高中数学必修1函数知识总结
一、函数的有关概念
1.函数的概念:设A 、B 是非空的 ,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有 的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .函数的三要素为 找错误:①其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;
②与x 的值相对应的y 值叫做函数值,所以集合B 为值域。
注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 专项练习1.求函数的定义域: 类型1.⑴22153x x y x --=
+ ⑵0
(21)y x =- ⑶2214log (1)
y x x =
+-+
总结:
能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域:
1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结
练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2
的定义域为
2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,求函数()f x 的定义域.
练习2. 已知函数2
(22)f x x -+的定义域为[]03,,求函数()f x 的定义域. 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为,则y=f(3x-5)的定义域为________。
4.已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。
核心方法总结 ①
②
专项练习2相同函数 判断方法①
②
例1.
专项练习3函数的值域
一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R .
二次函数
()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为 ,当0a <时的值域
反比例函数()0k
y k x
=
≠的值域为{}0y R y ∈≠.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为 对数函数
()log 01a y x a a =>≠且的值域为R .
1.二次函数在给定区间上的值域问题
(1)y =x 2+2x+3(0≤x ≤2) (2) y =3-2x -x 2 (-3≤x ≤-1)
(3)y =x 2+2x+3 (-3≤x ≤1) (4) y =3-2x -x 2 (-2≤x ≤1)
2.已知k ∈R ,求函数2
21y kx kx =++,x ∈[-3,2]的最值
3.已知函数f (x )=-x 2+2ax +1-a 在0≤x ≤1时有最大值2,求a 的值.
总结二次函数求值域方法①
② ③
2.换元法
(1)y =2x -3+134-x
(2)y =x+1 +x 21- (3)4321(02)x x
y x =-?+≤≤
3.单调性法
(1)()x x y 2log 2
2+-= (2))2(21log 2
1≥???
??+=x x y x
4.分离常数法 形如cx d
y ax b
+=
+ (1)y =12++x x (2) y =1
2
21
-+x x (3) y =x x -+12( 1 类型4求函数的解析式 1.待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法. 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f . 2、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式注意函数定义域 例2已知x x x f 2)1(+=+,求()f x . 变式2.已知2 (1)23f x x x +=++,求f (x )的解析式. 3、配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,注意所求函数()f x 的定义域 例3已知x x x f 2)1(+=+,求()f x . 变式3.已知2 (1)23f x x x +=++,求f (x )的解析式. 4、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式. 例4 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f . 变式4.已知()2()f x f x x --= 求函数f (x )的解析式. 二、函数的性质 1.函数单调性 (1).设函数y=f(x)的定义域为I ,①如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2, ,那么就说f(x)在区间D 上是增函数。②区间D 称为 y=f(x)的单调增区间;如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间. 注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2、必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1 3、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 用定义证明1 ()f x x x =+ 在[)1,+∞上单调递增 总结:函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1 2 作差f(x 1)-f(x 2); 3 变形(通常是因式分解和配方); 4 定号(即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负); 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). 2.求函数的单调区间 (2).已知函数的单调区间求参数的范围 练习已知函数2 -∞上是减函数,则实数a的取值范围=+-+在区间(],4 f x x a x ()2(1)2 (3).复合函数 如果y=f(u),(u ∈M),u=g(x),(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x ∈A) 称为f 是g 的复合函数。复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下: 复合函数单调性:口诀:同增异减 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (4)、判断 函数的单调性常用的结论 ①函数()y f x =-与()y f x =的单调性相反; ②当函数()y f x =恒为正或恒有负时, 1 ()y f x = 与函数()y f x =的单调性相反; ③函数()y f x =与函数()y f x C =+(C 为常数)的单调性相同; ④当C > 0(C 为常数)时,()y f x =与()y C f x =的单调性相同; 当C < 0(C 为常数)时,()y f x =与()y C f x =的单调性相反; ⑤函数()f x 、()g x 都是增(减)函数,则()()f x g x +仍是增(减)函数; ⑥若()0,()0f x g x >>且()f x 与()g x 都是增(减)函数,则()()f x g x 也是增(减)函数; 若()0,()0f x g x <<且()f x 与()g x 都是增(减)函数,则()()f x g x 也是减(增)函数; ⑦设()0f x >,若()f x 在定义域上是增函数,则 ()n f x 、()(1)n f x n >都是增函数,而1 ()f x 是减函数. 2.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有 ,那么f(x)就叫做偶函数. 奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有 ,那么f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知具有奇偶性的函数定义域关于原点对称. 3.具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 4若一个函数为奇函数且在原点有定义则(0)______f = 5既奇又偶函数有无穷多个(()0f x =,定义域是关于原点对称的任意一个数集). (1) 判断函数的奇偶性 1.1 ()f x x x =+ 2. f (x )=x 2 , x ∈[2,3]. 6.定义在R 上的函数f (x )满足对任意x ,y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y ),求证:f (x )为奇函数. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域; 2 确定f(-x)与f(x)的关系; 3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.有时用f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定。 (2)奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (3)用奇偶性求函数值 (4)已知函数的奇偶性求函数的解析式