勾股数的探索
勾股数的探索
活动准备：计算器1只、火柴盒1只
活动内容：能够构成直角三角形三条边的边长的3个正整数，称为勾股数，我国古老的数学和天文著作《周髀算经》中，记载的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数
当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）、（8，15，17）等也都是勾股数。
怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a,b,c）才能满足关系式a2+b2=c2?
活动1：
设（a,b,c）为一组勾股数
1.填表：
表1 表2
2.在表1中,a为奇数,正整数b和c之间的数量关系是
c=b+1 ,b、c与a2之间的关系式是
根据以上规律,当a=13时,b=84,c=85
一般地,当a为奇数时,用a分别表示b、c，则b= , c= .
3.表2中,a为大于4的偶数,正整数b、c之间的数量关系是 c =b+2 ，b、c与a2之间的数量关系是a2+b2=c2
根据以上规律，当a=14时，b=48，c=50
一般地，当a为大于4的偶数时，用a分别表示b、c,则b=____________,c=_____________
4.正整数9、12、15是一组勾股数吗？这组数据满足上述规律吗？这说明了什么问题？
活动2；计算与验证
a=m2-n2
1．已知数据b=2mn ①
c=m2+n2
其中m>n,，m、n为正整数.a、b、c为勾股数吗？为什么？
如果a、b、c是一组勾股数，写出你的证明；如果不是勾股数，请说明理由
2.公元前580年～公元前500年。古希腊人毕达哥拉斯给出勾股数的计算公式: 你能证明吗?
a=2n+1
b=2n2+2n （n为正整数）②
c=2n2+2n+1
3.公元前427年～公元前347年.古希腊哲学家柏拉图又给出了勾股数计算公式:
a=n2-1
b=2n (n>1的正整数) ③
c= n2+1
请你给出证明
利用以上3个勾股数的计算公式,我们可以求出无数组勾股数.但这里需要强调的是,用它们求出的勾股数不是所有的勾股数.如公式①不能求出勾股数(9,12,15),公式②不能求出勾股数(8,15,17),公式③不能求出(5,12,13).
活动创新活动3:联想与拓展.
1.如图1,已知四边形ABCD是长方形,AC为对角线,则有AB2+BC2=AC2,即AB、BC、AC满足勾股定理.
D
A
1
图1 图2
如图2,ABCD-A1B1C1D1是长方体.图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1.若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用γ
β
α、
、表示,则是否有2
2
2γ
β
α=
+仍然成立?请说明理由.
2.如图3,已知四边形ABCD为长方形,直线l分别截AB、CB于点E、F,则有BE2+BF2=EF2.
D
A
1
图3 图4
如图4, ABCD-A1B1C1D1为长方体,一个平面分别截长方体的棱AB、BC、BB1于点M、
N 、G .
图3 中的直线l 对应图4的平面MNG ,图3中直线截长方形的两边所得线段对应图4中平面MNG 截长方体所得三个面BMN 、面BMG 、面BNG .若面MNG 、面BMG 、面BNG 的面积分别用γβαδ、、、表示，请猜一猜2
2
2
2
δγ
β
α
=++是否成立？（不需要说明
理由）
3．是否存在这样的3个整数a 、b 、c ，使它们满足a 3+b 3=c 3
呢？你能进行一番探索吗？试一试。
活动收获 在本次活动中，我们对勾股数进行了深入的探索，由简单的勾股数发现其内在的规律，进而对股数计算公式给出证明，并利用类比思想将平面上的问题引入到空间立体图形上，初步感受到科学思维的价值，对今后的教学学习具有十分重要的指导意义
此外，我还有以下收获：
①学生参与的热情（项目的确定）
②组织学生这次活动有哪些成功之处，关注学生过程中的一些情况（学生的表现 作品）
③教材需改进的方面，组织活动时应注意哪些方面 ④资料建设
A ：活动计划（简案）
B ：课件
C ：活动过程中，后的活动工具及学生的作品
D ：活动小结
（文件材料：电子文档 小结：周一祁）
【志鸿全优设计】2013-2014学年八年级数学上册 第一章 1探索勾股定理例题与讲解 北师大版
1 探索勾股定理 1．勾股定理的探索 如图，在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形： 观察图形可知： (1)各正方形的面积：正方形①的面积S1为1，正方形②的面积S2为1，正方形③的面积S3为2； (2)各正方形面积之间的关系：S1＋S2＝S3； (3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方． 【例1】如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题： (1)a2＝__________，b2＝__________，c2＝__________； (2)a，b，c之间有什么关系？(用关系式表示) 分析：a2等于以BC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积9，c2等于以AB为边长的正方形的面积25. 解：(1)16 9 25 (2)a2＋b2＝c2. 释疑点网格中求正方形的面积 求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDEF(如图)中去，它的面积等于正方形CDEF的面积减去它外围的4个小直角三角形的面积． 2．勾股定理 (1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边．
(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2. (3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2. 辨误区应用勾股定理的几个误区 (1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． (2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2. (3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助． 【例2－1】在△ABC中，∠C＝90°， (1)若a＝3，b＝4，则c＝__________； (2)若a＝6，c＝10，则b＝__________； (3)若a∶b＝3∶4，c＝5，则a＝__________，b＝__________. 解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，所以有关系式a2＋b2＝c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”． (1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝52，则c＝5； (2)b2＝c2－a2＝102－62＝82，则b＝8； (3)若a∶b＝3∶4，可设a＝3x，b＝4x， 于是(3x)2＋(4x)2＝52. 化简，得9x2＋16x2＝25， 即25x2＝25，x2＝1，x＝1(x＞0)． 因此a＝3x＝3，b＝4x＝4. 答案：(1)5 (2)8 (3)3 4 谈重点用勾股定理求边长 这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长． 【例2－2】有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000 m 处，过了20 s，飞机距离这个男孩头顶5 000 m，那么飞机每时飞行多少千米？ 分析：根据题意，可以先画出图形． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 000 m，AB＝5 000 m. 欲求飞机每时飞行多少千米，就须知道其20 s时间里飞行的路程，即图中CB的长．由于△ABC的斜边AB＝5 000 m，AC＝4 000 m，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算． 解：如图，AB＝5 000 m＝5 km，AC＝4 000 m＝4 km，
苏科版八年级上册数学 3.4数学活动 探寻勾股数 教案
教学内容探寻“勾股数” 教学目标知识与能力1．理解勾股数定义，了解其中规律，会判断和构造勾股数 过程与方法2．经历探索分析的过程，从特殊到一般发现部分勾股数的内在规律情感与态度3．感受数学规律的内在奥秘，激发探索数学的兴趣 教学重点勾股数的特征 教学难点利用勾股数特征构造勾股数 教具学具多媒体课件白板 教学过程教师活动学生活动设计意图 一、数学史，引入新课一、勾股定理史 中国古代 勾股定理在初中课本中就学习过，其内容如下：“在 直角三角形中，斜边（弦）的平方等于两直角边（短者叫 勾，长者叫股）平方的和．” 约在公元前100年成书的我国现存最古的一 部数学典籍《周髀算经》中记载，在公元前1100 多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了 “勾广三，股修四，弦隅五”，且在同一书中记载 的荣方与陈子的问答中，更谈到由勾股求弦的一般 方法是“勾股各自乘，并而开方除之”，可见已给 出了普遍的勾股定理．正因为商高首先提出了勾股 定理，不少人把该定理称之为商高定理． 国外 在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家 外，还有许多别的国家和民族的数学家，特别是古希腊、 埃及、印度的数学家．公元前六世纪，古希腊数学家毕达 哥拉斯（公元前582年——前497年）是西方第一个证明 勾股定理的人，国外常称其为毕达哥拉斯定理。 阅读PPT，感 受勾股定理。 生活中蕴藏 着很多有趣 的知识，从中 外数学史引 入，鼓励学生 善于观察，激 发探索学习 的乐趣。 二、数学活动探索 1.活动引入 满足关系的3个正整数， 问题： 1.勾股数有多少？ 2.请尽可能多地写出来。 3.勾股数有规律吗？ 齐答勾股数概 念 学生随机作 答，并展出， 问题3进行探 索。 回顾勾股数 概念 三个问题，逐 层递进，引出 本节课的研 究内容勾股 数特征。
1.1探索勾股定理
探索勾股定理（一） 一、活动探究 观察下面两幅图： （1）填表： （2）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流． （3）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积 （4）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？ 用符号表示为： 变形公式：（1）___________________________ ( 2 ) 二、勾股定理的简单应用 1、 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，
树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？ 2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度 3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方 4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+ 基础训练: 1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米． 2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ． ?225 100x 17a b c a b c C B
探索勾股定理一 教学设计
第一章勾股定理 1．探索勾股定理（一） 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，北师大版八年级第一章第一节《探索勾股定理》第一课时。在本节课以前，学生学习了（三角形、正方形、梯形）一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质以及整式运算中的完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab+b2。学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一，这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为以后学习《解直角三角形》和《二次根式》奠定基础，在有关的物理计算中也离不开《勾股定理》，它在生活中的用途很大。 （二）、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．且他们勤于思考、乐于探究。(根据以上教材地位和学生情况，再结合《课程标准》的要求，我制定如下教学目标) 三、教学目标分析 （二）、教学目标 1、知识与技能目标 用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单
的计算和实际运用 2、过程与方法目标 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观目标 （1）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进学习数学的信心，感受数学之美。 （2）利用远程教育资源介绍中国古代勾股方面的成就，体现数学的文化价值。 （三）、教学重点及难点（根据《课程标准》的要求，以及为学生在今后解决有关几何问题。因此，本节课的教学重点和难点是）【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用 【教学难点】用拼图求面积的方法证明勾股定理 【难点成因】在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够，因此形成了难点。 【教具】教师准备：课件直角三角形 学生准备：四个全等的直角三角形 二、教学方法及教学手段的选择 针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课我选择的方法是：引导探索、讨论发现法（其意图是由浅到深，由特殊到一般的
探索勾股定理
八年级数学、探索勾股定理（二）双边活动 学习目标： 1、掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法； 2、在实际问题情境中，能运用勾股定理由直角三角形的两边长求第三边的长。 学习重点；通过拼图和图形面积验证勾股定理；运用勾股定理 复习回顾 1、结合下图，勾股定理的符号语言_______________________ 2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。 A A:若a=12，b=5，则c=________； B:若AB=25，BC=15，则AC=________． C:若a:b=3:4,c=20则a=______b=______ C B 自学指导（一）：看课本第5页做一做，解决下列问题 如图1-5，ABCD S正方形=_______________________ 也可以表示成ABCD S正方形=_____________________ 由此可得： 自学指导（二）： 我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外线测距仪,测得汽车与他相距400米,10秒后,汽车与他相距500米,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗 自学提示：用铅笔在下图中根据题意标出已知量要想求出速度，应该求出哪些数 量怎么求请写出规范的解题步骤。课程标准要求：验证勾股定理，并能运用它解决一些简单的实际问题
自学检测：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米 处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶 5000米，飞机的飞行速度是多少 议一议（课本P6）：观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是 否满足a 2+b 2=c 2 拓展延伸：一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端 B 向外移动多少米 课堂总结：通过这节课的学习，你有什么样的收获 作业：必做（A ） ：上交，课本6、7页第1题、第2题；_ b _ a _a _ c _ b _c
勾股数规律的探究
勾股数的规律 能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究： 规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现 由（3，4，5）有： 32=9=4+5 由（5，12，13）有： 52=25=12+13 由（7，24，25）有： 72=49=24+25 由（9，40，41）有： 92=81=40+41. 即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。 其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有 ∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1） ∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2 因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一： （2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数） 或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现 由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10） 由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17） 由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26） 即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。 其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有 ∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）] ∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数） 因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二： （2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数） 或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为 （m,,）
《探索勾股定理》第一课时说课稿
《探索勾股定理》第一课时说课稿 课题：“勾股定理”第一课时 内容：教材分析、教学过程设计、设计说明 一、教材分析 （一）教材所处的地位 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级第一章第一节探索勾股定理第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）根据课程标准，本课的教学目标是： 1、能说出勾股定理的内容。 2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 3、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。 4、通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。 （三）本课的教学重点：探索勾股定理 本课的教学难点：以直角三角形为边的正方形面积的计算。 二、教法与学法分析： 教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分。 学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。 三、教学过程设计
（一）提出问题： 首先创设这样一个问题情境：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生 的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。（二）实验操作： 1、投影课本图1—1，图1—2的有关直角三角形问题，让学生计算正方形A,B, C的面积，学生可能有不同的方法，不管是通过直接数小方格的个数，还是将C 划分为4个全等的等腰直角三角形来求等等，各种方法都应予于肯定，并鼓励学生用语言进行表达，引导学生发现正方形A,B,C的面积之间的数量关系，从而学生通过正方形面积之间的关系容易发现对于等腰直角三角形而言满足两直角边的平方和等于斜边的平方。这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。 2、接着让学生思考：如果是其它一般的直角三角形，是否也具备这一结论呢？于是投影图1—3，图1—4，同样让学生计算正方形的面积，但正方形C的面积不易求出，可让学生在预先准备的方格纸上画出图形，在剪一剪，拼一拼后学生也不难发现对于一般的以整数为边长的直角三角形也有两直角边的平方和等于斜边的平方。这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习及有帮助。 3、给出一个边长为0.5,1.2,1.3,这种含小数的直角三角形,让学生计算是否也满足这个结论，设计的目的是让学生体会到结论更具有一般性。 （三）归纳验证： 1、归纳通过对边长为整数的等腰直角三角形到一般直角三角形再到边长含小数的直角三角形三边关系的研究，让学生用数学语言概括出一般的结论，尽管学生
专题1.2 勾股定理章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)
专题1.2 勾股定理章末重难点题型 【人教版】 【考点1 利用勾股定理求面积】 【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系. 【例1】（2019春?鄂城区期中）在Rt AED ?中，90E ∠=?，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ?的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．10 【分析】根据勾股定理得到225AD AE DE =+=，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【答案】解：Q 在Rt AED ?中，90E ∠=?，3AE =，4ED =， 225AD AE DE ∴+=， Q 四边形ABCD 是正方形， ∴正方形ABCD 的面积22525AD ===， 故选：B ．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-1】（2019春?宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( ) A ．24 B ．56 C ．121 D ．100 【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可． 【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知： E F G S S S =+ A B C D S S S S =+++ 100=； 即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100； 故选：D ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式1-2】（2019春?武昌区校级期中）如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，以AC 、BC 为直径作半圆1S 和2S ，且122S S π+=，则AB 的长为( )
探究勾股数
探究勾股数两例 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．对于给定的三个正整数，若能验证其中最大数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾股数，否则不是．可以验证若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）也是勾股数． 以下几个都可构成勾股数： 1．设n 为正整数，且n >1，a =2n ，b =n 2-1，c =n 2+1; 2．设n 为正整数，a =2n +1，b =2n 2+2n ，c =2n 2+2n +1; 3．设m 、n 为正整数，且m >n ，则a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2; 例1 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为:“勾三、股四、弦五”． （1）观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算 21(9-1)，21(9+1)与21(25-1)，2 1 (25+1)，并根据你发现的规律，分别写出能(用勾)表示7、24、25的股和弦的算式； (2)根据(1)的规律，用n (n 为奇数且n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明； （3）继续观察4、3、5；6、8、10；8、15、17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m （m 为偶数且m >4）的代数式来表示它们的股和弦． 分析：本题是一个勾股数的探索问题，考查观察、分析、类比、猜想和论证等能力．第（2）、（3）两小题都具有开放性，能较好地考查大家的创新意识和能力． 解:(1)因为 21(9-1)=21(32-1)=4， 21(9+1)=21(32+1)=5，21(25-1)=2 1 (52-1)=12， 21(25+1)=2 1 (52+1)=13， 对于3、4、5和5、12、13两组勾股数来说，可以表示为： 股= 21(勾2-1)，弦=2 1 (勾2+1)． 所以7、24、25的股24的算式为21(49-1)=21 (72-1)， 7、24、25的弦25的算式为21(49+1)=2 1 (72+1);
1.1探索勾股定理1
§1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探 究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理 的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、 观察图1-2，正方形A 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 正方形B 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 正方形C 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 2、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、 图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C ，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、 做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、 从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、 议一议 1、 图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 22c b a =+ 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
探索勾股数的规律
勾股数的规律 初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。如果直角三角形的三边a 、b 、c （a ﹤b ﹤c ），由勾股定理可知：2 22a b c +=，其中a 为勾，b 为股，c 为弦。 一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律 1、 列表，观察表中每组勾股数 2、归纳规律：（1）每组中a 都是奇数； （2）2 a b c =+，212a b -=；（3）c = b+1，21 2 a c +=. 由此可得第n 组当a=2n+1时 2221(21)1 2222a n b n n -+-===+, 2221(21)122122 a n c n n +++===++ 于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1（n 为正整数）。 3、证明：∵2 2222(21)(22)a b n n n +=+++ 4232441844n n n n n =+++++ 4232441844n n n n n =+++++ 22(221)n n =++ ∴2 22a b c += ∴2n+1、222n n +、2221n n ++（n 为正整数）是一 组勾股数。 4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式： （1）列表观察 （2）归纳规律：略。当n 为正整数时，勾股数为： 22(1)a n n =+- 2(1)b n n =+ 22(1)c n n =++ 化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、2 22n n +、2221n n ++。 （3）证明过程：同前面的证明。 二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律 1、列表观察表中每组勾股数 2、 归纳规律： （1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）； （2）、22 14 ,22 a a b c b -=+=? （3）、2c b =+24 2 a +=
勾股数的探索
勾股数的探索 活动准备：计算器1只、火柴盒1只 活动内容：能够构成直角三角形三条边的边长的3个正整数，称为勾股数，我国古老的数学和天文著作《周髀算经》中，记载的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数 当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）、（8，15，17）等也都是勾股数。 怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a,b,c）才能满足关系式a2+b2=c2? 活动1： 设（a,b,c）为一组勾股数 1.填表： 表1 表2 2.在表1中,a为奇数,正整数b和c之间的数量关系是 c=b+1 ,b、c与a2之间的关系式是 根据以上规律,当a=13时,b=84,c=85 一般地,当a为奇数时,用a分别表示b、c，则b= , c= . 3.表2中,a为大于4的偶数,正整数b、c之间的数量关系是 c =b+2 ，b、c与a2之间的数量关系是a2+b2=c2 根据以上规律，当a=14时，b=48，c=50 一般地，当a为大于4的偶数时，用a分别表示b、c,则b=____________,c=_____________ 4.正整数9、12、15是一组勾股数吗？这组数据满足上述规律吗？这说明了什么问题？ 活动2；计算与验证 a=m2-n2 1．已知数据b=2mn ① c=m2+n2 其中m>n,，m、n为正整数.a、b、c为勾股数吗？为什么？ 如果a、b、c是一组勾股数，写出你的证明；如果不是勾股数，请说明理由
2.公元前580年～公元前500年。古希腊人毕达哥拉斯给出勾股数的计算公式: 你能证明吗? a=2n+1 b=2n2+2n （n为正整数）② c=2n2+2n+1 3.公元前427年～公元前347年.古希腊哲学家柏拉图又给出了勾股数计算公式: a=n2-1 b=2n (n>1的正整数) ③ c= n2+1 请你给出证明 利用以上3个勾股数的计算公式,我们可以求出无数组勾股数.但这里需要强调的是,用它们求出的勾股数不是所有的勾股数.如公式①不能求出勾股数(9,12,15),公式②不能求出勾股数(8,15,17),公式③不能求出(5,12,13). 活动创新活动3:联想与拓展. 1.如图1,已知四边形ABCD是长方形,AC为对角线,则有AB2+BC2=AC2,即AB、BC、AC满足勾股定理. D A 1 图1 图2 如图2,ABCD-A1B1C1D1是长方体.图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1.若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用γ β α、 、表示,则是否有2 2 2γ β α= +仍然成立?请说明理由. 2.如图3,已知四边形ABCD为长方形,直线l分别截AB、CB于点E、F,则有BE2+BF2=EF2. D A 1 图3 图4 如图4, ABCD-A1B1C1D1为长方体,一个平面分别截长方体的棱AB、BC、BB1于点M、
1.1探索勾股定理(1)
八年级数学 探索勾股定理(1) 〖温故知新〗 1、指出右图直角三角形各部分的名称，并用符号表示这个直角三角形。 2、边长是a 的正方形的面积是 ， 〖学习目标〗 1、用数格子的办法体验勾股定理的探索过程。 2、理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 一、自学指导 } 1、观察课本第2页图1— 2、图1—3，直角三角形三边的平方分别是多少，完成下表（时间3分钟）与同伴交流（时间3分钟）。 A 的面积 B 的面积 C 的面积 可能的关系 … ： } : 总结： 勾股定理： _______三角形____________的_________等于__________。 如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么关系可表示为： 。 ~ 符号语言： 二、自学检测 A 1、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=3 b=4，则c=________。， B2、求下图中字母所代表正方形的面积和对应三角形的边长 | b a c C A B b a c C A B A B 125 169 100 、
7cm D A C B 7cm D A C B — 反思总结： 勾股定理的作用_________________________________________ 三、新知运用 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索 · 巩固练习： A1、如图，求等腰三角形ABC的边AB上的高。 ！ 变式训练：B2、三角形ADC的面积是多少你能求出AC边上的高吗 } 反思总结： 1、运用勾股定理解决实际问题的格式： 四、中考链接 1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，A、 B、C、D表示对应正方形的面积，A=9，B=16，C=36，D=64，则E=______;F=-________;G=________。 . 2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面 积的和是cm2． 【 反思总结：
《探索勾股定理》说课稿
《探索勾股定理》说课稿 三亚市五中颜振慧 一、说教材 1、教材所处的地位、作用 “探索勾股定理”是北师大版八年级（上）第一章第一节的内容。本节有二课时，本课是第一课时，主要内容是勾股定理的探索及简单应用。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。 2、教学目标 数学教学基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。强调以学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历探索的过程，使学生思维能力、情感态度、价值观都能得到进步、发展。因此在新的课改理念，新课程标准的指导下，结合本课教材、学生特点，确定如下目标： (1)知识目标：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，并会用勾股定理解决身边与实际生活中相关的数学问题。 (2)技能目标：在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索定理过程中，发展学生归纳、概括能力。 (3)情感与态度：培养学生积极参与、合作交流的意识，在探索定理过程中，体验获得成功的喜悦，锻炼克服困难的勇气。 3、教学的重、难点 勾股定理是重要定理，应用广泛，加上探索过程中，利用方格计算面积有一定的难度，因此本课重、难点为： 重点：探索和验证勾股定理的过程 难点：在方格纸上通过计算正方形面积方法探索勾股定理 二、说教法、学法 1、教法：本课采用教师引导和学生自主探索相结合的教学方法，在方格纸上学生通过观察、分析、归纳、计算以三角形的三边为边长的三个正方形的面积，引发学生的数学猜想，在教师的引导下由学生自己探究总结勾股定理，并运用Z+Z操作平台演示，使学生充分体会到探究学习的成就感，激发学习数学的兴趣。 2、学法：本节课教学主要通过学生自主探索、合作交流。注重学生整个探索过程，充分体现学生的主体地位。学生主要使用操作——观察——归纳——应用的学习方法。 三、学情分析 八年级的学生已具备一定的生活经验，对新事物容易产生兴趣，动手实践能力也比较强，在班级上已初步形成合作交流，勇于探索与实践的良好班风，估计本课的学习中学生能够在教师的引导和点拨下自主探索归纳勾股定理。 四、教学程序分析
勾股数的规律总结
勾股数的规律总结 我们知道，像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律吗？下面就让我们分类探究一下. 一、最短边的长度为奇数 观察下表中的勾股数： 根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数（，，无公约数）具备一定的特征，很显然，当21a n =+（n ≥1）时，()21b n n =+，()211c n n =++.同时我们容易验证： () ()()22 2 2121211n n n n n +++=++????????， 即当最短边的长度为奇数时，勾股数有此规律. 二、最短边的长度为偶数 最短边的长度为偶数时，没有公约数的勾股数又有什么规律呢？ 首先，最短边为偶数时，其他两边不可能再是偶数，否则就有了公约数2，所以另外两个勾股数必为奇数，而且这两个奇数的平方差是8的倍数（八年级上册曾学过）.这是因为两个奇数可以表示为21m +和21n +，这里的m 、n 都是正整数，不妨设m n >，则 ()() ()22 222121441441m n m m n n +-+=++-++ ( )()22 44m n m n =-+- ()()41m n m n =-++. 因为m 、n 都为正整数，而任意两个正整数的和与差具有同奇同偶性，所以m n -与 1m n ++这两个数中，有且只有一个偶数，所以()()41m n m n -++必定能被8整除.这说 明，一组无公约数的勾股数中，如果最小的数为偶数，则它的平方必为8的倍数，而另外两数必为奇数. 由此表格中的数据可以得出，该表格中的无公约数的勾股数具备这样的特征：当（n ≥1）时，2161b n =-，2 161c n =+，同时我们容易验证：
探索勾股定理公开课优质课教学设计一等奖及点评
1.1探索勾股定理（第1课时） （义务教育课程标准北师大版八年级上册第一章第一节） 一、教材内容和内容分析 （一）教学内容 本节课是北师大版教材《数学八年级（上）》第一章勾股定理第一节的内容，主要学习勾股定理的探究、证明及简单应用． （二）教学内容分析 勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把有一个角是直角这个形的特征转化成数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，体现了数形结合的思想方法. 它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学的建立，对数学进一步的发展拓宽了道路．因此，可以这样说，勾股定理是数学发展的重要根基之一．它不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一． 教学重点：探究并证明勾股定理 二、教学目标和目标解析 （一）教学目标 1.经历探索，验证勾股定理的过程，初步掌握勾股定理，进一步了解等面积法的应用； 2.通过不同证明方法的探究，进一步发展空间观念和推理能力，体会数形结合的数学思想； 3.借助勾股定理丰富的文化背景，培养学生的人文底蕴和科学精神的核心素养. （二）教学目标解析 达成目标1：学生通过分析以特殊的直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表达勾股定理的结论．通过割补法构造图形验证勾股定理，从而理解直角三角形三边的数量关系． 达成目标2：以赵爽弦图和青朱出入图为载体，了解勾股定理各种证明方法之间的内在联系，即实质都是运用等面积法加以证明. 使学生感受多角度分析问题，多种方法解决问题. 同时，在图形的
《勾股定理》章末重难点题型汇编
《勾股定理》章末重难点题型汇编 【考点1 利用勾股定理求面积】 【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系. 【例1】在Rt AED ?中，90E ∠=?，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ?的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．10 【分析】根据勾股定理得到225AD AE DE +=，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【答案】解：在Rt AED ?中，90E ∠=?，3AE =，4ED =， 225AD AE DE ∴=+=， 四边形ABCD 是正方形， ∴正方形ABCD 的面积22525AD ===， 故选：B ．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( ) A ．24 B ．56 C ．121 D ．100 【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可． 【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知： E F G S S S =+ A B C D S S S S =+++ 100=； 即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100； 故选：D ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
【变式1-2】如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，以AC 、BC 为直径作半圆1S 和2S ，且122S S π+=，则AB 的长为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【分析】根据勾股定理得到222AC BC AB +=，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【答案】解：由勾股定理得，222AC BC AB +=， 2222111 ()()()222228 AC BC AC BC ππππ?+?=?+=， 解得，2216AC BC +=， 则22216AB AC BC =+=， 解得，4AB =， 故选：C ． 【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=． 【变式1-3】如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S ，2S ，3S ，4S 和S 分别代表相应的正方形的面积，且14S =，29S =，38S =，410S =，则S 等于 ( ) A ．25 B ．31 C ．32 D ．40 【分析】如图，根据勾股定理分别求出2AB 、2AC ，进而得到2BC ，即可解决问题． 【答案】解：如图，由题意得： 21213AB S S =+=，
1.1探索勾股定理(一)
“三六五”课堂教学模式导学案 年级学科组总课时数主备教师审查人时间 §1.1探索勾股定理（1） 一、学习目标 1、经历用测量的方法探索勾股定理及用数格子的方法简单的验证勾股定理的过程，提高合情 推理的能力，体会数形结合的思想。（难点） 2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。是本节的重点和难点。 二、自学感知 自学课本第2—4页解答下面的问题： 1、在纸上作出一个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有什么关系？ 换一个直角三角形试一试此关系还成立吗？ 2、如果直角三角形两直角边分别为a,b斜边为c，那么a2+ = 。即直角三角形两直角 边的和等于斜边的。 3、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称 为。 4、如图（1）所示，求出直角三角形未知边的长度。 9 12 (1) 5、如图（2）所示，阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积。 （2） 三、小组合作 1、如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？ B 12米 C 2、如图，直角三角形三边的平方分别是多少，你能用它们验证勾股定理吗？你是如何计算的？与同伴交流。 四、展 示风 采
400 225 A 1、求下图中字母所代表的正方形的面积。 2、如图，求等腰△ABC的面积。 5 B 3、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为 什么吗? 4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图 形，使得它们的面积之和恰好等于最大的正方形面积，尝试给出两种以上的方案。 五、小结 通过本节课的学习谈谈自己的收获和体会。 六、达标检测 1、已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长为。 2、在直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边长为。 3、如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米处有一颗大树，在一次强风中，这棵大树从离地 面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，出门在外的张大爷担心自己的房屋被倒下的大树 砸倒，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算，分析后给出正确的回答（） A、一定不会 B、可能会 C、一定会 D、以上答案都不对 4、如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时，梯 底距墙底端0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子的底端将滑出多少米？ 七、学（教）后反思与错题集锦 班级姓名完成时间小组评价个人评价
初中数学规律探索四
初中数学规律探索四 48、观察下列算式： 2562,1282,642,322,162,82,42,2297654321========通过观察，用 你所发现的规律写出9 8的未位数字是________。 49 A 、618 B 、638 C 、658 D 、67 8 10．已知：3223222?=+，8338332?=+，15 4415442?=+，…若b a b a ?=+21010（a 、b 为正整数）， 则______=+b a ； 52、观察下列不等式，猜想规律并填空： 12 + 22 > 2×1×2； （2）2 +（21 ）2 > 2× 2 ×21 （－ 2）2+ 32 > 2×（-2）×3； 2 2 2 > 2× 2 （－ 4）2 + (－3)2 > 2×（－4）×(－3)； (－2)22> 2×2a + b > _____________(a ≠b)（03宜昌） 53、据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折 成一个直角，两端连结得一个直角三角形,如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为 “勾三、股四、弦五”. (1) 观察:3,4,5；5，12，13；7，24，25；···,发现这些勾股数的勾． 都是奇数，且从3起就没有间断过.计算)19(21),19(21+-与)125(2 1),125(21+-并根据你发现的规律,分别写出能表示7，24，25的股． 和弦． 的算式；（4分） (2) 根据（1）的规律，用n （n 为奇数且．．．n ≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾．、股．、弦． ,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（12分） (3) 继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；···,可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有 间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m 为偶数且．．．m ＞4)的代数式来表示他们的股．和弦．.（14分）（04三明实验） 考生注意:除第(2)小题中已发现的相等关系之外,你还有其他新的发现，并能正确证明,将酌情另加1～3分