamm点的频率需利用一个PHONON的程序。 (3)用VASP计算后的OSZICAR中就直接输出自由能呀!为何还通过计算声子频率再得到自由能呢?怎样得到的呢? 答：VASP输出的自由能只是电子部分的，非原子的自由能。看看VASP 在comput.mat.sci.上面的一篇文章就知道了vasp的理论基础。G. Kresse and J. Furthmüller, "Efficiency of ab-initio total energy calculations for metals and semiconductors using a plane-wave basis set", Comput. Mat. Sci. 6, 15-50 (1996). 如果希望采用准谐近似来计算热学性质，可以参看这样的一篇文章（尽管是对金属单质体系的） PHYSICAL REVIEW B, VOLUME 65, 064302，2002 Ab initio calculation of the thermal properties of Cu: Performance of the LDA and GGA

固体物理考题及答案二

目的:考核基本知识。 1、晶格常数为的体心立方晶格，原胞体积等于 C 。 A. B. C. D. 2、面心立方密集的致密度是 B 。 A. 0.76 B. 0.74 C. 0.68 D. 0.62 3、表征晶格周期性的概念是 A 。 A. 原胞或布拉伐格子 B. 原胞或单胞 C. 单胞或布拉伐格子 D.原胞和基元 4、晶格常数为的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 D 。 A. B. C. D. 5、晶格常数为a的简立方晶格的(010)面间距为 A 。 A. a B. 3 a a D. 5 a C. 4 6、晶格振动的能量量子称为 C A. 极化子 B. 激子 C. 声子 D. 光子 7、由N个原胞组成的简单晶体，不考虑能带交叠，则每个s能带可容纳的电子 数为 C 。 A. N/2 B. N C. 2N D. 4N 8、二维自由电子的能态密度，与能量的关系是正比于 B 。 A. B. C. D. 9、某种晶体的费米能决定于 C 。 A. 晶体的体积 B.晶体中的总电子数 C.晶体中的电子浓度 D. 晶体的形状 10、晶体结构的实验研究方法是 A 。 A. X射线衍射 B.中子非弹性散射 C.回旋共振 D.霍耳效应

1、波矢空间与倒格空间（或倒易空间）有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。 也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此, 在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 2、在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符. 3、解释导带、满带、价带和带隙 对于导体：电子的最高填充能带为不满带，称该被部分填充的最高能带为导带，在电场中具有被部分填充的能带结构的晶体具有导电性。 对于绝缘体、半导体：称电子占据了一个能带中所有状态的允带为满带；没有任何电子占据（填充）的能带，称为空带；最下面的一个空带称为导带；导带以下的第一个满带，或者最上面的一个满带称为价带；两个能带之间，不 321 b b b 、、 32N N / / /321b b b 、、1N 321 a a a 、、*321) (Ω=??b b b N N b N b N b * 332211)(Ω=??

半导体物理期末考试填空题精

A 1、设半导体某能带中电子能量为()k E ，则能带底部电子的倒有效质量为 *n m 1_______，能带底部附近电子的能量均为E(k)-E(0)=_________ 2闪峰矿中，一个原子与周围4个原子构成_______，一个原胞中包含__个原子， 3、半导体导带附近电子能量E(k)-E(0)= () 2 22* n 22M h z y x K K K ++，则K 空间中该处等 能面的形状为___________________________ 4，半导体中载流子的导电机制除了电子导电以外还有_______导电 5、当半导体的空位和间隙原子成对出现时，这样的缺陷称为__________缺陷，若只形成空穴而无间隙原子，则这样的缺陷称为__________缺陷 6，半导体锗导带底部的等能面_____个旋转椭球面，椭球的长轴沿_____方向及其等价方向 7，半导体导带底附近电子能量E(k)=* 22c 2/E n m k h +，则该处的状态密度为 q(E)=_______ 8，某本征半导体导带底和价带底的能级分别为c E 和v E ，且电子和空穴有效质量相等，则它的费米能级F E =________ 9，根据温度的不同，n 型半导体的杂质浓度电离可分为______区、中间电离区、______区、过渡区、和______区等五大区域 B 1，金刚石中一个碳原子和周围四个近邻原子构成______结构，它的晶格类型为________ 2、某平面波的表达式为()wt)r (k ,,?=i Ae t r ?，根据德布罗意波长关系与之相联系的自由电能量E=________，动量P_________ 3，在半导体中，导带底部的等能面是六个______面，当磁感应强度沿任意方向时，将观察到_____个共振吸收峰 4，IV 族元素磷掺入半导体硅中，将形成____型半导体，而Ⅲ族元素硼掺入硅中，将形成_____型半导体 5，设半导体体积为V ，若计入电自旋，则在k 空间中电子的状态密度为_________ 6，与基原子具有相同价电子的杂质称为______杂质