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高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》解析

【最新】《数列》专题解析(1)

一、选择题

1．设数列是公差

的等差数列，为前项和，若，则

取得最

大值时，的值为

A ．

B ．

C ．或

D ．

【答案】C 【解析】

，进而得到

，即

，

数列

是公差

的等差数列，所以前五项都是正数，

或时，

取最大值，故选C.

2．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）

A ．18

B ．24

C ．36

D ．72

【答案】C 【解析】【分析】

由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622

a a a a

S ++=?=?可得结果. 【详解】

∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，

∴1634657

66636222

a a a a S +++=?=?=?=，故选C. 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.

3．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为

n S ，则下列结论正确的是（）

A ．201920202S a =+

B ．201920212S a =+

C ．201920201S a =-

D ．201920211S a =-

【答案】D 【解析】【分析】

根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】

因为

1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，

所以201920211S a =-，选D. 【点睛】

本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.

4．已知数列{}n a 的通项公式是2

21sin 2n n a n π+??

???

，则12312a a a a +++???+=（） A ．0 B ．55

C ．66

D ．78

【答案】D 【解析】【分析】

先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+??

???

的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++???+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】

解：由题意得，当n 为奇数时，

213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+?????

?=+=+==- ? ? ??????

?，

当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+???

?=+==

? ????

所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2

n a n =，

所以12312a a a a +++???+

22222212341112=-+-+-???-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+???+-

(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+???++- 12341112=++++???++ 121+122

（）

78= 故选：D 【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.

5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中

“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（） A ．992 B ．1022

C ．1007

D ．1037

【答案】C 【解析】【分析】

首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】

将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-

当135n =，135151351320122019a =?-=<，当136n =，136151361320272019a =?-=>，故1,2,n =……，135数列共有135项．

因此数列中间项为第68项，681568131007a =?-=. 故答案为：C ．【点睛】

本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

6．执行下面程序框图输出S 的值为（）

A ．

2542

B ．

3764

C ．

1730

D ．

【答案】A 【解析】【分析】

模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当

6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657

S =

++?????++，利用裂项相消法即可求出S ．【详解】由题意可知，第1次循环时1

S =?，2i =，否；第2次循环111324S =

+??，3i =，否；第3次循环时111132435

S =++???，4i =，否；第4次循环时111113243546

S =

++????+，5i =，否；

第5次循环时111111324354657

S =+++?????+，6i =，是；故输出

111111324354657

S =

++?????++111111111112324354657????????????-+-+-+-+- ? ? ? ? ???????????????= 111125

1226742

??=

+--=

??? 故选：A. 【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．

7．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列

{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（）

A ．(),3-∞-

B ．1,3??-∞- ???

C ．1,3??-+∞ ???

D ．()3,-+∞

【答案】B 【解析】【分析】

先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1

n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】

∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=. ∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，

∴2

n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，

∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立，则()()()2

110n n n

n λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，

∴1

n λ<-

+对*n N ∈恒成立， ∴13

λ<-.

故选：B. 【点睛】

本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则

23111

a a a +++L 的值

A ．

n n

- B ．

n n

+ C ．

n n -+ D ．

n n + 【答案】A 【解析】

分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111

a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=，

则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ，所以

1111

(1)1n a n n n n

==--- 所以

231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n

-+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.

9．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ?=，则数列

1(1)(1)n

n n a a a +????--??

的前n 项和是（） A ．11

121n +-

B ．1

121

n -

+ C ．1

121

n -

+ D ．1

121

n -

- 【答案】A 【解析】

由等比数列的性质可得：2

153364,8a a a a ==∴=，

则数列的公比：2q =

==，数列的通项公式：112n n

n a a q -==，

故：

()()()()

111211

1121212121n n n n n n n n a a a +++==-------，

则数列()()111n n n a a a +??????--???

?的前n 项和是：

12231

11111111121212121212121n n n ++??????-+-++-=- ? ? ?-------??????

L . 本题选择A 选项.

点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏

写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

10．已知数列}{

n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ?=，且4a 与72a 的等差中项为5

，则5S =（）． A ．35 B ．33

C ．31

D ．29

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2

231112a a a q a q a =?=，所以42a =，

又3

474452224a a a a q +=+=?，解得11,162

q a ==，所以

515116(1())

(1)2311112

a q S q --==

=--，故选C ．考点：等比数列的通项公式及性质．

11．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4

【答案】B 【解析】【分析】

先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a 【详解】

由2416a a =得24455

16116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.

12．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（）时，n S 最大. A ．8 B ．9

C ．10

D ．11

【答案】C 【解析】【分析】

根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值．

【详解】

等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <，即()

()120201*********a a S a a +=

=+>，10110a a ∴+>，

()

1212111212102

a a S a +=

=<，所以，110a <，则100a >，

因此，当10n =时，n S 最大. 故选：C. 【点睛】

本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．

13．已知数列{}n a 的前n 项和为212

343

n S n n =++（*N n ∈），则下列结论正确的是( )

A ．数列{}n a 是等差数列

B ．数列{}n a 是递增数列

C ．1a ，5a ，9a 成等差数列

D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列

【答案】D 【解析】【分析】

由2*

123()43

n S n n n N =++∈，2n …

时，1n n n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误．【详解】

解：由2*

123()43

n S n n n N =++∈，

2n ∴…时，221121215

3[(1)(1)3]4343212

n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．

1n =时，114712

a S ==

，1n =时，15

212n a n =+，不成立．

∴数列{}n a 不是等差数列．

21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．

51915471543

22(5)(9)021*******

a a a --=??+--?+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数

列．

631535

(456)32124S S -=?+++?=．

961553

(789)32124

S S -=?+++?=．

1291571

(101112)32124

S S -=?+++?=．

5323571

0444

?--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．

故选：D ．【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（） A ．41 B ．51

C ．61

D ．68

【答案】B 【解析】【分析】

由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】

在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，

3156a a ∴+=.

()()117315171717176

51222

a a a a S ++?∴=

===. 故选：B . 【点睛】

本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.

15．已知数列{}n a 的首项112,9n n a a a +==+，则27a =（） A ．7268 B ．5068

C ．6398

D ．4028

【答案】C 【解析】【分析】

由19n n a a +=+得2123)n a ++=，所以构造数列为等差数列，

算出22(31)n a n +=-，求出27a . 【详解】

易知0n a >，因为19n n a a +=+，所以2123)n a ++=，

3，

是以3为公差，以2为首项的等差数列.

231,2(31)n n a n =-+=-，即2278026398a =-=. 故选：C 【点睛】

本题主要考查由递推公式求解通项公式，等差数列的通项公式，考查了学生的运算求解能力.

16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12

n n n a S n

++=（*n ∈N ），则n S =（） A ．121n -+ B ．2n n ?

C ．31n -

D ．123n n -?

【答案】B 【解析】【分析】

由题得12

2,1

n n a n a n ++=?+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+?，即得n S . 【详解】由题得111(1)(1),,,2121

n n n n

n n n na n a na n a S S a n n n n ++---=

∴=∴=-++++（2n ≥）所以122,1

n n a n a n ++=?+（2n ≥）由题得22166,32

a a a =∴

==，所以12

2,1n n a n a n ++=?

+（1n ≥）. 所以

32412313451

2,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n

-+=?=?=?=?L ，所以11112,(1)22

n n n n a n a n a --+=?∴=+?. 所以(2)222

n n n n

S n n n =?+?=?+. 故选：B 【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

17．等比数列{}n a 共有21n +项，其中11a =，偶数项和为170，奇数项和为341，则

n =（）

A ．3

B ．4

C ．7

D ．9

【答案】B

【解析】

由题意知1321...341n a a a ++++= ，可得3211...341340n a a a +++=-=，又因为

242...170,n a a a +++= 所以

321242 (340)

2 (170)

n n a a q a a a +++===+++ ，

211234117051112

n n S ++-==+=- ，解得4n = ，故选B.

18．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则

122016

111a a a +++=L （） A ．

2015

2016 B ．

4032

2017

C ．

4034

2017

D ．

2016

2017

【答案】B 【解析】【分析】

首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+；

接下来利用累加法可求得()12n n n a +=，从而()1211211n

a n n n n ??==- ?++??，由此就可求得122016

111

a a a +++L 的值. 【详解】

因为111n n n a a a n a n +=++=++，所以11n n a a n +-=+，用累加法求数列{}n a 的通项得：

()()1211n n n a a a a a a -=+-+?+-

()

1122

n n n +=++?+=

，所以()1211211n a n n n n ??==- ?++??

，于是1232016111111111212222320162017a a a a ?????? +++?+=-+-+?+-? ? ??????? 121201*********??=

=- ???

. 故选：B. 【点睛】

本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的

关键，属于常考题.

19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d < ②110S < ③120S >

④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >

其中正确命题的个数是（） A ．2 B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B 【解析】【分析】

先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定．【详解】

Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，

∴10a >，0d <，①正确； Q 675S S S >>，

∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，

12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>， ∴③⑤正确，②错误.

故选：B ．【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

20．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知(

123n n a a n n N

++=+∈且1300n

=，若

23a <，则n 的最大值为（）

A ．49

B ．50

C ．51

D ．52

【答案】A 【解析】【分析】

对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2

+32

n n n

S =，发现不存在这样的偶数能满

足此式，当n 为奇数时，可得21+34

n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.

【详解】

当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++???++

(213)(233)[2(1)3]n =?++?++???+-+ 2[13(1)]32n n =?++???+-+?2+32

n n

=，

因为22485048+34850350

1224,132522

S S ?+?====，

所以n 不可能为偶数；

当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++???++

1(223)(243)[2(1)3]a n =+?++?++???+-+

2134

n n a +-=+

因为24911493494

12722S a a +?-=+=+，

25111513514

13752

S a a +?-=+=+，

又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】

此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.